Лекции (1-18) по мат. анализу 1 семестр
Работа из раздела: «
Математика»
Лекция №1
Ведущая: Голубева Зоя Николаевна
Дата: вторник, 5 сентября 2000 г.
Тема: Введение
Условные обозначения:
: - так, что def – по определению
( – включает ’’’ – [dnf(x)]/dxn=(d/dx)([dn-1f(x)]/dxn)
( - следует, выполняется
( - тогда и только тогда
( - любой
( - существует
] – пусть
! – единственный
[x] – целая часть
~ - эквивалентно
о - малое
Все R представляют десятичной дробью.
Все Q представляют конечной дробью, либо периодичной дробью.
Все иррациональные числа представляют бесконечной десятичной дробью ( не
периодичной).
Рассмотрим числовую ось. Числовая ось – направленная прямая с отмеченной
точкой и отмеченным масштабом.
0 – отвечает за ноль.
Отрезок [0;1] отвечает за единицу
Единица за единицу.
Каждой точки х на числовой прямой отвечает некоторое действительное
число. Если длинны отрезков [0;x] из заданного масштаба соизмеримы, тогда
числу х отвечает рациональное число. Если не соизмеримы, то иррациональны.
Каждому R отвечает точка на числовой прямой и наоборот, каждой точке
отвечает R.
Основные числовые множества.
x
Отрезок: [/////////] x
a b
Обозначается [a;b] a(b
Частный случай отрезка точка
Или a(x(b – в виде неравенства.
х
Интервал: (/////////) x – множество точек на
числовой прямой.
a b
Обозначается (a;b) или в виде неравенства a0 а-? а а+?
О?(а)={x(R:(x-a(0
(х(= 0; x=0
-x; x<0
|x|h( x>h
h>0 x<-h
1) ( а,b ( R: |a(b((|a|+|b|
2) ( а,b ( R: |a-b|(||a|-|b||
Можно рассматривать окрестности бесконечности:
О?(+()={x(R:x>?} (////////// x
?>0 ?
О?(-()={x(R:x<-?} ///////////) ( x
?>0 -? 0
О?(()={x(R:(x(>?} \\\) ( (////// x
x>?;x<-? -?
?
Функция. Монотонность. Ограниченность.
х – называется независимой переменной.
у – зависимой.
Функцию можно задавать равенством (у=х2)
Таблицей
|Х |Х1 |Х2 |Х3 |Х4 |
|У |У1 |У2 |У3 |У4 |
Графиком, то есть множеством точек с координатами (x,f(x)) на
плоскости:
[pic]
Определение f(x) монотонности: Пусть Х принадлежит области определение D (
]x(D)
Пусть Х подмножество в области определения в f(x).
Функция у=f(x) называется:
1) Возрастающая на Х, если для любого х1;х2 принадлежащие Х:
х1f(x2)
[pic]
3) Не убывающий на Х, если для любого х1;х2 принадлежащие Х:
х10 так что (аn((С, для любого n(N.
Монотонные последовательности
1) возрастающая anan+1, ( n(N
3) не возрастающая an(an+1, ( n(N
4) не убывающая an(an+1, ( n(N
Пределы последовательности.
Определение: числа а , называется пределом числовой последовательности
аn, если для любого сколь угодно малого числа ?>0, найдётся натуральный
номер N такой, что для всех чисел n(N выполняется модуль разности (an-
a(0 ( N : ( n(N ((an-a(0, хотим чтобы ((-1)n-0(1/?
N=[1/?]+1
?=0.01
N=[1/0.01]+1=101
|an|<0.01, если n(101
* * *
an=1-1/n2
lim(1-1/n2)=1
n(+(
Для любого ?>0 ((1-1/n2)-1(1/? ( n>1/(?
N=[1/(?]+1
Лекция №3
Ведущая: Голубева Зоя Николаевна
Дата: среда, 13 сентября 2000 г.
Тема: Последовательности
Бесконечно малые последовательности
Последовательность аn называется бесконечно малой , это означает, что
предел этой последовательности после равен 0.
an – бесконечно малая ( lim an=0 то есть для любого ?>0 существует N, такое
что для любого n>N выполняется
n(+(
(an(0 (1/n(1/?( N[1/?]+1
Докажем, что lim1/n=0
n(+(
2) (n= sin(1/n). Докажем, что для любого ?>0 (sin(1/n)(0, следовательно
sin(1/n)1/arcsin? N=[1/arcsin?]+1. Докажем, что lim
sin1/n=0
n(+(
3) (n=ln(1+1/n)
n(0; 1/n((; 1+1/n(1
lim ln(1+1/n)=0
n(+(
Докажем (ln(1+1/n)(1/e?-1( N=[1/e?-1]+1
5) (n=1-cos(1/n)
lim(1-cos(1/n))=0
n(+(
Докажем (?>0 (1-cos(1/n)(1-? (считаем, что 01/arcos(1-?)
N=[1/arcos(1-?)]+1
Свойства бесконечно малой последовательности.
Теорема. Сумма бесконечно малой есть бесконечно малое.
(n(n(бесконечно малое ( (n+(n – бесконечно малое.
Доказательство.
Дано:
(n- бесконечно малое ( (?>0 ( N1:(n>N1 ( ((n(0 ( N2:(n>N2 ( ((n(N ( одновременно выполняется оба
неравенства:
((n(N
((n(0, положим ?=?1/2. Тогда для любого ?1>0 (N=maxN1N2 : ( n>N (
((n+(n(0, положим ?=(?1, так как (n и (n – бесконечно малое для этого
?>0, то найдётся N1: ( n>N ( ((n(N2 ( ((n(N = ((n(0 (N:(n>N ((n(n(0: (n(N ( (an((C
Зададим (?1>0; положим ?=?1/C; так как (n – бесконечно малая, то ?>0
(N:(n>N( ((n(0 (N: (n>N ( (an(n(=C?=?1 ( lim an(n=0( an(n – бесконечно малое
n((
Замечание: в качестве ограниченной последовательности можно
рассматривать const ( произведение постоянно.
Теорема о представление последовательности имеющий конечный предел.
lim an=a ( an=a+(n
n(+(
Последовательность an имеет конечный предел а тогда и только тогда, когда
она представлена в виде an=a+(n
где (n – бесконечно малая.
Доказательство:
lim an ( ( ?>0 (N:(n>N ( (an-a(N, то есть
(n - бесконечно малая
n(+(
an=a+(n что и требовалось доказать
Доказательство (обратное): пусть an=a+(n, (n – бесконечно малая, то есть
(n=an-a ( (?>0 (N: (n>N (
(((n(=(an-a(N1(bn(0
bn
0( (////////b(/////////) x
an/bn=an/bn-a/b+a/b=a/b+(ban-abn)/bbn=a/b+[b(a+(n)-
a(b+(n)]/b(b+(n)=a/b+(n/b(1+bn/b)
lim an/bn=a/b
n(+(
Лекция №4
Ведущая: Голубева Зоя Николаевна
Дата: понедельник, 19 сентября 2000 г.
Тема: Бесконечно большие последовательности .
аn=(-1)n – не имеет предел.
{bn}={1,1…}
{an}={-1;1;-1;1…} – предел не существует.
Бесконечно большие последовательности.
an=2n
[pic]
(N:(n>N ( an>?
bn=(-1)n2n
[pic]
(N:(n>N ( (bn(>?
cn=-2n
[pic]
(N:(n>N (cn<-?
Определение (бесконечно большие последовательности)
1) lim an=+(, если (?>0(N:(n>N ( an>? где ?- сколь угодно малое.
n((
2)lim an=-(, если (?>0 (N:(n>N ( an<-?
n(+(
3) lim an=( ( (?>0 (N:(n>N ( (an(>?
n(+(
Последовательностью имеющий конечный предел называют сходящимися. В
противном случае последовательность называют расходящимися. Среди них есть
последовательности, которые расходятся в бесконечность. О них мы говорим,
что они имеют бесконечный предел.
Доказательство:
an=2n
Берём (?>0; хотим 2n>?
n>log2?
N=[log2?]+1
Правило формирования обратного утверждения: нужно поменять местами значки (
и (, а знак неравенства на дополнительный.
Пример:
Утверждение lim an=a<( (a(R (?>0 (N(N:(n>N ( (an-a(0 (N(N:( n>N ( (an-a(0(N:(n>N ( (an-a(0 возьмем ?=1 ( (N:(n>N ( (an-a(<1
a-1N
Этому неравенству может быть не удовлетворять только первые N члены
последовательности.
N1=max{(a1(;(a2(;…(an(;(1+a(;(a-1(}
an(c, (n>N
Теорема (о единстве предела сходящейся последовательности).
Если (lim an=a <(, то а- единственное.
n(+(
Доказательство:(от противного)
Предположим, что ( b: lim an=b и b(a ?=b-a/2>0 для определенности пусть b>a
((N1:(n>N1( (an-a(N2 ( (an-b(-(b-a)/2
b-aa неверно. Аналогично
доказывается, что bN0) (1/(n – бесконечно большая
Доказательство:
1)an- бесконечно большая ( lim an=( ( для достаточно больших номеров n
an(0. Зададим любое сколько
n(+(
угодно малое ?>0, положим ?=1/?>0
Для ? (N1:(n>N1( (an(>?, то есть (an(>1/? N=max{N1;N0}
Тогда (n>N ( 1/(an(N0 зададим (?>0 положим ?=1/?>0
(N1:(n>N1( ((n(N ( 1/((n(=(, то есть 1/(n – бесконечно большая.
Основные теоремы о существование предела последовательности.
Теорема Вейрштрасса:
Пусть an- ограниченная и моннатонна. Тогда ( lim an=а<(
n(+(
Лемма. Среднее арифметическое чисел больше среднего геометрического.
Равенство достигается только если все числа равны.
-----------------------
По всем вопросам и по дальнейшему пополнению лекций обращаться на ящик
van_mo_mail@mtu-net.ru или на сотовый:
8-901-7271056 спросить Ваню(
x
[pic]
[pic]
[pic]
