Модифицированная модель Кейнса. Оценка качества уравнения

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Задача 1

В таблице приведены результаты измерения силы звука самолета (она обозначается и измеряется в децибелах (дб)) на различных расстояниях от точки взлета (расстояние обозначается через и измеряется в километрах):

Задание

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

2. Рассчитайте параметры линейной регрессии.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4. Оцените с помощью средней квадратической ошибки и средней ошибки аппроксимации качество уравнения.

5. Дайте с помощью среднего коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи фактора с результатом.

6. Оцените с помощью F-критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования.

7. Оцените статистическую значимость коэффициента регрессии и коэффициента корреляции.

8. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня.

9. Оцените полученные результаты, оформите выполненное задание в виде отчета.

Решение.

Построим поле корреляции (рис. 1). По расположению эмпирических точек можно предположить наличие линейной корреляционной зависимости между переменными и , т.е. можно принять гипотезу о линейной связи. Поэтому уравнение регрессии будем искать в виде линейного уравнения .

Рис. 1. Поле корреляции

регрессия корреляция статистический моделирование

Найдем оценки параметров и . Все расчеты представлены в таблице

Система нормальных уравнений для нахождения оценок параметров и имеет вид:

Уравнение линейной регрессии

Коэффициент регрессии говорит о том, что при увеличении расстояния от точки взлёта на 1 км сила звука самолета уменьшается в среднем на 0,318 дб.

Проверим правильность расчетов сравнением сумм .

.

Найдем коэффициент корреляции и коэффициент детерминации.

Коэффициент корреляции:

, где

;

.

Так как значение коэффициента по модулю больше 0,9, то это говорит о наличии весьма высокой связи между признаками.

Коэффициент детерминации:

.

Расчетная таблица.

Проверка .

Это означает, что 97,5% вариации силы звука самолета (y) объясняется вариацией фактора x - расстояния от точки взлёта (сила звука самолета на 97,5% зависит от расстояния от точки взлёта, и лишь на 2,5% зависит от факторов, не включенных в модель).

Найдем среднюю квадратическую ошибку и среднюю ошибку аппроксимации.

Средняя квадратическая ошибка:

Так как , то использование модели регрессии является целесообразным.

Средняя ошибка аппроксимации

Качество построенной модели оценивается как среднее, так как превышает 10%.

Найдем коэффициент эластичности:

Коэффициент эластичности говорит о том, что при увеличении фактора x (расстояния от точки взлёта) на 1% от уровня , т.е. на 0,988 км приведет к уменьшению результативного признака y (силы звука самолета) на 5,868% относительно уровня дб, т.е. на 0,31 дб.

Оценку статистической значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия составит:

Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы составляет . Так как , то уравнение регрессии признаётся статистически значимым.

Оценку статистической значимости коэффициента регрессии и коэффициента корреляции проведем с помощью t-статистики Стьюдента.

Определим стандартные ошибки :

Тогда

Табличное значение t-критерия для числа степеней свободы и уровня значимости составит .

Фактические значения t-статистики превосходят табличное значение:

,

Поэтому параметры b, r не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза.

Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10% от его среднего уровня.

Решение.

;

. .

.

Оценим полученные результаты.

Зависимость силы звука самолета от расстояния от точки взлёта определяется формулой:

.

При этом 97,5% вариации силы звука самолета (y) объясняется вариацией фактора x - расстояния от точки взлёта (сила звука самолета на 97,5% зависит от расстояния от точки взлёта, и лишь на 2,5% зависит от факторов, не включенных в модель).

Полученные параметры b, r являются статистически значимыми.

Качество построенной модели оценивается как среднее, так как средняя ошибка аппроксимации превышает 10%.

При увеличении фактора x (расстояния от точки взлёта) на 1% от уровня , т.е. на 0,988 км приведет к уменьшению результативного признака y (силы звука самолета) на 5,868% относительно уровня дб, т.е. на 0,31 дб.

Задача 2

Задание

1. Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицировано ли каждое из уравнений модели.

2. Запишите приведенную форму модели.

Модифицированная модель Кейнса:

где C - расходы на потребление, Y - доход, I - инвестиции, G - государственные расходы, t - текущий период, t-1 - предыдущий период

Решение.

Переменные - эндогенные переменные.

Переменная G - экзогенная переменная, переменная - предопределённая переменная (лаговая эндогенная).

Определяем, идентифицировано ли каждое из уравнений модели.

Число предопределённых переменных в системе равно .

Рассмотрим первое уравнение.

Число эндогенных переменных в уравнении равно: , число предопределённых переменных в уравнении равно: .

Проверяем соотношение: .

,

,

- уравнение сверхидентифицировано.

Рассмотрим второе уравнение.

Число эндогенных переменных в уравнении равно: , число предопределённых переменных в уравнении равно: .

Проверяем соотношение: .

,

,

- уравнение точно идентифицировано.

Рассмотрим третье уравнение.

Третье уравнение представляет собой тождество и идентификации не подлежит.

Приведённая форма модели - это система уравнений, в которой каждая эндогенная переменная есть линейная функция от всех предопределённых переменных модели (экзогенных и лаговых). То есть в приведённой форме модели в общем случае эндогенные переменные выражены через предопределённые переменные.

Выразим эндогенные переменные через предопределённые переменные путём преобразования уравнений.

Подставляем первое и второе уравнения системы в третье и преобразовываем его:

Полученное выражение подставляем в первое и второе уравнения системы и получаем приведенную форму исходной модели: