Моделювання екзотичних опціонів

/

Курсова робота

на тему: 'Моделювання екзотичних опціонів'

Зміст

Вступ

Розділ 1. Основні поняття про стохастичні процеси

1.1 Стохастичний (Випадковий) процес

1.2 Вінерівський процес

Розділ 2. Моделі ціноутворення

2.1 Альтернативи моделі Блека-Шоулза

2.1.1 Модель дисперсії з постійною еластичністю

2.1.2 Модель стрибкоподібної дифузії Мертона

2.1.3 Модель гамма-дисперсія

2.2 Модель стохастичної волатильності

2.3 Модель передбачуваної волатильності

Розділ 3. Опціони. Метод Монте-Карло

3.1 Ванільні опціони та модель Блека-Шоулза

3.2 Проблема деривативів та бар'єрні опціони

3.3 Метод Монте-Карло і американські опціони

3.3.1 Метод найменших квадратів

3.3.2 Параметризація кордону виконання

Розділ 4. Процентні деривативи та опціони

4.1 Процентні деривативи: стандартні ринкові моделі

4.1.1 Облігаційні опціони

4.1.2 Процентні опціони 'кеп' і 'фло'

4.1.3 Європейські свопціони

4.2 Оцінка премії європейських опціонів на індекси та ф'ючерсні контракти

4.3 Хеджингові процентні деривативи

4.4 Грецькі букви

Висновок

Список використаної літератури

Вступ

В сучасному суспільстві використовуються цінні папери, як потужний інструмент підвищення дохідності операцій. Розрізняють звичайні інструменти, які володіють стандартними, докладно описаними властивостями і є предметом активної торгівлі. Їхні ціни або волатильність регулярно котирується біржами або брокерами. У той же час однією з найбільш привабливих особливостей позабіржового ринку є наявність на ньому великої кількості незвичайних (екзотичних) інструментів, розроблених фінансистами. Цими інструментами є екзотичні опціони.

Незважаючи на те що екзотичні цінні папери, як правило, утворюють відносно невелику частину інвестиційного портфеля, вони представляють великий інтерес для інвестиційних банків, оскільки їх прибутковість набагато вище, ніж у звичайних опціонів.

В роботі запропоновано безліч моделей, що представляють собою альтернативу геометричному броунівському руху. Вони дозволяють успішно вирішити проблему оцінки екзотичних опціонів за допомогою методів оцінки звичайних опціонів. Ці альтернативні процеси описують ціну активу, краще апроксимують вартість звичайних опціонів, ніж модель геометричного броунівського руху, і, отже, підвищується надійність оцінки екзотичних опціонів.

Екзотичні опціони з'явилися з багатьох причин. Іноді вони використовуються виключно для хеджування, іноді - для подолання труднощів, викликаних податковими, бухгалтерськими, юридичними чи управлінськими проблемами. В одних ситуаціях вони розробляються у відповідності з точкою зору фінансиста компанії на майбутнє зміни певного ринкового показника, а в інших - вони винаходяться інвестиційними банками, які прагнуть підвищити свою привабливість.

Лише десятиліття тому усе, що було стандартним американським чи європейським опціоном, облігацією чи валютою належало до категорії екзотичного. Але ринок рухається. І вчорашні екзотичні опціони стають стандартними 'ванільними' опціонами. Тепер різні ринки можуть по-різному визначати, що для них є екзотичним.

То що ж таке екзотичні опціони? Один із визначень лежить в математичній площині: 'Екзотичні опціони - це опціони, які не можна оцінити за допомогою однофакторної моделі'. Інші стверджують, що рідкість підписання і складність виплат є двома основними ознаками екзотичних опціонів. Отже, при збільшенні від попиту й оборотності екзотичний опціон може перейти в стандартний.

Популярним альтернативним визначенням екзотичних опціонів є легкість продажу. Якщо дилер стикається з труднощами просування свого продукту, його продукт може бути екзотичним.

Екзотичні опціони звертаються над ринком близько 30 років, а термін 'екзотичний' з'явився всього 7 років тому. У 60-ті роки перші бар'єрні опціони було винесено на фінансовому ринку, їх називали 'boutique' чи 'designer'.

Створення ринку екзотичних опціонів було процесом неминучим, так як екзотичні опціони за своєю природою гнучкіші фінансові інструменти, ніж прості опціони. Поява попиту на нові модифіковані інструменти була лише питанням часу.

До 1973 р. торгівля опціонами здійснювалася виключно на вільний ринок, а після 1973 р. біржові опціони швидко завоювали ринок. Істотним поштовхом до розвитку біржової торгівлі стала теорія оцінки премії опціону, джерело якої в дослідженні Блека і Шоулза. У 80-x роках нових умов, які диктуються складними стратегіями страхування портфеля, сформували попит на фінансові продукти, які давали можливість отримати бажаний профіль грошового потоку. Інакше кажучи, ці фінансові продукти мали функцію виплат, котру можна змінити за бажанням покупця. Спочатку, подібні виплати будувалися синтетично з допомогою лінійної комбінації з виплат простих опціонів, але такі побудови виявлялися за дорогими. Єдиний вихід був у фінансовому управлінні. У стислі терміни над ринком з'явилося понад десять екзотичних опціонів.

Коли дивитися на нові продукти з погляду хеджування, то, як засвідчив досвід, вони дають можливість отримувати гарантовані доходи у нестійких ринкових умовах та створює додаткові доходи під час низьких відсоткових ставках. Найчастіше, нові продукти відрізняються як дивовижною гнучкістю, а й відносно низькою ціною, проти комбінацією з простих опціонів.

Курсова робота складається з чотирьох розділів. У першому розділі 'Основні поняття про стохастичні процеси' описано стохастичний(випадковий), вінерівський процеси. У другому розділі 'Моделі ціноутворення' наведено різні моделі для екзотичних опціонів, , альтернативи моделі Блека-Шоулза. У третьому 'Опціони. Метод Монте-Карло' досліджено проблему деривативів та бар'єрні опціони, ванільні опціони та модель Блека-Шоулза, опціони двох корельованих активів, метод Монте-Карло і американські опціони, метод найменших квадратів. У четвертому розділі 'Процентні деривативи та опціони' описано облігаційні опціони, процентні опціони 'кеп' і 'фло', європейські свопціони, хеджингові процентні деривативи, зроблено оцінку премії європейських опціонів на індекси та ф'ючерсні контракти, розглянуто грецькі букви.

Розділ 1. Основні поняття про стохастичні процеси

1.1 Стохастичний (Випадковий) процес

Якщо значення змінної непередбачувано змінюються з часом, кажуть, що вона підпорядковується стохастичному процесу (випадковий процес). Розрізняють стохастичні процеси з дискретним і неперервним часом. Стохастичний процес з дискретним часом виникає, коли значення змінної змінюються лише у фіксовані моменти часу. Стохастичний процес з безперервним часом описує поведінку змінної, значення якої можуть змінюватися в будь-який момент. Крім того, стохастичні процеси утворюють дві категорії: неперервні змінні (неперервної змінної) і дискретні змінні (дискретної змінної). У першому випадку змінна може приймати будь-яке значення з певного діапазону, а в другому - лише значення дискретні.

Розглянемо стохастичний процес з неперервним часом і неперервної змінної, що описує зміну ціни акції. Щоб навчитися оцінювати опціони і складніші деривативи, необхідно добре розуміти особливості цього процесу. Слід підкреслити, що на практиці ми не можемо інтерпретувати зміну ціни акції за допомогою стохастичного процесу з безперервним часом і безперервної змінної. Ціна акції являє собою дискретну величину (наприклад, кількість центів), а його зміни реєструються тільки в момент відкриття біржі. Незважаючи на це, стохастичний процес з безперервним часом і безперервної змінної являє собою вельми корисну модель.

Марківська властивість

Марківський процес - це різновид стохастичного процесу, в якому майбутнє значення змінної залежить тільки від її безпосередньо попереднього значення. Всі інші значення змінної ігноруються. Як правило, вважається, що ціна акції описується марківським процесом. Припустимо, що в даний момент ціна акції компанії IBM рівна 100 дол. Тоді для передбачення її майбутнього значення не використовується ціна, яка зафіксована тиждень, місяць чи рік тому. Єдиним значенням, котрої впливає на майбутнє, є поточна ціна, тобто 100 дол. Прогнози майбутніх значень не є абсолютно точними і повинні бути виражені в термінах розподілу ймовірностей. Марківська властивість означає, що розподіл ймовірностей ціни акції в конкретний момент часу в майбутньому не залежить від шляху, який ця ціна пройшла в минулому.

Марківська властивість ціни акції узгоджується зі слабкою формою ринкової ефективності. Вона стверджує, що поточна ціна акції вже містить у собі всю інформацію про його попередні значення. Якби ця умова не виконувалася, то, інтерпретуючи графіки минулих років, фахівці з технічного аналізу дослідили б доходи, що перевищують середній рівень. Однак насправді у нас немає майже ніяких підстав стверджувати, що це відбувається насправді.

Саме конкуренція, що панує на ринку, гарантує виконання слабкого принципу ринкової ефективності. Ціну акції уважно відстежують тисячі інвесторів. Будь-яка спроба отримати прибуток створює ситуацію, в якій ціна акції, виміряна в будь-який момент часу, відображає інформацію про її минулі значення. Припустимо, що, аналізуючи минулі графіки, інвестори виявили конфігурацію, яка дозволяє з ймовірністю 65% передбачати подальше зростання ціни акції. Отже, виявивши таку конфігурацію, інвестори поспішать купувати акції, і попит на них негайно виросте. Це відразу спричинить за собою зростання поточної ціни акції, і спостережуваний ефект, а з ним і можливість отримати прибуток зникнуть.

Стохастичні процеси з неперервним часом

Розглянемо змінну, яка підпорядковується марківському стохастичному процесу. Припустимо, що її поточне значення дорівнює 10, а зміна протягом року описується функцією , де - нормальний розподіл ймовірностей з математичним сподіванням і стандартним відхиленням . Який розподіл ймовірностей описує зміна цієї змінної протягом двох років?

Зміна змінної через два роки описується сумою двох нормальних розподілів з нульовими математичними сподіванням і поодинокими стандартними відхиленнями. Оскільки змінна є марковською, ці розподіли не залежать один від одного. Додаючи два незалежні нормальні розподіли, ми отримаємо нормальний розподіл, математичне очікування якого дорівнює сумі математичних сподівань кожного з доданків, а дисперсія - сумі дисперсій їх. Таким чином, математичне очікування змін аналізованої змінної протягом двох років дорівнює нулю, а дисперсія - 2,0. Отже, зміна значення змінної через два роки є випадковою величиною з розподілом ймовірностей .

Розглянемо далі зміну змінної за шість місяців. Дисперсія через трансформаційних змін цієї змінної протягом одного року дорівнює сумі дисперсій цих змін протягом перших і других шести місяців. Припустимо, що ці дисперсії однакові. Тоді дисперсія змін змінної на протязі шести місяців дорівнює 0,5, а стандартне відхилення - . Отже, розподіл ймовірностей зміни змінної протягом шести місяців рівний .

Аналогічні міркування дозволяють довести, що зміна змінної протягом трьох місяців має розподіл . Взагалі кажучи, зміна змінної протягом тимчасового періоду, що має довжину , описується розподілом ймовірностей тимчасового - . Зокрема, зміна змінної за дуже короткий проміжок часу, що має довжину , описується розподілом ймовірностей .

Квадратні корені у цих виразах можуть здатися дивними. Вони виникають через те, що при аналізі марківського процесу дисперсії змін змінної в послідовні моменти часу додаються, а стандартні відхилення - ні. У нашому прикладі дисперсія змін змінної протягом одного року дорівнює 1,0, тому дисперсія змін цієї змінної протягом двох років дорівнює 2,0, а через три роки - 3,0. У той же час стандартні відхилення змін змінних через два і три роки рівні у і відповідно. Строго кажучи, ми не повинні говорити, що стандартне відхилення змін змінної за один рік дорівнює 1,0 на рік. Слід говорити, що воно дорівнює 'кореню квадратному з одиниці на рік'. Це пояснює, чому величину невизначеності часто вважають пропорційної квадратному кореню із часу.

1.2 Вінерівський процес

Процес, якому підпорядковується розглянута вище змінна, називається вінерівським. Він являє собою окремий випадок марківського стохастичного процесу, коли математичне очікування змін змінної дорівнює нулю, а їх дисперсія дорівнює 1,0. Цей процес широко використовується у фізиці для опису руху матеріальної точки, яка бере участь у великій кількості зіткнень з молекулами (це явище називається броунівським рухом).

Геометричний броунівський рух (GBM) -- випадковий процес з неперервним часом, логарифм якого являє собою броунівський рух (вінерівський процес). GBM застосовується з метою моделювання ціноутворення на фінансових ринках і використовується переважно в моделях ціноутворення опціонів, оскільки GBM може приймати будь-які додатні значення. GBM є розумним наближенням до реальної динаміки цін акцій, не враховує, однак, рідкісні події (викиди).

Випадковий процес є GBM, якщо він задовольняє наступне стохастичне диференціальне рівняння:

(1.1)

де є броунівський рух, а ('параметр зміщення') і ('параметр волатильності') постійні.

Для довільного початкового значення дане рівняння має розв'язки

(1.2)

що є логнормально розподілена випадкова величина з математичним очікуванням

(1.3)

і дисперсією

(1.4)

Коректність рішення може бути встановлена з використанням леми Іто. Випадкова величина розподілена нормально з математичним сподіванням і дисперсією , що означає, що прирости GBM нормальні, що дає можливість говорити про 'геометричність' процесу.

Говорячи формально, змінна підпорядковується вінерівському процесу, якщо вона має такі властивості.

ВЛАСТИВІСТЬ 1. Зміна протягом малого проміжку часу задовільняє рівність

,(1.5)

де - випадкова величина, що підкоряється стандартизованому нормальному розподілу .

ВЛАСТИВІСТЬ 2. Величини на двох малих проміжках часу є незалежними.

З першої властивості випливає, що величина має нормальний розподіл, у якого математичне сподівання дорівнює нулю, стандартне відхилення дорівнює , а дисперсія дорівнює . Друга властивість означає, що величина підпорядковується марківському процесу.

Розглянемо збільшення змінної протягом відносно тривалого періоду часу . Цю зміну можна позначити як - . Його можна представити у вигляді суми збільшення змінної протягом відносно малих проміжків часу, що мають довжину . Тут

Отже,

де - випадкові величини, що мають розподіл ймовірностей . З другої властивості вінерівського процесу випливає, що величини є незалежними один від одного. З виразу (1.6) випливає, що величина має нормальний розподіл, математичне сподівання якого дорівнює нулю, дисперсія дорівнює , а стандартне відхилення - . Ці висновки узгоджуються з результатами, зазначеними вище.

Розділ 2. Моделі ціноутворення

2.1 Альтернативи моделі Блека-Шоулза

Модель Блека-Шоулза побудована на припущенні, що ціна активу неперервно змінюється, а її майбутні значення мають логнормальні розподіли. Однак існує велика кількість альтернативних процесів,які можуть замінити цю гіпотезу. Частково все-таки можна рахувати, що ціна активу неперервно змінюється,але не підкоряється законам геометричного броунівського руху. Крім того, можна припустити, що і в цілому ціна активу вимірюється неперервно, але в деякі моменти часу відбуваються стрибки. Ще одною альтернативною являється розглядаються приклади стохастичних процесів всіх трьох типів. Модель, в рамках якої ціна активу змінюється неперервно, називається дифузійною(diffusion model). Модель, в якій ціна активу в цілому змінюється неперервно, але інколи відчуває стрибки, називається змішаною моделлю стрибкоподібної дифузії (mixed jump-diffusion model). Модель, в якій ціна активу постійно відчуває стрибки, називається стрибкоподібною (pure jump model). Всі ці процеси відносяться до категорій процесів Леві(Levy Processes).

2.1.1 Модель дисперсії з постійною еластичністю

Модель дисперсії з постійною еластичністю( модель CEV) побудована на припущенні, що ризик-нейтральний процес, який описує поведінку ціни акції S, має вид

де r - без ризикова процентна ставка, - дивідендна дохідність, - вінерівський процес, - параметр волатильності і - позитивна константа. Якщо , модель CEV співпадає з моделлю геометричного броунівського руху. Якщо , то при зменшенні ціни акції її волатильність збільшується. Це створює розподіл ймовірностей, який зміщений вправо. Якщо ж , то при збільшенні ціни актива її волатильність зростає, створюючи розподіл ймовірностей з кращим лівим хвостом. Це відповідає 'усмішці волатильності',в якій дана волатильність являється зростаючою функцією, залежною від ціни акції. Такий тип волатильності інколи спостерігається у ф'ючерсних опціонів. Формули для обчислення вартості європейських опціонів 'колл' і 'пут' [1] за моделлю CEV мають наступний вигляд.

Якщо і (2.2)

Якщо , де

а - інтегральна ймовірність того, що випадкова змінна з нецентральним -розподілом, параметром не центральності і степенями вільності менше числа .

Модель дисперсії з постійною волатильністю особливо корисна для оцінки екзотичних опціонів на звичайні акції. Мінімізуючи середньоквадратичне відхилення модельних цін від ринкових, можна знайти параметри цієї моделі, які дозволяють максимально точно апроксимувати вартість звичайних опціонів.

2.1.2 Модель стрибкоподібної дифузії Мертона

Мертон запропонував модель, в якій ціна активу змінювалась неперервно, але час від часу відчувала стрибки. Введемо наступні позначення.

середня кількість стрибків на протязі року;

середня величина стрибка, представлена у вигляді процентів від ціни активу.

Припускається, що величина стрибка узгоджена з розподілом ймовірності, прийнятим в моделі. Ймовірність стрибка на протязі інтервалу довжиною рівна . Отже, середня величина швидкості росту ціни активу під час стрибка рівна . Ризик-нейтральний процес, котрий описує поведінку ціни активу, має вигляд

де - вінерівський процес, - пуассонівський процес, який породжує стрибки, а - волатильність геометричного броунівського руху. Процеси і припускаються незалежними один від одного.

Важливим варіантом вважається модель Мертона, в якій логарифм величини стрибка має нормальний розподіл. Припустимо, що стандартне відхилення нормального розподілу рівне . Мертон довів, що ціну європейського опціону можна обчислити по формулі

де . Змінна являє собою ціну опціону, обчислену по формулі Блека-Шоулза, коли дивідендна дохідність активу рівна , рівень зміни дорівнює

а без ризикова процентна ставка рівна

де

Як і моделі дисперсії з постійною еластичністю, шукані параметри моделі повинні мінімізувати середньоквадратичне відхилення модельних цін від ринкових.

2.1.3 Модель гамма-дисперсія

Прикладом моделі, в якій ціна активу змінюється тільки стрибкоподібно, являється модель гамма-дисперсії. В цій моделі вводиться змінна , яка представляє собою величину, на яку за час змінюється змінна, яка підкоряється гамма-процесу з одиничним математичним сподіванням і дисперсією, рівної . Гамма-процес являється лише стрибкоподібним процесом, в якому малі стрибки проявляються дуже часто, а великі - лише інколи. Щільність ймовірності змінної має вигляд

де - гамма-функція.

Введемо наступні позначення: - ціна активу в момент , - поточна ціна активу, - без ризикова процентна ставка, а - дивідендна дохідність. В ризик-нормальному світі величина в рамках моделі гамма-дисперсії має нормальний розподіл відносно змінної . Її математичне сподівання дорівнює

а умова стандартне відхилення -

Модель гамма-дисперсії має три параметра: та Параметр являє собою дисперсію гамма-процесу, - його волатильність, а - параметр асиметрії. При функція вважається симетричною, при вона має від'ємну асиметрію, а при - додатню.

Розподіл в моделі гамма-дисперсії має більш складні хвости, ніж розподіл, отриманий для геометричного броунівського руху.

Одна із можливих інтерпретацій розподілу гамма-дисперсії виникає, коли параметр представляє собою швидкість надходження інформації протягом періоду часу довжиною . Якщо величина велика, то в систему надходить великий об'єм інформації, і вибірка, яку ми отримаємо на другому етапі алгоритму, буде мати відносно великі математичне сподівання і дисперсію. Якщо величина мала, то в систему надходить мало інформації, і відповідна вибірка буде мати відносно малі математичне сподівання та дисперсію. Параметр представляє собою одиницю вимірювання часу, а величину інколи називають одиницею вимірювання економічного часу чи часу, погодженого з потоком інформації. Модель гамма-дисперсії породжує -образну форму 'усмішка волатильності', при чому 'усмішка' не завжди являється симетричною. Вона має особливо яскраву форму для коротких термінів погашення і 'зникає вдалині' при довгих термінах. Цю модель можна використовувати як для оцінки опціонів на звичайні акції,так і для оцінки валютних опціонів.

2.2 Модель стохастичної волатильності

В основі моделі Блека-Шоулза лежить припущення, що волатильність являється постійною,а на практиці вона залежить від часу. Модель гамма-дисперсії враховує ту особливість за допомогою параметра . Малі значення параметра відповідають низькій швидкості надходження інформації і слабкої волатильності, а великі значення параметра - високій швидкості надходження інформації і сильної волатильності. Альтернативною моделлю гамма-дисперсії являється модель, в якій процес, що описує поведінку волатильності, задається явно. Припустимо для початку, що волатильність в моделі геометричного броунівського руху описується відомою функцією, залежної від часу. Тоді ризик-нейтральний процес, який описує поведінку ціни акції, має наступний вигляд.

Таким чином, якщо дисперсія рівна середньому рівню зміни на протязі терміну дії опціона, формули Блека-Шоулза виявляються коректними. Нагадаємо, що дисперсія рівна квадрату волатильності. Припустимо, що протягом одного року волатильність на протязі перших шість місяців була рівною 20%, а на протязі наступних шести місяців - 30%. Отже, середня дисперсія рівна

+

Тепер формули Блека-Шоулза потрібно використовувати, враховуючи дисперсію рівною 0,0065. Випливає, що волатильність рівна в процентах -

Формула (2.15.) заснована на припущенні, що миттєву волатильність активу можна точно передбачити. На практиці волатильність описується стохастичним процесом. Це пробудило декотрих дослідників розробити кілька моделей, які містять дві стохастичні змінні: ціну активу і її волатильність.

Одна з моделей стохастичної волатильності при ризик-нейтральній поведінці ціни активу виглядає наступним чином.

де і - константи, а і - вінерівські процеси. Змінна в цій моделі представляє собою дисперсію ціни активу. Вона має зміщення, який зносить її до рівня зі швидкістю

Халл і Уайт показали, що якщо волатильність має стохастичний характер, але не корелює з ціною активу, ціна європейського опціону рівна ціні Блека-Шоулза, потрібно взяти інтеграл за середньою дисперсією протягом терміну дії опціону. Таким чином, ціна європейського опціону рівна

де - середня дисперсія, - ціна Блека-Шоулза, представлена у вигляді функції, залежної від , а - щільність ймовірних значень в ризик-нейтральних умовах. За допомогою цього результату можна довести, що модель Блека-Шоулза переоцінює опціони з програшем і великим програшем. Ця модель узгоджується з поведінкою передбачуваної волатильності, характерною для валютних опціонів.

Моделі стохастичної волатильності можна використовувати для оцінки як звичайних, так і екзотичних опціонів. Для опціонів, термін дії котрих менше одного року, вплив стохастичної волатильності на ціну має відносно невелику абсолютну величину(хоча в процентному відношенні для опціонів з великим програшем ця величина може стати досить великою). По мірі збільшення терміну дії опціону ця величина зростає.

2.3 Модель передбачуваної волатильності

Параметри розглянутих вище моделей вибирались так,щоб правильно апроксимувати ціни звичайних опціонів і будь-який заданий момент часу. Але іноді фінансові організації віддають перевагу не обмежуватися цим і будують моделі, які дають точні оцінки простих опціонів. В 1994 році Дерман, Кані, Дюпіре і Рубінштейн розробили модель передбачуваної волатильності, чи модель передбачуваного дерева. Ця модель дозволяє точно вичислити текучі ціни всіх європейських опціонів незалежно від форми поверхні волатильності.

Ризик-нейтральний процес, який описує поведінку ціни активу в цей момент, має вигляд

де - миттєва форвардна процентна ставка за контрактом, термін дії котрого в момент , а - дохідність активу, представлена у вигляді функції, залежної від часу. Волатильність залежить від ціни і часу . Вона вибирається так,щоб ціни всіх європейських опціонів, обчислені за допомогою цієї моделі, співпали зі спостережуваними. Як показали Дюпіре, Андерсен і Бразертон-Реткліфф, функцію можна обчислити за аналітичною формулою:

де - ринкова ціна європейського опціону 'колл' з ціною виконання і терміном дії . Якщо на ринку реєструється велика кількість цін європейських опціонів , ця формула дозволяє оцінити функцію .

Андерсон і Бразертон-Реткліфф реалізували свою модель за допомогою формули (2.19) в поєднанні з неявним кінцево-різницевим методом. Альтернативний підхід, метод передбачуваного дерева, був запропонований Дерманом, Кані і Рубінштейном. Він передбачає побудову дерева, який відображає зміну ціни активу і узгодженого з ринковими цінами опціонів.

На практиці модель передбачуваної волатильності щоденно калібрується за цінами простих опціонів. Нагадаємо, що ціль цієї моделі - оцінка екзотичних опціонів, узгоджена з простими опціонами. Прості опціони задають ризик-нейтральний розподіл ймовірних цін активу у всі майбутні моменти часу. З цього слідує, що модель передбачуваної волатильності повинна породжувати правильний ризик-нейтральний розподіл ймовірних цін 'все або нічого' чи 'актив або нічого'), повинні правильно оцінюватись моделлю передбачуваної волатильності. Проте ця модель може неправильно оцінювати спільний розподіл ймовірних цін активу і різні моменти часу. Це значить, що екзотичні опціони, наприклад складні чи бар'єрні, можуть оцінюватись неправильно.

Розділ 3. Опціони. Метод Монте-Карло

3.1 Ванільні опціони і модель Блека-Шоулза

Ціна опціону неповного диференціального рівняння. У цьому розділі ми введемо (Блека-Шоулза) неповні диференціальні рівняння, які підкоряються опціонимі контрактам одного активу. Тут ми будемо припускати, що функція є вартість фінансового опціону, і що ціна базового активу,, наступним GBM (геометричний броунівський рух). Якщо позначити значення фінансового деривативу через то її зміна,, за інтервал часу визначається за формулою:

Дискретизована версія цього рівняння:

де часовий інтервал тепер і зміна похідного значення є .

Якщо припустити, що ціни активу,, наступним GBM у нас також є:

де є постійним зносом та визначення інших символів, як раніше.

Розглянемо тепер портфель, що складається з -1 похідною і одиниць основного цінного паперу. Іншими словами, ми маємо короткострокову (яка продається) похідну на актив і цінного паперу (те саме) основного активу.

Значення портфеля, , тому:

і зміни, , у вартості портфеля протягом довгого часу складає:

Підставляючи. (3.1) і (3.2) в рівняння (3.4) отримуємо:

Скорочуючи члени, ми отримуємо:

Якщо це портфель буде рости на безризикову процентну ставку , маємо:

Тоді маємо:

Підсталяючи , отримуємо:

Після перестановки:

який є Блека-Шоулза неповного диференціального рівняння.

Розглянемо тепер пут і колл опціони на тому ж базовому активі. Якщо ми позначимо значення європейського опціону колл і у європейського колл, то ми маємо наступні рівняння:

Якщо ми в даний час запишемо лінійну комбінацію пут і колл опціонів, , де обидва і константи, то також підпорядковується рівнянню Блека-Шоулза:

Тепер ми доведемо, що задовольняє рівняння (3.12).

Спочатку ми перепишемо рівняння (3.12), як:

та використовувати такі результати елементарних обчислень:

Якщо ми позначимо ліву частину рівняння (3.12) за , то ми маємо:

Скористаємося тепер формулами (3.10) і (3.11) для заміни значень в фігурних дужках у формулі (3.14), і ми отримуємо:

який знаходиться весь в правій частині рівняння (3.12), так що ми довели результат. Слід зазначити, що цей результат справедливий і для американського опціону, тому що вони також підпорядковуються рівнянню Блека-Шоулза.

Отриманий результат може бути узагальнений портфелем, що складається з активів опціонів. Тут ми маємо:

де представляє значення -ї похідної і - це число одиниці -ї похідної. Щоб довести, що супроводжує Блека-Шоулза рівняння, ми просто розділимо портфель по секторах, чиї опціони залежать від базового активу. Потім ми як і раніше, показуєм, що значення кожного окремого сектора підкоряється Блека-Шоулза рівнянню і, отже, значення повного портфеля (сума значень всіх секторів) підпорядковується Блека-Шоулза рівнянню теж. Слід зазначити, що цей результат відноситься як до американських та європейсьихі опціонів, і це не має значення, чи у нас купилені чи продані опціони.

Активи опціону неповного диференціального рівняння

У цьому розділі ми виведемо активи (Блека-Шоулза) диференціального рівняння, тобто підкоряються опціонні контракти на активів. Будемо використовувати -мірний варіант леми Іто, щоб знайти процес супроводжується значенням активу фінансової похідної. Ми будемо позначати значення цієї похідної , де є -елементний стохастичний вектор, що містить ціни на базові активи, , . Якщо припустити, що супроводжується -мірним GBM, то зміна значення похідної, , має вигляд:

Дискритизуюча версія цього рівняння:

де часовий інтервал тепер і зміна в диференціальному значенні є .

Розглянемо тепер портфель, що складається з -1 похідною і одиниць -го основного складу. Іншими словами, ми маємо коротку похідну,яка залежить від ціни, , , базових активів, і має одиниць-го активу. Вартість портфеля, , тому:

і зміни, , у вартості портфеля протягом довгого часу складає:

З випадкових величин , , супроводжується -мірним GBM, зміна в -го активу ціни,, за проміжок часу т визначається за формулою:

Де

Підставляючи рівняння (3.17) і (3.20) в рівняння(3.19), ми отримуємо:

Скорочуючи доданки, ми отримаємо:

Якщо цей портфель буде рости на безризикову процентну ставку , то матимемо:

З рівняння (3.22) маємо:

Підсталяючи , отримуємо:

Перебудовуючи рівняння (3.24) ,маємо:

де є n-вимірне Блека - Шоулза часткове диференціальне рівняння.

Модель Блека-Шоулза

Модель Блека-Шоулза складається з двох активів: безризикового рахунку грошей і власного капіталу. Це може бути показано в якості наступного двовимірного рівняння Іто:

де є броунівським рухом (без дрейфу) в міру , де .

Будемо позначати момент часу - і момент часу опціону зрілості - . Рахунок грошового ринку має цінність d в момент часу і в момент часу .

Розглянемо тепер процес, який застосовує відносне значення

Використовуючи правило Іто, підсталяємо і у рівняння броунівського руху з одного джерела випадковості:

Будемо мати:

де .

Посилаючись на теорему Гірсанова, ми можемо вибрати ймовірності міри Q такі, що:

Зробимо заміну :

Підсталяючи у формулу (3.27) маємо:

що спрощується до:

Рівняння (3.30) означає, що процес є мартингальним при ймовірності міри .

Заміна в рівнянні (3.26) із значенням у формулі (3.28) дає:

Таким чином, в ризику нейтральна міра при динаміці є:

Порівняння рівняння (3.31) з оригінальною формулою (3.26), ми бачимо, що перехід від реальної міри ризику, нейтральна міра полягає просто в заміні на і на

Тепер ми можемо розв'язати рівняння (3.31) з використанням результатів наведених у формулі ми маємо:

де є ціна активу в поточний час , і .

Форвардна ціна зі строком погашення , позначається , є отримаємо:

Використовуючи формулу , маємо:

Ми хочемо отримати поточну ціну ванільного європейського опціону зі страйком ціна , який дозріває в майбутньому часі , і, таким чином, тривалість Спочатку ми отримаємо вираз для значення європейського опціону колл, а потім значення відповідного європейського пут.

Посилаючись на формулу ми маємо:

Замінюючи , і маємо:

і так позначають значення колл-опціона тоді отримуємо:

Як видно з формули. (36), що вартість європейського опціону колл є очікуване значення виграшу опціону при настанні строку погашення, дисконтованих до поточної часу з безризиковою процентною ставкою .

Це означає, що вартість опціону може бути записана як:

де ) є функція щільності ймовірності .

Замість того, інтегруючи по ми будемо оцінювати (3.37) за допомогою змінної З рівняння (3.33), ми знаємо, що функція щільності ймовірності є:

і тому значення опціону є:

де ми маємо використовували заміну Нижня межа у формулі (3.39) відповідно в рівнянні (3.37) знаходиться , що дає нижня межа

Інтеграл у формулі (3.39) обчислюється, розділивши її на дві частини:

Для оцінки цих інтегралів ми будемо використовувати той факт, що одномірна кумулятивна нормальна функція є:

За симетрії ми маємо і

Розглянемо спочатку ., який легший з двох інтегралів.

Якщо ми візьмемо тоді Отже

де нижня межа інтегралу дорівнює

Тому маємо:

Розглянемо тепер інтеграл

Зміна порядку підінтегральної:

Розширення умов в експоненті:

Результат такий:

Підставляючи рівняння (45) в підінтегральне рівняння (44) маємо:

Інтеграл тому може бути виражений таким чином:

Якщо ми замінимо , тоді Отже

де нижня межа інтегралу дорівнює

Тому маємо:

Тому значення європейського опціону колл є:

що дає звичайна форма формула Блека-Шоулза для європейського опціону колл, як:

Щоб отримати деяке уявлення про значення цього рівняння, ми перепишемо його в наступному вигляді:

Термін є ймовірність того, що можливість буде реалізована в ризик-нейтральному світі, щоб є ціною помноженої на ймовірність ціни, яка буде оплачена. Термін є очікуваним значенням змінної в ризик-нейтральному світі, яке дорівнює , якщо , а решта - нулю.

Відповідну формулу для опціону пут можна показати, використовуючи пут колл парності:

або, що еквівалентно, використовуючи ,маємо:

3.2 Проблема деривативів та бар'єрні опціони

Деривативи, залежні від передісторії, - це похідні фінансові інструменти, виграш котрих залежить від всієї траєкторії ціни активу, а не тільки від іі останнього значення. Прикладами деривативів, залежних від передісторії, являються азіатські опціони і опціони 'Lookback'. Виграш азіатського опціону залежить від середньої ціни базового активу. В свою чергу, ціни опціону ' Lookback ' залежить від мінімальної і максимальної ціни. Якщо аналітичні формули не дозволяють оцінювати вартість опціонів, залежних від передісторії, можна застосувати метод Монте-Карло. Вибіркову вартість деривативу можна обчислити, попередньо згенерувавши випадкову траєкторію ціни активу в ризик-нейтральних умовах, обчисливши виграш і зробивши дисконт з врахуванням без ризикової процентної ставки. Щоб отримати оцінку вартості деривативу, необхідно обчислити велику кількість вибіркових значень вартості, а потім усереднити їх.

Остання проблема, пов'язана зі застосуванням методу Монте-Карло, полягає в тому, що для досягнення потрібної точності необхідно витратити неприйнятно велику кількість обчислювального часу. Крім того, за допомогою цього методу важко оцінювати американські деривативи, залежні від передісторії (деривати , які допускають дострокове виконання). Метод біноміального дерева для обчислення вартості декотрих деривативів, залежних від передісторії дозволяє оцінити американські деривативи , при чому його ефективність при оцінці аналогічних європейських опціонів вище ефективності методу Монте-Карло.

Для застосування цієї процедури необхідно виконання двох вимог.

1. Виграш деривативу повинен залежати від єдиної функції , який описує траєкторію базового активу.

2. Повинна існувати можливість обчислювати значення функції в момент за значенням функції в момент і ціни базового активу в момент .

Бар'єрний опціон

Бар'єрний опціон -- це опціон, виплата якого залежить від того, чи досягла ціна базового активу деякого рівня за певного періоду часу, чи ні.

Відповідний ціновий рівень може розглядатися як бар'єр, який 'включає' опціон, або 'виключає'. Першому випадку відповідає клас бар'єрних опціонів knock-in, другому -- knock-out.

Відмінність опціону knock-out від простого опціону у тому, що коли базовий актив сягає певного бар'єра, опціон перестає існувати. Що стосується опціону knock-out 'колл' бар'єр лежить нижче ціни виконання. Якщо опціон перестає існувати, то власник залежно від умов контракту або отримує нічого, або отримує фіксовану суму - компенсацію.

Для опціонів knock-in справедливо зворотне. Опціони knock-in і knock-out поділяються кожен на два підтипу залежно від напрямку руху ціни. | |In |Out | |Down |набирає чинності, якщо ціна впаде до бар'єра, |Up |набирає чинності, якщо ціна сягне бар'єра.

Усі чотири варіанта застосовні до обох класам опціонів - колл і пут. Отже, виникає вісім можливих комбінацій, які поділяють звичні і зворотні бар'єрні опціони.

Вважається, що це звичайні бар'єрні опціони в останній момент виписування перебувають 'поза грошей', тобто у виконанні на той час власник опціону не отримує премії. Навпаки, щоб досягти бар'єра, ціна базисного активу має рухатися у бік 'гроші', що є ознакою зворотних опціонів.

Крім того, необов'язково, щоб бар'єр визначався за ціною активу, який лежить у його основі. Якщо бар'єр, визначається за ціною іншого активу, то він називається зовнішнім.

Ми будемо розглядати європейські бар'єрні опціони наступного одного активу:

· Вниз і вверх колл: Knockout ванільний опціон колл, значення , яка перестає існувати, коли ціна активу досягає або опускається нижче бар'єрного рівня.

· До і вверх колл: Knockout ванільний опціон колл, значення , яка перестає існувати, коли ціна активу досягає або проходить над бар'єрним рівнем.

· Вниз і в колл: Knockin ванільний опціон колл, значення , який починає існувати, коли ціни на активи досягаються або опускаються нижче бар'єрного рівня.

· До і в колл: Knockin ванільний опціон кол, значення , який починає існувати, коли ціна активу досягає або піднімається вище бар'єрного рівня.

Наступні вирази мають бути істинними:

де - значення ванільного колл опціону. Таким чином потрібно тільки отримати вирази для обох варіантів нокаут опціонів, а потім за допомогою цих рівнянь для розрахунку значення відповідного Knockin опціонів.

Позначення, що ми будемо використовувати: символ представляє поточний час, представляє час, у який опціон дозріває, і тривалість опціону. Символ , з обмеженням , будь-який проміжний час, за який опціон існує.

Аналіз ціноутворення вниз та вверх опціонів колл

Якщо врахувати броунівський рух (з нульовим дрейфом) , , який починається в , і, після закінчення часу, який закінчується в момент , тоді функція щільності ймовірності для цього руху не перевищує значення при час визначається за формулою:

де для зручності ми використовували , і З є броунівський рух без дрейфу і волатильністю , потім - є ідентичним броунівським рухом. Тому, замінюючи , і в це рівняння, отримуємо:

де ми використовували . Рівняння (3.55) є функція щільності ймовірності залишається вище значення , де. Ці результати можна узагальнити на дрейф, так що , для . Тепер ми маємо такі результати:

де - безризикова ставка і - безперервного дивідендну прибутковість. Європейський вниз і вверх бар'єрний опціон з терміном погашення і бар'єр на припинить своє існування (буде непридатним), якщо в будь-який момент , для . Функція щільності ймовірності, якщо бар'єрний опціон буде продовжувати існувати в момент часу, якщо кінцева точка , отже:

де ми об'єднали по всіх можливих значеннях (тобто ), що залишиє опціон існувати. Нагадуючи, що:

і відзначаючи, що:

ми маємо:

Отже ми маємо:

Значення європейського вниз і вверх колл-опціону із страйком , що задовольняють , визначається за формулою:

Значення вниз і назовні колл-опціону:

Аналіз ціни до і вгору колл-опціону

Тут ми отримаємо вираз для до і вгору європейського колл-опціону з безперервною дивідендною прибутковістю , в подібній манері, яка використовується в попередньому пункті для вниз і вгору європейського колл-опціону. Європейський до і вгору бар'єрний опціон з терміном погашення і бар'єр на припинить своє існування (стане непридатним), якщо в будь-який час для . Функція щільності ймовірності, що бар'єрний опціон буде продовжувати існувати в момент часу , якщо кінцева точка , отже:

де, як і в попередньому пункті, ми використовували і включили більш як всі можливі значення , які дають опціону існувати, посилаючись на:

і відзначаючи:

ми маємо:

Тому:

Ми зараз виведемо формулу для до і вгору колл- опціону, коли .

Насправді, якщо , то опціон нікуди не годиться, тому що в даний час колл-опціони виплачується, , то опціон буде knocked out.:

Беручи до уваги той факт, опціон стає марним, коли ,

(), маємо:

Значення вниз і вгору колл-опціону є:

де - значення ванільного колл-опціону і , значення до і в колл-опціону, визначається за формулою:

Бар'єрні опціони широко застосовуються при хеджуванні. Їх використання дає велику свободу дії з порівнянням зі стандартними опціонами, а більш низькі видатки - проведення операцій хеджування у слідстві з низькою премією по бар'єрним опціонам.

Бар'єрні опціони можуть утримувати додаткову опцію, яка називається поступкою. Це грошовий платіж, якщо на термін дії опціону ціна активу не пробила обумовлений бар'єр. Поступка неспроможна перевищувати премії за опціон і її підвищило б його вартість, ще більше знижує ризик втрати грошей.

Бар'єрні опціони завжди дешевше звичайних європейських опціонів відповідної серії, оскільки максимальний дохід із них однаковий, але ймовірність його одержання нижче. Через дешевше премії та значною мірою схожих зі звичайними опціонами можливостями бар'єрні опціони поруч із азіатськими стали найпопулярнішими серед екзотичних деривативів.

3.3 Метод Монте-Карло і американські опціони

З однієї сторони, метод Монте-Карло дуже зручний для оцінки опціонів, вартість котрих залежить від передісторії, а також опціони, в основі котрих лежить багато стохастичних змінних. З другої сторони, при оцінці американських опціонів добре зарекомендували себе дерева і звичайно - різницеві методи. А що робити, якщо вартість американського опціону залежить від передісторії? І як поводити себе в ситуаціях, коли ціна американських опціонів залежить від кількох стохастичних змінних? Багато вчених запропонували використати для обчислення вартості американських опціонів метод Монте-Карло. Розглянемо два альтернативних підходи.

3.3.1 Метод найменших квадратів

Для того щоб оцінити американський опціон, в кожний момент часу необхідно зробити вибір між достроковим виконанням і очікуванням. Обчислити вартість виконання, як правило, доволі просто. Велику кількість дослідників, включаючи Лонгстаффа і Шварца, запропонували спосіб визначення вартості очікування на основі методі Монте-Карло. В рамках цього підходу в кожний момент часу, який допускає дострокове виконання опціону, для визначення найкращого наближення його вартості застосовується метод найменших квадратів. Проаналізуємо цей метод використовуючи обчислювальний приклад з роботи Лонгстаффа- Шварца.

Розглянемо трьохрічний американський опціон на продажу без дивідендної акції, котрий можна виконати в кінці першого, другого чи третього року. Без ризикова процентна ставка рівна 6% в рік (при неперервному нарахуванні). Текуча ціна акції рівна 1,00 дол., а ціна виконання - 1,10 дол. припустимо, що ми змоделювали вісім траєкторій ціни акції, показаних в табл. 3.1. (цей приклад носить виключно ілюстративний характер. На практиці для оцінки опціону необхідно згенерувати набагато більше траєкторій.) якщо опціон виконується тільки в кінці третього року, його виграш рівний його дійсній вартості. Цей факт вказаний в останньому стовпчику табл. 3.2.

Табл. 3.1. Вибіркові траєкторії ціни акції, змодельовані при оцінці опціону 'пут'

Табл. 3.2. Грошові потоки, які виникають при виконанні опціону тільки в кінці третього року

Якщо в кінці другого року опціон 'пут' приносить виграш, власник опціону повинен вирішити, чи виконувати його достроково. Із табл. 3.1. Слідує, що в кінці другого року опціон приносить виграш, якщо ціна акції проходить траєкторію 1, 3, 4, 6, і 7. Для цих траєкторій пропонується використовувати приближену залежність.

,

де - ціна акції, зареєстрована в кінці другого року, а - вартість продовження опціону з урахуванням дисконту на кінець другого року. Перші п'ять спостережень ціни такі: 1,08, 1,07, 0,97, 0,77 і 0,84. З табл. 3.2. випливає, що відповідні значення змінної рівні 0,00, 0,07, 0,18, 0,20 , 0,09. Використовуючи ці дані, для обчислення коефіцієнтів і необхідно мінімізувати функцію

де і - і-е спостереження змінних і відповідно.

Зробимо заміну

Звідси маємо

Отримаємо такі результати , і . Отже, залежність, забезпечує найкращу апроксимацію даних, має наступний вигляд.

Отже, відмова від дострокового виконання опціону в кінці другого року, якщо ціна акції пройшла траєкторії 1, 3, 4, 6 і 7, приносить 0,0369, 0,0461, 0,1176, 0,1520 і 0,1565 дол. відповідно. Аналіз табл. 3 показує, що виграш від виконання опціону в цей момент дорівнює 0,02, 0,03, 0,13, 0,33 і 0,26 дол. відповідно. Це значить, що наприкінці другого року опціон доцільно виконає, якщо ціна акції пройшла траєкторії 4, 6 або 7.

Табл. 3.3 Грошові потоки,які виникають при виконанні опціону в кінці другого і третього року.

Грошові потоки по восьми шляхах, що виникають при достроковому виконанні опціону в кінці другого або третього року, наведено в табл. 3.3.

Розглянемо тепер траєкторії ціни акції, за яких опціон в кінці першого року виявляється у виграші. До них відносяться траєкторії 1, 4, 6, 7 і 8. З табл. 3 випливає, що ціни акції в кінці кожної з траєкторій рівні 1,09, 0,93, 0,76, 0,92 і 0,88 дол. відповідно. Значення змінної для цих траєкторій визначаються за табл. 5. Вони рівні 0,00, 0,13, 0,33, 0,26, і 0,00 відповідно. Використовуючи ці дані, для обчислення коефіцієнтів і необхідно мінімізувати функцію

де і - і-е спостереження змінних і відповідно.

Коефіцієнти обчислюються за формулами, наведеними вище.

Залежність, визначена за методом найменших квадратів, має такий вигляд.

Таким чином, відмова від дострокового виконання опціону в кінці першого року, якщо ціна акції пройшла траєкторії 1, 4, 6, 7 або 8, приносить 0,0139, 0,1092, 0,2866, 0,1175 і 0,1533 дол. відповідно. Аналіз табл. 3 показує, що виграш від виконання опціону в цей момент дорівнює 0,01, 0,17, 0,34, 0,18 і 0,22 дол. відповідно. Це означає, що в кінці першого року опціон доцільно виконає, якщо ціна акції пройшла траєкторії 4, 6, 7 або 8. Грошові потоки, що виникають при достроковому виконанні опціону в кінці першого, другого або третього років, наведені в табл. 6. Вартість опціону в початковий момент часу визначається за допомогою застосування дисконту з без ризиковою відсотковою ставкою до кожного з отриманих результатів з подальшим усередненням. Це приводить нас до наступної відповіді.

Оскільки ця величина більше 0,10, негайно виконувати опціон недоцiльно.

Табл. 3.4. Грошові потоки, які виникають при виконанні опціону

Цей метод має багато модифікацій. Якщо опціон допускає дострокове використання в будь-який момент часу, то його вартість можна апроксимувати, розглянувши велику кількість точок виконання (як це робиться при побудові біноміального дерева). Крім того, залежність між величинами і може бути більш складною. Наприклад, вона може бути не квадратичної, а кубічної. Якщо дострокове виконання опціону залежить від декількох змінних стану, слід робити так, як описано вище. Потім слід сформулювати функціональну залежність між змінними і змінними стану і визначити його невідомі параметри за допомогою методу найменших квадратів.

3.3.2 Параметризація кордону виконання

Безліч дослідників, зокрема Андерсен, запропонували альтернативний підхід, заснований на параметризації кордону виконання і ітераційному визначенні оптимальних параметрів, переміщуючись від кінця дії опціону до його початку. Для ілюстрації повернемось до нашого прикладу, пов'язаному з опціоном на продаж акцій, що не приносять дивідендів, і припустимо тепер, що в ході моделювання були знову згенеровані вісім траєкторій ціни акції, представлені в табл. 3. У цьому випадку дострокове виконання опціону в момент можна параметризувати критичною ціною акції . Якщо ціна акції в момент менша величини , опціон виконується достроково, якщо ж ціна акції більша значення , опціон не виконується. Значення рівне 1,10 дол. Якщо ціна акції в цей момент (тобто в кінці терміну дії опціону) більша 1,10 дол, то опціон не виконується. Якщо ж ціна акції в кінці третього року менша 1,10 дол., то опціон виконується. Розглянемо спосіб визначення значення . Припустимо, що ми вибрали значення меншим 0,77. У цьому випадку опціон в кінці другого року не виконується ні в одному з восьми варіантів. Вартість опціону в кінці другого року для кожної з восьми траєкторій дорівнює 0,00, 0,00, 0,07, 0,18, 0,00, 0,20 , 0,09 і 0,00 відповідно. Середнє значення цих величин дорівнює 0,0636. Припустимо тепер, що. Тоді вартість опціону в кінці другого року для кожної з восьми траєкторій дорівнює 0,00, 0,00, 007,, 0,18 , 0,00, 0,33, 0,09 і 0,00 відповідно. Середнє значення цих величин дорівнює 0,0813. Аналогічно, якщо значення рівне 0,84, 0,97, 1,07 і 1,08, вартість опціону в кінці другого року для кожної з відповідних траєкторій дорівнює 0,1032, 0,0982,0, 0938 і 0,0963 відповідно. Цей аналіз показує, що оптимальне значення (тобто таке, при якому досягається максимальна середня вартість) дорівнює 0,84.

(Точніше, значення слід вибирати в діапазоні .) Якщо вибрати оптимальне значення , то вартість опціону в кінці другого року для кожної з восьми траєкторій стане рівною 0,00, 0,00, 0,0659, 0,1695, 0,00, 0,33, 0,26 і 0,00 відповідно. Середня вартість опціону дорівнює 0,1032 дол. Перейдемо до обчислення величини . Якщо, то опціон в кінці другого року не виконується ні в одному з восьми варіантів, а його вартість в кінці другого року дорівнює . Якщо , то вартість опціону в кінці другого року для кожної з восьми траєкторій дорівнює 0,00, 0,00, 0,0659, 0,1695, 0,00, 0,34, 0,26 і 0,00 відповідно. Середнє значення цих величин дорівнює 0,1008. Аналогічно, якщо значення дорівнює 0,88, 0,92, 0,93 і 1,09, то середня вартість опціону в кінці другого року для кожної з відповідних траєкторій дорівнює 0,1283, 0,1202, 0,1215 і 0,1228 відповідно. Таким чином, аналіз показує, що оптимальне значення дорівнює 0,88. (Точніше, значення слід вибирати в діапазоні .) Вартість опціону в нульовий момент часу за умови відмови від його дострокового виконання дорівнює . Ця величина більша, ніж 0,10 дол., які можна отримати, достроково виконавши опціон в початковий момент часу. На практиці для визначення кордону виконання опціону необхідно провести десятки тисяч сеансів моделювання. Отримавши кордон дострокового виконання, траєкторії ціни акції слід відкинути і виконати новий сеанс моделювання за методом Монте-Карло, використовуючи обчислену границю. Розглянутий американський опціон на продаж акцій є досить простим, оскільки межі виконання опціону в будь-який момент часу можна визначити за цінами акції. У більш складних ситуаціях необхідно виконати параметризацію кордону дострокового виконання. Обидва описані підходи недооцінюють вартість американських опціонів, оскільки вони використовують субоптимальні границі дострокового виконання. Це спонукало Андерсена і Броуді запропонувати процедуру для уточнення верхньої межі вартості опціону. У поєднанні з будь-яким методом обчислення нижньої межі вартості опціону ця процедура дозволяє уточнити справжню вартість американського опціону.

Розділ 4. Процентні деривативи та опціони

4.1 Процентні деривативи: стандартні ринкові моделі

Процентні деривативи - це фінансові інструменти, розмір виплат за якими залежить від процентних ставок. У 1980-1990-х роках обсяг торгівлі процентними деривативами різко зріс як на біржовому, так і позабіржовому ринках. З'явилася велика кількість нових цінних паперів, що враховують специфічні запити споживачів. Таким чином, трейдери зіткнулися з серйозною проблемою - створити надійні процедури, що дозволяють оцінити і хеджувати ці фінансові інструменти.

Оцінювати процентні деривативи складніше, ніж фондові або валютні похідні цінні папери. Це пояснюється наступними причинами.

1. Поведінка конкретної процентної ставки складніша, ніж поведінка цін акцій або валютних курсів.

2. При оцінці багатьох процентних деривативів необхідно розробляти модель, що описує поведінку всієї кривої прибутковості нульового купона.

3. Волатильність кривої прибутковості в різних точках має різну величину.

4. Процентні ставки використовуються не тільки для дисконтування виплат, а й для визначення їх обсягу.

Модель Блека-Шоулза вперше була опублікована в 1973 році і з тих пір завоювала широку популярність. Згодом ця модель була вдосконалена і дозволила оцінювати валютні, індексні і ф'ючерсні опціони. Трейдерам стало дуже зручно користуватися припущенням про логнормальний розподіл, що лежить в основі цієї моделі, і мірами волатильності, що описують невизначеність. Таким чином, немає нічого дивного в тому, що дослідники спробували застосувати цю модель для оцінки процентних деривативів.

Розглядаються три найбільш популярних процентних деривативів (облігаційні опціони, процентні опціони 'кеп' і 'фло', а також свопціони) і обговорюються методи їх оцінки на основі припущення про логнормальність, прийнятого в моделі Блека-Шоулза. Модель, яку ми будемо використовувати, звичайно називається моделлю Блека, оскільки вона дуже нагадує формули, запропоновані Фішером Блеком для оцінки товарних ф'ючерсів. Якщо в рамках цієї моделі ф'ючерсний контракт і опціон мають однакові терміни дії, то ф'ючерсна ціна опціону дорівнює його ціні спот у момент погашення. Це означає, що модель Блека дозволяє оцінити не тільки ціну спот, а й ф'ючерсну ціну опціону.

4.1.1 Облігаційні опціони

Облігаційний опціон - це опціон на покупку або продаж облігації в певний день за встановленою ціною. Крім позабіржового ринку, облігаційні опціони часто супроводжують випуск облігацій, щоб підвищити їх привабливість для потенційних покупців (такі опціони називаються внутрішніми).

Внутрішні облігаційні опціони

Прикладом внутрішнього облігаційного опціону являється відклична облігація. Це - облігація, яка містить умови, що дозволяють емітенту в майбутньому викупити її назад заздалегідь встановленою ціною у визначений момент. Власник такої облігації продає емітенту опціон на її покупку. Ціна виконання цього опціону представляє собою заздалегідь встановлену ціну, за якою облігація повинна бути продана емітенту. Відкличні облігації, як правило, не можна викуповувати протягом перших кількох років після її випуску. (Цей інтервал часу називається періодом блокування.) Потім вартість опціону з часом зазвичай падає. Наприклад, при випуску 10-річної відкличної облігації протягом перших двох років емітент може не мати привілеїв. Після цього емітент може отримати право викупити облігацію: на третій і четвертий роки - за 110 дол., на п'ятий і шостий - за 107,5 дол., на сьомий і восьмий - за 106 дол., а на дев'ятий та десятий - за 103 дол. Вартість опціону на купівлю облігації відбивається на її купонній прибутковості. Облігації, що допускають достроковий викуп, звичайно мають більш високу прибутковість, ніж інші.

Ще одним прикладом внутрішнього опціону є облігація з правом дострокового погашення. Така облігація містить умови, які дозволяють власнику вимагати дострокового погашення облігації за заздалегідь встановленою ціною у визначені моменти часу. Власник такої облігації разом з нею купує опціон на її продаж. Оскільки опціон на продаж облігації підвищує її вартість, такі облігації мають більш низьку купонну прибутковість, ніж інші. Простим прикладом облігації з правом дострокового відкликання є 10-річна облігація, власник якої має право достроково погасити її в кінці п'ятого року. (Такі облігації іноді називаються стисливими.)

Позикові та депозитні інструменти також часто містять внутрішні облігаційні опціони. Наприклад, п'ятирічний депозит з фіксованою ставкою, який у будь-який момент можна закрити без штрафних санкцій, містить американський опціон на продаж облігації. (Депозит - це облігація, власник якої має право повернути її фінансовій організації в будь-який момент.) Авансові привілеї за звичайними та іпотечними позиками також еквівалентні опціонам на купівлю облігацій.

На закінчення відзначимо, що будь-яка угода про видачу грошової позики, яка укладена банком або іншою фінансовою організацією, представляє собою опціон на продаж облігації. Розглянемо, наприклад, ситуацію, в якій банк встановлює для своїх потенційних позичальників п'ятирічну процентну ставку на рівні 12% і стверджує, що ця ставка буде діяти на протязі наступних двох місяців. Фактично, клієнт банку отримує право в будь-який момент протягом найближчих двох місяців продати фінансовій організації п'ятирічну облігацію з 12%-ним купоном за її номінальною вартістю.

Європейські облігаційні опціони

Багато позабіржові облігаційні опціони і деякі опціони, які супроводжують випуск облігацій, є європейськими. Розглянемо тепер стандартні ринкові моделі, використовувані при оцінці європейських опціонів.

Як правило, в основі таких моделей лежить припущення про те, що ціна облігації в момент її погашення має логнормальний розподіл. Змінна вибирається так, щоб величина була стандартним відхиленням логарифма ціни облігації в момент завершення опціону. Таким чином, формули для обчислення європейського облігаційного опціону мають наступний вигляд.

Величину можна обчислити за формулою

де - ціна облігації в нульовий момент часу, a - поточна вартість купонів, що погашаються протягом усього терміну обігу облігації. У цій формулі як ціна спот, так і форвардна ціна облігації є готівковими цінами, а не котируваннями.

Ціна виконання у формулах (4.1) і (4.2) повинна бути готівковою. Таким чином, щоб вибрати правильне значення , необхідно точно врахувати умови опціону. Якщо ціна виконання являє собою грошову суму, на яку обмінюється облігація під час її погашення, то величину слід встановити рівною цій ціні виконання. Якщо ж ціна виконання являє собою котирування, що застосовується при виконанні опціону, величину слід встановити рівною сумі ціни виконання і доходу, накопиченого до моменту погашення. Трейдери називають котирувальну ціну облігації 'чистою', а на особисту ціну - 'брудною'.

Як показано на рис. 4.1, стандартне відхилення логарифма ціни облігації з часом змінюється. У поточний момент стандартне відхилення дорівнює нулю, оскільки щодо сьогоднішньої ціни облігації немає ніякої невизначеності. У момент погашення облігації стандартне відхилення її ціни також дорівнює нулю, оскільки нам відомо, що в цей момент її ціна дорівнює номінальній вартості. Між теперішнім моментом і терміном погашення облігації стандартне відхилення спочатку зростає, а потім спадає. Волатильність , яка використовується при оцінці європейського опціону на купівлю або продаж облігації, обчислюється за наступною формулою.

Рис. 4.1. Стандартні відхилення логарифма ціни облігації як функція від часу.

Типова форма волатильності як функції від терміну дії опціону представлена на рис. 4.2.

Рис. 4.2. Варіація волатильності ціни облігації в залежності від терміну дії опціону.

Волатильність прибутковості

Як волатильності, що характеризує мінливість облігаційного опціону, часто використовується волатильність прибутковості, а не ціни. Для перетворення волатильності котирувальної прибутковості в волатильність ціни використовується поняття дюрації. Припустимо, що - модифікована дюрація. Залежність між зміною форвардної ціни облігації та зміною її форвардної прибутковості має наступний вигляд.

Волатильність - це міра стандартного відхилення відносних змін величини змінної. Отже, це рівняння передбачає, що волатильність форвардної ціни облігації, використовувану в моделі Блека, можна пов'язати з волатильністю форвардної прибутковості облігації з допомогою наступного наближеного співвідношення.

Тут - початкове значення змінної . При виборі волатильності дохідності для облігаційного опціону, як правило, використовується неявне припущення, що її можна перетворити на волатильність ціни, використовуючи формулу (4.6), і що для обчислення ціни облігації цю волатильність можна використовувати спільно з формулами (4.1) і (4.2). Припустимо, що модифікована дюрація облігації, що лежить в основі опціону 'колл', у момент його виконання дорівнює п'яти рокам, форвардна прибутковість дорівнює 8%, а волатильність форвардної прибутковості, встановлена брокером, дорівнює 20%. Це означає, що ринкова ціна опціону, відповідна котируванні брокера, дорівнює ціні, обчисленої за формулою (4.1), в якій волатильність а дорівнює

5 х 0,08 х 0,2 = 0,08,

тобто 8% річних. Як випливає з рис. 4.1, форвардна волатильність облігації залежить від розглянутого опціону. А також форвардна волатильність дохідності, розміщена вище, є постійною. З цієї причини трейдери вважають за краще працювати саме з нею.

4.1.2 Процентні опціони 'кеп' і 'фло'

Одним з найбільш популярних процентних опціонів, пропонованих фінансовими організаціями на позабіржовому ринку, є процентний опціон 'кеп'. Щоб краще зрозуміти його сутність, спочатку слідує розглянути вексель з плаваючою ставкою, періодично встановлюється на рівні ставки LIBOR. Інтервал часу між моментами установки процентної ставки називається розрахунковим. Припустимо, що розрахунковий інтервал дорівнює трьом місяцям. Процентна ставка за векселем на перші три місяці дорівнює початковій тримісячній ставці LIBOR, відсоткова ставка за векселем на наступні три місяці дорівнює тримісячній ставці LIBOR, що домінує на ринку, і т.д.

Мета процентного опціону 'кеп' ('шапка') - застрахуватися від того, що прибутковість за плаваючою ставкою перевищить певний рівень. Цей рівень називається граничним. Припустимо, що основна сума дорівнює 10 млн. дол., розрахунковий інтервал векселя дорівнює трьом місяцям, тривалість опціону дорівнює п'яти рокам, а граничний рівень дорівнює 4%. (Оскільки виплати здійснюються поквартально, граничний рівень установлюється з урахуванням поквартального нарахування.) Опціон 'кеп' представляє собою страховку від того, що плаваюча процентна ставка підніметься вище 4%.

Поки ми будемо ігнорувати календарні поправки і припустимо, що між моментами виплат проходить рівно 0,25 року. Припустимо також, що в момент встановлення процентної ставки тримісячна ставка LIBOR дорівнює 5%. Таким чином, через три місяці розмір виплати за векселем з плаваючою ставкою складе

0,25 х 0,05 х 10 мільйонів = 125 000 дол.

Якщо ставка LIBOR була рівною 4%, розмір виплати був би рівний

0,25 х 0,04 х 10 мільйонів = 100000 дол.

Таким чином, виграш по опціону 'кеп' дорівнює 25 000 дол. Зверніть увагу, що виграш відбувається не в день установки нової відсоткової ставки, а на три місяці пізніше. Це відображає існування звичайного тимчасового лага між спостерігаючою процентною ставкою і відповідними виплатами.

У кожен момент встановлення нової відсоткової ставки протягом терміну дії опціону реєструється значення ставки LIBOR. Якщо ставка LIBOR менше 4%, то через три місяці опціон 'кеп' не принесе ніякого виграшу. Якщо ж ставка LIBOR більше 4%, то через квартал виграш буде дорівнює сумі, отриманої шляхом застосування чверті надлишкової процентної ставки до основної суми. Зверніть увагу на те, що опціон 'кеп', як правило, організовується так, щоб первісна ставка LIBOR, навіть якщо вона перевищує граничний рівень, не приносила негайного виграшу. У нашому прикладі опціон 'кеп' триває п'ять років. Отже, протягом терміну його дії буде 19 моментів, в яких процентна ставка встановлюється заново (в моменти 0,25, 0,5, 0,75, ..., 4,75 років), і 19 потенційних виграшів (в моменти 0,50, 0,75, 1,00, ..., 5,00 років).

Опціон 'кеп' як портфель, що складається з процентних опціонів

Розглянемо опціон 'кеп', термін дії якого дорівнює , основна сума дорівнює , а граничний рівень дорівнює . Припустимо, що нові процентні ставки встановлюються в моменти , , ..., . Нехай . Позначимо черезпроцентну ставку, встановлену на проміжок часу між моментами і і спостережувану у момент . Виграш по опціону 'кеп' у момент , , дорівнює

де . (Величини і встановлюються з урахуванням того, що частота нарахування дорівнює частоті зміни процентних ставок.)

Формула (4.7) описує виграш по опціону 'колл', що виникає в момент при ставці LIBOR, яка спостерігається в момент Опціон 'кеп' представляє собою портфель таких опціонів. Ставки LIBOR реєструються в моменти , , ..., , а відповідні виграші виникають в моменти , ..., . Компоненти опціону 'кеп' називаються кеплетами.

Опціон 'кеп' як портфель облігаційних опціонів

Процентний опціон 'кеп' можна представити у вигляді портфеля опціонів на продажу облігацій з нульовим купоном, виграші за якими виникають безпосередньо в момент їх підрахунку. Виграш у формулі (4.7.) у момент еквівалентний величині, обчисленої в момент продисконтованій на проміжок ( ).

Простими алгебраїчними перетвореннями цей вираз можна звести до наступного.

являє собою зареєстровану в момент вартість облігації з нульовим купоном, виплата по якій у момент дорівнює Отже, вираз у формулі (4.8) представляє собою виграш по опціону на продаж облігації з нульовим купоном, термін обігу якої закінчується в момент , а номінальна вартість дорівнює , за умови що термін дії опціону минає в момент , а ціна виконання опціону дорівнює. Таким чином, процентний опціон 'кеп' можна інтерпретувати як портфель європейських опціонів на продаж облігацій з нульовим купоном.

Опціони 'фло' і 'коллар'

Процентні опціони 'фло' і 'коллар' (іноді їх також називають рамковими угодами) аналогічні опціону 'кеп'. Опціон 'фло' приносить виграш, коли відсоткова ставка за відповідним векселем з плаваючою ставкою падає нижче встановленого рівня. Використовуючи введені раніше позначення, можна виграш по опціону 'фло' у момент , де , обчислити за формулою

Аналогічно процентному опціоном 'кеп', процентний опціон 'фло' можна представити у вигляді портфеля опціонів на продаж процентних ставок або у вигляді портфеля, що містить опціони на купівлю облігацій з нульовим купоном. Компоненти опціону 'фло' називаються флорлетами. Опціон 'коллар' являє собою фінансовий інструмент, мета якого - гарантувати, що плаваюча процентна ставка за відповідним векселем завжди лежить в певному діапазоні. Опціон 'коллар' є комбінацією довгої позиції по опціону 'кеп' і короткої позиції по опціону 'фло'. Він часто конструюється так, щоб ціна опціону 'кеп' в початковий момент часу дорівнювала ціні опціону 'фло'. Таким чином, вартість висновку опціону 'коллар' дорівнює нулю.

4.1.3 Європейські свопціони

Ще одним різновидом процентних опціонів, популярність яких постійно зростає, є свопціони - опціони на свопи процентних ставок. Вони дають власникові право у визначений момент у майбутньому укласти угоду про обмін відсоткової ставки. (При цьому, розуміється, власник свопціона не зобов'язаний його виконувати.) Багато великих фінансових організацій, що пропонують своїм корпоративним клієнтам угоди про обмін процентних ставок, поряд з ними готові продавати і купувати свопціони. Як показано далі у прикладі з ділової практики, свопціон можна інтерпретувати як різновид облігаційного опціону. Для ілюстрації розглянемо ситуацію, в якій якась компанія планує через шість місяців укласти договір про позику за плаваючою ставкою і перетворити цей договір у позику за фіксованою ставкою. У такому випадку компанія могла б купити свопціон, що дає їй право протягом п'ятирічного періоду, що настає після закінчення шести місяців, отримувати шестимісячну ставку LIBOR і виплачувати певну фіксовану процентну ставку, скажімо 8% річних. Якщо фіксована ставка, яка в рамках звичайного п'ятирічного свопу обмінюється на плаваючу, через шість місяців виявиться менше 8% річних, компанія відмовиться виконувати свопціон і укладе звичайний своп. Однак якщо ця ставка перевищить 8% річних, компанія віддасть перевагу виконати свопціон і отримати своп на більш вигідних умовах.

Свопціони, використовувані так, як описано вище, надають компаніям гарантію, що фіксована процентна ставка, яку вони повинні виплатити в рамках позики у визначений момент у майбутньому, не перевищить визначений рівень. Свопціони представляють собою альтернативу форвардними свопами (які іноді називаються відстроченими свопами). З одного боку, форвардні свопи не вимагають авансових витрат, але, з іншого боку, вони зобов'язують компанію укласти своп. Свопціони, навпаки, дозволяють компанії отримати вигоду зі сприятливих коливань процентних ставок, страхуючи її від збитків. Різниця між свопціоном та форвардними свопом аналогічна різниці між валютним опціоном і форвардним контрактом на іноземну валюту.

Приклад з ділової практики. Свопціони та облігаційні опціони

Процентний своп можна інтерпретувати як узгодження, в рамках якого облігація з фіксованою ставкою обмінюється на облігацію з плаваючою ставкою. У початковий момент вартість облігації з плаваючою ставкою завжди дорівнює умовної основної суми кредитного зобов'язання у відсотковому свопі. Отже, свопціон можна розглядати як опціон, що дозволяє власникові обміняти облігації з фіксованою ставкою на основну суму по свопу, тобто як облігаційний опціон.

Якщо свопціон дає його власнику право на виплату фіксованого та одержання плаваючої ставки, то він являє собою опціон на продаж облігації з фіксованою ставкою за ціною виконання, рівній її номінальній вартості. Якщо свопціон дає його власнику право на виплату плаваючою і отримання фіксованої ставки, то він являє собою опціон на купівлю облігації з фіксованою ставкою за ціною виконання, рівній її номінальної вартості.

4.2 Оцінка премії європейських опціонів на індекси та ф'ючерсні контракти

Оцінка премії опціону на індекс

На фінансових ринках ведеться торгівля опціонами на фондові індекси. Індекси зазвичай нараховують велику кількість акцій. Тому їх виконання розуміється як не поставку паперів, а здійснення взаєморозрахунків у грошовій формі. При виконанні опціону колл позитивна різниця між котирувальною ціною індексу і ціною виконання, а для опціону пут - між ціною виконання і котирувальною ціною індексу - множаться на множник, який установлений для данного опціонного контракту. Обчислена таким чином сума сплачується покупцеві опціону і списується з рахунку продавця опціону.

При оцінці премії європейського опціону на індекс його можна представити як акцію, за якою виплачуються дивіденди. Тому премію опціону можна розрахувати за формулами Блека-Шоулза для акцій, по яких виплачуються дивіденди. При розрахунку враховуються тільки дивіденди, які виплачуються в період дії опціону. Якщо ми використовуємо формули зі ставкою дивіденду, то ставка дивіденду на індекс визначається як середня ставка дивіденду. Якщо інвестор має дані про абсолютне значення виплачуваних дивідендів, то в цьому випадку початкове значення індексу зменшують на величину наведеної вартості дивідендів.

Приклад.

Інвестор купує тримісячний європейський опціон колл на індекс з ціною виконання . В момент укладання контракту значення індексу дорівнює . Стандартне відхилення прибутковості індексу становить 20%. Очікується, що дивіденди будуть виплачуватися на ряд акцій в першому місяці, інших - в другому, і на залишені акції - в третьому. Для першого місяця безперервно нарахована ставка дивіденду дорівнює 1%, другого - 2%, третього - 3%. Ставка без ризику - 10%. Множник контракту дорівнює . Визначити вартість опціону.

Розв'язання.

Ставка середнього дивіденду в розрахунку на рік становить:

З таблиці значень функції Лапласа або за допомогою програми Excel знаходимо:

Контракт коштує:

Американські опціони на індекс коштують більше європейських, так як їх дострокове виконання може виявитися оптимальною стратегією.

Формули Блека оцінки премії опціону на ф'ючерсний контракт

Премії європейських опціонів колл і пут розраховуються за допомогою формул, запропонованих Ф. Блеком. Передбачається, що ф'ючерсна ціна також як і ціна акції має логнормальний розподіл. Для визначення премії опціону ф'ючерсний контракт розглядають як акцію, за якою виплачуються дивіденди. Ставка дивіденду приймається рівною ставкою без ризику . Таку аналогію можна провести, наприклад, якщо порівняти дифференціальні рівняння:

Рівняння (4.8) - це диференціальне рівняння для ціни похідного інструмента на акцію, за якою виплачується безперервно нарахований дивіденд.

Рівняння (4.9) - це диференціальне рівняння для похідного активу на ф'ючерсний контракт. Рівняння (4.8) набуде вигляду рівняння (4.9), якщо прийняти . Тому формулу оцінки премії опціонів на ф'ючерсний контракт отримують на основі формули для акцій, за якою виплачуються дивіденди, замінивши величину на величину :

- миттєве стандартне відхилення ф'ючерсної ціни.

Ф'ючерсна ціна дорівнює ціні спот на момент закінчення терміну дії контракту. Тому премії двох опціонів - опціону на ф'ючерс ¬ ний контракт і опціону на актив, що лежить в основі ф'ючерсного кон ¬ тракту, будуть однаковими, якщо ф'ючерсний і опціонний контракти мають одну і ту ж ціну виконання і дату закінчення.

Біноміальна модель оцінки премії опціону на ф'ючерсний контракт

У рамках біноміальної моделі за кожен даний відрізок часу курс ф'ючерсного контракту може з ймовірністю піти на відому величину вгору або з ймовірністю вниз, як зображено на рис. 4.1. У першому випадку в кінці періоду вартість ф'ючерсу складе величину , у другому - , де - курс ф'ючерсу на початку періоду; відсоток приросту ціни контракту; - відсоток падіння ціни контракту.

Рис. 4.1. Динаміка ціни ф'ючерсного контракту в рамках звичайної біноміальної моделі

Сформуємо портфель без ризику з опціону колл і ф'ючерсних контрактів: продамо один опціон колл і купимо одиниць ф'ючерсних контрактів. Вартість портфеля в початковий момент часу дорівнює:

де - премія опціону в момент його укладення;

- кількість ф'ючерсних контрактів;

- ф'ючерсна ціна при укладенні опціонного контракту.

Якщо знехтувати умовою внесення початкової маржі, то відкриття ф'ючерсної позиції нічого не коштує інвесторові. Тому вартість портфеля просто дорівнює ціні опціону, тобто .

В кінці періоду в разі зростання ф'ючерсної ціни вартість портфеля складе:

у випадку падіння ціни буде дорівнює:

де та - вартість опціону відповідно в разі зростання і падіння ф'ючерсної ціни; і - варіаційна маржа за ф'ючерсними контрактами відповідно в разі зростання і падіння ціни.

Сформований портфель є безризиковий, якщо до моменту закінчення терміну дії опціону вартість його однакова незалежно від значення ф'ючерсної ціни. Отже, в кінці періоду:

Звідси знаходимо значення :

В умовах рівноваги на ринку портфель без ризику повинен приносити інвестору ставку без ризику. Тому премію опціону знаходимо дисконтуванням під ставку без ризику вартості портфеля в кінці періоду:

Підставивши значення до з (4.12) в (4.13) або (4.14), отримаємо:

де ставка без ризику.

Будемо розглядати величини і як ризик-нейтральні ймовірноcті, позначивши їх відповідно через і . З урахуванням сказаного формула (4.15) набуває вигляду:

Ми отримали оцінку вартості європейського опціону на ф'ючерсний контракт в рамках одноперіодної біноміальної моделі.

Розглянемо випадок, коли до закінчення терміну дії опціону два періоди. Ф'ючерсна ціна в цьому випадку може прийняти в кінці другого періоду три значення: (див. рис. 4.2). Проаналізуємо спочатку другий період. Він складається з двох одноперіодних моделей. У першій з них ціна опціону на початку періоду дорівнює , а в кінці періоду приймає значення або . У другій з них ціна опціону на початку періоду дорівнює , а в кінці або . Значення і можна визначити таким же чином, як у випадку з одним тимчасовим періодом:

Рис. 4.2. Двохперіодна біноміальна модель

Підставивши значення і з формул (4.17) і (4.18) у формулу (4.16), отримаємо:

Формула (4.19) визначає ціну опціону для двoхперіодної моделі. Згідно цій формулі ймовірність того, що опціон на момент терміну його спливу буде коштувати дорівнює , - і =. Сума всіх ймовірностей дорівнює 1. Формула (4.19) знову показує, що ціна опціону дорівнює дисконтованій вартості суми його очікуваних значень до моменту закінчення контракту.

Міркування, які були використані при визначенні вартості опціону для двохперіодної моделі, можна використовувати і в разі поділу часу звернення опціону на будь-яке число періодів. Тоді біноміальна формула прийме наступний вигляд:

стохастичний ціноутворення дериватив опціон

де індекс показує кількість періодів, коли ціна ф'ючерсу зростала із загального числа періодів .

Формула (4.20) говорить про те, що ціна опціону дорівнює дисконтованій вартості суми очікуваних виплат за контрактом до моменту його закінчення. Весь термін обігу опціону розбитий на періодів. Відповідно в знаменнику - це коефіцієнт дисконтування, який враховує ставку без ризику і кількість періодів. Чисельник показує очікуване значення суми виплат за опціоном з урахуванням ймовірності кожного конкретного результату. Вираз показує ймовірність того, що ф'ючерсна ціна буде рости в у періодах з періодів і падати в періодах з урахуванням всіх можливих комбінацій її зростання і падіння.

Вираз дає виплату за опціоном до моменту закінчення контракту, якщо ф'ючерсна ціна росла в періодах на величину і падала в періодах на величину.

При розрахунку премії мають значення лише доданки, коли опціон виявляється виграшним до моменту закінчення контракту, оскільки інші складові звертаються в нуль. Тому, якщо через - позначити число підйомів ф'ючерсної ціни, щоб опціон опинився з виграшем, то формулу (4.20) можна переписати як:

У формулі (4.21) підсумовування значень в чисельнику починається з періоду . Опціон буде виграшним до моменту його закінчення, якщо:

Щоб визначити значення к, візьмемо натуральний логарифм від обох частин нерівності (4.23). Отримаємо:

З нерівності (4.24) випливає, що повинне бути цілим числом, більшим ніж:

Якщо більше , то , тому що ф'ючерсна ціна за всі періоди не перевищить ціну виконання .

Отриману модель можна застосувати і для визначення премії опціону пут. Вона має вигляд:

У порівнянні з формулою (4.21) тут враховано наступні зміни. Вартість опціону пут перед моментом закінчення дорівнює. Через позначена кількість рухів ф'ючерсної ціни вгору, в результаті яких опціон колл стає виграшним. Тому опціон пут буде виграшним, якщо кількість рухів ф'ючерсної ціни вгору не перевищить величину .

Щоб скористатися біноміальною моделлю для практичних цілей, необхідно визначити значення зростання і падіння ф'ючерсної ціни, тобто величини і . Процес, якому слідує динаміка ф'ючерсної ціни, є вінерівський. Біноміальний розподіл має бути побудований таким чином, щоб при розподілі періоду дії опціонного контракту на велику кількість періодів, біноміальний процес сходився до вінерівського. Ми отримаємо такий результат, якщо і будуть мати наступні значення:

де - стандартне відхилення прибутковості, розрахованої на основі ф'ючерсної ціни, тобто величини ;

- період часу, представлений в частках року. Біноміальну модель можна використовувати для оцінки премії американських опціонів на ф'ючерсні контракти.

4.3 Хеджингові процентні деривативи

Розглянемо 'грецький' підхід до оцінки ризику, пов'язаного з процентними деривативами. У контексті процентних деривативів дельта-ризик являє собою ризик, пов'язаний зі зрушенням нульової кривої. Оскільки існує безліч можливих зсувів нульової кривої, виникає велика кількість різних варіантів обчислення альтернативних коефіцієнтів дельта. Перерахуємо деякі з них.

1. Оцінка впливу паралельного зсуву нульової кривої на один базисний пункт. Цю величину іноді позначають як DV01.

2. Оцінка впливу невеликих змін котирувань кожного фінансового інструмента, використовуваного при побудові нульової кривої.

3. Розділення нульової кривої (або форвардної кривої) на велику кількість сегментів з подальшою оцінкою впливу зрушень процентних ставок на кожному із сегментів на один базисний пункт, за умови що початкова тимчасова структура залишається незмінною.

4. Застосування методу головних компонентів. Обчислення коефіцієнтів дельта з урахуванням змін кожного з перших декількох факторів. Перший коефіцієнт дельта оцінює вплив невеликих, практично паралельних зрушень нульової кривої, другий коефіцієнт оцінює вплив невеликого кручення нульової кривої і т.д. На практиці трейдери віддають перевагу другому підходу. Вони пояснюють це тим, що нульова крива змінюється тільки тоді, коли змінюється котирування хоча б одного з фінансових інструментів, використаних при її побудові. З цієї причини трейдери вважають за доцільне зосередити увагу на ризиках, пов'язаних зі змінами цін цих фінансових інструментів.

Якщо обчислюється кілька коефіцієнтів дельта, то виникає кілька способів обчислення коефіцієнтів гамма. Припустимо, що нульова крива побудована на основі десяти фінансових інструментів, а коефіцієнт дельта обчислюється в залежності від змін цін кожної з цих цінних паперів. Коефіцієнт гамма представляє собою другу похідну , де - вартість портфеля. У такому випадку виникає 10 різних значень, 10 різних значень і 55 різних коефіцієнтів гамма. Це кількість набагато перевищує можливості трейдерів. В якості одного з варіантів рішення проблеми можна ігнорувати перехресні коефіцієнти гамма і зосередити увагу на коефіцієнтах при . Інший метод полягає в обчисленні єдиного коефіцієнта гамма, що представляє собою другу частинну похідну вартості портфеля за величиною паралельного зсуву нульової кривої. Третій варіант передбачає обчислення коефіцієнта гамма по перших двох факторів у методі головних компонентів.

Коефіцієнт вега, характеризує портфель, що складається з процентних деривативів, відображає вплив змін волатильності. Один з методів обчислення коефіцієнта вега передбачає оцінку впливу на вартість портфеля невеликих однакових змін волатильностей Блека по всіх опціонах 'кеп' і європейським свопціонам. Отже, один фактор впливає на всі волатильності. Це дуже велике спрощення. Набагато більш точну оцінку можна отримати за допомогою методу головних компонентів, аналізуючи волатильності опціонів 'кеп' і свопціонів і обчислюючи коефіцієнти вега за першими двома або трьома факторами.

4.4 Грецькі букви

Фінансові організації пропонують своїм клієнтам велику кількість різноманітних опціонів. Часто ці опціони не відповідають стандартам, встановленим біржами. У цьому випадку фінансові організації стикаються з проблемою хеджування ризиків. Непокриті і покриті позиції піддають їх занадто великому ризику. Для обмеження ризику можна скористатися стратегією обмеження збитків. У рамках цієї стратегії інвестор займає непокриту позицію за опціоном 'з програшем' і конвертує її в покриту позицію, як тільки опціон починає приносити виграш. Незважаючи на зовнішню привабливість цієї стратегії, вона виявилася не дуже вдалою.

Для отримання похідної кумулятивного розподілу функції, яка буде використовуватися в подальшому для отримання виразів для грецьких букв:

що дає:

Де

Виведемо тепер різні результати для параметрів та , які з'являються в Блека-Шоулза рівнянні:

Маємо:

Зазначимо що:

Ця техніка буде використовуватися для обчислення греків.

Дельта опціону, , - це швидкість зміни його ціни по відношенню до ціни базового активу. Загальна формула для обчислення коефіцієнта має такий вигляд:

так само,

Підставляючи і отримуємо:

Подібним же чином ми маємо для європейських пут:

Підставляючи і отримуємо:

Тут індекс відноситься до європейськго колл, а індекс відноситься до європейського пут.

Дельта-хеджування - це створення позиції, коефіцієнт дельта якої дорівнює нулю (інколи таку позицію називають дельта-нейтральною). Оскільки дельта базового активу дорівнює одиниці, для здійснення хеджування необхідно, щоб кожній довгої позиції по хеджується опціоном відповідала позиція по базовому активу, коефіцієнт дельта якої рівний - . Дельта опціону з часом змінюється. Це означає, що позицію по базовому активу доведеться часто коректувати.

Як тільки позиція за опціоном стане дельта-нейтральною, необхідно оптимізувати коефіцієнт гамма, , - це швидкість зміни коефіцієнта дельта по відношенню до ціни базового активу. Інакше кажучи, він являється другою частинною похідною вартості портфеля по ціні активу.

Значення гамми для європейських опціонів колл:

де значення наведено вище

Значення гамми для європейських опціонів пут можна розрахувати аналогічно:

де значення наведено вище. Тому:

Отже, значення гамми для пут і колл теж саме.

Коефіцієнт гамма характеризує кривизну залежності ціни опціону від ціни активу. Вплив цього коефіцієнта на ефективність дельта-хеджування можна зменшити, зробивши опціонну позицію гамма-нейтральною. Припустимо, що коефіцієнт гамма хеджується дорівнює . Тоді зменшення його впливу на ефективність хеджування досягається за рахунок позиції по опціону, коефіцієнт якої дорівнює - .

Дельта-і гамма-хеджування засновані на припущенні, що волатильність базового активу є постійною. Коефіцієнт Вега, , який характеризує опціон або портфель опціонів, вимірює швидкість зміни їх вартості по відношенню до волатильності.

Підставляючи і отримуємо

Тому:

Для європейського пут опціону ми маємо:

Підставляючи і отримуємо:

який рівний опціону колл.

Якщо абсолютне значення коефіцієнта вега велике, вартість портфеля стає дуже чутливою до малих змін волатильності. Якщо абсолютне значення коефіцієнта вега мале, зміни волатильності мало впливають на вартість портфеля. Трейдер, який бажає хеджувати свою позицію від змін волатильності, може зайняти Вега-нейтральну позицію. Як і при гамма-хеджуванні, це пов'язано з компенсованою позицією по опціону, яка являє собою предмет купівлі-продажу. Для одночасного забезпечення гама- і вега-нейтральності, як правило, використовують два різних опціона.

З рештою параметрами, що характеризують ризик, пов'язаний з опціонною позицією, є коефіцієнти тета і ро. Коефіцієнт тета, , - це швідкість зміни вартості позиції в часі за умови, що всі інші параметри залишаються незмінними. Загальна формула дорівнює

Для європейського опціону колл маємо:

Підставляючи і отримуємо:

Звідси значення тета дорівнює:

За такою самою схемою маємо тета для опціону пут:

Коефіцієнт ро, , - це швидкість зміни вартості опціонної позиції по відношенню до короткострокової процентної ставки за умови, що всі інші параметри залишаються постійними.

Підставляючи і отримуємо:

Для опціону пут маємо:

Цей коефіцієнт вимірює чутливість вартості портфеля до зміни процентної ставки. На практиці для забезпечення дельта-нейтральності торговці опціонами звичайно балансують свої портфелі, як мінімум, раз на день. Домогтися одночасної та регулярної гамма-і вега-нейтральності практично неможливо. Зазвичай трейдери просто стежать за змінами цих коефіцієнтів. Якщо вони беруть дуже великі значення, трейдери роблять заходи або припиняють торги.

Висновок

У роботі досліджено екзотичні цінні папери, які представляють великий інтерес для інвестиційних банків, оскільки їх прибутковість набагато вище, ніж у звичайних опціонів.

Описано багато різних моделей що виникають на практиці для опису 'усмішок волатильності'. Модель дисперсії з постійною еластичністю призводить до 'усмішки волатильності', яка нагадує 'усмішку волатильності' звичайних акцій. Модель стрибкоподібної дифузії призводить до 'усмішки волатильності', характерної для валютних опціонів. Модель стохастичної волатильності являється більш гнучкою і може породжувати як 'усмішку волатильності', характерну для звичайних акцій, так і 'усмішку волатильності', що спостерігається у валютних опціонів. Модель передбачуваної волатильності забезпечує ще більшу ступінь гнучкості. Вона розроблена для того, щоб апроксимувати будь-яку траєкторію цін європейських опціонів, що спостерігається на ринку.

Наведено метод Монте-Карло, який не призначений для безпосередньої оцінки американських опціонів, проте його можна адаптувати, використовуючи два методи. Перший метод передбачає проведення аналізу залежності між вартістю відмови від дострокового виконання опціону і значеннями відповідних змінних за методом найменших квадратів. Другий метод використовує параметризацію границі дострокового виконання і її ітераційне уточнення на основі зворотного обходу дерева.

Розглянуто модель Блека - Шоулза, що представляє собою широко поширений підхід до оцінки європейських процентних опціонів. Модель Блека заснована на припущенні, що змінна, що лежить в основі опціону, в момент завершення опціону має логнормальний розподіл. У разі європейських облігаційних опціонів модель Блека припускає, що ціна базової облігації в момент завершення опціону має логнормальний розподіл. Для опціону 'кеп' модель припускає, що процентна ставка кожного, що становить куплет, має логнормальний розподіл. Для свопціона модель використовує припущення, що відповідна ставка свопу має логнормальний розподіл. Кожна з цих моделей є внутрішньо несуперечливою, але вони суперечать один одному.

Модель Блека пов'язана з обчисленням розміру очікуваної виплати в припущенні, що очікувана вартість змінної дорівнює її форвардній ціні, з подальшим дисконтуванням очікуваної виплати за нульовою ставкою, що спостерігається на ринку в поточний момент. Якщо розмір виплати не враховує природнє запізнювання, необхідно обчислювати поправки на опуклість і тимчасові поправки форвардної вартості.

Список використаної літератури

1. Джон К. Халл, Опционы,фьючерсы и другие производные финансовые инструменты. - Москва-Санкт-Петербург-Киев: Издательский дом 'Вильямс', 2008.-

2. Б.В. Бондарев, И.Л. Шурко. Финансовая математика : учеб.пособие. - Донецк : КАССИОПЕЯ, 1998. - 164 с.

3. В. Капитоненко. Финансовая математика и ее приложения. М.: Приор, 1999. -- 144 с.