Экономико-математические методы и модели

Работа из раздела: «Экономико-математическое моделирование»

???? ?????? ?????????-?????????????? ?????? ? ??????

http://monax.ru/order/ - рефераты на заказ (более 2300 авторов в 450 городах СНГ).

ёМосковский киновидео институт (МКВИ0

ЛЕКЦИИ

?? ??????????:

?????????-??????????????

?????? ? ??????

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ МАЦНЕВ А.П.

?????? 2004 ???

??????????

1. ????????????? ????????????? ??????.

???????? ??????? ? ???????????

1.1. ????????????? ? ???????? ????????? ?????????????

1.2. ?????? ? ?????????????. ????????????? ???????

1.3. ???? ??????? ???????

1.4. ???????????? ???????

2. ?????????????? ?????? ? ?????? ?? ???????

2.1. ??????? ????????????? ????????????

2.2. ????????????? ? ???????? ?????????? ?????????????? ???????

3. ????????? ???????? ?? ??????????

3.1. ???????? ?????????

3.2. ???????? ???????????

3.3. ???????? ???????? ????? ?? ???????? ?????????

4. ??????? ????? ????????? ????????????????

4.1. ???????????? ??????

4.2. ????? ???????????? ?????? ????????? ????????????????

4.3. ??????????? ????????????? ??????? ????? ????????? ????????????????

5. ?????? ??????? ????? ????????? ????????????????

5.1. ????? ? ???????? ?????? ????????? ????????????????

5.2. ?????????????? ????? ??????? ????? ????????? ????????????????

5.3. ??????????? ??????? ?????? ????????????? ????????

5.4. ??????????? ?????

5.5. ?????? ????????-??????

5.6. ??????? ???????????? ?????

6. ?????? ??????????? ????????????????

? ?????????????????? ???????????

6.1. ?????????? ?????? ??????????? ????????????????

6.2. ?????????? ?????? ????????????? ????????????????

???????? ??????? ? ??????? ??????????

6.3. ?????????????????? ???????????

1. ????????????? ????????????? ??????.

???????? ??????? ? ???????????.

1.1. ????????????? ? ???????? ????????? ?????????????

??????-??????????? ????????? ??????? ? ????????????? ????? ???????, ??? ??????? ? ??????? ????????????? ???????, ?????????? ?????????????? ??? ??? ??????????. ????????????? ??????? ????? ??????? ??????? ? ????????? ?????? ???????? ? ???????, ??????? ?????????? ????????????? ? ??????????, ???????, ? ????? ??????, ?????? ????? - ????????? ??????.

? ?????? 80-? ????? ??????????? ????? ?? ?????? ????????????? ??????????, ?? ? ?????????? ???????? ???????????? ????????????. ?????? ???????????????? ??????? ????, ??? ???? ?????? ??????? ? ???, ????????? ???????? ?? ???????? ? ??????? ??????????? ???????, ? ???? ??????? ??????? ??????????? ??????????? ? ????? ?????????. ???????? ? ????????????? ??????????? ? ????? ??????? ? ??????? ?????-???? ?????? ???????? ????????? ????????, ?????????? ?? ????????? ???????? ??????????, ??? ???????, ??? ???????? ?? ?????, ????? ???????, ??????? ??????????? ????? ????????????. ??????? ??????????? ?? ?????? ?????????, ?? ? ???????.

? ????????? ?????? ???????????? ???????????? ???????? ????????? ??????? ? ??????????????? ?????? ??????? ????????????? ???????, ??????? ???????? ????????? ????????: ? ??????? ? ????????????? ???????? - «???????????? ????????», ? ???????????? ? ???????????????? ?????????? - «????????? ??????», ? ????????? «?????????????? ???????????», ? ?????????? ??????? ????????????? - «???????????». ????? ????? ????, ??? ??? ??? ????????????? ? ?????????? ?????????? ???????? ??? ?? ?????? ?????, «????????? ????????», ??????? ?????????? ?????????? ? ?????, ?????????? ???????? «????????? ??????». ? ????????? ????? ????????? ?????? ???????? ??????????????? ???????????, ??????? ???? ?????? ????????????, ???? ?????????? ?????? ??????? ??????? ? ???? ?????????? ???????. ??????? ?? ???????? ?????????? ???????????, ????????? ?????? ?????????? ??? ???????? ??????????? ??????? ???????????? - ??????????, ?????????????, ?????????????? ??????? ? ???????? ????????????.

ю ????? ?????????? ? ??????? ????? ?????????? ??????? - ??? «????????????» ???????? ?? ???????? ???????????? ??????, ????????? ??????? ?? ???????????????, ????? ?????????? ???????????? ??? ?????? ?? ??????????? ???????, ?.?. ??, ??? ?????????? «??????????? ??????».

?????? ???????? ????? ????????????? ??????, ????????? ? ????????????? ??????. ?????? ?????? ??????????? ????????, ??? «?????? ????????? ?????? - ?????? ?? ???????? ?? ??????». ???? ? ??????????? ??????? ????????? ???????, ??? ?? ??? ????????????? ???? ????????, ????????? ???????? ?????, ??? ???????????? ???????? ?????????? ?????? ???????? ??????? ??? ???????? ?????????? ???????? ? ????????? ????? ??????? ????????, ????????? ??????????????? ? ??????????. ??????? ?????????? ????????? ??? ?????? ?? ????????????, ??? ???????? ? ???????? ? ????????? ?????????????? ??????. ????? ????? ?????????????? ???????????? ???????? ? ???????? ?? ??? ??????, ??????? ?????????? ??? ?????????? ??????.

1.2. ?????? ? ?????????????. ????????????? ???????

????????????? ??????? ???????? ????? ??????????????? ????????, ??????, ??????? ? ???????????? ????????? ??????? ?????? ??????. ????????, ??????? ? ???????????? ?????? ???????? ????????, ??????? ??????? ???????????? ??????. ??????? ???????? ???????, ??? ?????????? ??????? ????? ?????? ? ??????? ?????? ? ?????????? ???????????, ?.?. ?? ??????????? ???????????? ? ??????? ???????? ???????. ????? ????????? ???????? ??????? ??????????? ???????? ???????? ???? ??????: «?????? ???????!», ???????????? ?????? ??????, ????????????? ???????????????? ??? ??????????????? ??????????.

? ????????? ????? ??? ?????????? ?????? ?????????? 3 ????:

А--????????????? ????????????;

Б ???????????;

В ?????????????.

ю ??????? ?????????? ??????-???????????, ??????? ? ???????????? ???????? ????? ???????? ??????-????????, ???????????? ???????????? ??? ???????? ? ?????????????? ?????????, ?????? ????? ???????????? ????????????:

- ?????????;

- ???????????;

- ???????? ???????????? ? ?.?.

ю ? ?????? ??????? ?????????????? ?????????? ????????? ??????????? ????? ??????????? ?????????????? ????????? ?? ?????? - ???? ???????????, ???? ??? ????????? ????????????? ?????? ?????? ? ???????? ? ??????? ??????.

Pa?????? ??????? ?????? ????? ?? ??????? ?????????????? ??????? ? ????? ?????????? ? ????? ??????? ? ?????????????? ? ????. ????????? ?????? ?????? ??????????? ?????? ???? ? ??????????? ????? ???????????? ???????? ?? ????? ????????? ?? ?????????????? (?????????????) ? ??????????????, ??? ????????????? ??????? ????? ?? ????????????? ? ????????????.

ю ?????????????? ?????? ????????????? ?? ??????????? ?????? ? ??????????, ??????? ??? ?????? ??????????. ?????????????? ?????? ???????? ?????? ??????????? ? ????????????? ??????, ????????? ?????????? ????? ?????? ? ??????????. ??????? ??? ??????????? ??????????? ????? ??????? ? ??????????? ?????? ?????? ?????????? ????? ??????????? ? ??????? ????????? ??????.

ю ?????????????? ?????? ???????? ????????? ??????????, ????????? ??????????? ???????????? ????????, ???????? ????????????? ????????? ?????????? ???????? ??? ?? ??????????, ?.?. ???????? ??????? ?????????????? ?????. ??????y ??? ??????????? ??????????? ????? ??????? ? ??????????? ???? ????????? ?????? ?? ????????? ?????????? ???, ????? ?????????? ?????????? ? ??????. ????? ???????, ?????????????? ?????? ????? ??????????? ????????, ?????? ???? ???????, ??? ??????? ??????????? ????????????????. ????????? ?????????????? ??????? ?????? ?????, ??????? ???????, ??????? ??????? ? ?.?.

?????? ????????? ????????????? ????? ????????????? ????? ??????? ??????? ??????? ?? ??????????? ? ????????????.

ю ??? ????? ????? ??? ????? ???????????? ?????? ??????????? ????????? ??????? ? ???????????? ?????? ???????, ?????? ???? «???????????? ??????????» ???????. ????? ?????? ?????????? ????????????. ???????? ???????? ??????????? ?????? ??????.

ю ? ??? ?? ???????, ????? ????????? ????????????? ? ??????????? ???????? ????????? ?????????, ????????? ???????????? ?????? ??????.

? ???????????? ???????? ??????? ??? ???? ?????????? ??? ?????????? ??????? - ???????? ?????? ???????? ? ???????? ?????????? ????????????? ????. ?????????????? ????? ?????? ??????? ?? ??????????? (?????????) ? ????????????.

ю ????????, ??? ? ??????????? ??????? ????????? ???????? ??????????? ? ?????????????? ??????. ?????????????? ?????? ???????? ?????????? ?????????, ?? ????? ????? ?? ?? ????????????? ? ?????? ???????, ?????????? ???????? ??????????? ?????????? ??????. ?? ?????? ?????, ????? ??????? ?????? ????? ??? ????? ??????????? ??????, ??? ? ??????? ??????? ? ??? ???????????? ??????????.

1.3. ???? ??????? ???????

????? ????????? ???????????? ??????????? ????? ???? ???????, ?.?. ???????? ? ?????-?? ????????? ????????, ????? ?????????? ? ??????? ?????? ???? ??????????? ????????? ???????. ?????????? ?????? ??????? ???????????? ?????? ???????, ??? ??????? ??????? ???????????, ??????????? ??? ??????? ???????.

ю ?????? ?????, ??? ???????, ??????????????? ? ???????? ???????? ??????. ??????? ????? ??????? ??????. ???????? ?????? ??????? ???????? ??????????, ???????????????? ?????? ?????????, ????????, ?????? ??????, ????????, ????? ? ?.?.

??????? ???????, ??? ??? ?? ?????? ?? ???? ??????, ??? ???-???? ???? ?????????? ?????????, ?????? ? ???????????? ?????????. ???? ?????, ????? ?????? ??????? ??????? ????????? ?? ???? ?? ?????????, ??? ? ????????, ?.?. ??????? ??? ??????????, ????????? ???????? ???????? ??????????? ????????????? ?? ????????. ????????, ??? ????????? ??????????? ?????? ???????? ? ???????????????? ????? ?????? ????????? ?????? ?????????? ???????????? ?????????? ????????????? ? ????????? ?????????????, ?????????????? ?????? ???????, ??????????? ???????? ? ???????????? ???????? ? ??????? ????????????, ???????? ??????, ???????? ? ????????? ???????. ?????? ??????????? ?????????????????? ?????? ? ????????? ? ?????????? ???????????? ?????????, ??????????????? ???????????? ????????? ?????????.

ю ?????? ??? ??????? ????? ??????? ? ?????????? ?????????? ?????????. ????????? ??????? ????? ?????????? ? ??????? ?????????? ?????????? ? ??????? ? ?????????????? ? ???? ??????????? ???????? ??? ?????????? ?? ??????????? ?????????????? ??????? ? ?????????? ????? ?????? ???????????? ? ???????? ????????? ?????????????. ???????? ??????????? ???????? ????? ??????? ??????????????????? ???????? ????? ????????? ? ????????????? ????????.

?????????, ??? ?????? ?????????????? ????????????? ? ???????????? ????????? ??????????? ??????????? ???????????, ???????? ??????? ? ?????? ?????????? ????????????? ??????????, ???????? ? ??? ?????????. ???? ???????, ?????????? ????????? ????????, ????? ?????? ? ???? ???????? (??????? ?????????? ???????) ? ????? ? ???????? ?????? ???????????. ?????????? ?????????????? ?????? ????????? ????? ??????? ????? ??????? ????????????????? ?????????, ??????????? ?????, ????? ???????, ??????, ?????? ????????, ???????????? ???? ??????????. ????????????? ??????????? ???????? ? ???????? ???????????? ???, ??? ????????????? ??????? ????? ???????? ? ?????????????, ??? ???? ????????? ???????????? ??????.

ю ??????, ?????? ????? ??????? ?????????? ??????, ??????? ??????? ????????? ?? ???????? ?? ??????, ?? ?????????, ? ??????????????? ? ?????????? ??????????. ????? ??????? ?????????? ????????. ? ???????? ????????? ??????? ?????????? ????? ???? ????? ?????, ????????? ??? ???????? ???????? ????????????? ?????????? ??????????? ???????. ????????? ????????? ??????? ?????? ?????? (?????? ?????????), ????????????? ???????? (?????? ?????????), ???????????? ??????? (?????? ?????????).

????????, ???????? ??????????? ?????????? ? ??????? ?????? ??????? ?????? ?? ????????. ???????? ???????? ????? ????? ?????? ???? ?????? ????????? ?????? ?? ??? ???, ???? ? ????? ?? ????????? ?????????? ???????? ?????, ?????????????? ?? ????????????????. ??????? ? ????????? ????? ????? ?????? ???????????? ????????, ?? ??? ?? ??????, ? ??????? ?? ??????? ??????? ?????, ??????? ???????????? ???????????? ???????? ??-?? ??????? ???????????? ???????. ???????? ???????? ?????????? ???????? ???????: ?????? ? ???? ??????? ???????? ???????? ??????? ?????? ????, ?? ????, ?? ???? ?? ????? ???????? ????????? ? ???????? ??????? ??????.

1.4. ???????????? ???????

ю ??????, ? ??????? ??????? ??????? ??????????? ???????????? ????, ????? ???????? ?????????? ???? ????. ???????????? ????????, ??? ?????????? ???????, ???????? ? ???????????? (??????????) ?????? ????????? ?? ??????, ? ???? ? ??? ????, ??????? ?????????? ?????????? ???????????? ????.

? ???? ??????? ??????? ?????? ???? ???????????? ????????? ?????, ?.?. ??????? ?????? ????????? ???? ??????? ?? ??????? ?????????? ?????????? ???? ? ?? ???????. ???? ? ???? ?? ???? ?????? ????????????? ???????? ???? ????????????, ?? ?????? ????????? ?????? ??????????? ???????????. ?????? ? ????? ??????? ????? ????????????? ???????, ??????? ?? ????????????? ?????? ?.e. ? ?????????? ? ???????? ?????? ??????? ???????? ??????????, ?? ???????????? ???????????????? ? ???????????? ??????? ?.e. ??????????? ???? ???????????? ?????? ?? ?? ????????, ?? ????????? ???????, ?.?. ?????????? ?????????? ?????? ? ????? ????????? ?? ????????.

?????????????? ?????? ?? ??????? ?????? ? ?????????????. ?????????????? ?????? ????? ???? ????? ???????, ?? ?? ???? ??????? ?????? - ??? ?????? ?????? ? ???????? ????????? (???????????? ??????????? ??????? ?????? ??????? ???????? ??? ??????). ????????, ????, ??????? ???????????? ???????? ????? ??????, ?????? ???????? ??? ? ????? ?????????????. ??? ????????? ???????? ???????????? ????????? ???? ???????? ?? ????? ???????? ?? ?????????, ?? ???-???? ??? ????? ???? ????????, ? ? ????? ?????? ???????? ???????? ?? ???????????? ??????? ????????, ???? ??? ????????? ????????? ????? ?? ?????????? ?? ?????????. ? ??????????? ???????????? ?????????? ?? ????? ????? ??? ???????, ????????? ???????? ?? ?????? ???????? ?????? ????????? ???????????????? ???????? ??????.

????????? ???????? ??????? ????????? ??? ????????? ??????? ???????? ? ??????????? ???????: ??? ????? ?? ??????? ????? ??????? ??????, ??? ????????? ???, ????????? ??????? ????, ?????????????? ??????? ? ????????? ??????? ?????.

???? ??? ????, ???????? ??????????, ?????? ???????????? ??????. ??????-?? ???????????, ??? ?? ???? ???????, ????????? ?????? ??????????? ???????, ?? ??????, ??????? ?????, ????? ? ??????. ??????????????? ?????? ???????? ????????? ?????????? ???????? ??????, ???? ? ?? ????? ?????????? ????????, ? ????????????? ??????? ??????. ??????? ? ????????????????? ?????? ????????? ??????????? ???????? ???????. ??????? ????????, ??? ???????? - ?????? ??????.

2. ?????????????? ?????? ? ?????? ?? ???????

2.1. ??????? ????????????? ????????????

B?????? ?????????????? ?????? ???? ???????????? ??? ??????? ???????????? ?????? ? 30-? ????? ? ?????????????? ??? ???????? ??????? ???????????????? ???????. ??? ?????????? ?????? ??????? ???? ?????????? ?????? ????????? ??????????????. ??????? ??????????? ? ???????? ???????????????? ???????????? ????????? ???????? ??????????, ??????? ???????????? ??????????? ?? ?????????? ?????????????? ???????. ? ??? ????? ??????? ??? ???????? ??????: «???????????? ????????????», ??????????????? ???????????? ??????? ????????. ? ??????????? ???? ???????????? ???????????? ??? ???????????? ???????? ??????????? ??? ?????, ?????????? ??????? ??????????? ??? ?????? ??????????? ??????? ??? ?????????? ????????? ?????????? ? ?????????.

??????? ??????? ???????? ?????? ? ?? ???? ?????? ????? ????????????. ?????? ??????, ????? ??????????? ??????? ?????? ???? ???????????. ?????? ??????? ????????, ??? ??????? ?????? ???? ????????????. ??? ??????? ?????? ??????????, ??? ??????? ??????? ???????, ?, ?????????????, ??? ????? ????????? ??????. ???????? ???????? ??????? ?? ?????? ?????????? ??? ? ?????????????? ??????? ????????? ????? ????? «???????????? ????????», ????????????? ? ????????? ???? ??? ????? ???????? ???? ??????????. ??? ????? ???????????? ???????, ?? ??????? ? ?????????? ?????? ??????? ????? ?????????????.

??????? ??? ????????? «???????????? ????????» ?????? ? ????????? ????????? ?????, ?? ?? ?????? ? ???? ?????? ???????????? ???? ? ?? ?? ??????????. ????????? ?????? ??? «????????????? ????????» ????????, ??????? ???????, ?????????????? ?????? ???????????, ????? ??? ????????, ??????????, ???????????? ????????????????. ?????? ? ???????????? ???????? ???????? ? ??????? ?????? ??? ? ?????????????? ???????. ???????, ????????? ?????? ?????????? ? ??????? «???????????? ????????» ????????? ??????? ?????, ?????? ?? ??????? ?????????? ??????? ? «?????? ????».

ю ??? ???????? «???????????? ????????» ?? ????? ???????? ?????????? ??????????????, ?????????????? ??????? ??? ??????????? ??????? ?? ???? ???????? ???????????????? ???????????? ????????????.

???????????? ?????? «???????????? ????????» ?????????? ? ????? ?????? ??????? ?????, ????? ? ??????????? ????? ??? ???? ???????????? ??????????? ?????? ??????????? ? ?????????????, ? ?????? ??????? ??????? ?????????? ??????? ??? ??????????? ??????? ??????????. ? ?????????? ???????????? ???????? ????????? ??????? ????? ?????????? ?? ????? ?????? ??????? ????????: ?????????, ?????????, ????? ? ???? ?????? ???????.

????? ???????? ??????? ??????? ??? ???, ???????? ?????? ?? ????, ????? ????? ? ????????. ??????, ??????? ???????? ????????????, ? ??? ????? ????????????? ??? ???? ???. ??????????, ??? ??? ??????? ??????? ?? ?????????. ??????? ????????? ??????? (???). ? ??? ?????? ???????? ????? ???????? ???????. ??????????? ??????????? ???????? (??? ????????????? ????????? ???????? ???????) ?? ?????????? ???? ??? ??????? ????????? ?????????????????? ??????? ??????????. ?????? ???????? ? ???, ??? ???? ???????? ???????????? ?????????, ????? ?????? ?? ????????? ??? ?????????, ???? ???? ???????. ?? ???? ????????????? ?????????? ??????? ???????? ???????????? ? ?????? ?????? ?????????? ?? ?????? - ??????. ???????? ????? ??????? ?????? ???????? ??????????? ??????? ? ??????? ??? ???????? ?? ???. 2.1.

????????

??????

--H

??????

????????

?????????

???

????? ?????????? ???????? (???)

--H

???????

???. 2.1. ???????? ????? ??????? ?????? ???????? ??????? ? ??????? ???.

????? ?????? - ????????? ??????. ????? ???????? ?????????? ?????? ????????????? ??????? ????? ?????????? ???:

А--?????? ????????????, ??? ???????, ??? ???????? ?? ??????? (???? ???? ??????? ????, ?????? ? ???????? ?? ?? ????);

Б ???? ????? ????? ? ????? ?????? ??????? ??????? ?????? ???? ????????? (??? ?? ?????, ???? ??? ????? - ???? ??? ? ????????? ?????).

????? ?????? ??????????? ?? ?????????????? ???????????. ????? ???????????? ?????????????? ?????????? ??????, ? ??? ???????????? ??????????? ? ?????????? ???????. ??? ????????? ????? ???? ?????????? ???????, ?? ?? ?????? ????????????, ??? ????????? ??? ???????????? ?????? ? ????????????? ?? ? ???? ?????????????? ??????.

??????? ?????? ????????? ?? ??????. ????????? ????????? ?.??????? ?????? ???: «???? ?? ?????????? ???????? ? ???? ?????? ??????? ????? ???? ????????????????, ?? ??????????? ? ??????? ??????????; ???? ??????? ???????? ??, ?? ??? ?????????? ????????????? ????? ???????????». ????? ???????, ????????????? ?????? ?????? ????? ????????? ????????????? ? ??????? ??????????????. ??? ?????????? ?????? ????????????? ???? ????????? ??? ???????, ???????, ?? ?????? ???????, ???????? ?????????? ????????. ??? ??????? ????????????? ? ??????? ??????????????? ????????????? ? ????????????? ???: ?????? ??????? ???????? ????????????? ???????; ???????????? ??? ??????????????? ??????????; ????? ???????? ??????? ???????? ?? ??????????????.

??????????? ?????? - ??? ?????????, ??????????. ??????? ????????: «???? ???? ??????? ?? ???? ? ?? ??, ??? ?? ????????, ??? ??? ????? ???? ? ?? ??». ? ????? ??????? ??????: «???? ???? ?????? ???? ? ?? ??, ??? ?? ??????, ??? ????????? ???? ? ?? ??». ??? ????? ? ?????? ???? ????????? ? ??????????? ?????????????? ???????. ???? ?????????????? ?????? - ??? ??????? ???????????, ?? ???????? - ??? ????? ???????.

????? ???????? ????????? ???????? ????? ????????????? ????????????:

А ?????????? ??????? ? ???? ???????? ??????;

Б ?????????? ??????;

В ?????????? ?????????????? ??????;

Г ?????? ??????;

Д ???????????? ?????? ? ?????? ???????? ??????. ???? ?????????? ?????????? ?? ????????????? ?????????????, ?? ??????? ???? ????????? ?? ???? 3, ?.e. ?????????? ??? ??????? ?????? ?????? ?????????????? ??????; ???? ????????? ?? ???? 2, ?.e. ????????? ?????? ????? ?????????;

Е ?????????? ??????????? ????????????.

????? ???????, ???????????? ???????????? ???????? ???????????? ?????????, ?????? ????????? ??? ???????? ?????????? ????????????? ? ??????? ??????? ????? ??? ????????. ? ?????? ????????????? ???????????? ????????? ?????????? ? ?????? ?????????????? ??????.

ю ?????????????? ?????? - ??? ??????? ?????????????? ???????????, ???????????, ? ??????????? ????? ??????????? ????????? ??????? ??? ???????.

ю ?????????-?????????????? ?????? - ??? ?????????????? ??????, ??????????????? ??? ???????????? ????????????? ????????.

?????????? ????????????? ????????????, ?????????? ? ?????? ?????????????? ?????? ????????? ???????????????? ???????? ? ??????? ??????????? ??????? ?? ?????????? ?? ??? ?????????? ???????????? ???????. ?????????? ?????????????? ??????? ?????????? ? ??? ???????, ????? ???????? ??????, ??????? ?? ???????? ????? ????????, ??-??????? ???????? ?? ?? ???????.

????????????? ?????????????? ??????? ????????? ??????????? ??????????????? ????? ??????????? ??? ??????? ? ??? ????????? ??????? ?? ???????????? ?????????. ??? ?????? ??????????, ? ????, ??????????? ???????, ????? ????????????????? ??? ??? ?????? ?????????????? ???????. ??????? ????????, ??? ?? ?????????? ???????, ??????????? «??????». ????? ???????, ?????????? ??? ??????? ?????????????? ??????, ?????????? ?? ?????? ??? ?????????? ?????????, ???????????? ????????????? ?????? ? ??????????????.

? ????????? ????? ?????????????? ?????? ??????????? ??? ???????, ??????????????? ? ?????? ??????????? ??????? ? ????????? ???????? ?????????. ??? ???????????? ? ??????????? ?????????? ?????????????, ?????????? ????????? ?????????, ?????????? ????????, ????????????? ????????, ?????????? ? ?????????? ????????, ??????????? ????????, ????????????? ?????????? ? ?.?.

2.2. ????????????? ? ???????? ??????????

?????????????? ???????

????? ???????? ????????? ???????? ????? ?????????? ?????????????? ??????:

А ??????????? ????, ?.e. ???? ????? ????????, ????? ???????????? ??????.

Б ??????????? ?apa?????? ??????, ?.?. ??????? ????????? ????????????? ????????, ?? ???????? ??????? ????????????? ?? ??????.

В ???????????? ??????????? ??????????, ??????? ???????? ??????? ????? ???????????? ? ???????????? ????. ???????? ??????????? ?????????? ???????? ????????? ??????.

Г ??????????? ??????? ?????????? ???????, ?.?. ??? ???????????, ??????? ?????? ????????????? ??????????? ??????????.

Д ????????? ??????????? ????????, ?.?. ???????, ??????? ????? ?????????? ????????? ??? ?????????????? ???????.

Е ????????? ???? ????? ??????????? ??????????, ????????? ? ??????????? ???????, ?.e. ???????????? ??????? ???????, ?????????? ????? ????????? ????????????? ??? ????????? ????????????? ??????.

?????? ????????? ???????? ???????????:

a - ????????? ??????;

x - ??????????? ?????????? ??? ???????;

X - ??????? ?????????? ???????;

x - ????????? ??? ?????????????? ???????;

W - ??????? ??????? ??? ???????? ????????????? (???????? ?????????????).

W=W (x, a, x)

? ???????????? ? ?????????? ?????????, ?????????????? ?????? ?????? ????? ????????? ???:

W=W (x, a, x) ® max (min) (2.1)

x О X

ю ?????? ?????? - ??? ?????? ????? ????? ??????????? ??????? x^*ОX, ????? ??? ?????? ????????????? ?????????? a ? ? ?????? ??????????? x ???????? ???????? ???????? ????????????? W ???? ?? ??????????? ???????????? (???????????).

W^*=W (x^*, a, x) = max (min) W (x, a, x)

x О X

ю ????? ???????, ??????????? ??????? - ??? ???????, ???????????????? ????? ??????? ?? ????????????? ???????? ????????????? (?????? ??? ??????????).

?????????? ????????? ???????? ???????? ?????????? ?????????????? ??????:

А ?????????? ?????????? ???????? ? ??????????? ??????, ??-??????, ? ????????? ?ex ???????? ??????, ???????? ??????????? ?????????????, ?, ??-??????, ? ???? ????????????, ??????? ????????? ????????.

Б ?????????????? ?????? ?????? ???????? ???????????? ????? ???????????? ??????? ? ??? ???? ?? ?????? ??? ?????? ????????.

В ?????????????? ?????? ?? ????? ???? ????????? ????????? ????????? ???????, ??????? ??? ??? ???????????? ????? ???????????? ????????? ???????, ??? ?????????? ??????? ????????? ?????? ?????????????? ??????. ???? ??? ???? ?????????? ??????? ??????????, ?? ???????????? ?????????????. ???? ?????????? ?????? ???????????, ?? ??????? ???????????? ?????????? ??????.

Г ????? ??????? ??????? ?????? ???????????? ????? ??????? ? ?????????? ????????????, ?????????????, ?????????????? ?????? ?????? ???? ?????????? (????????? ???????? ? ????????? ??? ???? ????????????).

?? ????? ????????? ????????????? ?????????????? ?????? ??????? ?? ????????????????? ? ??????????????????. ?????????????????? ?????????????? ?????? ???????? ??? ? ????? ????????.

?? ????? ??????????? ???????? ?????????????? ?????? ??????? ?? ?????????????????, ?????????????? ? ?????? ? ?????????? ????????????????.

ю ? ?????????????? ??????? ??????????? ??????? - ??? ????????? ????????, ??? ??????? ???????? ??????? ????????????? ? ????????? ?????????????? ?????????????? (?????????????? ????????, ?????????, ???????????????????? ?????????? ? ?.?.). ????? ?????????????? ????????????? ????? ????????:

- ?????? ??????????????? ????????????????, ? ??????? ???? ? ??????? ??????? (2.1), ???? ? ??????????? (2.2) ?????? ????????? ????????;

- ?????? ?????? ????????? ?????????, ??????????????? ??? ???????? ?????????, ????????? ??????? ? ?????? ?????? ??????? ???????? ????????? ?????????;

- ?????? ?????? ????????? ????????????, ? ??????? ????????? ?????????????? ???????, ??????? ????????????? ??????????. ????? - ? ?????????????? ??????? ????? ??????? ?????? ?????? ??????????, ?????? ? ???????? ???????.

ю ??? ????????????? ????????, ????????? ?? ????????, ??? ??????? ?????????? ??????? ?????????????? ?????? ? ???????? ??????? ?? ??????????, ???????????? ?????? ? ?????????? ????????????????.

ю ? ??????? ?????? ??? ?????? ?????????????? ? ???? ????, ? ??????? ????????? ????????? ???????, ???????????? ?????? ????, ????????, ??????????? ??????????? ? ???????? ???????????.

ю ? ???????????? ??????? ???????? ??????? ??????????????? ? ???????? ???????, ? ?????????????? ?????????? ????????? ??????????? ?? ????, ????????, ??????????? ????????????????? ????????.

ю ? ????????????????? ??????? ??????????? ??????? ?? ???????????. ???????? ?? ????????? ???????? ???? ???????, ? ??? ???????? ?????? ???????????? ??????, ? ??? ????? ??????????? ????????????? ?????. ?? ???? ??????? ??????? ? ??????????? ????????????????? ?????? ??????? ??: ????????, ??????????, ???????????? ? ???????????.

ю ? ???????? ??????? ??????? ??????? ? ??????????? ??????? ?? ??????????? ??????????. ?????????? ? ?????? ???????? ??????? ???????? ???????? ???????? ???????? ??????????????? ?????????????, ??????? ????? ? ??? ????????? ?????? ? ?????? ?????? ???? ?? ????? ??????????, ???? ? ???????? ???????. ??? ???????? ??????? ?????? ???? ? ?????????? ??????? ??????????? ???????? ??????????? ?????? ???????.

ю H????????? ?????? - ??? ??????, ? ??????? ???? ??????? ???????, ???? ?????-?????? ?? ??????????? (???? ??? ???????????) ????????? ?? ??????????? ??????????. ??? ?????????? ??????? ??? ??????? ?????? ???????. ? ??????????? ?? ???? ????????????, ??????? ??????? ? ??????????? ????? ?????????? ????????? ??????? ???????. ?????? ????? ???????? ? ???, ??? ??? ???????????? ?????????? ?????? ?????? ?? ?????????? ?????? ???????. ? ???? ?????? ?????? ??????? ?????????, ???? ????? ?? ? ????????? ???????? ???????, ???? ?????? ???????????? ??????.

ю ? ???????????? ???????, ? ??????? ?? ??????????? ???????? ? ?????????? ???????, ??????????? ?????? ???????. ???????? ????????????? ? ???????????? ??????? ????? ???? ?????? ?????? ???? (? ???? ?????? ?? ???? ????????), ?????? ??? ???? ?????? ??????????? ???????????? ????????. ?????? ???????????? ??????? ??????, ? ??? ?????? ?????????? ?????? ?????????? ????????????? ??????????? ???????? ???????.

ю ??????????? ?????? - ???????????? ?????, ????? ?????? ?????? ??????????? ? ???? ??????????? ?????????.

3. ????????? ???????? ?? ??????????

3.1. ???????? ?????????

?????????????? ????? ????????? ???????, ?????? ?????? ??? ????????? ????????????????.

ю ????????? ????? ?????????? ?????????, ???? ??? ?????? ? ?????? ????? ??????? ???????? ???????, ??????????? ??? ?????. ??????????? ????????? ???????? ???????? ????? ???????: ???????, ???????????, ???????, ????????? ?????????????? ????, ????????, ????????, ??? ? ?.?.

???????, ??? ???????? ????????????? ???????? ??? ?????????, ??? ???? ?????????? ?? ???? ??????? ?????? ?? ??????, ??????????? ? ?? ???????????.

ю ???????? ???????? ??????????? ????? ?₁, ?₂, ... ?_n?????????? ????? ????? ? ?????, ???:

?=a₁M₁+a₂M₂ + ... +a_nM_n,

??? a_i і 0 ? a₁+a₂+ ... +a_n=1.

ю ??????? ????????? ????, ????? ???????, ??? ????????? ????? ?????????? ????????, ???? ?????? ? ?????? ?????? ??????? ??? ???????? ? ???????? ???????????? ?????????? ???? ?????. ????????? ???????????? ????? ??????? ???????????? ????? ???????? ?????????? ??? ??????, ?? ??? ? ????????, ??? ???????? ????????? ?????? ? ????? ??????? ??????? ???????? ???? ??????????? ?? ???????.

????????, ??? ?????? ????? ????????? ??????????????, ??????? ?????? ??? ??? ?? ????? ?? ??????, ?? ??????????? ??????, ????? ???? ???????????? ??? ???????? ???????? ?????????? ?????? ????? ????? ??????????????. ????????, ??????? ?????????????? ?? ?????????????? ? ???? ???????? ?????????? ???? ?????-?????? ?????? ?????. ? ???? ?????? ??????? ?????????????? ???????? ?????????????? ???????.

ю ?????? ????? ?????????? ???????, ???? ??? ????? ? ???????? ???????????????, ?? ??????? ????, ???? ????? ????? ? ???? ????????????? ?????????? ?? ???? ??????? ?? ???? ??????. ????? ?????? ?? ?????? ?????????????? ????? ???????? ??????????? ????????? ??????? ?????. ? ???????????? ???? ?????????, ?? ???????? ? ???????? ??????? ?????? ???????? ??????? ??????? ?????????.

ю ??????? ?????????? ?????????? ?????? ?????????, ??????? ? ???????? ??????????????, ?? ??????? ????, ???? ????? ?????, ?????? ?????, ??? ???? ???????????? ?????????? ?? ???? ??????? ?? ???. ??????? ????????? ????? ????? ? ???????? ?????????????? ????? ????? (??????? ?????????????), ?????? (?????), ?, ???????, ????? ?????.

3.2. ???????? ???????????

?????????? ????????? ??????? ???????? ?????????? ? ???????, ??? ??????? ?? ????? ??????? ? ????????? ????????? ?????????????? ? ????????? ?????????????.

??? ?????? ?????????? ??????????? ? ????? ?????????? ????????? x₁, ???????? x₁<4. ???? ?? ????????? ???????? ?????? ?₁=4, ?? ??? ???????? ??? ????????? ?? ??? ????? - ?????????????: ? ????? ?? ???, ? ?????? ????? ?? ?????? ?₁=4, ????? ?????, ???????? ??????? ?????? 4, ? ?????? ?? ?????? - ?????, ???????? ??????? ?????? 4. ????? ???????, ??????????? x₁<4 ????????????? ?????????? ????????????? (???.1). ?????????? ?????? ??????????? ? ????? ??????????? ???? 3?₁+4?₂ < 12. ???????? ?????? ????? 3?₁+4?₂=12. ???????? ??? ????? ????????? ?? 12:

?? ???????? ?????, ??? ?????? ???????? ?? ???? ???????, ?????? 4 ? 3.

??????????? 3?₁+4?₂ < 12 ?????????? ????? ???????????? ???? ????? ?????????, ??????? ???? ??????, ?.?. ? ?????????????? ????? (???. 2).

????? ????? ???? ??????, ????? ?????? ????????????? ?????????? ?? ??? ???? ???????????, ?? ? ????? ????? ??????????? ????????? ?????????? ?????? ?????????, ?.?. ?₁=0 ? ?₂=0. ???? ??????????? ???????????????, ?? ??? ?????????? ?? ?????????????, ? ??????? ????? ?????? ?????????, ? ????????? ?????? - ?????? ?????????????. ????????? ??????????????? ?????????????, ????? ????????? ??????? ???????:

------------------------------------------------------------м3?₁+4?₂ Ј 12

------------------------------------------------------------нx₁<--2

------------------------------------------------------------о?₁ >--0 ? ?₂ > 0

?????? ?? ?????????? ??????? ?????????? ?????????????, ?????????? ?? ???.3 ????????.

?????????? ????????????? ???????? ????????, ??? ?????? ? ?????? ????? ??????? ???????? ???? ??????????? ?? ???????. ????? ???????, ?? ?????, ??? ???????? ????????????? ????? ?????? ????????????, ? ??????? ??????? ???????? ??????????. ???????? ????????? ? ????? ???????????: a₁₁x₁+a₁₂x₂+a₁₃x₃=b₁ ?????????? ? ???????????? ????????? ?????????, ??????? ????????? ??? ???????????? ?? ??? ????????????????.

? ????? ? ???? ??????????? a₁₁x₁+a₁₂x₂+a₁₃x₃ Ј b₁ ?????????? ???? ?? ???????????????, ? ???????? ??????????? ????? ? ???? ????????? ?????????. ? ????? ??????, ????? ??????? ?????????? ?????????, ???????????? ??????? ???????? ????????? ???????? ???????????? - ???????????? ???????. ??????? ??????? ??? ????? ????: ????????? ?????, ????? ??? ?????. ????????? ????? ?????, ????? ??????? ?????????? ????? ???? ???????????? ???????. ?????????? ????????? ???????? ??? ? ???????????? m ???????? ?????????? ? n ????????????. ?????? ????????? a_i₁x₁+a_i₂x₂+ ... +a_inx_n=b_i ???????? ?????????? ????????? ?????????????? ? n-?????? ????????????, ??????? ??? ?? ????????? ??? ???????????? ?? ??? ????????????????.

3.3. ???????? ???????? ????? ?? ???????? ?????????

???????????, ??? ?????? ????????? ??????? ?? m-???????? ?????????? (??? ?????????) ? n ??????????? ?₁, ?₂, ..., ?_n. ??????? ?????????? ? ?????? ???????????? ?????????? ????????? ???????? ????????? ? n-?????? ????????????, ???????????? ??? ??????????? (???????????? ???????).

???????? ?????, ??? ??? ?????? ????????? ???????? ????? ?? ???? ??????????, ???????????? ??????? ????:

¦=c₁x₁+c₂x₂+ ... +c_nx_n

? ?????? ????? ????????? ?????????, ?.?. ??? ??????? ??????? ????? ???????, ???????? ????? ¦ ????????? ???????????? ????????. ????????? ??????: ? ????? ?????? ????????? ????????? ???????? ????? ¦ ????????? ?????? ??????????? ? ??????????? ????????, ????, ???????, ????? ??????????? ??????? ????? ?????? ????????? ???????????????? ????????, ????? ???????, ? ?????????? ????? ????????? ?????????, ? ??????? ???????? ???????? ????? ????????? ???????????? ????????, ? ?? ???? ????? ????? (?₁, ?₂, ..., ?_n), ?????????? ??????? ??????????????. ???????????? ???? ?????? ???????????, ??????????? ??????? ??????.

ю ? ??? ???????, ????? ????????? ??????? ?????? ????????? ???????????????? ???????? ???????? ????????????, ???????? ????? ????????? ???????????? ???????? ? ????? ?? ??? ??????, ? ????? ? ??? ????????? ? ?????????? ?????????????? ???????.

? ????? ??????, ???????? ????? ¦=c₁x₁+c₂x₂+ ... +c_nx_n ?????? ?????????????? ? n-?????? ????????????. ??? ¦=0 ??? ?????????????? ???????? ????? ?????? ?????????. ????? ??????????? ??? ????????? ??????????? ????? ???? ? ??????????? ??????? P ??????????????? ? ???? ?????????. ?????? ?? ??????, ? ??????? ???????? ????? (??????????????) ???????? ???????? ????????????, ????? ??????, ? ??????? ???????? ????? ????????? ??????????? ????????, ? ????????? ?? ?????? - ??????, ? ??????? ???????? ????? ????????? ??????????? ????????.

????? ?????????, ??? ?????????????? ???????? ???????????? ????? ?? ?????? ??? ????? ????????? ?????????????, ? ????? ???????? ????? ¦ ????????? ?????? ??????????? ??? ??????????? ???????? ? ????? ?????, ??????? ?? ???? ?????. ?? ? ????? ??? ????????? ??? ???????? ? ???????, ??????? ?? ???? ?????.

?????????? ????????? ?????? ??????? ????? ????????? ????????????????. ????? ?? ???????? ??????? ? ????????? ??????? ??????? ???????? ??????????? ?????. ???? ????? ????????? ?????? ??????, ??????? ???????? ? ???????? ????????? ? ????? ??? ????? ???????????. ??????????? ????? ????????? ???????????????? ???????? ? ???????? ???????? ?????????? ? ??????? ?????? ??????????. ??? ?????? ???????? ??????????? ???????.

4. ??????? ????? ????????? ????????????????

4.1. ???????????? ??????

?????, ?????????? ? ?????????? ??????????????, ???????????? ???? ????????????. ??? ????????, ??????? ???? ?????????? ? ?????? ?? ?????????????, ?????? ?? ????? ? ??????? ??? ????????? ?? ??? ?? ???? ??????? ?? ????????????. ???????? ?????????? ????? ??????????????? ? ?????????????, ? ????? ??????? ????????? ????? ????. ???????? ??? ??????. ????? ??????????, ?? ??? ????????? ????????? ?????? ????? ???? ?? ?????? ????????????? ? ????? ????? ???????????. ????????? ??? ???? ???????? ???????????? ????????? ???? ????? ???????, ????? ??????? ?? ??? ???? ????????????.

????? ??? ???????? ?????? ????? 4 ????????????? ?₁, ?₂, ?₃, ?₄, ?????? ?? ??????????? ?????? ?????????? a₁, ?₂, ?₃, ?₄ ???? ????. ??????????? ?????, ??? ???? ????? ???? ????????? ? ?????? ??????????? b₁, b₂, b₃, b₄, b₅, ?????????????? ? ???????????? ????????????? ???? ???????. ????? ???????, ??? ????? ???????????? ???? ????? ????????? ??????????? ? ??? (?????????????????? ??????): a₁, ?₂, ?₃, ?₄ = b₁, b₂, b₃, b₄, b₅. ?????? ??????? ? ??????????? ?????? ????? ?????????, ??? ??????? ????? ????????? ????????? ???? ?? ??????????. ????????? ????? x₁₁ ?????????? ???? (? ??????), ??????????????? ? ??????????? ?? M₁ ? ?₁; ?????? ????? x_ij ????????? ?????????? ????, ????????????? ?? ????????????? M_i ? ????? ??????????? ?_j. ????? ????????? ?????? ???, ???????????? ? ??????? 4.1.

????? ????????? ??????? 4.1

	??	? ?₁	? ?₂	? ?₃	? ?₄	? ?₅	?????
??							??????????
?? М₁	?₁₁	?₁₂	?₁₃	?₁₄	?₁₅	a₁
?? М₂	?₂₁	?₂₂	?₂₃	?₂₄	?₂₅	?₂
?? М₃	?₃₁	?₃₂	?₃₃	?₃₄	?₃₅	?₃
?? М₄	?₄₁	?₄₂	?₄₃	?₄₄	?₄₅	?₄
????? ?????????	b₁	b₂	b₃	b₄	b₅

4.1

м?₁₁₊?₁₂₊?₁₃₊?₁₄₊?_{15 =}b₁

п?₂₁₊?₂₂₊?₂₃₊?₂₄₊?_{25 =}b₂

н?₃₁₊?₃₂₊?₃₃₊?₃₄₊?_{35 =}b₃

о?₄₁₊?₄₂₊?₄₃₊?₄₄₊?_{45 =}b₄

4.2

м?₁₁₊?₁₂₊?₁₃₊?₁₄₊?_{15 =}a₁

п?₂₁₊?₂₂₊?₂₃₊?₂₄₊?_{25 =}a₂

н?₃₁₊?₃₂₊?₃₃₊?₃₄₊?_{35 =}a₃

о?₄₁₊?₄₂₊?₄₃₊?₄₄₊?_{45 =}a₄

????? ?????????? ????, ?????????? ? ????? ?₁ ?? ???? ?????????????, ????? ?₁₁₊?₁₂₊?₁₃₊?₁₄₊?_{15 =}b₁; ? ?????? ?????? - ?₂, ?₃ ? ?.?. ? ?????? ??? ????????? 4.1. ????? ?????????? ????, ????????? ?? ?₁, ?????: ?₁₁₊?₁₂₊?₁₃₊?₁₄₊?_{15 =}a₁, ?????? ??? 4.2. ????????????, ??? ????????? ????????? ????? ??????????????? ?????????? ???????????? ????, ?.?. ????????? ????????? x_ij ???? ???? ?????:

x _i_j= C _i_j ^.--X _i_j

????? ????????? S ???? ????????? ????? ?????: (4.3)

S=c₁₁?₁₁+c₁₂?₁₂+c₁₃?₁₃+c₁₄?₁₄+c₁₅?₁₅+ ... +c₄₁?₄₁+c₄₂?₄₂+c₄₃?₄₃+c₄₄?₄₄+c₄₅?₄₅.

4.2. ????? ???????????? ?????? ????????? ????????????????

?????????? ???????????? ?????? ???????? ?????? ?? ??????????? ????????????? ???????? (????????, ????????????, ??????????) ? ?????? ? ?????. ??? ???? ????????????, ?? ?????? ??????????? ?????????? ?????? ?? ??? ???? ??????? ?? ?????????? ???????? ????????? ????????. ? ????? ?????? ??????????????, ? ?????? ?????? ?????? ???????? ?????????? ???????????, ?????? ?????????, ?????:

А ??? ???????? ????????????? ????????? ??????? ???????? ????????? ??? ??????????;

Б ??? ???? ????????? ????????? ???????? ??????? (???????? ?????) ?? ???? ??????????? ?????????? ? ??????? (????????);

В ??? ???????? ???? ????????????????.

???????? ?????? ???? ? ?????????? ???????? ????????????????.

ю ?????? ??????, ???????? ???????????????? - ??? ?????????????? ??????????, ????????? ?????? ?????????? ??????????? (??? ???????????) ???????? ???????? ??????? ?????????? ??????????, ??? ???????, ??? ????????? ???????????? ????????? ????? ???????? ????????? ??? ??????????. ????? ?????????????? ???????????? ?????? ????????? ???????????????? ???????? ????????? ???????.

???? ??????? ???????? ?????????:

--------------------------------------------------------------------------------------------------------м?₁₁x₁+?₁₂x₂+ ... +?₁_nx_n₌b₁

--------------------------------------------------------------------------------------------------------п?₂₁x₁+?₂₂x₂+ ... +?₂_nx_n₌b₂

(I)--н----... ... ... ... ... ... ... ...

--------------------------------------------------------------------------------------------------------о?_m₁x₁+?_m₂x₂+ ... +?_mnx_n₌b_m

? ???????? ??????? ¦=c₁x₁+c₂x₂+ ... +c_nx_n(II).

????????? ????? ????? ??????????????? ??????? ?₁ і 0, ?₂ і 0 ... ?_n і 0 (III) ??????? (I) ??? ??????? ??????? ¦ ????????? ?????????? (??????????) ????????.

????????? (I) ?????????? ????????????? ?????? ??????, ????????? (II) ?????????? ???????? ??????, ? ????????? (III), ?????? ??????, ???? ???????? ?????????????, ?????? ?? ?? ??????? ??? ????????, ????????? ??? ???????? ?????? ??? ???? ????? ????????? ????????????????, ? ?? ?????? ?????????? ??????. ????? ??????????????? ??????? ??????? ????????? ?????????? ??????????. ?????????? ???????, ?????? ??????? ??????? ¦, ??????????? ??????? (???? ??? ??????????) ?? ??????????? ???????????; ???????? ??????, ????? ??????? ???????????? ????????? ??????????? ???????. ???????, ???? ??????? ¦ ????? ???????? ???????? ?????? ??? ???????? ????.

???????? ??, ?.?. ?????? ????????? ???????????????? ???????? ??? ?????? ??????????? ????????? ??????? ¦, ?? ????? ????????? ???????????? ????? ????????????????? ??????????. ?????? ??????? ??????????? ¦ ????? ????????????? ??? ???????????, ??????? ? «????» ???????????? ?? ??????????.

4.3. ??????????? ?????????????

??????? ????? ????????? ????????????????

?????? ????????? ???????????????? (??) ????? ?????? ?????????????? ? ???????????? ????????. ????????????? ?????? ???????? ??????? ??? ??????? ?????? ?? ???. ?? ???????????? ?????????? ??????? ? ???, ??? ? ??????? ?? ??????????? ???????, ??? ???????????? ????????. ??????????? ?????? ????? ????????, ?? ??? ???????? ???? ??? ??????? ????? ?? ?????????, ?.?. ????? ??????????? ???????????? ?=2. ??????, ???????? ??????? ??????????? ??????????? ???????, ? ?? ??????? ?????????? ???? ??????? ?????? ?? ?? ??????? ?????? ????????????? ????????.

?????? ?????? ??? ???????? ????????, ??????? ????????? ?????????. ????? ?? ????? ??????? m ????????? ? n ???????????? (I).

???????? ????????? ????????:

А ????? ??????????? ??????, ??? ????? ????????? n < m.

????????: м2x₁=4, ? ???? ?????? n=1;

----------------------------------------------оx₁=5, ????? m=2 (????? ??????? ??????????? ?????????). (4.4)

????????, ??? ??????? (4.4) ??????? ?? ?????, ? ??? ???????????;

Б ????? ??????????? ????? ????? ????????? n=m.

? ???? ?????? ??????? ????? ???????????? ??????? ??? ?? ????? ?? ??????. ???????, ??? m ????? ????? ??????? ??????????? ?????????.

??? ???????: м2x=10, n=1, m=1;

------------------------------------------------------------о6x=30.

В ???? ????? ??????????? ?????? ????? ?????????, ?? ??????? ????? ???????????? ????????? ???????. ????? n > m. ????????:

2x₁+x₂=2 (4.5)

????????, ??? ??? ????????? ??????, ? ??? ???????? x₁ ? x₂, ??????? ?? ???? ??????, ???????? ???????? ????????? (4.2). ?????? ????????? (4.5) ????? ???????????? ????????? ???????.

? ??????, ????? ??????? ????? ?????? ?????? ?????????? ???????, ????? ???? ?????????? ?????? ???????????, ???? ??????? ? ???, ??? ?? ???? ?????????? ???????, ??????????????? ???????????? ? ????????? ????????, ??????? ?????, ??????? ??????? ??????? ??????? ???????. ???????? ?????????? ???????? ????????????. ????? ???? ?????????:

a₁x₁+a₂x₂=b (4.6)

??????????? ??? ? ????:

(4.7)

?????? (4.7) ???????? ?????????? ?????? ? ????????, ??? ?????????? ?? ???. 4.1. ?????????? ??? ???? ????? ????????????? ????????? (4.6). ??????? ??? ????????? ? ????:

a₂x₂=b-a₁x₁

???

x₂=F-kx₁(4.8)

????????? (4.8) ?????????? ?? ???. 4.2.

???????? ???????????. ???? ???????? ????????? ? ????? ??????????? ????? ???? ???????????? ? ???? ?????? ?? ?????????, ?? ??????????? ????:

a₁x₁+a₂x₂ Ј b (4.9)

???????????? ??? ?????????????, ?????????? ?? ???. 4.1. ?? ???? ??????? ????? ?????????, ??????????????? ???????????, ????????????. ?????????? ???? ?????, ????????????? ??????????????? ???????, ????? ????? ???????? x₁ ? x₂, ??????? ????????????? ????????? ???????????. ??????, ??? ???????? ?????????? ??????? ?????????? ??????? (???). ???? ?????? ??????? ????????????? ?????? ?? ???? ????????? ??????????????. ??????????? ??????, ??? ?????? ?? ???? ???????????, ? ???????:

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------м?₁₁x₁+?₁₂x₂Ј b₁

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------п?₂₁x₁+?₂₂x₂Ј b₂

(4.10) н----... ... ... ...

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------о?_m₁x₁+?_m₂x₂Ј b_m,

??? ?????? ??????????? ?????????? ????????? ????????????? ?₁, ?????? - ????????????? ?₂ ? ?.?.

???? ?????-???? ???? ????? (x₁, x₂) ????????????? ???? ???????????? (4.10), ??, ??????????????? ????? ?(x₁, x₂), ??????????? ???? ?????????????? ?₁, ?₂, ... ?_m ????????????. ??????? ???????, ????? ? ??????????? ??????????? (????? ?????) ?????????????? ?₁, ?₂, ... ?_m, ?.?. ????????? ????????????? ??????? ? (???. 4.3), ??????? ???????? ???. ????? ??????? ??????? ?????????? ??????, ?????? ?????? ???????. ??? ???????????? ?????????, ? ????? ??????? ?? ?????? ?????? ????? ??????????????? ?????????????, ?? ?? ????? ??????? ? ? ??????? ??????? ?? ?????? ?????. ????? ?? ???????, ??? ??? ?? ?????? ??????, ??????????: ? ?????????? ??????????? ?????????? ?????????????? ????? ?????????? ? ?????????????? ??????? (???. 4.4). ???????? ? ??????, ????? ??????? ?????????? ??????? (???) ?????. ??? ????????, ??? ??????? (5.7) ????????????? (???. 4.5). ????????????? ??? ???????? ?????? ?????? ?????????: ?? ???????? ????????.

ю ?????? ?????????? ????????, ???? ?????? ? ?????? ????? ?????? ??????? ? ? ?, ??? ???????? ? ???? ??????? ??.

? ?????? ???? ???????????, ?????? ????????? ???????????? ????? ????????? ? ????????????. ?????? ????????? ????????? ??? ???????????? ?? ??? ????????????????. ??????? ?????????? ?????????? ? ???????????? ???????? ???????? ????????????, ??????? ???????????? ???.

5. ?????? ???????

????? ????????? ????????????????

5.1. ????? ? ???????? ?????? ????????? ????????????????

? ?????????????? ??????? ????????? ???????????????? ???????? ???????????? ?????????? ???????????????-????????????? ????????, ??????? ? ??? ??? ???? ???? ???????????????? ??? ?????? ?? ??????????? ????????????? ???????????? ???????? (?????? ? ???????, ?????? ? ?.?.).

?? ???? ???? ??????? ????????? ????? ???????? ??? ??????? ???????? ??????? ??? ???????, ??? ?? ?????????? ????????? ??????????????? ???????? ? ????????????? ????????? ??????? ???????? ????????? ??? ???????? ?????????? ???? ???????, ?????????? ??? ???????? ???????????, ??? ? ???????? ?????????. ?????? ?? ???x ????? ???????? ??????? ??????? ????? ?????? ????????? ????????????????.

ю O???? ??????? ????????? ???????????????? ?????????? ??????, ??????? co????? ? ??????????? ????????????? (????????????) ???????? ???????:

(5.1)

??? ???????:

(5.2)

(5.3)

X_j і 0 (j=1, 1; 1 Ј n) (5.4)

??? a_i_j, b_i, ?_j - ???????? ?????????? ???????? ? k Ј m.

ю ??????? (5.1) ?????????? ??????? ???????? (??? ???????? ??????) ?????? (5.1)-(5.4), ? ??????? (5.2)-(5.4) - ????????????? ?????? ??????.

ю ??????????? (??? ????????????) ??????? ????????? ???????????????? ?????????? ??????, ??????? ??????? ? ??????????? ????????????? ???????? ??????? (5.1) ??? ?????????? ??????? (5.2) ? (5.4), ??? k=m ? 1=n.

ю ???????????? (??? ????????) ??????? ????????? ???????????????? ?????????? ??????, ??????? ??????? ? ??????????? ????????????? ???????? ??????? (5.1) ??? ?????????? ??????? (5.3) ? (5.4), ??? k=0 ? 1=n.

ю ???????????? ????? ?^* = (x₁, x₂, ..., x_n), ??????????????? ???????????? ?????? (5.2)-(5.4), ?????????? ?????????? ???????? (??? ??????).

ю ???? ?^* = (x₁, x₂, ..., x_n), ??? ??????? ??????? ??????? ?????? (5.1) ????????? ???? ???????????? (???????????) ????????, ?????????? ???????????.

???????? ??????? ??????? (5.1) ??? ????? X ????? ?????????? ????? F(X). ?????????????, ?^* - ??????????? ???? ??????, ???? ??? ?????? X ??????????? ??????????? F(X) Ј F(?^*) (?????????????? F(X) і F(?^*)).

5.2. ?????????????? ????? ???????

????? ????????? ????????????????

????????? ???????? ?????? ????????? ???????????????? ? ????????? ?????: ????? ???????? ???????

F=CX (5.5)

??? ????????:

x₁P₁+x₂P₂+ ... +x_nP_n = P₀ (5.6)

? і--0 (5.7)

??? C = (?₁, ?₂, ..., ?_n), ? = (?₁, ?₂, ..., ?_n); ?? - ????????? ????????????; ?₁, ?₂, ..., ?_n ? ?₀ - m-?????? ??????-???????, ???????????? ?? ????????????? ??? ??????????? ? ????????? ?????? ??????? ????????? ??????.

ю ???? X = (?₁, ?₂, ..., ?_n) ?????????? ??????? ?????? ???????? ?????? ????????? ????????????????, ???? ??????? ???????? P_j, ???????? ? ?????????? (5.6) ? ?????????????? ?????????????? x_j, ??????? ??????????.

???????? ????????? ?????? ???????? ?????? ????????? ???????????????? ???????? ???????? ????????????. ?????? ??????? ????? ????????????? ?????????? ??????? ????. ? ????? ?? ?????? ????????????? ??????? (?.?. ??? ?????? ?? ??????? ??????) ???????? ??????? ??????? ???????? ???????????? (??? ???????, ??? ??????? ?????????? ?????? ?? ????????? ??????). ???? ???????????? ???????? ??????? ????????? ????? ??? ? ????? ???????, ?? ??? ?? ???????? ??? ????????? ? ????? ?????, ?????????? ???????? ???????? ??????????? ?????? ??????.

??????? ????????????? ???????, ? ??????? ??????? ??????? ????????? ???????????? ????????, ????? ???????????? ??????, ???? ??????, ?????????? ? ????? ???????????, ???????? ?? ????? ???? ?????????? ??? ??????, ?????????? ? ????? ????????, ???????? ?? ????? ???? ????????? ??????????. Ha???? ??????? ??????, ????????? ? ??????????? ????????????? ???????? ???????:

F=c₁x₁ + ?₂?₂ (5.8)

??? ????????:

a_i₁x₁+a_i₂x₂ Ј b_i (i=1, k) (5.9)

x_j і 0 (i=1,2) (5.10)

?????? ?? ?????????? (5.9), (5.10) ??????? ??????????? ?????? ????????????? ?????????? ????????????? ?????????????? ? ?????????? ??????? a_i₁+a_i₂=b_i (i=1, k), x₁=0 ? x₂=0. ? ???? ??????, ???? ??????? ?????????? (5.9), (5.10) ?????????, ??????? ?? ??????? ???? ????????? ?????, ????????????? ???? ????????? ??????????????.

ю ??? ??? ????????? ????? ??????????? ?????? ?????????????? ????????, ?? ???????? ?????????? ??????? (???) ?????? (5.8)-(5.10) ???????? ???????? ?????????, ??????? ?????????? ??????????????? ???????. ??????? ????? ?????????????? ????? ?? ??????, ????????? ??????? ?????????? ?? ???????? ??????? ??????????? ??????? ?????? ?????????? ?? ????? ?????? ????????.

????? ???????, ???????? ?????? ????????? ???????????????? ??????? ? ?????????? ????? ????? ??????? ?????????? ???????, ? ??????? ??????? ??????? F ????????? ???????????? ????????. ??? ????? ?????????? ?????, ????? ????????????? ??????? ?? ???? ? ?? ??? ??????? ??????? ?????????? ??????. ??? ????????? ???????? ? ????? ?? ?????? ??? ??????? ??????? ????????? ???????????? ????????. ??? ??????????? ?????? ??????? ???????? ????? ?????? c₁x₁+c₂x₂=h (??? h - ????????? ??????????), ?????????? ????? ???, ? ????? ?? ??????????? ? ??????????? ??????? C=(?₁; ?₂) ?? ??? ???, ???? ??? ?? ??????? ????? ????????? ?? ????? ????? ? ??????????????? ???. ?????????? ????????? ????? ? ????????? ??????????? ???? ?????? ??????.

??? ?????????? ??????? ?????? ????? ??????????? ??????, ???????????? ?? ???. 5.1-5.4. ???. 5.1 ????????????? ????? ??????, ????? ??????? ??????? ????????? ???????????? ???????? ? ???????????? ????? ?. ?? ???. 5.2 ?????, ??? ???????????? ???????? ??????? ??????? ????????? ? ????? ????? ??????? ??. ?? ???. 5.3 ????????? ??????, ????? ??????? ??????? ?? ?????????? ?????? ?? ????????? ?????????? ???????, ? ?? ???. 5.4 - ??????, ????? ??????? ??????????? ?????? ???????????.

O??????, ??? ?????????? ???????????? ???????? ???????? ??????? ??? ?????? ??????? ??????????? ?????????? ?? ?????????? ?? ????????????? ???????? ??? ?ex ?? ???????????? ???? ???, ??? ????? ?????? c₁x₁+c₂x₂=h ????????????? ?? ? ??????????? ??????? ?, ? ? ??????????????? ???????????.

????? ???????, ?????????? ???? ??????, ????????????? ??? ?????????? ????????????? ???????? ??????? ???????, ????? ????? ? ??? ??????????? ?? ???????????? ????????.

??? ????, ??? ??????????? ??????? ????????? ? ????? ?? ?????? ?????????????? ???, ????????? ??????? ??? ??? ?????? ??????:

А--???? ??????????? ???????? ???????? ?????????? ??????? ?????????????? ???, ??????, ??????? ?????? ????? ???, ??????? ?????????? ??????? ??????? ? ??????? ??????????? ??????? ?? ???? ???????? ????? ????? ??????.

Б ?????????, ??? ?????? ??????????? ????? ??????, ??? ?????? ??????, ?o, ?????????????, ??? ?????? ??????? ??????? ?, ?????????????, ??? ?????? ??????????? ??????? ?? ???? ????????.

?? ???????? ????? ??????? ?????, ??? ???????, ?????????? ??????? ???????? ??????????? ????????, ???????????? ????? ??????? ??????, ??????????? ??????? ???????. ??????, ?????? ??????? ????? ??????????????? ???????????? ??????? ??? ????????? ??????? ???????. ????, ?????????? ??????? ?????? ????????? ???????????????? (5.8)-(5.10) ?? ?????? ?? ?????????????? ????????????? ???????? ????????? ?????.

????? ?????????? ??????? ?????? ????????? ????????????????:

А ?????? ??????, ????????? ??????? ?????????? ? ?????????? ?????? ? ???????????? (5.9) ? (5.10) ?????? ?????????? ?? ????? ?????? ????????.

Б ??????? ?????????????, ???????????? ?????? ?? ??????????? ??????.

В ??????? ????????????? ??????? (???).

Г ?????? ?????? C=(?₁; ?₂).

Д ?????? ?????? c₁x₁+c₂x₂=h, ?????????? ????? ????????????? ???????.

Е ??????????? ?????? c₁x₁+c₂x₂=h ? ??????????? ??????? ?, ? ?????????? ????-???? ??????? ????? (?????), ? ??????? ??????? ??????? ????????? ???????????? ????????, ???? ????????????? ???????????????? ?????? ??????? ?? ????????? ??????.

Ж ?????????? ?????????? ????? ????????? ??????? ? ????????? ???????? ??????? ??????? ? ???? ?????.

5.3. ??????????? ??????? ?????? ????????????? ????????

????? ??? ???? ????? ????????? ?₁ ? ?₂ ????????? ????????, ???????????? ? ?????????? ???????. ??????? ???????? ??????? ???? ? ?? ????? ???????, ??????????? ??? ??????? ??????? ?????????, ????????? ? ????. 5.1.

??????? 5.1

??????????????	??? ?????????	????????.
	?₁	?₂	??????
???????:
????????	1	4	14
????????????	3	4	18
??????????	6	2	27
??????	1	1	---
???????	4	8,5	---
????	?₁	?₂	---

???????? ?????????????? ?????? ??????.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------мx₁+4x₂Ј 14

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------п3x₁+4x₂Ј 18

(5.11) н6x₁+2x₂Ј 27

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------оx₁ і 0, x₂--і--_.

?????????????? ?????? ???????????? ????? ??????? ???????? ??????????. ?????? ??? ????? ?????? ???????? ?????????????. ??? ???????? ?????????? ??????????? ????? ???????? ? ?????, ??????????? ?????????? ? ????????:

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------мx₁/14+x₂/7/2 Ј 1

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------пx₁/6+x₂/9/2 Ј 1

(5.12) нx₁/9/2+x₂/27/2 Ј--1

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------оx₁ і 0, x₂--і--_.

???? ?? ????? ????? ??????????? ???????, ?? ?????? ??????? ??????? ???????. ????????, ?? ?????, ????? ??????? ???? ??????????? ? ?????? ???????????? ?????????? ???????. ????? ??????? ???????:

F=x₁+x₂ ® max (5.13)

??? ??????????? ?????????? ? ???? x₂= F-x₁. ?? ??????? ??????? ????????? (???. 5.1) ???????, ??? tga--= -1, ??? ???? a =135^?, ? ???????? F ????? ???????, ??????????? ?????? ??????? ???? ?? ??? ?????????. ???? ?????? ?????????? ??????????? ????? ???? ? ???????????, ????????? ?????????, ?? ??? ???????? ????? ??????????. ????????, ??? ??????????? ???????? ????? ?????????? ????? ? (x^*₁; x^*₂). ??? ???? F=F^*.

?? ????????? ??????????????, ????? ??????? ????????????? ?????? ?????: ??????????? ???????? ???????? ?????????? ?????? ???. ? ?? ????? ?????? ??????? ????? ??????? ?????? ????????? ????????????????.

????? ??????? ?????? ????????? ????????????????:

А ????? ??????? ???, ??? ????? ??????????? ???????????.

Б ?????????? ??????????????? ???????? ??????? ??????? ? ????????.

В ???????, ? ??????? ??????? ??????? ??????????? ??????????? ????????, ???????? ??????????? ????????.

Г ?????????? ??????????? ??????? ???????? ???????????? ?????????? ??????? ??????????.

???? ??????????? ??????? ??????? ????????? ? ???????????? ????? ?? ??????, ?? ? ?????? ?????, ?? ??????? ????, ??? ???????. ? ????? ?????? ???????, ??? ?????? ????? ?????????????? ???????. ? ??? ??????, ??? ???? ? ?? ?? ??????????? ???????? ??????? ??????? ????? ???? ???????? ??? ????????? ????????? ??????????.

??? ????, ??? ??????????? ??????? ????????? ?? ??????? ???, ???? ??? ??? ????? ?????? ??????:

А ???? ??????????? ???????? ???????? ?????????? ?????? ???, ??????, ??????? ?????? ????? ???, ??????? ??????????? ??????? ????? ????? ??????.

Б ????????? ??? ?????? ???????????, ??? ?????? ??????, ??, ?????????????, ??? ?????? ???????????, ??? ?????? ??????????? ???????.

??? ????? ?? ???. 5.1, ???????, ?????????? ??????? ???????? ??????????? ????????, ???????????? ????? ??????? ??????, ??????????? ??????? ???????. ??????, ?????? ??????? ????? ??????????????? ???????????? ??????? ??? ????????? ??????? ???????. ??????? ??? ?? ????????????? ????? ???????. ?????? ?? ???????? ??????????? ??????? ?? ???????????? ?????????? ??????? F₁=x₁+x₂ ® max. ?????? ??????????? ??????? ??? ??? ??????? ??????? ???????:

F₂=x₂ ® max (???????????? ??????? ????????? ?₂)

F₃=x₁ ® max (???????????? ??????? ????????? ?₁)

F₄=4x₁+8,5x₂ ® max (???????????? ???????)

F₅=(1+3+6)x₁+ (4+4+2)x₂ = 10?₁+10?₂® max (??????????? ???????????? ????????).

??? ?????? ??????? ???????, ??? ?? ??? ? ??? F₁, ????? ????????? ????? ??????? ??????? ? ?????????? ???????, ? ??????? ??????? ??????? ????? ????? ??????????? ????????. ?????????? ??????? ?????? ?? ???? ??????? ???????? ?????? ? ??????? 5.2, ?? ??????? ??????? ????? ??????? ?????: ?????????? ?????? ??????? ????? ???? ??????????? ???????? ? ????????? ??????.

??????? 5.2

??????? ???????	???????	x₁	x₂	x₁+x₂	???????	???????????? ??????
F₁=x₁+x₂ ® max	C	4	1,5	5,5	28,75	55
F₂=x₂ ® max	A	0	3,5	3,5	29,75	35
F₃=x₁ ® max	D	4,5	0	4,5	18	45
F₄=4x₁+8,5x₂ ® max	B	2	3	5	33,5	50
F₅= 10?₁+10?₂	0	0	0	0	0	0

5.4. ??????????? ?????

??????????? ????? ??? ????? ????????????????? ????????? ????? ???????? ????? ?? ???????? ??????? ??????? ????? ??. ???????? ??????????? ????? ????? ?? ????? «????????», ??????? ????????? ?????? ?. ?????? ????????? ?????????? ?? ?????????? x₁, x₂ ... x_n ??????????? x₁+x₂+ ... +x_n=1.

ю ? ?????????? ?????????? ? k-?????? ???????????? ?????????? ???????????? k+1 ??????.

??? ??? ????????? ??? k=2 ?????????? ????? ???????????; ? ???????????? ??? k=3 ?????????? ????? ????????, ??????? 4 ???????.

? ?????? ????? ??????? ????????????? ????? ??????? ?????? ?? ???????? ????????-???????. ?? ??????? ?? ????????? ????????????? ???????? ??????. ???? ???????? ???????????? ??????? ?? ????? ??????? ? ?????? ? ????? ???????????, ??? ??????? ???????? ??????? ??????? ?? ??????? ? ??????? ??????????.

ю ??????????? ???????? ??????? ??????? ? ?????????? ? ????? ??????? ????????? ?????????.

????? ???????? ? ???????? ??????? ????? ?????????? ???????. ???????, ? ??????? ????????-??????, ????? ???? ?????? ??????, ?????????? ?? ????? 10 ????????. ??????? ? ???????? ??????? ????????? ??? ? ?????? ?????????? ???????? (???).

????? ??????? ????? ?? ? ??????? ??????????? ?????? ??????? ?? ?????????? ???????. ????? ????????? ????? ??????????????? ??????? ??????? ???????? ??????????:

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------м4x₁+9x₂ Ј 56

(5.14) н5x₁+3x₂ Ј 37

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------о-x₁+2x₂ Ј--2

?????????? ? ???????? ???????? ?????:

¦=3x₁+4x₂ (5.15)

??????? ???????? ?? ??????? ?????????? (5.14) ? ??????? ?????????, ??????? ? ????? ?????? ?????????? ??????????????? ?????????? x₃, x₄, x₅. ?? ???????:

----------------------------------------------------------------------------------------------------------м4x₁+9x₂+x₃+0 ^.x₄+0 ^.x₅=56

(5.16) н5x₁+3x₂+0 ^.x₃+x₄+0 ^.x₅=37

----------------------------------------------------------------------------------------------------------о-x₁+2x₂+0 ^.x₃+0 ^.x₄+x₅=2

¦=--3x₁+4x₂+0 ^.x₃+0 ^.x₄+0 ^.x₅ (5.17)

????????? ?????? ??????? (5.16) ? ???? ??????? 0-?????????:

--------------------------------------------------------------------------------------------------------м0=56 - (4x₁+9x₂+1 ^.x₃+0 ^.x₄+0 ^.x₅)

(5.18) н0=37 - (5x₁+3x₂+0 ^.x₃+1 ^.x₄+0 ^.x₅)

--------------------------------------------------------------------------------------------------------о0=2 - (-x₁+2x₂+0 ^.x₃+0 ^.x₄+1 ^.x₅)

¦=0 - (-3x₁-4x₂-0 ^.x₃-0 ^.x₄-0 ^.x₅) (5.19)

???????, ??? ??????? (5.18) ????? ???? ???????? ? ???? ?????? ?????????? ?????????:

0=B-(A₁x₁+A₂x₂+A₃x₃+A₄x₄+A₅x₅),

??? ??????-??????? ? ????? ?????? ???????????? ????????? ?????, ? ??????? A₁, A₂, ... , A₅ - ???????????? ??? ??????????????? ?????????? x₁, x₂, x₃, x₄, x₅. ????? ???????:

	56		4		9		1		0		0
?=	37	A₁=	5	A₂=	3	A₃=	0	A₄=	1	A₅=	0
	2		-1		2		0		0		1

???????? ????? ????? ???: ¦=3x₁+4x₂+0 ^.x₃+0 ^.x₄+0 ^.x₅.

??????? A₃, A₄, A₅ ???????? ?????. ??? ????????, ???, ???????? ?₁=0, ?₂=0, ???????? ?? (5.16) ?????? ???????? ???????: x₁=0; x₂=0; x₃=56; x₄=37; x₅=2.

??? ???? ???????? ???????? ????? ¦=0. ?? ????????? (5.18) ?????? ?????? ??????????? ???????.

??????????? ??????? ???????? ????????? ???????:

? ????????? ?????? ????? ??????????????? ??????? B, A₁, A₂, A₃, A₄, A₅. ????? ????????? ??????? «???????? ???????», ????? ? ??? ??????? «?», ? ??????? ?????????? ???????????? ??? ???????? ?????????? ? ???????? ?????, ? ?????? ?????? ???????? ?₃, ?₄, ?₅. ? ????????? ??????, ?????????? ?????????, ? ???????????? ????? ¦ j-?_j, ????????????? ?????, ?????? ???????? ???????? ?????, ? ????????????? ? ?????????? (j=1, 2, 3, 4, 5). ? ????? ?? ????? ??????? 5.3.

??????? 5.3.

????????	????????????	?????? ?????????	3	4	0	0	0
???????	???????? ????? ?	?????? ?	A₁	A₂	A₃	A₄	A₅
A₃	0	56	4	9	1	0	0
A₄	0	37	5	3	0	1	0
A₅	0	2	-1	2	0	0	1
????????? ?????? ¦ j-?_j	0	-3	-4	0	0	0

??? ?????? ??????????? ???????, ??????????????? ??????? ????????? ???????: x₁=0; x₂=0; x₃=56; x₄=37; x₅=2. ???????? ???????? ?????, ?????? ????, ?? ?????????? ? ?????? ?????? ????????? ??????.

?.?. ?? ?????? ?????? ?? ????????, ?? ?? ????????? ???????? ????? ?????, ??? ????? ????? ????????? x₁ ??? x₂. ?????????????, ???????????? ??? ???? ?????????? ? ??????? ???????????? (? ?? ???????? ????????????), ? ???? ?? ??????? x₁>0 ??? x₂>0, ?? ???????? ¦ ??????????. ?? ??? ?? ???????????? ? ?? ??????? ????? ? ????????? ??????.

????, ?? ???????? ? ?????????? ??????: ??????? ? ????????? ?????? ????????????? ????? ??? ??????? ?????? ?? ???????? ??????????????? ? ???, ??? ???? ??????????? ??????? ?? ????????, ? ??, ??? ?? ????. 5.3 ???? ??????? ? ?????????.

??????? ? ????? ???????, ?.?. ? ????? ?????????? ????????? ???????????? ????????? ????????: ? ????????? ?????? ??????? ?????????? ?? ??????????? ???????? ????????????? (? ??? ?????? ?? ??????? - ?????????? ?????????????) ?????. ? ????? ??????? ???? ?????? ????? - 4. ????????? ????? ?????????? ??????? ??? ???????? ???????. ????? ?? ????? ????????? ????? ?? ????????????? ???????? ???????? ??????? ? ???????? ?? ?????????? ????????? ??????????. ?????????? ????????? ?????????? ??????? ??????. ? ?????? ?????? ?????:

????? ???????, ??????? ??????? ????? ?????? A₅. ?? ??????????? ???????? ??????? ? ??????? ?????? ????? ??????????? ???????. ? ????? ?????? - ??? ????? 2.

?????? ?? ?????????? ? ??????????? ?????? ??????? ??? ??????? ?????. ?????? ?????????? ??????? A₅ ?? ? ????? ?????? ?????? A₂. ??????? ? ?????? ??????, ??? ??? ????????, ???????????? ????????????? ?????????????? ???????, ?????????? ??????? ?????? ????? ????. 5.3. ? ??????: ? ????? ??????? ??????? ??????, ??????????????? ???????? ??????? ?????? ??????? ???????, ????? ????? ???????? ??????? ??????, ???????????? ?? ??????????? ???????. ????? ???????? ????? ?????? ??????? ????? ??????????? ???????, ????? ?? ???????????????? ???????? ??????? ??????? ?????? ???????????? ???????? ??????? ?????? ?? ??????? ???????? ???????, ??????????? ?? ??????????? ???????. ????????, ???????? 4 (????. 5.3) ????? ??????????????? ??????? ????. 5.4:

????? ???????, ?? ????????? ?? ?????? ??????? (??????? 5.4). ????????? ???? ?????????????? ????????? ? ???????? B, A₁, A₂, A₃, A₄, A₅.

??????? 5.4.

????????	????????????	?????? ?????????	3	4	0	0	0
???????	???????? ????? ?	?????? ?	A₁	A₂	A₃	A₄	A₅
A₃	0	47	17/2	0	1	0	-9/2
A₄	0	34	13/2	0	0	1	-3/2
A₅	4	1	-1/2	1	0	0	1/2
????????? ?????? ¦ j-?_j	4	-5	0	0	0	2

?? ????. 5.4 ?????, ??? ???????? ???????? ????? ???????? ? ?????? ????? 4. ?????? ??????? ? ????????? ?????? ????????????? ????? ??????????????? ? ???, ??? ??? ???????? ??? ????? ?????????. ????????? ? ????????? ??????????? ???????. ????? «5» ?????????? ??????? ???????. ??????? ??????? ??????. ??? ????? ??????????:

????, ??????????? ????????? ????? 13/2. ?????? A₄ ??????? ?? ?????? ? ?????? ?????? ???? ?????? A₁. ???????? ????????????? ???????????? ?? ????????? ???? ???????? ? ???????? ??????? 5.5.

??????? 5.5

????????	????????????	?????? ?????????	3	4	0	0	0
???????	???????? ????? ?	?????? ?	A₁	A₂	A₃	A₄	A₅
A₃	0	33/13	0	0	1	-17/13	-33/13
A₁	3	68/13	1	0	0	2/13	-3/13
A₂	4	47/13	0	1	0	1/13	5/13
????????? ?????? ¦ j-?_j	392/13	0	0	0	10/13	11/13

? ????????? ?????? ??? ????????????? ?????????. ?????????????, ?? ??????? ??????????? ?????????. ??????????? ???????:

x₁=68/13; x₂=47/13; x₃=33/13; x₄= x₅= 0.

5.5. ?????? ????????-??????

?????????????? ?????? ???????? ?????????? ????????? ????????? ??????? ?? ??????? ???? ????????, ??????????? ??? ????????????, ?????????????? ? ? ???? ?????????? ?????????????. ??? ?? ????? ???????????? ????????????? ???????? ???????? ????? ??? ????????? ????????? ????????????, ????????, ??????? ??????? ? ?.?.

??? ??????????? ?????????? ???????? ?????????? ??????? ? ?????? ???? ????????, ??????? ????????? ??? ?????????? ??????????? ????????????????? ????????. ?? ?????????? ???? ?? ??????? ???????????? ??????????, ??????? ????? ???? ?????? ? ??????? ???????, ??? ???????????? ??? ????????????. «??? ?????, ???? ???? ??????? ?? ????? ???????? ???????? ???????? ?? ?????? ??????? ??? ?????, ???? ????? ???????? ?? 20% ??????? ????? ????????? ??????? ?????????, ???? ?????????? ?????» ??????????, ??? ???????? ?????? ?? ??? ??????? ?? ?????????? ???????.

????????, ??????????? ?????? ????????? ????????? ??????? ?????: ?₁,?₂,?₃,?₄, ????????? ??? ????? ??? ???? ????????. ????????????? ???????, ????? ???????? ?????????? ? ??????? ????????? ? ??????? 5?.

??????? 5?

???????	??? ?????????	?????????????
??????	?₁	?₂	?₃	?₄	??????
???????:
????????	1	1	1	1	16
?????	6	5	4	3	110
????????????	4	6	10	13	100
??????? ? ??????? ????????	60	70	120	130	---
????	?₁	?₂	?₃	?₄	---

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------мx₁+ x₂+ x₃+ x₄Ј 16

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------п6x₁+ 5x₂+ 4x₃+ 3x₄Ј 110

(5.20) н4x₁+ 6x₂+ 10x₃+ 13x₄ Ј--100

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------оx_j і 0, j--і--1,4.

F = 60x₁+ 70x₂ + 120x₃+ 130x₄ ® max

?? ??????? ?????????? (5.20) ???????? ? ??????? ?????????. ??? ?????, ? ?????? ??????????? ??????? ?? ????? ?????????????? ??????????: y_i і 0, i--і--1,m. ????? ??????? ??????? ?????????:

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------мx₁+ x₂+ x₃+ x₄+ y₁=16

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------п6x₁+ 5x₂+ 4x₃+ 3x₄+ y₂ =110

(5.21) н4x₁+ 6x₂+ 10x₃+ 13x₄ + y₃ =100

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------оx_j і 0, j =--1,4; y_i і 0, i= 1,3.

F = 60x₁+ 70x₂ + 120x₃+ 130x₄ ® max

????? ????????? ??????? (5.21) ? ????????? ????:

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------м y₁=16 - (x₁+ x₂+ x₃+ x₄)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------п y₂ =110 - (6x₁+ 5x₂+ 4x₃+ 3x₄)

(5.22) н y₃ =100 - (4x₁+ 6x₂+ 10x₃+ 13x₄)

------------------------------------------------------------------------о F = 0 - (-60x₁- 70x₂ - 120x₃- 130x₄)

??????? (5.22) ????? ??????????? ? ???? ??????? 5?, ??????? ?????????? ????????? ???????: ????????? ??????????, ??????????? ? ??????, ??????? ? ??????? ?????? ???????. ? ????????? ??????? ?????????? ????????? ????? ? ???????????? ????? ?????????? ???????????. ???, ??? ?????????? ???????? ???????, ?????? ??????? ??? ??????? ????? ????????? ????????????????. ? ???? ??????? ??????????, ?????????? ??????????, ? ?????? ?????? x₁, x₂, x₃, x₄ ?? ??????? ????? 0. ????????? ????????? ?????????? ????? 0, ?? ?? ??????? (5.22) ?????, ??? ???????? ?????????? y₁, y₂, y₃, ? ????? ??????? ??????? F, ??????? ?????????? ?????, ????? ????????? ??????. ?????? y₁=16, y₂=110, y₃=100, F=0.

??????? 5?

????????	?????????	????????? ??????????
	????	?₁	?₂	?₃	?₄
???????? ??????????:
y₁	16	1	1	1	1
y₂	110	6	5	4	3
y₃	100	4	6	10	13
????????? ?????? (F)	0	- 60	- 70	- 120	- 130

????????, ??? ? ??????? (5.21) ????? ????? ?????????? N=n+m, ??? n - ????? ???????? ??????????, m - ????? ?????????????? ??????????. ??? ?????????? ????? ???????????? ? ????? ??????? ?? ???????? ? ??????????????, ? ? ?????? - ?? ???????? ? ?????????.

ю ?????????? ??????????? ????? ???????? ?????, ??????? ????? 0.

?? ?????? ????????, ??? n ?????????? ? ?????????? ??????? ?????? ???? ????? 0 , ?.?. ??????? ?? ??????????, ??????? ? ????????. ??????, ?? ????? ?? ? ???? ???? ?? ???????, ??? ???? ????? ??? ???????? ??????????. ???? ?? ?????? ????? ?????????? N=n+m ????? ?????????? n ??????????, ?? ????????, ??? m ?????????? ????? ?????????, ?.?. ?? ????? ????. ? ?????? ????????? ???????? ????? ???????, ??? ????? ??????? ?????? ?? ???????? ?????????? ???????? ? ????????? ??????????.

??? ?????? ??, ?????????? ? ???? ???????? ???????, ????? ?????????????? ???????? ??????????? ? ???????????? ???????. ??????? ???????? ??????????, ???? ? ???????? ??????? ? ??????? ????????? ?????? ??? ????????, ??????????? ? ???????? ?????????? ????? ????????????????. ??????????? ????????, ??? ?? ?????, ????? ???? ??????????????, ???? ??????????????? ???????? ??????? ???????. ? ????? ? ????, ??? ??????????? ???????? ???? ??? ????????: ???? ??? ?????? ??????????? ??????? ???????, ?????? - ??? ?????? ????????????.

??????? ??????? ????? ??????????? ????????, ????, ??-??????, ??????? ???????? ??????????, ?.?. ????????? ????? ????? ????????????????, ? ??=??????, ??? ???????? ? ?????? ??????? ??????? (????????? ???? ?? ???????????????) ????? ????????????????. ??? ???? ??????? ??????? ????? ?????????? ?????. ????? ??????? ????? ??????? ?????, ??? ? ????. 5? ???????? ??????????? ??????? ????? ?????? ??? ?????? ??????????? ??????? ???????.

?????????????, ???? x₁= x₂= x₃= x₄= 0 ?? ??????? ????????? ?? ????????? ? ??? ???? ??????? F=0. ?????????????? ?????????? y₁, y₂, y₃, ???????????? ????? ???????????????? ????????, ?????, ??????????????: 16, 110,100, ?.?. ???? ???????, ??????? ??????? ? ???????. ? ????? ????, ?? ?????? ?? ?????????, ?? ?? ?????? ???????. ?????????????, ?????? ? ????. 5? ????????????? ????? ??????? ???, ? ??????? ??????? ??????? ????????? ??????????? ????????.

??????? ???????????? ??????? ??????? ??????????? ????????? ???????: ??????? ??????? ????? ???????????? ????????, ????, ??-??????, ??????? ???????? ??????????, ? ??-??????, ??? ???????? ? ?????? ??????? ??????? (????????? ???? ?? ???????????????) ????? ????????????????.

????????? ????. 5? ?? ????????????? ??????? ????????, ?? ?????????? ??????? ? ?????? ??????? ???. ??????? ?? ????? ??????? ? ??????, ???????????? ?? ????????????? ????????? ????????-??????, ??????? ??????????? ? ?????? ??????????.

ю ?????? ??????? ?? ????? ??????? ? ??????, ??????? ?????????? ?????????, ??????? ? ???, ??? ???? ???????? ?????????? ?????????????? ? ????, ?.?. ????????? ? ?????????, ? ???? ????????? ?????????? ??????????? ? ????????.

?? ?????? ???????? ????????? ?????????????? ????????? ??????????? ? ???????????? ???????. ????? ????????? ???????????? ?? ??? ???, ???? ?? ????? ????????????? ??? ????????. ????????????? ? ????? ?????? ????????? ? ????????? ????????-???????, ?????????? ????? ?????? ????????.

??????? ? ????? ??????? ???????????? ????????? ????????: ? ????????? ??????, ??? ????????? ??????? ??????? ??????? ?????????? ?? ??????????? ???????? ????????????? ?????. ????????? ????? ?????????? ??????? ???????. ????? ?? ????? ????????? ????? ?? ????????????? ???????? ???????? ??????? ? ???????? ?? ?????????? ????????? ??????????. ?????????? ????????? ?????????? ??????? ??????. ? ????? ?????? ?????:

????? ???????, ??????? ???????? ????? ??????? ?₃, ? ??????? ??????? ????? ?????? y₃. ?? ??????????? ???????? ??????? ? ??????? ?????? ????? ??????????? ???????. ? ????? ?????? ??? ????? 10. ????? ???????, ??????? ??????? ????? ?????? y₃, ????????? ?? ????? A_r. ??????? ???????? ????? ??????? ?₄, ????????? ??? ????? A_k, ?, ?????????????, ??????????? ??????? A_rk = 10.

?????? ?????????? ? ??????????? ?????? ???????. ? ???? ??????? ???????? ???????????? ?????? ????? ????? ???????? ??????? ??????, ????????? ?? ??????????? ???????, ? ????????? ? ???????????:

???????? ????? ?????? ?????? j ??????? ?? ???????????:

?.?. ????? ???????? ????? ?????? ??????? ????? ??????????? ???????, ????? ?? ???????????????? ???????? ??????? ??????? ?????? ???????????? ???????? ??????? ?????? ?? ??????? ???????? ???????, ??????????? ?? ??????????? ???????.

????? ???? ?????????????? ????? ??????????? ??????? ????? ?????? ???????? ?????? ??? ??????? 5?.

??????? 5?

????????	?????????	????????? ??????????
	????	?₁	?₂	?₃	?₄
???????? ??????????:
¬--y₁	6	0,6	0,4	0	- 0,3
y₂	70	4,4	2,6	0	- 2,2
¬--y₃	10	0,4	0,6	1	1,3
????????? ?????? (F)	1200	- 12	2	0	26

? ????. 5? ? ????????? ?????? ?????? ???? ????????????? ???????, ?????????????, ??????? ???????? ????? ?₁, ? ??????? ?????? ?????????? ?? ??????????? ?????????:

?. ?. ??????? ??????? ????? y₁, ? ??????????? ????????? ????? 0,6.

????????????? ? ????? ?????? ????????? ????????-???????, ?????????? ????? ?????? ????????, ????? ????? ???:

??????? 5D

????????	?????????	????????? ??????????
	????	?₁	?₂	?₃	?₄
???????? ??????????:
?₁	10	5/3	2/3	- 1/6	- 1/2
y₂	26	-22/3	- 1/3	1/3	0
?₃	6	- 2/3	1/3	1/6	3/2
????????? ?????? (F)	1320	20	10	10	20

?? ???? ??????? ?????, ??? ? ??????? ????????? ?????? ??? ???????? ?????????????. ?????? ??????? ???????? ??????????. ? ?????? ??????? ??????? ??? ???????? ???? ?????????????. ?????????????, ??? ??????? ??????????? ? ????????????? ??????? ???????. ??? ???? ??????????? ?????? ????? ????????? ????????: ?₁^*=10, ?₃^*=6 (??????, ??? - ????????) ? ?₂^*=?₄^*=0 (?.?. ??? ?????????). ??? ???? ??????? ??????? F=1320.

??? ????????? ??????? ??????. ??????, ? ??????? ????????-??????? ????? ?????? ??? ????? ???????? ????????. ??? ?? ???? ?? ??????? ?????, ??? ????????? ?????????? y₁=y₃=0, ? ???????? ?????????? y₂=26. ? ??? ??????, ??? ? ??????????? ????? ??????? ???????? ???????? ? ???????????? ????? ????. ????? ???????, ??? ??????? ???????????? ?????????. ?????? ? ??? ?????? ???????? ????? y₂=26, ??? ??????????????? ? ???, ??? ??????? ??????? ?????. ??? ????? ???????? ???????? ????? ???????? ?? ????????????? ????????-???????.

5.6. ??????? ???????????? ?????

? ???????? ??????? ???????? ??????? ???????????? ?????? ?? ? ??????? ???????. ???????????? ??????? ??????? ?? m ????? ? n ????????. ? ?????? ??????? ???? ?????? ?????? ????? ??????? ????????? ?_ij ????????? ??????? ????? ?? A_i ? B_j, ? ? ????? ?????? ???????? ????????? X_ij.

??????? 5.6

	??	?₁	?₂	?₃	?₄	?₅	?????? ?_i
??
A₁	¹³	⁷	¹⁴	⁷	⁵	30
A₂	¹¹	⁸	¹²	⁶	⁸	48
A₃	⁶	¹⁰	¹⁰	⁸	¹¹	20
A₄	¹⁴	⁸	¹⁰	¹⁰	¹⁵	30
?????? b_j	18	27	42	26	15	128

??????? 5.7

	??	?₁	?₂	?₃	?₄	?₅	?????? ?_i
??
A₁	18 ¹³	12 ⁷	¹⁴	⁷	⁵	30
A₂	¹¹	15 ⁸	33¹²	⁶	⁸	48
A₃	⁶	¹⁰	9¹⁰	11⁸	¹¹	20
A₄	¹⁴	⁸	¹⁰	15¹⁰	15¹⁵	30
?????? b_j	18	27	42	26	15	128

???????? ??????? ????. ????? ????????? ????? «??????-????????? ????». ????? ????? ?₁ ????? ?????? ?? 18 ?????? ?????. ???????????? ?? ?? ??????? ?₁. ????? ????? ? ??? ???????? ??? 30-18=12 ?????? ?????. ??????? ?? ?????? ?₂. ?? ?????? ????? ?????? ??? ?? ?????????????. ??????? ??????? 27-12 ?? ??????? ?₂ ? ?.?. ????????? ??????????? ???????, ???????? ??????? 5.8. ?????????? ???? ????????? ???????? ???????, ?? ???? ?? ?? ???????? ??????????? ? ?????? ????????? ?????????.

ю ????????, ??? ??????, ??????? ????? ? ????????, ?? ??????? ????, ???? ????? ?????, ?????? ???, ??? ??? ??????? ????? ?? ???? ??????? ?? ???? ??????, ?????????? ??????? ?? ????????? ? ???? ???????.

????? ???????, ?????? ?? ?? ?????????????? ????? ????? ???? ?????????????? ???: ????? ?????? ?????? ??????? ???? ¦ ????? ??????? ?? ????????? ? ??? ? ?????? ???, ????? ??? ??????? ?????? ?? ??????? ??????? ???????? ¦. ??? ???? - ?? ???????????. ????? ?????, ??? ??? ????? ????????, ???? ?????????? ? ??? «??????????? ????????????», ???????? ????????? ? «???????» ?????? (2.3) ?? ?????????? 12. ?? ????, ???????? ????????? ? «???????» ?????? (2.4) ?? ?????????? 6. ????? ???? ????????? ???????, ?? ?????? ??? ???? ??????? ???? ?? ????????? ?????? ????????, ? ???? ?? ???????? - ?????????.

??????? ?????? ????? ????? ?? ????????? ?? ????? ?????????? ?????: (2.4)--®(3.4)--®(3.3)--®(2.3), ?????????? ????????? ? ???????? ???????? ????? ? ???????? ? ??????? ????????, ?? ?????? 11 ?????? (????? ????????? ? ?????? (3.4) ????? ?? ??????????????). ????? ????????, ??? ? ?????????? ???????????? ???????? ?????????? ???? ???????? ?????????? - ?????? ?????? ? ??????? ?? ??????????. ?????????? ??????? ? ??????? ?????????? ???? ? ??????? 5.8.

??????? 5.8

	??	?₁	?₂	?₃	?₄	?₅	?????? ?_i
??
A₁	18 ¹³	12 ⁷	¹⁴	⁷	⁵	30
A₂	¹¹	15 ⁸	33¹²	11⁶	⁸	48
A₃	⁶	¹⁰	20¹⁰	⁸	¹¹	20
A₄	¹⁴	⁸	¹⁰	15¹⁰	15¹⁵	30
?????? b_j	18	27	42	26	15	128

??????? 5.9

	??	?₁	?₂	?₃	?₄	?₅	?????? ?_i
??
A₁	^-3 ¹³	12 ⁷	¹⁴	⁷	⁺15⁵	30
A₂	¹¹	15 ⁸	22¹²	11⁶	⁸	48
A₃	⁶	¹⁰	20¹⁰	⁸	¹¹	20
A₄	⁺15¹⁴	⁸	¹⁰	15¹⁰	^-¹⁵	30
?????? b_j	18	27	42	26	15	128

?????????, ??? ?? ??????????. ????? ????????? ????? ? ????. 5.7 ?????:

‡₁=18ґ13+12ґ7+15ґ8+33ґ12+9ґ10+11ґ8+15ґ10+15ґ15=1287.

????? ????????? ????? ????. 5.6 ?????:

‡₂=18ґ13+12ґ7+15ґ8+22ґ12+11ґ6+20ґ10+15ґ10+15ґ15=1243.

????? ???????, ??? ??????? ????????? ????????? ????????? ?? 44 ???????.

????????????? ?????????????? ????? ??????????, ??????? ? ???????? ????? ?? ?????? «+», ???? ????????? ? ???? ??????? ?????????????, ? ?? ?????? «-», ???? ??????????? (??? ?????????? «???? ?????»). ? ?????? ?????? ????? 6-8+10-12=-4. ??????, ??? ???????? ????? ???????? ????? ?? ????? ????? ????????? ??????????? ?? 4. ? ?? ????????? 11 ??????. ?????????????, ???? ????? 4 ^. 11=44.

????????? ??? ??? ???????? ???? ????. 5.8 ? ??????? ????? (????. 5.9) ? ?????: 5-15+14-13=9. ???????????? 15 ?????? ?????, ????????? ????????? ??: 9 ^. 15=135.

6. ?????? ??????????? ????????????????

? ?????????????????? ???????????

6.1. ?????????? ?????? ??????????? ????????????????

? ????? ???? ?????? ??????????? ???????????????? (???) ??????????? ????????? ???????:

f (x₁, x₂, ..., x_n) ® max (min) (6.1)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------м g_i (x₁, x₂..., x_nЈ b_i, i=1, m₁

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------п g_i (x₁, x₂..., x_nі b_i, i=m₁+1, m₂

(6.2) н----... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------о g_i (x₁, x₂..., x_n= b_i, i=m₂+1, m₂

??? x_j - ??????????? ?????????? ??? ??????? ???, j=1, n;

b_i - ????????????? ?????????, i=1, m;

f, g_i, i=1, n - ???????? ??????? ?? n ??????????.

???? f ? g_i ???????, ?? (6.1), (6.2) ???????? ? ?????? ????????? ????????????????.

ю ?????? ?????? ??????????? ???????????????? - ??? ?????? ????? ????? ???????? ??????????? ?????????? x_j, j=1, n, ??????? ????????????? ??????? ??????????? (6.2) ? ?????????? ???????? ??? ??????? ??????? f.

??? ?????? ??????????? ????????????????, ? ??????? ?? ???????? ?????, ??? ??????? ???????. ? ??????????? ?? ???? ??????? ??????? (6.1) ? ??????????? (6.2) ??????????? ????????? ??????????? ??????? ???????, ? ??????? ????????? ?????? ?????????? ????????, ???????????? ? ???????? ????????????????, ??????????? ??????, ??? ???????????? ??????? ???????, ??????????? ?????. ???????, ??? ?????????? ????????????? ????????????? ????? ????? ?????? ???????? ?????????????. ??????? ????? ????????????? ??????? ???????? ? ???????? ???????.

6.2. ?????????? ?????? ????????????? ????????????????.

???????? ??????? ? ??????? ??????????.

? ???? ???????? ????????????? ? ???????????????? ????? ?????????? ????????? ????????? ????????????? ???????? ?? ??????? ? ??????? ??????? ?? ???????? ?????????????. ??? ??????? ????????? ????? ???????????? ????? ????????????? ???????????? (????????????????). ???? ????? ????? ?????? ?? ????????? ? ???????? ??????? ??????????? ??????????????? ?????. ????? ?? ??????? ????? ???????? ??????? ?????????? ??? ???????? ?????? ?????????????? ?????? ???????????? ????????????????.

????? ??????????????? ??????, ????????????? ?? m ????? ??? ??????, ???????? ???????????? ???????????? ??????????? ?? ????????? ???, ????????? ???????????? ??????????, ?????????? ????????????????? ?????????? ? ??????? ??????????? ?????. ?????????? ????????????? ?????? ? ????? ????????? ????? W, ? ?????????? ????????????? ?? ????????? ????? - ????? j_i, i=1, m. ???? W ???????? ????????? ????????????, ?.?.:

(6.3)

????? ????? ??????????? ??????? ?????? ??????? ????????????? ????????????????.

ю ????? ???????, ???????????? ???????????????? - ??? ????? ??????????? ???????????? ??? ???????????? ?????????, ???????? ????????????? ??????? ???????? ????????? (6.3).

ю ? ??????? ????????????? ???????????????? ???????? ????????????? ?????????? ?????????. ?????? ???????? ???????????, ? ?? ??????????? ?????? ?????????? ??????? ???????? ????????.

ю ?????????? ?_i, ?? ??????? ??????? ??????? ?? i-? ???? ?, ?????????????, ??????? ? ?????, ?????????? ??????? ??????????? i=1, m.

ю ??????????? ???????? ? ????? (?) ?????????? ?????????????????? ??????? ?????????? ?=(?₁, ?₂, ..., ?_i, ..., ?_m).

ю ??????????? ?????????? ?^* - ??? ???????? ?????????? ?, ??? ??????? ???????? W(x^*) ???????? ???????????? (??? ???????????, ???? ????????? ????????? ????????)

W^*=W(x^*)=max {W(x)}

xОX, (6.4)

??? X - ??????? ?????????? ??????????.

O?????????? ?????????? x^*--???????????? ??????????????????? ??????????? ??????? ??????????: x^* = (x₁^*, x₂^*, ..., x_i^*, ..., x_m^*).

ю ? ?????? ?????? ????????????? ???????????????? ????? ??????? ????????????? ????????, ??????????????? ????????? ???????: ?????????? ?? ?????? ???? ???? ???????? ???, ????? ??????????? ???? ????? ????????? ?? ???? ?????????? ?? ????? ???????? ?????, ??????? ??????? ?? ?????? ????.

??????? ??? ???????. ??? ??????? ????? ????????????? ???????????????? ?? ?????? ???? ?????????? ??????????, ??????? ?????? ???????? ? ???????????? ????????. ???? ??????? ??? ???? ???????????? ???? ?? ?????, ?? ??????????? ??????? ??????????? ????? ?? ??????????, ??????? ???????? ???????????? ??????? ?????? ?? ?????? ????. ??, ????????, ??? ??????? ????? ??????? ?????? ??????????, ?? ?? ???????????? ????????????? ???????????? ????????. ??????? ??????? ?? ?? ???????????? ??????? ????? ???? ?????????. ?????? ? ????????? ???? ????? ??????? ????? ????????? ??????? ???????. ? ????????, ???? ???????????? ?????? ??????? ???????? ?????? ??????? ??? ????????? ??????? ? ??????? ????, ?? ? ?????????? ??? ???????? ? ???????????? ???????. ?????? ?????? ????????????? ????????? ????: ? ???????????? ????????? ??? ???? ??????? ???? ?? ?????, ?, ?????????????, ?????????? ?? ?????? ?????????? ???? ???? ????????, ? ?????? ??? ??????? ??????????? ?? ???? ???????.

?????? ??????, ??????? ??????? ????????? ??? ?????? ?????????? ?? ?????? ????, - ??? ????????? ???????? ????????? ??????????? ????. ??? ???????? ?????????? ????????? ????????. ????????, ??? ??????????? ?????????? ??????? ? i-?? ????, ?????????? ?????, ??????? ??????? ???????? ? ??????? ? ????? ????, ? ????? ??????? ???????? ? ?????????? (i-1)-?? ????.

????? ???????, ??? ?????? ???????? ?????????? ?????????? ?????????:

А--????????? ?????? ??????????? ????.

Б--??????? ?????????? ?? ??? ?????????? ?? ????? ???????? ????.

? ??????? ???????????? ???????????????? ?????? ????? ?????????, ????? ?? ?????? ???? ???????? ????????????? ? ????????? ????????? ????????? ??????????? ????, ? ??????? ??? ??????? ?? ????????? ???????? ???????????. ?????????? ??????? ?????? ?????????????? ???, ??? ? ??????? ????????????? ???????????????? ???????? ??????????? ?????????? ?? ????? ???????? ? ??????. ?????? ?????????????? ????????? m-? ???, ?? ??????? ?? ???? ????????? ????????? ??????????? ?????????? ?????????? ?_m, ?? ??? ??????????? ????, ??? ??? ??? ???? ?????? ???????????. ????? ????????????? ?? ???????? ????????? (m-1)-?? ????, ??? ??????? ?? ??? ???????? ???????? ??????????? m-?? ???? ? ?????????? ???????? ??????????? ?????????? ?_m. ?????????? ????????? ??? (m-1)-?? ????, ????? ????????????? ?? ??????? ????????? (m-2)-?? ????, ?, ????????? ???????? ??????????? ?????????? ?? (m-1)-?? ????, ?????????? ??????????? ??????? ?? ???? ????????? ????? - (m-1)-?? ? m-??. ??? ?? ????????? ?? ???? ????????? ????? ?? ???????. ?? ?????? ????, ??? ???????, ?? ???? ?????? ???????? ?????????????, ?.?. ????????? ??????? ????? ?????? ????? ?????? ????????. ??? ????? ????????? ???????? ??????????? ??????? ??????????, ?????????????? ??????????? ??????? ?? ?????? ? ???? ??????????? ?????. ??? ?????????? ????????, ??????????, ??????????? ??????????? ?? ?????? ???? ?, ???? ???, ???????????? ??????????? ???????? ???????? ? ??????????? ??????????? ?????????? ?? ???? ?? ?????.

6.3. ?????????????????? ???????????

ю ??????, ? ??????? ??????????? ???????? ?? ?????????? ??????????, ???????? ???????? ?????????????????? ??? ????????? ???????????.

??? ? ??? ???????? ???????????????? ?????? ?????????????????? ??????????? ???????? ? ???? ??? ???????? ?????.

??? ???????? ????? ?????? ?????????????????? ???????????:

А--??????? ???????,

Б--???????????,

В--????????? ???????.

???????? ????? ??????? ??????? ?????????????? ??????????? ???????????? ?????????????, ??????? ???????????? ????? ?????????? ????? ??????? ???????????, ? ??????? ?????? ?? ??? ?????? ? ???????????? ?????, ?????????? ??? ????????:

W= a₁^.w₁ + a₂^.w₂+ ... + a_n^.w_n

??? ?ex ???????????, ??????? ?????????? ?????????, ???? ??????? ?????????????, ? ??? ?ex, ??????? ?????????? ????????? - ?????????????.

?????????? ????????????? ????? ???????? ? ??????? ?????????? ??????. ?????? ?????????? ?????? ?????????? ?????? ??????????????. ?????????????? ??????? ??????????? ?????????? ?????? ?????????? ?????. ?????????? ????????? ?? ???.

?????????????? ?????? ??????????? ?????????? ??????:

А ???????????????? ?????????? ????????????? ?????.

???????? ????? ?????? ?????? i-? ??????? ??? ??????? k-??? ????????? ?????? ????????? ??????????? ???? a_ik ????? ???????, ????? ????? ????????????? ????, ??????????? ????? ????????? ??? ????????? ??????????, ????????? 1.

i=1, n, ??? n - ????? ?????????.

? ???????? ???????????? ???? k-??? ????????? a_k--????????? ??????? ???????? ?? ??????????? ?????????? ???? ?????????:

Б O????? ???????? ?????????? ? ??????. ? ???? ?????? ?????? ??????? ????????? ??????? ????????? ?????? ?? ?????? ??????? ???????. ???????? ?????? ???????? ??????????? ????? ??????? ??????. ? ?????????? ?????????? ??????????? ???????, ? ????????? ???????????? ????.