Корреляционный и регрессионный анализ
Работа из раздела: «
Экономико-математическое моделирование»
Содержание
- 1. Исходные данные 2
- 2. Решение задачи 1 3
- 3. Решение задачи 2 7
- Вывод: 11
- Список использованных источников 12
1. Исходные данные
Задание 1
1. Построить линейное уравнение парной регрессии;
2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации;
3. Оценить статистическую зависимость параметров регрессии и корреляции (с помощью F-критерия Фишера и Т-статистики Стьюдента).
Задание 2
1. Построить уравнение парной регрессии в виде нелинейной функции: степенной у = ахb, экспоненты у = аеbх, показательной у = abx, любой на выбор;
2. Для оценки параметров модель линеаризируется путем логарифмирования или потенцирования;
3. Определяется коэффициент эластичности и индекс корреляции;
4. Значимость определяется по критерию Фишера.
Исходные данные для решения задач приведены в таблице 1.
Таблица 1 - Исходные данные
|
N
|
X
|
Y
|
|
|
1
|
23
|
110
|
|
|
2
|
45
|
125
|
|
|
3
|
34
|
111
|
|
|
4
|
51
|
121
|
|
|
5
|
28
|
109
|
|
|
6
|
62
|
127
|
|
|
7
|
71
|
143
|
|
|
8
|
63
|
121
|
|
|
9
|
70
|
154
|
|
|
10
|
45
|
108
|
|
|
11
|
51
|
136
|
|
|
12
|
27
|
109
|
|
|
13
|
62
|
125
|
|
|
14
|
57
|
110
|
|
|
15
|
63
|
120
|
|
|
16
|
69
|
134
|
|
|
17
|
74
|
131
|
|
|
18
|
35
|
105
|
|
|
19
|
21
|
74
|
|
|
20
|
60
|
120
|
|
|
2. Решение задачи 1
Определим линейное уравнение парной регрессии.
Для этого составим и решим следующую систему уравнений:
;
.
;
.
Решая данную систему уравнений получаем:
а=81,232;
b=0,76.
Итого получаем:
Рассчитаем линейные коэффициенты парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации
Расчет будем вести табличным способом, и представим в таблице 2.
Таблица 2 - Расчет линейных коэффициентов парной корреляции и средняя ошибка аппроксимации
|
N
|
X
|
Y
|
X•Y
|
X2
|
Y2
|
|
Y-
|
|
|
|
|
1
|
23
|
110
|
2530
|
529
|
12100
|
98,71
|
11,29
|
127,42
|
10,26
|
|
|
2
|
45
|
125
|
5625
|
2025
|
15625
|
115,43
|
9,57
|
91,55
|
7,65
|
|
|
3
|
34
|
111
|
3774
|
1156
|
12321
|
107,07
|
3,93
|
15,43
|
3,54
|
|
|
4
|
51
|
121
|
6171
|
2601
|
14641
|
119,99
|
1,01
|
1,02
|
0,83
|
|
|
5
|
28
|
109
|
3052
|
784
|
11881
|
102,51
|
6,49
|
42,09
|
5,95
|
|
|
6
|
62
|
127
|
7874
|
3844
|
16129
|
128,35
|
-1,35
|
1,83
|
1,06
|
|
|
7
|
71
|
143
|
10153
|
5041
|
20449
|
135,19
|
7,81
|
60,96
|
5,46
|
|
|
8
|
63
|
121
|
7623
|
3969
|
14641
|
129,11
|
-8,11
|
65,80
|
6,70
|
|
|
9
|
70
|
154
|
10780
|
4900
|
23716
|
134,43
|
19,57
|
382,91
|
12,71
|
|
|
10
|
45
|
108
|
4860
|
2025
|
11664
|
115,43
|
-7,43
|
55,23
|
6,88
|
|
|
11
|
51
|
136
|
6936
|
2601
|
18496
|
119,99
|
16,01
|
256,26
|
11,77
|
|
|
13
|
27
|
109
|
2943
|
729
|
11881
|
101,75
|
7,25
|
52,53
|
6,65
|
|
|
13
|
62
|
125
|
7750
|
3844
|
15625
|
128,35
|
-3,35
|
11,24
|
2,68
|
|
|
14
|
57
|
110
|
6270
|
3249
|
12100
|
124,55
|
-14,55
|
211,76
|
13,23
|
|
|
15
|
63
|
120
|
7560
|
3969
|
14400
|
129,11
|
-9,11
|
83,03
|
7,59
|
|
|
16
|
69
|
134
|
9246
|
4761
|
17956
|
133,67
|
0,33
|
0,11
|
0,24
|
|
|
17
|
74
|
131
|
9694
|
5476
|
17161
|
137,47
|
-6,47
|
41,89
|
4,94
|
|
|
18
|
35
|
105
|
3675
|
1225
|
11025
|
107,83
|
-2,83
|
8,02
|
2,70
|
|
|
19
|
21
|
74
|
1554
|
441
|
5476
|
97,19
|
-23,19
|
537,87
|
31,34
|
|
|
20
|
60
|
120
|
7200
|
3600
|
14400
|
126,83
|
-6,83
|
46,68
|
5,69
|
|
|
?
|
1011
|
2393
|
125270
|
56769
|
291687
|
2393
|
0
|
2093,62
|
147,90
|
|
|
Ср.
|
50,55
|
119,65
|
6263,5
|
2838,45
|
14584,35
|
119,65
|
0
|
104,68
|
7,39
|
|
|
На рисунке 1 представим поле корреляции.
Рисунок 1 - Поле корреляции
Оценим статистическую зависимость параметров регрессии и корреляции (с помощью F-критерия Фишера и Т-статистики Стьюдента).
Определение коэффициента корреляции
Для определения коэффициента корреляции, определим дисперсию:
;
.
Определим коэффициент корреляции:
.
Данный коэффициент корреляции характеризует высокую тесноту связи
Определим коэффициент детерминации:
Это значит, что 61% вариации 'у' объясняется вариацией фактор 'х'.
Определение статистической значимости уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера
Определим F- критерий Фишера:
.
Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы 1 и (20-2)=18 составляет Fтаб = 4,45.
Имеем F> Fтаб, следовательно уравнение регрессии признается статистическим значимым.
Оценка статистической значимости параметров регрессии с помощью t-статистики Стьюдента
Табличное значение t-критерия для числа степеней свободы df=n-2=20-2=18 и уровня значимости ?=0,05 составит tтабл=1,743.
Определим стандартные ошибки:
;
;
.
Тогда
;
;
.
Фактические значения t-статистики превосходят табличное значение:
, поэтому параметры а, b, и rxy не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.
Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии а и b. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:
;
.
Получаем доверительные интервалы:
и ;
и .
Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью р=1-?=1-0,05=0,95 параметры а и b, находятся в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. являются статистически значимыми и существенно отличны от нуля.
3. Решение задачи 2
В качестве уравнения нелинейной функции примем показательную, т.е.
у = a•bx.
Определим экспоненциальное уравнение парной регрессии
Для определения параметров а и b прологарифмируем данное уравнение:
ln(у) =ln(а)+ x•ln(b),
Произведем следующую замену: А= ln(а), B= ln(b).
Составим и решим систему уравнений:
;
.
;
.
Решая данную систему уравнений получаем:
А=4,436 следовательно a=84,452;
B= 0,0067 следовательно b=1,0067.
Итого получаем
.
Рассчитаем линейные коэффициенты парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации
Расчет будем вести табличным способом, и представим в таблице 3.
Таблица 3 - Расчет линейных коэффициентов парной корреляции и средняя ошибка аппроксимации
|
N
|
X
|
Y
|
X•Y
|
X2
|
Y2
|
|
Y-
|
|
|
|
|
|
1
|
23
|
110
|
2530
|
529,00
|
12100
|
98,47
|
11,53
|
132,90
|
201,64
|
10,48
|
|
|
2
|
45
|
125
|
5625
|
2025,00
|
15625
|
114,05
|
10,95
|
119,80
|
0,64
|
8,76
|
|
|
3
|
34
|
111
|
3774
|
1156,00
|
12321
|
105,98
|
5,02
|
25,23
|
174,24
|
4,53
|
|
|
4
|
51
|
121
|
6171
|
2601,00
|
14641
|
118,72
|
2,28
|
5,21
|
10,24
|
1,89
|
|
|
5
|
28
|
109
|
3052
|
784,00
|
11881
|
101,82
|
7,18
|
51,62
|
231,04
|
6,59
|
|
|
6
|
62
|
127
|
7874
|
3844,00
|
16129
|
127,77
|
-0,77
|
0,59
|
7,84
|
0,60
|
|
|
7
|
71
|
143
|
10153
|
5041,00
|
20449
|
135,68
|
7,32
|
53,59
|
353,44
|
5,12
|
|
|
8
|
63
|
121
|
7623
|
3969,00
|
14641
|
128,62
|
-7,62
|
58,09
|
10,24
|
6,30
|
|
|
9
|
70
|
154
|
10780
|
4900,00
|
23716
|
134,78
|
19,22
|
369,54
|
888,04
|
12,48
|
|
|
10
|
45
|
108
|
4860
|
2025,00
|
11664
|
114,05
|
-6,05
|
36,66
|
262,44
|
5,61
|
|
|
11
|
51
|
136
|
6936
|
2601,00
|
18496
|
118,72
|
17,28
|
298,70
|
139,24
|
12,71
|
|
|
12
|
27
|
109
|
2943
|
729,00
|
11881
|
101,14
|
7,86
|
61,82
|
231,04
|
7,21
|
|
|
13
|
62
|
125
|
7750
|
3844,00
|
15625
|
127,77
|
-2,77
|
7,65
|
0,64
|
2,21
|
|
|
14
|
57
|
110
|
6270
|
3249,00
|
12100
|
123,57
|
-13,57
|
184,15
|
201,64
|
12,34
|
|
|
15
|
63
|
120
|
7560
|
3969,00
|
14400
|
128,62
|
-8,62
|
74,33
|
17,64
|
7,18
|
|
|
16
|
69
|
134
|
9246
|
4761,00
|
17956
|
133,88
|
0,12
|
0,01
|
96,04
|
0,09
|
|
|
17
|
74
|
131
|
9694
|
5476,00
|
17161
|
138,43
|
-7,43
|
55,13
|
46,24
|
5,67
|
|
|
18
|
35
|
105
|
3675
|
1225,00
|
11025
|
106,69
|
-1,69
|
2,85
|
368,64
|
1,61
|
|
|
19
|
21
|
74
|
1554
|
441,00
|
5476
|
97,17
|
-23,17
|
536,63
|
2520,04
|
31,30
|
|
|
20
|
60
|
120
|
7200
|
3600,00
|
14400
|
126,07
|
-6,07
|
36,85
|
17,64
|
5,06
|
|
|
?
|
1011
|
2393
|
125270
|
56769,00
|
291687
|
2381,97
|
11,03
|
2111,36
|
5778,60
|
147,73
|
|
|
Ср.
|
50,55
|
119,65
|
6263,50
|
2838,45
|
14584,35
|
119,10
|
0,55
|
105,57
|
288,93
|
7,39
|
|
|
На рисунке 3 представим поле корреляции.
Рисунок 2 - Поле корреляции
Определяется коэффициент эластичности и индекс корреляции
Определим коэффициент эластичности
,
где
,
следовательно при изменении фактора'х' на 1% от своего среднего значения, 'у' изменится на 0,334 % от своей средней величины.
Определение индекс корреляции
.
Данный коэффициент корреляции характеризует высокую тесноту связи
Определим индекс детерминации:
Это значит, что 63,5% вариации 'у' объясняется вариацией фактор 'х'.
Определение статистической значимости уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера
Определим F- критерий Фишера:
.
Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы 1 и (20-2)=18 составляет Fтаб = 4,45.
Имеем F> Fтаб, следовательно уравнение регрессии признается статистическим значимым.
Вывод
В результате проведенного корреляционного анализа исходных данных была выявлена функциональная зависимость между значениями 'х' и 'у', то есть: . Данная зависимость обладает максимальным значением индекса корреляции и детерминации, а так же F-критерия Фишера.
Список использованных источников
1. Учебно-методическое пособие к изучению курса 'Статистика'. Н.Н. Щуренко, Г.В. Девликамиова: Уфа, 2004.- 55с.
2. Эконометрика для начинающих. Основные понятия, элементарные методы, границы применимости, интерпретация результатов В.П. Носко: Москва, 2000. - 249с.
3. Эконометрика. И.И. Елисеева: Москва 'Финансы и статистика', 2003.- 338с.
4. Общая теория статистики. Н.М. Виноградова, В.Т. Евдокимов, Е.М. Хитарова, Н.И. Яковлева: Москва,1968.- 381с.
