Расчет параметров парной линейной регрессии

/

Лабораторная работа 1. Расчет параметров парной линейной регрессии

Задание №1 для ВСК 1 (макс. балл 35) - сдача на 5 неделе.

Выполнить соответствующий вариант согласно расчетам, приведенным в типовой задаче. (номер варианта и исходные данные в файле 'Инд. задания для лаб.1-2' Все расчеты выполняются в EXCEL)

Пример 1. Ферма занимается выращиванием пушного зверька. На основе содержательного анализа установили, что на ферме все технологические нормативы по содержанию и кормлению соблюдаются. Тогда масса зверька в основном зависит от его возраста.

Определим количественную зависимость массы пушного зверька У (кг) от его возраста Х (в месяцах) (таблица 3).

Таблица 3 - Исходные данные

Задание:

Установить тесноту связи

Построить уравнение парной регрессии у от х.

Определите параметры уравнения регрессии.

Проверить адекватность уравнения регрессии

Оценить статистическую значимость параметров регрессии

Определить доверительный интервал параметров регрессии

Выполнить прогноз у при прогнозном значении х.

Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

Решение. Для удобства решения задачи все расчеты выполним в табличном процессоре EXCEL и представим в следующей форме.

Для установления тесноты связи находим значение коэффициента корреляции r, для этого используем итоговые значении граф 8, 9 и 10.

Тогда

связь очень тесная, положительная. Коэффициент корреляции близок к 1. Определим коэффициент детерминации (r) ²= (0.99) ²=0,98. Вариация результата у на 98% объясняется вариацией фактора х, а 2% приходятся на неучтенные факторы. Если между выбранными факторами имеется тесная связь, то можно построить уравнение регрессии.

парная линейная регрессия интервал

Таблица 4 - Расчеты парной регрессии

Для определение вида функции построим график зависимости у от х (рис. 3). Из рисунка видно, что точки располагаются вдоль прямой линии. Значит, выбираем линейную функцию, уравнение регрессии имеет вид у=а+в*х.

Рисунок 3 - График парной регрессии

Для определения параметров а и в используем формулу (6).

(6)

Используя итоговые расчеты 2-5 граф таблицы, получим систему уравнений

9а+36в=59,3

36а+204в=320,6

отсюда а=1,028, в=1,39, тогда уравнение регрессии у=1,028+1,39х. С увеличением возраста зверка на 1 кг, масса увеличивается в среднем на 1,39 кг.

Лабораторная работа 2. Продолжение лабораторной работы №1, т. е исходные данные из примера 1

Задание 2 для ВСК1 (макс. балл 35) - сдача на 13 неделе.)

Выполнить соответствующий вариант согласно расчетам, приведенным в типовой задаче. (номер варианта и исходные данные в файле 'Инд. задания для лаб1-2' Все расчеты выполняются в EXCEL)

4. Адекватность уравнения регрессии проверяется через вычисления значений А_ср, t_r и F. Найдем величину средней аппроксимации, для этого используем графу 13

А_ср = (еА_i) /n = 46,99/9 =5,22

Полученное значение А_ср остается на допустимом уровне, так как не превышает 8-10%. Оценку статистической значимости модели регрессии проведем с помощью критерия Фишера F_фак и t - статистик Стьюдента.

= 0.98/ (1-0.98) *7 = 0.98/0.02 *7=

= 842,7577 F_табл=5,12<F_факт=343,

гипотеза о случайности факторов отклоняется. Критерий t-Стьюдента вычисляем по формуле =29,03, значит t_табл= 2,26 < t_факт=18,5. Фактическое значение t_r-критерия Стьюдента коэффициента корреляции определяется как =, здесь

==0,053

Соотношение t_табл=2,26<t_факт=18,67 означает, что тесная связь между у и х неслучайная. Масса зверка неслучайна зависит от возраста, если все другие факторы остается постоянным, то есть также будет соблюдаться все технологические нормативы.

Отсюда уравнение регрессии является адекватным, т. е полученное уравнение достоверно описывает количественную зависимость факторов у и х.

5. Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем по формулам:

t_b=b/m_b. t_а=a/m_a.

Случайные ошибки параметров линейной регрессии определяются по формулам:

, t_a = /m_a,

, t_b = /m_b.

Для вычисления m²_a используем 4, 9 и 14 графы таблицы 3

m²_a= (0,96*204) / (9*7*60) =195,84/3780= 0.052, отсюда m_a= 0,227

?? m²_b= 0,96/ (7* 60) = 0,96/420=0,0023, отсюда m_b =0.04788?

Теперь находим t_a= 1,028/0.227=4,53, t_b=1.39/0.048= 29,03, Полученные статистические оценки параметров уравнения регрессии позволяют утверждать что, они статистически значимы и отражают устойчивую зависимость массы зверка от его возраста.

6. Доверительный интервал параметров регрессии вычисляется по формулам

а ±?t_кр*m_а и b ±?t_кр*m_b

Для этого определяем предельную ошибку D для каждого параметра

D_а =t_табл m_a= 2.26*0.227=0.513, D_b=t_табл m_b=2.26*0.048=0.108.

Формулы для расчета доверительных интервалов имеют следующий вид:

g_а = а?±?D_а =1,028± 0,513, g_аmin= a - ?D_а =1,028 - 0.513=0.515 ?

g_аmax=a+?D_а=1,028+0.513=1.541,

Тогда параметр а будет в интервале 0.515<a<1.541.

Параметр в вычисляем также

g_в = в?±?D_в=1,39±?0,108,g_вmin= в - ?

D_в=1,39-0,108=1,282,????????????g_вmax=в+?D_в=1,39+0,108=1,498.

Тогда параметр в будет в интервале 1,282<в<1.498.

Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр принимается нулевым, так как он не может одновременно принимать и положительное, и отрицательное значения.

7. Выполнить прогноз У при прогнозном значении Х

После этого полученное уравнение регрессии можно использовать для прогноза. Прогнозное значение У_прог определяется путем подстановки в уравнение регрессии У=1,028+1,39*х соответствующего (прогнозное) значения Х_прог.

Сбор данных осуществлен по периодам времени, то прогнозное значение х будет следующий период. Например, Х_прог=10, то У_прог=1,028+1,39*10= 14,93, это означает, что через месяц масса зверка будет в среднем 14,93 кг. Через два месяца в среднем будет У_прог=1,028+1,39*11= 16,32 кг.

8. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

Средняя стандартная ошибка прогноза за 10 период вычисляется по формулам:

m² (Y_прог) =?{е-- (у-у*) ²/ (n-m-1) } {1+ 1/n + (x_прог-х_ср) ²/?е-- (x-x_ср) ²}=

= (0,96/7) * (1+1/9+36/60) = 0,137*1,711=0,234, отсюда m (y_прог) = 0,484

и строим доверительный интервал прогноза

g_у =у_пр?±?D_пр=у_пр?±t_табл m_y,

g_уmin=у_пр?t_табл m_y =14.93-2.26*0.484=13.84

g_уmax= у_пр?t_табл m_y=14.93+2.26*0.484=16.02.

Таким образом У_прогн будет в интервале [13,84; 16,02].

Регрессионный анализ на компьютере с помощью ППП Excel выполняется очень легко и быстро. Рассмотрим работу пакета для проведения регрессионного анализа. Для этого выполним следующие шаги:

Формируем таблицу исходных данных в среде Excel;

В главном меню выберите последовательно пункты

Сервис/Анализ данных/Корреляция/ОК;

Заполните диалоговое окно ввода данных и параметров вывода.

Входной интервал; выделите все столбцы, содержащие значения Х и У; В1; С10;

Выходной интервал; выделите область пустой ячейки для вывода результатов, например Д2; ОК.

Еxcel представит таблицу коэффициентов парной корреляции между У и Х.

Таблица 5 - Результаты решения задачи с помощью инструмента Корреляция

Таблица 5. показывает коэффициент корреляции между у и х r_yx=0,9959.

Для вычисления параметров уравнения регрессии используем инструмент анализа данных Регрессия.

Алгоритм действий следующий: Сервис/Анализ данных/Регрессия/ОК;

Входной интервал У; выделите столбец содержащие значения У (столбец С1: С10;

Входной интервал Х; выделите столбец содержащие значения Х (столбец В1: В10;

Выходной интервал: выделите область пустых ячеек для вывода результатов, например В12;

Остатки; установите флажок;

Excel представит решение в виде таблиц 5-7.

Таблица 6 называется регрессионной статистики. В таблице представлено:

Коэффициент корреляции R=0.9959;

Квадрат коэффициента корреляции R²=0.9918;

Стандартная ошибка - S= 0.3709;

Таблица 7-Регрессионная статистика

Таблица 7 - Дисперсионный анализ представляет:

df =1 - число степени свободы;

SS - сумма квадратов разностей:

Сумма квадратов регрессии с числом степеней свободы 1 SS₁=115,926.

Сумма квадратов остатков с числом степей свободы п-2 - SS₂ =0,963.

Cумма квадратов общая с числом степеней свободы п-1 - SS=116,889

MS - оценка дисперсий:

дисперсия регрессии - d²_факт?=SS₁/1=115,926;

дисперсия остаточная d²_ост?=SS₂/ (n-2) =0.138;

F - критерий Фишера: F=842,758.

Таблица 7-Дисперсионный анализ

Таблица 8 - Параметры уравнения регрессии

В ней представлено:

Графа 2 показывает значения коэффициентов а и в:

а=1,028, в=1,39.

Графа 3 - Стандартная ошибка; m_a = 0,228 и m_b=0,0479;

Графа 4 - t - статистика; t_a =4,5135, t_b=29,0303.

Графа 5-6-Доверительные интервалы. Интервальные оценки g_аmin=0,4899, g_аmax=1.5679. g_вmin=1.2768, g_вmax=1.5032 для параметров регрессии с доверительной вероятностью р=0,95.

Таблица 8

По результатам запишем уравнение регрессии.

У=1,0289+1,39*х,

Доверительные интервалы параметров регрессии

0.4899<a<1.5679, 1,2768<b<1.5032.

При расчетах двумя способами имеются погрешности, они связаны с округлением десятичных знаков до двух. Использование специального пакета ЕХСЕL обеспечивает точность вычисление.