Модель потребительского выбора продукции СПК колхоза "Новоалексеевский"

Работа из раздела: «Экономико-математическое моделирование»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы дипломной работы «Модель потребительского выбора продукции СПК колхоза «Новоалексеевский» заключается в том, что предложенное решение задачи о реализации продукции интересно в опыте применения этой теории для деятельности данного предприятия.

Целью дипломной работы является построение краткосрочного прогноза в рамках адаптивной модели.

Для достижения этой цели в дипломной работе последовательно решены следующие задачи:

1. Идентифицирована модель, т.е. определено количество параметров различного типа, которые присутствуют в модели.

2. Оценены параметры модели.

3. Исследована адекватность построенной модели.

4. Построен прогноз на основе адекватной модели.

5. Проведен анализ полученных результатов.

Дипломная работа состоит из двух разделов основной части пояснительной записки, заключения, списка использованной литературы и приложений.

Во введении обоснованна актуальность темы исследования, цель и задачи дипломной работы.

В первой главе дан общий обзор адаптивных методов прогнозирования. Изложены теоретические основы построения одной из базовых СС-моделей - модели Брауна. Рассмотрены линейные модели временных рядов - это процессы авторегрессии, скользящего среднего и их комбинации.

Вторая глава посвящена практическому применению методов прогнозирования на примере СПК колхоза «Новоалексеевский», построен прогноз реализации продукции на основе наблюдений, фиксируемых ежедневно с 03.03.09 по 23.03.11 гг. Прогнозирование проводится в рамках модели авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего, предложенной Боксом и Дженкинсом^[1]. Исследование временного ряда и прогнозирование осуществляется в системе STATISTICA - интегрированной системе комплексного статистического анализа обработки данных в среде Windows. Результаты работы представлены графически и проведен их анализ.

В заключении кратко перечисляются самостоятельно полученные результаты дипломной работы.

В список использованной литературы включены основные литературные источники в количестве 20 шт., используемые для написания пояснительной записки дипломной работы.

В приложениях приводятся таблицы, результаты вычислений для различных параметров, поставленных задач.

1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ вероятностного ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

1.1 Методы прогнозирования

Среди большого разнообразия экономико-математических методов, используемых для решения задач управления предприятием, особое место занимают методы и модели прогнозирования. Следует различать два понятия, связанные с прогнозированием - собственно прогнозирование и предсказание. Под предсказанием понимают суждение о будущем процесса, основанное на субъективном взвешивании большого числа факторов качественного и количественного характера. Предсказание подразумевает описание возможных или желательных перспектив, состояний, решений проблем будущего. Под прогнозированием понимают научное (т.е. основанное на системе фактов и доказательств, установленных причинно следственных связях) выявление вероятных путей и результатов предстоящего развития явлений и процессов, оценку показателей, характеризующих эти явления и процессы. Прогнозирование - это исследовательский процесс, в результате которого получают прогноз о состоянии объекта. Прогноз является вероятностным суждением о состоянии объекта или об альтернативных путях его достижения.

В основе прогнозирования лежат три взаимодополняющих источника информации о будущем:

- оценка перспектив развития будущего состояния прогнозируемого явления на основе опыта, чаще всего при помощи аналогии с достаточно хорошо известными сходными явлениями и процессами;

- условное продолжение в будущее (экстраполяция) тенденций, закономерности, развития которых в прошлом и настоящем достаточно хорошо известны;

- модель будущего состояния того или иного явления, процесса, построенная сообразно ожидаемым или желательным изменениям ряда условий, перспективы развития которых достаточно хорошо известны.

В соответствии с этим существует три дополняющих друг друга способа разработки прогнозов:

- анкетирование - опрос населения, проведение экспериментов с целью упорядочить, объективизировать субъективные оценки прогнозного характера, особенно большое значение, имеют экспертные оценки;

- экстраполирование и интерполирование (выявление промежуточного значения между двумя известными моментами процесса) - построение динамических рядов развития показателей прогнозируемого явления на протяжении периодов основания прогноза в прошлом и упреждения прогноза в будущем (ретроспекции и проспекции прогнозных обработок);

- моделирование - построение поисковых и нормативных моделей с учетом вероятного и желательного изменения прогнозируемого явления на период упреждения прогноза по имеющимся прямым и косвенным данным о масштабах и направлении изменений.

Наиболее эффективная прогнозная модель - система уравнений. Однако имеют значение все возможные виды моделей в широком смысле этого термина: сценарии, имитации, графы, матрицы, подборки показателей, графические изображения и т.д.

1.2 Адаптивные модели прогнозирования

Самонастраивающаяся рекуррентная модель, способная отражать изменяющиеся во времени динамические свойства временного ряда и учитывать информационную ценность его членов.

Данное направление в прогнозировании особенно актуально в условиях возрастания динамики бизнес - систем, структурной перестройки экономики и неравномерности развития научно-технического прогресса в различных отраслях, высокой изменчивости фондовых и товарно-сырьевых рынков на текущую конъюнктуру.

Преимущество адаптивных моделей в том, что они отражают динамические свойства временного ряда и учитывают информационную ценность его ретроспективных членов и поэтому способны давать достаточно точные оценки будущих значений. Такие модели предназначаются, прежде всего, для краткосрочного прогнозирования. Они позволяют достичь компромисса между требованием статистических подходов к увеличению объемов выборки для получения более точных оценок и требованием гомогенности (однородности) данных, чем больше период наблюдений, тем выше вероятность того, что исследуемый процесс или объект претерпел коренные изменения.

Реальные бизнес-процессы протекают в постоянно изменяющихся условиях внешней среды. На временной ряд, описывающий некоторый исследуемый процесс, воздействуют в разное время различные факторы: одни из них по тем или иным причинам ослабляют свое влияние, другие - увеличивают. Поэтому модель должна адаптироваться к ряду. Поскольку большинство реальных рядов являются нестационарными, то их характеристики (уровень, скорость роста, дисперсия колебаний и т.д.) также не постоянны во времени, модель всегда будет находиться в движении. Образно говоря, процесс адаптации модели к ряду можно рассматривать как «гонку за лидером».

Адаптация в таких моделях обеспечивается небольшими дискретными сдвигами. Изначально модель находится в некотором исходном состоянии, то есть, определены текущие значения ее параметров, и по ним делается прогноз на один шаг вперед. Затем устанавливается отклонение прогнозного значения от фактического, и полученная ошибка используется для корректировки параметров модели с целью ее лучшего согласования с динамикой ряда. Затем делается прогноз на следующий момент времени, и процедура повторяется.

Таким образом, адаптация представляет собой рекуррентную процедуру с получением каждой новой точки ряда. Целью такого «обучения» модели является выбор наилучшего параметра на основе пробных прогнозов на ретроспективном статистическом материале.

Адаптивные модели обладают высокой гибкостью, но при этом достаточно низкой универсальностью, поскольку приспосабливаются к конкретному ряду. Поэтому при построении и обосновании моделей необходимо учитывать наиболее вероятные закономерности развития исследуемого процесса и соотносить динамические свойства ряда с их структурой и возможностями.

К числу наиболее популярных адаптивных прогностических моделей можно отнести модели Холта, Брауна, Бокса-Дженкинса и др.

В практике прогнозирования наиболее часто используют модель Брауна или как ее еще называют модель экспоненциального сглаживания.

1.3 Модель Брауна

Экспоненциальное сглаживание - это очень популярный метод прогнозирования многих временных рядов. Исторически метод был независимо открыт Брауном и Холтом. Браун служил на флоте США во время второй мировой войны, где занимался обнаружением подводных лодок и системами наведения. Позже он применил открытый им метод для прогнозирования спроса на запасные части. Свои идеи он описал в книге, вышедшей в свет в 1959 году. Исследования Холта были поддержаны Департаментом военно-морского флота США. Независимо друг от друга, Браун и Холт открыли экспоненциальное сглаживание для процессов с постоянным трендом, с линейным трендом и для рядов с сезонной составляющей.

1.3.1 Простое экспоненциальное сглаживание

Предположим, что исследуется временной ряд . Выявление и анализ тенденции динамического ряда часто производится с помощью его выравнивания или сглаживания. Экспоненциальное сглаживание - один из простейших и распространенных приемов выравнивания ряда. В его основе лежит расчет экспоненциальных средних. Экспоненциальное сглаживание ряда осуществляется по рекуррентной формуле ^[4]

,	(1)

где значение экспоненциальной средней в момент t;

- параметр сглаживания, б= const, 0 < < 1;

- коэффициент дисконтирования данных. Он характеризует обесценивание данных в единицу времени и отражает степень доверия более поздним наблюдениям.

Выражение (1) можно переписать следующим образом:

	(2)

Экспоненциальная средняя на момент t здесь выражена как экспоненциальная средняя предшествующего момента плюс доля, а разницы текущего наблюдения и экспоненциальной средней прошлого момента. Если последовательно использовать рекуррентное соотношение (1), то экспоненциальную среднюю можно выразить через значения временного ряда :

	(3)

где n - количество членов ряда;

- некоторая величина, характеризующая начальные условия для первого применения формулы (1) при t=l.

Так как , то при , а сумма коэффициентов . Тогда . Таким образом, величина оказывается взвешенной суммой всех членов ряда. Причем веса падают экспоненциально в зависимости от давности («возраста») наблюдения. Это и объясняет, почему величина названа экспоненциальной средней. Если, например, , то текущее наблюдение будет иметь вес , а веса предшествующих данных составят соответственно и т. д.

Простая и прагматически ясная модель временного ряда имеет следующий вид: где - случайные некоррелированные отклонения, или шум, со средним значением 0 и дисперсией . Константа относительно стабильна на каждом временном интервале, но может также медленно изменяться со временем. Один из интуитивно ясных способов выделения состоит в том, чтобы использовать сглаживание скользящим средним, в котором последним наблюдениям приписываются большие веса, чем предпоследним, предпоследним большие веса, чем пред-предпоследним и т.д. Простое экспоненциальное именно так и устроено. Здесь более старым наблюдениям приписываются экспоненциально убывающие веса, при этом, в отличие от скользящего среднего, учитываются все предшествующие наблюдения ряда, а не те, что попали в определенное окно.

Применим к нему процедуру экспоненциального сглаживания (1). Тогда

Найдем математическое ожидание

и дисперсию

	(4)

Так как

Таким образом, экспоненциальная средняя имеет те же математическое ожидание, что и ряд но меньшую дисперсию. Как видно из (4), при высоком значении дисперсия экспоненциальной средней незначительно отличается от дисперсии ряда . Чем меньше , тем в большей степени сокращается дисперсия экспоненциальной средней. Следовательно, экспоненциальное сглаживание можно представить как фильтр, на вход которого в виде потока последовательно поступают члены исходного ряда, а на выходе формируются текущие значения экспоненциальной средней. И чем меньше , тем в большей степени фильтруются, подавляются колебания исходного ряда.

После появления работ Брауна экспоненциальная средняя часто используется для краткосрочного прогнозирования. В этом случае предполагается, что ряд генерируется моделью

где - варьирующий во времени средний уровень ряда;

- случайные неавтокоррелированные отклонения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией .

Прогнозная модель имеет вид

	(5)

где - прогноз, сделанный в момент на единиц времени (шагов)вперед;

- оценка , (знак над величиной здесь и далее будет означать оценку).

Средством оценки единственного параметра модели служит экспоненциальная средняя . Таким образом, все свойства экспоненциальной средней распространяются на прогнозную модель. В частности, если рассматривать как прогноз на 1 шаг вперед, то в выражении (2) величина есть погрешность этого прогноза, а новый прогноз S_t получается в результате корректировки предыдущего прогноза с учетом его ошибки. В этом и состоит существо адаптации.

При краткосрочном прогнозировании желательно как можно быстрее отразить изменения и в то же время как можно лучше «очистить» ряд от случайных колебаний. Таким образом, с одной стороны, следует увеличивать вес более свежих наблюдений, что может быть достигнуто повышением (см. (3)), с другой стороны, для сглаживания случайных отклонений величину нужно уменьшить. Как видим, эти два требования находятся в противоречии. Поиск компромиссного значения составляет задачу оптимизации модели.

Экспоненциальное сглаживание является простейшим вариантом самообучающейся модели. Вычисления просты и выполняются итеративно. Они требуют даже меньше арифметических операций, чем скользящая средняя, а массив прошлой информации уменьшен до одного значения . Такую модель будем называть адаптивной экспоненциального типа, а величину - параметром адаптации.

1.3.2 Условия экспоненциального сглаживания

Экспоненциальное выравнивание всегда требует предыдущего значения экспоненциальной средней. Когда процесс только начинается, должна быть некоторая величина которая может быть использована в качестве значения, предшествующего . Если есть прошлые данные к моменту начала выравнивания, то в качестве первого, значения S₀ можно использовать арифметическую среднюю всех имеющихся точек или какой-то их части. Когда для такого оценивания S₀ нет данных, требуется предсказание начального уровня ряда.

Предсказание может быть сделано исходя из априорных знаний о процессе или на основе его аналогии с другими процессами. После k шагов вес, придаваемый первому значению, равен . Если есть уверенность в справедливости первого значения , то можно коэффициент взять малым. Если такой уверенности нет, то параметру следует дать большое значение, с таким расчетом, чтобы влияние первого значения быстро уменьшилось. Однако большое значение , как это следует из (4), может явиться причиной большой дисперсии колебаний S_t. Если требуется подавление этих колебаний, то после достаточного удаления от начального момента времени величину можно убавить.

Рассмотрим роль параметра в первый период сглаживания в случае, когда нет уверенности в справедливости выбора первой величины . В этом случае получение прогнозов по экспоненциальной средней, построенной на малом отрезке ряда (выборке) чревато большими ошибками. Для того чтобы элиминировать избыточный вес, приданный первой величине, один из ученых Р. Вейд предлагает модифицировать процедуру сглаживания следующим образом.

Для исходного момента времени запишем:

где S₀ - как и раньше, начальная оценка уровня ряда.

Так как коэффициенты и в сумме теперь не дают единицу, то следует использовать множитель, равный единице, деленной на сумму коэффициентов. Таким образом, модифицированной экспоненциальной средней для t=l будет

Сущность этого метода состоит в том, чтобы убрать избыточный вес от веса, даваемого первому значению , и распределить его пропорционально по всем членам ряда. Прогнозы, получаемые по соответствующей модифицированной модели, основываются в большей степени на фактических данных, чем на предварительной оценке S₀ даже при малых выборках. Для того чтобы сократить время вычислений, целесообразно вернуться к обычному экспоненциальному сглаживанию, когда сумма коэффициентов приближается к единице. На основе эмпирического анализа Р. Вейд рекомендует осуществлять такой переход при сумме коэффициентов 0.995. При заданном значении можно заранее определить, на каком шаге следует вернуться к обычной модели.

1.3.3 Постоянная сглаживания

Выбору величины постоянной сглаживания следует уделять особое внимание. Поиски должны быть направлены на отыскание оснований для выбора наилучшего значения. Нужно учитывать условия, при которых эта величина должна принимать значения, близкие то одному крайнему значению, то другому. Нетрудно заметить, что при представляет случай абсолютной фильтрации и полного отсутствия адаптации. При приходим к так называемой наивной модели в соответствии с которой прогноз на любой срок равен текущему фактическому значению ряда. На практике эта модель из-за простоты пользуется особой популярностью.

Постоянная сглаживания характеризует скорость реакции модели на изменения уровня процесса, но одновременно определяет и способность системы сглаживать случайные отклонения. Поэтому величине следует давать то или иное промежуточное значение между 0 и 1 в зависимости от конкретных свойств динамического ряда.

В качестве удовлетворительного компромисса Р. Браун рекомендует брать в пределах от 0.1 до 0.3. Опыт работы с экономическими рядами показывает, что наибольшая точность прогнозирования может быть достигнута при любых допустимых значениях . Однако, как правило, если в результате испытаний обнаружено, что наилучшее значение константы близко к 1, следует проверить законность выбора модели данного типа. Часто к большим значениям приводит наличие в исследуемом ряде ярко выраженных тенденций или сезонных колебаний. В этом случае для получения эффективных прогнозов требуется другая модель.

Ясно, что наилучшее значение в общем случае должно зависеть от срока прогнозирования . Для конъюнктурных прогнозов в большей мере должна учитываться свежая информация. При увеличении периода упреждения более поздняя информация, отражающая последнюю конъюнктуру, должна, по-видимому, иметь несколько меньший вес, чем в случае малых . Для того чтобы сгладить конъюнктурные колебания, следует в большей мере учитывать информацию за прошлые периоды времени. Для проведения подобного анализа вводят понятие среднего возраста данных. Возраст текущего наблюдения равен 0, возраст предыдущего наблюдения равен 1 и т. д. Средний возраст - это сумма взвешенных возрастов данных, использованных для подсчета сглаженной величины. Причем возраста имеют те же веса, что и соответствующая информация. При экспоненциальном выравнивании вес, даваемый точке с возрастом , равен , где и средний возраст информации равен:

	(6)

Таким образом, чем меньше , тем больше средний возраст информации. Для конъюнктурных прогнозов значение , как правило, надо брать большим, а для более долгосрочных - малым.

На практике параметр сглаживания часто ищется с поиском на сетке. Возможные значения параметра разбивают сеткой с определенным шагом. Например, рассматривается сетка значений от =0.1 до =0.9, с шагом 0.1. Затем выбирается , для которого сумма квадратов (или средних квадратов) остатков (наблюдаемые значения минус прогнозы на шаг вперед) является минимальной.

1.4 Линейные модели временных рядов

Рассмотрим некоторые математические модели временных рядов: процессы авторегрессии, скользящего среднего и их комбинации. Эти модели называют линейными, так как определяющие их соотношения для элементов временного ряда и случайных ошибок выражаются с помощью линейных операций над ними: сложения-вычитания и умножения-деления на действительные числа.

1.4.1 Авторегрессия первого порядка AR(1)

Рассмотрим процесс X(t), значения которого в момент времени t формируется как комбинация значений этого процесса в предшествующий момент t-1 и некоторой случайной составляющей , независимой от значения X(t-l).

Процессы такого типа могут описывать как экономические, так и технологические временные ряды. Мы предположим, что - это процесс белого шума, т.е. что в разные моменты t случайные величины независимы и одинаково распределены по нормальному закону с математическим ожиданием равным нулю и дисперсией D.

Определение. Случайный процесс X(t) называют процессом авторегрессии первого порядка (коротко AR(1)), если для него выполняется соотношение

	(7)

где - параметр авторегрессии.

С помощью соотношения (7) можно задать значение процесса X(t) в любой момент времени через значения процесса X(t), если известна величина в момент .

Определим числовые характеристики стационарного процесса авторегрессии. Пусть

Взяв математическое ожидание от обеих частей (7), получим, что . Отсюда следует, что , если . Взяв дисперсию от обеих частей (7), получим, что . Отсюда следует (учитывая, что ), что

Таким образом, для стационарного процесса AR(1) получаем, что и для любых t и k

Похожим приемом можно вычислить при k= 1,2,.... Чтобы вычислить умножим (7) на и возьмем математическое ожидание. Получаем, что . Так как и независимы, то Поэтому , т.е.

Для вычисления заметим, что, согласно (7) а потому . Последнее равенство умножим на и возьмем математическое ожидание. Вычисляя, как выше, найдем, что

Аналогичным образом вычисляем (здесь соотношение (7) надо применить дважды). Получаем, что . Действуя, таким образом, и далее, найдем для любого k, что

Из этих соотношений следует, что

	(8)

Таким образом, автокорреляционная функция AR(1) процессов экспоненциально убывает с ростом поправки k. Обратим внимание, что чем ближе значение к единице, тем более гладко ведет себя траектория процесса AR(1) по сравнению с траекторией белого шума. И наоборот, чем ближе значение к минус единице, тем более изломанно (пилообразно) ведет себя траектория.

Стационарный процесс авторегрессии первого порядка с ненулевым средним . определяется соотношением:

	(9)

Здесь

Учитывая стационарность процесса X(t), в качестве оценки можно взять среднее по траектории: где . Еще ранее для мы получили, что

Заменяя его оценкой по траектории, получаем для оценку:

	(10)

Наконец, уже известное соотношение DX(t) позволяет оценить и Для этого можно воспользоваться стандартной оценкой дисперсии DX(t) стационарного процесса:

Отсюда

	(11)

1.4.2 Авторегрессия второго порядка AR(2)

Текущее значение процесса AR(2) в момент t формируется как линейная комбинация его значений в предыдущие моменты (t-1) и (t-2), и независимой от них случайной величины . Как и ранее, процесс будем считать белым шумом. Процессы AR(2) обладают большей «памятью», чем процессы AR(1).

Определение. Случайный процесс X(t) называют процессом авторегрессии второго порядка (коротко AR(2)), если для X(t) выполняется соотношение

	(12)

где и - некоторые константы.

С помощью соотношения (12) значения X(t) можно определить в любой момент через посредство последовательности и значений X(t) в моменты t₀ и

Условие стационарности. Так же, как это было для AR(1), из условия стационарности X(t) вытекает, что MX(t)=0. Условие стационарности накладывает также определенные ограничения на параметры , Ниже будет показано, что для стационарного процесса AR(2)

	(13)

Ограничения (13) задают на плоскости треугольную область. Верно и обратное если точка с координатами попадает внутрь этого треугольника, то с помощью (12) можно задать стационарный процесс AR(2) с параметрами .

Определим числовые характеристики и их оценки. Пусть . Для стационарного процесса AR(2) с нулевым средним для любого t. С использованием (12) для выводим соотношения

Вычисляя , таким же образом получим, что

Для автокорреляционной функции эти равенства дают

	(14)

Соотношения (14) называют уравнениями Юла-Уолкера. Они связывают параметры процесса AR(2) со значениями его автокорреляционной функции:

	(15)

Аналогичным путем для произвольного целого k получаем соотношение:

	(16)

Рассмотрим это соотношение как уравнение, и найдем все последовательности, скажем , которые ему удовлетворяют. Решения уравнения (16) связаны с корнями квадратного уравнения (его называют характеристическим)

	(17)

Пусть - корни (17), которые сейчас предположим различными. Случай рассмотрим позже. Легко проверить, что последовательности удовлетворяют (16). Более того, нетрудно доказать, что любое решение (16) является их линейной комбинацией, т.е. любое решение (16) имеет вид:

	(18)

где - произвольные числа.

Теперь рассмотрим случай, когда уравнение (17) имеет кратный корень Легко проверить, что в этом случае линейно-независимыми решениями (16) служат последовательности . Поэтому общее решение (16) в случае кратного корня (17) имеет вид

	(19)

Заметим, что последовательности (18) и (19) неограниченно возрастают с ростом k, если хотя бы одно из чисел превосходит 1. Поскольку -коэффициент корреляции, и не может превосходить по модулю 1, необходимо, чтобы .Более аккуратный анализ показывает, что если X(t) - стационарная последовательность, не являющаяся постоянной, то

	(20)

Последнее условие - не только необходимое следствие стационарности X(t), но и достаточное: если выполнено (20), то существует стационарная последовательность X(t), удовлетворяющая (16).

Формулы (18), (19) указывают общее решение уравнения (16). Чтобы полностью задать автокорреляционную функцию r_k стационарного процесса AR(2), надо еще правильно подобрать значения неопределенных коэффициентов .

Начнем со случая, когда корни - действительные числа. В этом случае надо взять такие действительные числа чтобы выполнялись соотношения (см. (14)).

	(21)

При таком выборе формулы (18), (19) дают явное выражение для r_k при любом . Корни уравнения (17) могут быть и комплексными (комплексно-сопряженными) числами. В этом случае надо дополнительно позаботиться о том, чтобы формула (18) при всяком k определяла бы действительное значение для автокорреляции r_k, . Для этого числа следует взять тоже комплексными и сопряженными. При таком выборе выражение (18) преобразуется так, что в нем участвуют только действительные числа и действительные функции переменного k:

	(22)

Действительные числа b и f определяются значениями . Роль неопределенных параметров в (22), которые надо подбирать, играют и . Для того, чтобы получить окончательную формулу для r_k, их надо выбрать с помощью условия (21). Видно, что формула (22) задает экспоненциально затухающую синусоиду. Условие стационарности (20) можно выписать в явном виде через значения коэффициентов и AR(2) процесса. Для этого надо записать значения . в виде корней квадратного уравнения (17) через и . Решение получаемых таким образом неравенств приводит к указанным в (13) условиям для и .

Определение. Процесс авторегрессии второго порядка с ненулевым средним определяют соотношением

Здесь .

Также как и ранее учитывая стационарность рассматриваемого процесса, в качестве оценки можно взять , где .

Оценки и можно получить из (15), заменяя истинные значения их выборочными оценками и :

	(23)

Для оценки дисперсии белого шума может быть использована остаточная сумма квадратов S, а именно:

	(24)

Откуда получаем:

	(25)

где значение знаменателя в (25) получено уменьшением исходного числа слагаемых в (24) на 3, за счет оценки параметров и .

1.4.3 Авторегрессия порядка р - AR(p)

Выше для простейших моделей авторегрессии были довольно подробно выведены и разобраны их свойства. В этом пункте мы приведем без доказательства сводку основных результатов, касающихся AR(p) процессов.

Определение. Случайный процесс X(t) со средним значением называется процессом авторегрессии порядка р или кратко AR(p), если для него выполняется соотношение:

	(26)

Поведение автокорреляционной функции АR(р) процесса. По аналогии с тем, как мы поступали с AR(2) процессом, рассмотрим корреляцию между X(t) и X(t-k). Получаем:

	(27)

Укажем общее решение уравнения (27) относительно . Оно задается с помощью корней характеристического уравнения:

Пусть - корни этого уравнения, которые мы предполагаем различными. Так же, как и в случае AR(2) процесса общее решение системы разностных уравнений (27) относительно может быть записано в виде:

Из требования стационарности AR(p) процесса вытекает, что все . Рассмотрим возможное поведение автокорреляционной функции в случае несовпадающих корней . При этом возможны два случая.

1. Корень вещественный. При этом член экспоненциально затухает с ростом k.

2. Пара корней - комплексно-сопряженные числа. Как и в случае AR(2), они вносят в r_k слагаемые типа которые являются экспоненциально затухающими синусоидами.

Таким образом, в общем случае автокорреляционная функция стационарного AR процесса является суммой затухающих экспонент и затухающих синусоидальных волн.

Оценим коэффициенты AR(p) процесса. Рассмотрим выражение (27) для значений . При этом мы получим систему уравнений Юла-Уолкера (аналогичную (14) для AR(2) процесса).

	(28)

Решая эту систему относительно неизвестных значений параметров и подставляя вместо неизвестных значений их оценки по наблюденному временному ряду, получаем искомые оценки коэффициентов AR(p) модели.

Частная автокорреляционная функция (ЧАКФ) полезна, когда по наблюденному отрезку временного ряда мы пытаемся подобрать для его описания подходящую ARMA-модель. Подобно автокорреляционной функции, ЧАКФ определяется для каждого натурального k и представляет собой бесконечную последовательность. Ее элементы мы обозначим через , Определение ЧАКФ и ее значений тесно связано с AR(p) моделями. Дадим определение для произвольного р. Систему уравнений Юла-Уолкера (28) можно формально рассмотреть как систему уравнений, связывающих неизвестные со значениями автокорреляции . Эта система - линейная; при заданных она легко может быть решена численно. Пусть - решение системы (28). Из этого набора чисел нам нужно всего одно число, а именно . По определению, мы полагаем значением ЧАКФ при k=p.

С уравнениями Юла-Уолкера и их решениями для мы уже встречались в п. 1.4.1 и 1.4.2. По результатам этих подразделов мы можем найти при :

	(29)

Формальное определение ЧАКФ дано. Посмотрим, каковы ее свойства. Рассмотрим для примера стационарный процесс авторегрессии первого порядка (1). Согласно (2), в этом случае , причем . По определению ЧАКФ, здесь . Чтобы найти , надо рассмотреть систему Юла-Уолкера (28) при р=2 и ее решение . С учетом (2), получаем, что удовлетворяют условиям

Умножим первое уравнение на и вычтем из второго. Получим, что . Так как , то это равенство возможно лишь при . Подобным способом находим, что для AR(1)

	(30)

Обратно, если выполняется (30), то процесс является процессом авторегрессии первого порядка.

Приведем без доказательства некоторые свойства частной автокорреляционной функции.

1. Для любого .

2. При имеет место .

3. Если рассматриваемый стационарный процесс является AR(p) процессом, то все при .

Для того, чтобы получить оценки по реализации , следует для каждого k решить соответствующую систему уравнений Юла-Уолкера (28), в которой значения автокорреляционной функции заменены их выборочными оценками . На практике в статистических пакетах для вычисления оценок используется специальные рекурсивные процедуры, позволяющие быстро осуществить вычисления оценок. Мы не будем подробнее останавливаться на этом вопросе. Последовательность оценок называют выборочной частной автокорреляционной функцией.

Укажем некоторые статистические свойства оценок при условии, что они построены по реализации AR(p) процесса. При

M	(31)

Указанные аппроксимации справедливы, если k много меньше длины реализации n. Это свойство оценок позволяет использовать выборочную частную автокорреляционную функцию для подбора порядка p модели процесса авторегрессии.

Подбор порядка р модели AR(p) процесса. Правило предварительного выбора порядка модели AR(p) процесса с использованием выборочной частной автокорреляционной функции звучит так. В качестве предварительного порядка модели AR(p) можно рассматривать такое число р, начиная с которого все последующие оценки выборочной частной автокорреляционной функции отклоняются от нуля не более чем на . То есть

для всех

Окончательный подбор порядка модели AR(p) процесса связан со статистической значимостью полученных коэффициентов модели и детальным изучением поведения остатков, получаемых вычитанием из исходного ряда значений подобранной AR(p) модели . Пусть - оценки коэффициентов подобранной модели. Для удобства записи формул обозначим первые р значений реализации через . Тогда подобранное значение AR(p) с номером можно записать в виде:

	(32)

Подобранное значение с номером имеет вид:

	(33)

где значение в (33) вычислено с помощью (32). Продолжая этот итеративный процесс, можно получить все значения при a также спрогнозировать дальнейшее поведение процесса, то есть вычислить значение и т.д. Если полученные остатки для ведут себя как белый шум, то процесс подбора модели можно считать завершенным. В противном случае, следует изменить порядок подбираемой модели или перейти к более сложным комбинированным моделям авторегрессии-скользящего среднего.

1.4.4 Процессы скользящего среднего MA(q)

Аббревиатура МА в заголовке образована от английского названия этих процессов: moving average. Данное сокращение стандартно используется для этих процессов в литературе и статистических пакетах. Начнем с примера.

Пусть, как и ранее, обозначает процесс белого шума, . Белый шум можно понимать как в широком, так и в узком смысле. Соответственно в широком либо узком смысле окажутся стационарными далее вводимые случайные процессы X(t). Рассмотрим временной ряд, заданный соотношением

	(34)

Очевидно, что Х(t) - стационарный процесс, причем , . Ясно, что траектории X(t) будут более гладкими, чем траектории белого шума s_t, так как корреляция между соседними членами процесса X(t) положительна:

Корреляция между более удаленными членами при этом равна 0:

для

Процесс (34) - простой пример процессов скользящего среднего. Дадим общее определение этих процессов.

Определение. Случайный процесс X(t) называется процессом скользящего среднего порядка q (кратко MA(q)), если для него выполняется соотношение:

	(35)

Свойства. Очевидно, что MA(q) (35) - случайный стационарный процесс

Используя (35), нетрудно подсчитать, что для

	(36)

и что для выполняется . Из этого последнего свойства следует, что автокорреляция r_k обращается в нуль вне некоторого конечного участка:

для .

Это свойство автокорреляции хорошо различимо на ее графике. Оно позволяет уверенно различать процессы скользящего среднего, основываясь на графике выборочной автокорреляционной функции , если наблюдаемая траектория процесса достаточно велика.

Оценивание коэффициентов в (35) по наблюдаемому участку траектории может быть проведено, например, по обобщенному методу наименьших квадратов. Этот метод хорошо известен и реализован в любом статистическом пакете.

1.4.5 Комбинированные процессы авторегрессии-скользящего среднего ARMA(p, q)

Происхождение аббревиатуры ARMA очевидно: она соединяет сокращения AR и МА, нам уже известные. Числа р и q указывают порядок процесса.

Определение. Случайный процесс X(t) называется процессом авторегрессии-скользящего среднего порядков р и q соответственно (кратко ARMA(p, q)), если для него выполняется соотношение:

	(37)

где - процесс белого шума:

В согласии с п. 1.4.3, процесс (37) может быть стационарным, только если все корни характеристического многочлена по абсолютному значению меньше единицы.

Формулы, выражающие автоковариацию и автокорреляцию стационарного случайного процесса (37) через коэффициенты и , выглядят сложно и мы их не приводим. Скажем только, что для k>q автокорреляция k>q процесса (37) удовлетворяет тем же уравнениям Юла-Уолкера, что уже были получены для процесса AR(p):

для всех

Поэтому при больших k автокорреляция r_k процесса ARMA(p, q) приобретает такую же форму, как и у процесса AR(p). Прежде чем приступить к оцениванию параметров в (37) по наблюдаемому участку траектории X, надо прежде выбрать порядок (р, q) модели ARMA(p, q). Для такого выбора редко когда есть теоретические основания. Обычно решение принимают, руководствуясь формой выборочной автокорреляционной функции , выборочной частной автокорреляционной функцией , и естественным стремлением иметь модель наиболее простого вида. На практике выделяют пять основных классов моделей^[6]:

1) модель AR(1) (один параметр авторегрессии): автокорреляционная функция экспоненциально затухает; частная автокорреляционная функция имеет выброс на поправке 1 (нет корреляций для других задержек);

2) модель AR(2) (два параметра авторегрессии): автокорреляционная функция имеет форму затухающей синусоидальной волны или экспоненциально затухает; частная автокорреляционная функция имеет выброс только для сдвигов 1 и 2 (значения для остальных задержек нулевые);

3) модель МА(1) (один параметр скользящего среднего): автокорреляционная функция имеет выброс на сдвиге 1 (остальные значения нулевые); частная автокорреляционная функция экспоненциально затухает - либо монотонно, либо осциллируя, т.е. меняя знак;

4) модель МА(2) (два параметра скользящего среднего): автокорреляционная функция имеет выбросы на сдвигах 1 и 2 (остальные значения нулевые); частная автокорреляционная функция имеет форму синусоидальной волны или экспоненциально затухает;

5) модель ARMA(1,1) (один параметр авторегрессии и один параметр скользящего среднего): автокорреляционная функция экспоненциально затухает, начиная с первой задержки (первое значение ненулевое), затухание может быть монотонное и колебательное; в частной автокорреляционной функции преобладает затухающий экспоненциальный член, либо монотонный, либо осциллирующий (первое значение ненулевое).

После того, как модель идентифицирована, переходят к оценке ее параметров. Оценивание коэффициентов и , представляет сложную задачу. Многие статистические пакеты прикладных программ содержат алгоритмы для ее решения. Мы не будем касаться подробностей. Заметим, что задача оценивания не всегда разрешима. Рассмотрим, например, процесс ARMA(1, 1), где

Здесь, если , решением X(t) служит , и значения и не оказывают на процесс X(t) никакого влияния. Поэтому они и не могут быть определены по траектории.

1.5 Критерий точности и надежности прогнозов

Точность и надежность прогнозов - широко распространенные в прогностической литературе термины, смысл которых, как это представляется на первый взгляд, вполне очевиден. Однако содержание этих терминов часто толкуется достаточно субъективно. Нередки случаи, когда одно понятие подменяется другим. О точности прогноза принято судить по величине погрешности (ошибки) прогноза - разности между прогнозируемым и фактическим значением (реализацией) исследуемой переменной. Однако такой подход к оценке точности возможен только в двух случаях. Во-первых, когда период упреждения уже окончился и исследователь имеет фактические значения переменной. При краткосрочном прогнозировании это вполне реально. Во-вторых, когда прогноз разрабатывается ретроспективно, т. е. прогнозирование осуществляется для некоторого момента времени в прошлом, для которого уже имеются фактические данные. При этом имеющаяся информация делится на две части. Одна из них, охватывающая более ранние данные, служит для оценивания параметров прогностической модели, а более поздние данные рассматриваются как реализации соответствующих прогностических оценок. Полученные ретроспективно ошибки прогноза в какой-то мере характеризуют точность примененной методики прогнозирования и могут оказаться полезными при сопоставлении нескольких методов. В то же время, величину ошибки ретроспективного прогноза нельзя рассматривать как окончательное доказательство пригодности или, наоборот, непригодности применяемого метода прогнозирования. К ней следует относиться с известной осторожностью и при ее применении в качестве меры точности необходимо учитывать, что она получена при использовании лишь части имеющихся данных. Однако эта мера точности обладает большей наглядностью и уж во всяком случае, теоретически более надежна, чем погрешность прогноза, исчисленная для периода, характеристики которого уже были использованы при оценивании параметров модели. В последнем случае погрешности, как правило, будут незначительны и мало зависимы от теоретической обоснованности, примененной для прогнозирования модели. Точность же прогнозов будет преувеличенной и в известном смысле иллюзорной. В связи с проверкой точности прогнозов необходимо сделать еще одно замечание. Так, если для ретроспективного прогнозирования применяется модель, содержащая одну или несколько экзогенных переменных, то точность прогноза будет в значительной мере зависеть от того, насколько точно определены значения этих переменных на период упреждения. При этом возможны два пути: воспользоваться фактическими значениями экзогенных переменных (так называемый прогноз ex post) и ожидаемыми их значениями (так называемый прогноз ex ante). Естественно, что точность прогноза ex post, который, как правило, и получают при проверке, будет выше, чем прогноза ex ante, так как в первом случае будет исключено искажающее влияние погрешности в значении экзогенных переменных.

Проверка точности одного прогноза мало что может сказать исследователю. В самом деле, на формирование исследуемого явления влияет множество разнообразных факторов, поэтому полное совпадение или значительное расхождение прогноза и его реализации может быть следствием просто особо благоприятных (или неблагоприятных) стечений обстоятельств. Единичный хороший прогноз может быть получен и по плохой модели, и наоборот. Отсюда следует, что о качестве прогнозов применяемых методик и моделей можно судить лишь по совокупности сопоставлений прогнозов и их реализации.

Известно, ширина доверительного интервала в значительной мере, зависит от принятой доверительной вероятности. Чем меньше эта вероятность, тем уже интервал. Таким образом, сопоставление коэффициентов для разных моделей может иметь смысл только при условии, что доверительные вероятности приняты одинаковыми. Если прогнозы получены в виде точечных оценок, то при проверке качества прогнозирования можно использовать целый ряд статистических характеристик, например среднюю абсолютную и среднеквадратическую ошибку прогноза^[8]. Указанные две характеристики качества имеют ту же размерность, что и сами показатели прогноза. Легко заметить, что значения обеих характеристик существенно зависят от масштаба измерения уровней исследуемых явлений.

Применение такой меры качества прогноза, как коэффициента корреляции между прогнозами и их реализациями, вообще говоря, возможно, однако следует помнить, что коэффициент парной корреляции указывает на степень близости к линейному соотношению коррелируемых величин. Так, если коэффициент корреляции прогнозов и реализации равен единице, то это вовсе не означает, что соответствующие показатели полностью совпали, просто они могут находиться в строгом линейном соотношении.

Одним из исследователей проблем экономического прогнозирования, Г. Тейлом предложен в качестве меры качества прогнозов коэффициент расхождения (или коэффициент несоответствия), числителем которого является среднеквадратическая ошибка прогноза, а знаменатель равен квадратному корню из среднего квадрата реализации. Итак,

	(38)

где и x_t - соответственно предсказанное и фактическое (реализованное) изменения переменной. Коэффициент v=0, когда все =x_t (случай совершенного прогнозирования); v=l, когда процесс прогнозирования приводит к той же среднеквадратической ошибке, что и «наивная» экстраполяция неизменности приростов; наконец, v>1, когда прогноз дает худшие результаты, чем предположение о неизменности исследуемого явления. Верхней границы коэффициент не имеет. Коэффициент расхождения может быть использован при сопоставлении качества прогнозов, получаемых на основе различных методов и моделей. В этом его несомненное достоинство. К тому же он имеет весьма прозрачный смысл. Величина v поддается разложению на составляющие (частные коэффициенты расхождения), характеризующие влияние ряда факторов.

Выше приведенные меры качества прогнозов (их точность) рассматривались при условии, что исследователь располагает информацией об истинных значениях величин, которые он оценивал в ходе разработки прогнозов. Такие меры качества, несомненно, представляют ценность при изучении различных методик прогнозирования. Однако в практической работе проблему точности прогноза надо решать, как правило, тогда, когда период упреждения еще не прошел и истинное значение прогнозируемой переменной неизвестно. В этом случае проблема точности может рассматриваться в плане сопоставления априорных качеств, свойств, присущих альтернативным прогностическим моделям. Так, если прогнозирование осуществляется статистическими методами, то, вероятно, понятие точности прогноза можно сделать более узким, а именно связав априорную точность прогноза с размером доверительного интервала.^[9] Модель, дающая более узкий доверительный интервал при одной и той же доверительной вероятности, и является более точной. (Разумеется, при этом теоретическая обоснованность сравниваемых моделей является примерно равной). Очевидно, что надежность прогноза определяется вероятностью реализации соответствующей прогностической оценки. Чем она выше, тем выше и надежность. Вероятность реализации может быть оценена субъективно (экспертное прогнозирование) или может быть связана с доверительными интервалами прогноза, если последний основывается на статистической модели. В этом случае надежность является характеристикой, сопряженной мере точности, если под мерой точности понимается размер доверительного интервала. Отсюда чем выше надежность прогноза, тем ниже его точность, и наоборот. Рассмотренные здесь понятия априорной точности и надежности прогнозов, связанные с доверительными интервалами, являются в значительной мере условными показателями. Они могут использоваться в практической работе лишь при условии, что принятая для получения прогнозов модель имеет серьезное теоретическое обоснование и спецификация модели корректна. В противном случае полученные доверительные интервалы лишь создают иллюзию точности.

2. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ НА ПРИМЕРЕ СПК КОЛХОЗА «НОВОАЛЕКСЕЕВСКИЙ»

2.1 Характеристика СПК колхоза «НОВОАЛЕКСЕЕВСКИЙ»

СПК колхоз «Новоалексеевский» является одним из самых крупных хозяйств в Курганинском районе Краснодарского края. Сельскохозяйственный производственный колхоз «Новоалексеевский» был зарегистрирован 23 января 2007 года. Основными видами деятельности являются: оптово-розничная торговля, производители живого скота (свиньи, крупный рогатый скот) и птицы.

2.2 Постановка задачи прогнозирования

Представление о дневном торговом диапазоне дает возможность для принятия верного решения - покупать, продавать или подождать, в зависимости от сложившейся ситуации.

Задача прогнозирования состоит в том, чтобы по значениям наблюдений, собранных к данному моменту времени, определить значения в следующие моменты.

Рассмотрим временной ряд, описывающий максимальную цену продукции СПК колхоза «Новоалексеевский», фиксируемую ежедневно с 03.03.09 по 23.03.11 гг.

Цель состоит в том, чтобы построить прогноз значений ряда реализации продукции на основе наблюдаемых значений. Обычной мерой надежности модели является сравнение прогноза построенного по урезанному ряду с известными исходными данными. Таким образом, на основе 504 наблюдений построим прогноз на 3 шага вперед. Для достижения поставленной цели необходимо последовательно пройти следующие этапы:

идентифицировать модель, т.е. определить количество параметров различного типа, которые присутствуют в модели;

оценить параметры модели;

исследовать адекватность построенной модели;

на основе адекватной модели построить прогноз;

провести анализ полученных результатов.

Исследование временного ряда и прогнозирование проведем в системе STATISTICA.

2.3 Идентификация модели ARIMA в системе STATISTICA

В модели ARIMA имеются следующие типы параметров: d - порядок разности, р - порядок авторегрессии, q- порядок скользящего среднего. Идентифицировать модель ARIMA - значит определить эти параметры.

Различают идентификацию порядка разности модели ARIMA - d и идентификацию стационарного процесса или порядка смешанной модели -параметров р, q. Идентификация является достаточно грубой процедурой, в которой получают прикидочные значения порядка модели. Довольно типично получение на этапе идентификации нескольких приемлемых моделей, которые с достаточной степенью точности подходят к наблюдаемым данным и в дальнейшем подвергаются детальному рассмотрению. Основным критерием идентификации является поведение автокорреляционной и частной автокорреляционной функции ряда. Но в действительности эти функции не известны, и мы имеем дело с их более или , менее точными оценками - выборочными автокорреляционными и частными автокорреляционными функциями. Графики и численные значения автокорреляционной и частной автокорреляционной функции являются основным инструментом идентификации модели ARIMA. Анализируя графики и, если необходимо, рассматривая численные значения, проводим идентификацию модели. Вначале рассмотрим идентификацию порядка разности модели.

2.4 Идентификация стационарности модели, определение порядка разности d

Пусть d - неизвестный порядок модели, который нужно оценить. Прежде всего, визуализируем ряд и определим, является ряд стационарным или нет, исходя из графических представлений (рисунок 1).

Рисунок 1 - График максимальной цены продукции

Нестационарность ряда часто видна 'на глаз', например, если в ряде имеется ярко выраженный тренд. Особенно легко определить визуально наличие монотонного тренда: логарифмического, экспоненциального, линейного, параболического и др. При этом следует сделать, конечно, оговорку: наблюдается отрезок ряда, где тренд проявился, т.е. амплитуда колебаний ряда 'не заслоняет' тренд. Наличие тренда, который хорошо виден - первое свидетельство о нестационарности ряда.

Рассматривая график, нельзя точно определить, есть тренд или нет. Следует отметить, что нас интересует картина в целом, а не на отдельных участках, где наличие трендов очевидно. В целом тренд может и существовать, но иметь слабо выраженную форму. Поэтому пока вопрос о стационарности ряда остается открытым. Далее имеет смысл посмотреть на амплитуды колебаний на разных участках ряда: возможно, амплитуда колебаний существенно различна для разных частей траекторий. Каждый из кусков может являться траекторией стационарного ряда, но в целом ряд, конечно, не является стационарным. Рассматривая амплитуды колебаний для разных частей траекторий, видим, что существенных различий нет. Ряд не имеет особенностей, указывающих на нестационарность. Однако можно предположить, что имеется слабая линейная тенденция. Поэтому следует рассмотреть выборочную автокорреляционную функцию (рисунок 2).

Рисунок 2 - График автокорреляционной функции ряда

Выборочная АКФ имеет тенденцию к затуханию. Однако ее коэффициенты убывают медленно: r₁=0.9753, a r₁₅=0.6818 (таблица 1).

Автокорреляции значимы при больших значений аргумента. Но, быть может, автокорреляции при поправках, больших 2, велики только из-за «распространения» автокорреляции при поправке 1? Это предположение подтверждается графиком ЧАКФ (рисунок 3), из которого мы видим, что значимым является лишь значение ЧАКФ при поправке 1. Таким образом, автокорреляции при больших поправках полностью объясняются автокорреляцией при поправке 1.

Таблица 1 - Значения автокорреляционной функции ряда

Autocorrelation Function

MAX

(Standard errors are white-noise estimates)

Auto-

Corr.

Std.Err.

Box&

Ljung Q

0,9753

0,9488

0,9222

0,8980

0,8746

0,8529

0,8333

0,8145

0,7958

0,7746

0,7555

0,7362

0,7171

0,6994

0,6818

0,0444

0,0443

0,0442

0,0441

0,0440

0,0439

0,0438

482,3145

939,6001

1372,4761

1783,7497

2174,6824

2547,2167

2903,4992

3244,5579

3570,7996

3880,5693

4175,8571

4456,7988

4723,9172

4978,5193

5220,9844

0,00

Рисунок 3 - График частной автокорреляционной функций ряда

Наш ряд демонстрирует в точности описанное поведение: у его ЧАКФ пик при поправке 1 и более нет значимых значений. Это говорит нам, что если ряд не дифференцировать (не брать первые разности), то согласно первому критерию следует использовать модель AR(1). Рассмотрим уравнение AR(1) модели: .Коэффициент при АR(1)-члене близок к единице: = 0.98 (согласно формуле ). Когда оценка AR(1)- коэффициента примерно равна 1, то говорят про единичный корень. Единичный корень в оцененных AR- или МА-коэффициентах модели часто является признаком того, что ряд сильно пере- или сильно недодифференцирован. Временной ряд с единичным корнем нестационарен. Если коэффициент при АR(1)-члене равен 1, то уравнение говорит нам, что первая (дискретная) производная ряда равна константе, т.е. что уравнение задает, на самом деле, модель случайного блуждания с линейным сносом: В подобных случаях АR(1)-член эквивалентен взятию первой производной, так что следует отказаться от АR-члена и продифференцировать ряд. ЧАКФ ряда показывает, что ряд нужно дифференцировать по крайней мере один раз. Первая производная ряда представлена на рисунке 4.

Рисунок 4 - График ряда первых разностей

Обратим внимание на то, что продифференцированный ряд уже похож на стационарный. Он демонстрирует явственную тенденцию возвращаться к своему среднему. На всякий случай посмотрим, что получится, если мы возьмем еще одну производную. Рассматривая ряд вторых разностей (рис. 5), наблюдаем признаки передифференцированности: значения ряда слишком часто меняют знак.

Рисунок 5 - График ряда вторых разностей

Оптимальный порядок дискретной производной - тот, при котором минимально стандартное отклонение. Из нижеследующих дескриптивных статистик (таблица 2) мы видим, что стандартное отклонение минимально для ряда первых разностей: 10.1586. Если брать вторую производную, то стандартное отклонение увеличивается с 10.1586 до 13.2765 - свидетельство передифференцированности.

Таким образом, порядок разности модели ARIMA d=l. Перейдем к определению остальных параметров модели, т.е. р, q.

Таблица 2 - Дескриптивные статистики

Descriptive Statistics
	Mean	Std. Dv.	Min.	Max.	First Case	Last Case	N
MAX MAX :D(-1) MAX :D(-1);D(-1)	362,9126 0,1547 0,0474	60,4889 10,1586 13,2765	233,9 -54,5 -79,25	535,8 44,75 45,98	1 2 3	504 504 504	504 503 502

2.4.1 Определение параметров р и q стационарной модели

Для определения параметров р, q рассматривают выборочные автокорреляционные и частные автокорреляционные функции ряда. Практика показывает, что большинство наблюдаемых рядов, описываемых смешанной моделью авторегрессии и скользящего среднего, могут быть отнесены с достаточной степенью точности к одному из следующих пяти классов:

1) модели авторегрессии с одним параметром: р=1, q=0;

2) модели авторегрессии с двумя параметрами: p=2,q=0;

3) модели скользящего среднего с одним параметром: p=0,q=l;

4) модели скользящего среднего с двумя параметрами: p=0,q=2;

5) модели авторегрессии с одним параметром и скользящего среднего с одним параметром: p=q=l.

Прежде всего нужно попытаться отнести модель к одному из этих классов. Имеются практические критерии по определению этих моделей с помощью автокорреляционных и частных автокорреляционных. Воспользуемся этими критериями.

Из графиков (рисунок 6, 7) замечаем, что выборочные АКФ и ЧАКФ имеют положительный выброс на поправке 1. Однако у ЧАКФ 'обрыв' более крутой, чем у АКФ, т.е. AR-признак сильнее. Первое значение частной корреляции STATICTICA выделяет красным цветом, делая тем самым акцент на высокой значимости данного коэффициента. Применяя первый критерий, идентифицируем процесс как процесс AR(1)- авторегрессии порядка 1.

Рисунок 6 - График выборочной АКФ ряда первых разностей

Рисунок 7 - График выборочной ЧАКФ ряда первых разностей

Остановимся на модели ARIMA( 1,1,0). Перейдем к следующему этапу.

2.5 Оценивание параметров модели ARIMA(p,d,q)

Следующий, после идентификации, шаг состоит в оценивании параметров модели. Во время оценивания порядка модели используется так называемый квазиньютоновский алгоритм максимизации правдоподобия (вероятности) наблюдения значений ряда по значениям параметров. Практически это требует вычисления (условных) сумм квадратов (SS) остатков модели. В STATISTICA реализованы два способа вычисления суммы квадратов остатков SS:

1) приближенный метод максимального правдоподобия МакЛеода и Сейлза (1983);

2) точный метод максимального правдоподобия по Меларду (1984).

В общем, оба метода дают очень похожие результаты. Однако метод (1) - самый быстрый, и им можно пользоваться для исследования очень длинных рядов (например, содержащих более тридцати тысяч наблюдений). Метод Меларда может оказаться неэффективным, если оцениваются параметры сезонной модели с большой сезонной поправкой (например, 365 дней). Обычно вначале используют приближенный метод максимального правдоподобия для того, чтобы найти прикидочные оценки параметров, а затем точный метод, чтобы получить окончательные оценки. Процедура оценивания минимизирует (условную) сумму квадратов остатков модели. Если модель не является адекватной, может случиться так, что оценки параметров на каком-то шаге станут неприемлемыми - очень большими (например, не удовлетворяют условию стационарности). В таком случае, SS будет присвоено очень большое значение (штрафное значение). Обычно это 'заставляет' итерационный процесс удалить параметры из недопустимой области. Однако в некоторых случаях SS может иметь очень большое значение. В таких случаях следует с осторожностью оценивать пригодность модели.

Проведя оценку параметров модели ARIMA(1,1,0) методом Меларда, получаем результаты, представленные в таблице 3, где:

МАХ - максимальная цена;

Initial SS - начальное значение условной суммы квадратов (равно сумме квадратов максимальной цены);

Final SS - финальное значение условной суммы квадратов, которое составляет 97,92% от начального значения, что вполне приемлемо и свидетельствует о том, что оценки параметров находятся в области допустимых значений;

р(1) - параметр уравнения авторегрессии.

Таблица 3 - Результаты оценки параметров модели ARIMA(1,1,0)

Variable: MAX Transformations: D(l) Model: (1;1;0) No. of obs. : 503 Initial SS = 51817, Final SS =50741 ( 97,92%) MS = 101,08 Parameters (p/Ps Autoregressive, q/Qs-Moving aver.) highlight: p < 0.05 p(1) Estimate 0,1445 Std.Err. 0,0444
Input: MAX Transformations: D(l) Model:(1,1,0) MS Residual=101,07
	Param.	Asympt. Std.Err.	Asympt. t( 502)	p	Lower 95% Conf	Upper 95% Conf
P(1)	0,14455	0,044353	3,25916	0,001	0,057413	0,231693

Т.о. построенная модель имеет вид:

	(39)

или

	(39^/)

Рассмотрим вторую часть таблицы. В первом столбце приведены точечные оценки параметров, во втором - асимптотическая стандартная ошибка оценок, в третьем - значения t-критерия, в четвертом - уровни надежности, в пятом и шестом - соответственно нижние и верхние границы 95%-ных доверительных интервалов для соответствующего неизвестного параметра модели. Мы видим, что интервал (0.0574; 0.2316) с вероятностью 0.95 накрывает значение неизвестного параметра ф. Ширина интервала 0.17 также как стандартная ошибка, приведенная во 2-ом столбце, один из показателей качества оценки. Чем более узким является доверительный интервал и чем меньше ошибка, тем больше оснований опираться на построенную оценку неизвестного параметра. В данном случае, стандартная ошибка равна примерно 0.04 что на порядок меньше оценки р(1). Ширина доверительного интервала так же достаточно малая величина. Известно, что табличное значение t-критерия Стьюдента для n-1=502 степеней свободы и уровня значимости 0.05 равно t_005;501 = 1.96^[14]. Когда расчетное значение t-критерия превосходит его табличное значение при заданном уровне значимости, оцененный коэффициент считается значимым. Из таблицы видно, что параметр значим, т.к. расчетное значения t-критерия много больше табличного: 3.26>1.96. Статистическая значимость результата представляет собой оцененную меру уверенности в его «истинности» (в смысле «репрезентативности выборки»). Далее указан р - уровень - это показатель, обратно пропорциональный надежности результата. Более высокий р - уровень соответствует более низкому уровню доверия найденным по выборке результатам, р - уровень равный 0.05 показывает, что имеется 5% вероятность, что найденный по выборке результат является лишь случайной особенностью данной выборки. Не существует никакого способа избежать произвола при принятии решения о том, какой уровень значимости следует действительно считать 'значимым'. Выбор определенного уровня значимости, выше которого результаты отвергаются как ложные, является достаточно произвольным. На практике окончательное решение обычно зависит от того, был ли результат предсказан априори (т.е. до проведения опыта) или обнаружен апостериорно в результате многих анализов и сравнений, выполненных с множеством данных, а также на традиции, имеющейся в данной области исследований. Обычно во многих областях результат является приемлемой границей статистической значимости. Таким образом, из таблицы видна высокая значимость параметра.

2.6 Исследование адекватности модели

прогнозирование цена продукция модель

Анализ остатков чрезвычайно важный момент в установлении адекватности модели. Если остатки систематически распределены (например, отрицательны в первой части ряда и примерно равны нулю во второй) или включают некоторую периодическую компоненту, то это свидетельствует о неадекватности модели. Рассмотрим остатки временного ряда. Остатки представляют собой разности между наблюдаемыми значениями ряда и оцененными с помощью модели. График остатков напоминает траекторию белого шума (см. рисунок 8).

Рисунок 8 - График остатков ARIMA(1,1,0) ряда

Проверка адекватности модели основана на проверке выполняемости остаточной последовательности четырех свойств:

1) случайность колебаний уровней ряда остатков;

2) соответствие распределения случайной компоненты нормальному закону распределения;

3) равенство нулю мат. ожидания случайной компоненты;

4) независимость значений уровней случайной последовательности, т.е. отсутствие существенной автокорреляции.

2.6.1 Проверка случайности остатков

Для проверки случайности колебаний уровней остаточной компоненты воспользуемся критерием пиков (поворотных точек)^[16]. Уровень последовательности e_t считается максимумом, если он больше двух рядом стоящих уровней, т.е. и минимумом, если он меньше обоих соседних уровней, т.е. . В обоих случаях считается поворотной точкой. Общее число поворотных точек для остаточной последовательности ряда обозначим через р. Подсчитано, что р=333. В случайной выборке математическое ожидание числа точек поворота и дисперсия находятся по формулам:

	(40)
	(41)

Критерием случайности с 5%-ным уровнем значимости, т. е. с доверительной вероятностью 95%, является выполнение неравенств

	(42)

где квадратные скобки означают, целую часть числа. Если это неравенство нарушается, то гипотеза о случайном характере остаточной компоненты отвергается и, следовательно, модель признается неадекватной. Так как , то гипотеза о случайности остатков не отвергается, т.е. не противоречит опытным данным.

2.6.2 Проверка соответствия остатков нормальному закону распределения

Предположение о нормальности остатков может быть проверено с помощью нормального вероятностного графика. Стандартный нормальный вероятностный график строится следующим образом. Вначале происходит упорядочение отклонений от соответствующих средних (остатков). По этим рангам вычисляются z значения (стандартизованные значения нормального распределения), z значения откладываются на оси Y. Если наблюдаемые значения (отложенные по оси X) нормально распределены, то все значения попадут на прямую линию. Если распределение отлично от нормального, то на графике будет наблюдаться отклонение от прямой. На рисунке 9 видно, что значения остатков достаточно хорошо ложатся на прямую.

Рисунок 9 - График остатков ARIMA(1,1,0) на нормальной вероятностной бумаге

Гистограмма остатков с наложенной нормальной плотностью, показанная на рисунке 10, также служит визуальным подтверждением нормальности остатков.

Рисунок 10 - Гистограмма остатков ARIMA(1,1,0) с наложенной нормальной плотностью

Проверка нормальности остатков так же может быть произведена приближенно с помощью показателей асимметрии и эксцесса . Для нормального распределения эти показатели равны нулю.

Выборочные характеристики асимметрии (Skewness) и эксцесса (Kurtosis) и их ошибки (см. таблицу 4.):

Т.к. одновременно выполняются следующие неравенства^[17]

	(43)

то гипотеза о нормальном характере распределения остатков не отклоняется.

Таблица 4 - Основные описательные статистики остатков ряда

Descriptive Statistics
	Valid N	Mean	Std.Dev.	Std.Err. Mean	Skewness	Std.Err. Skewness	Kurtosis	Std.Err. Kurtosis
MAX ARIMA (1,1,0) residuals	503	0,1384	10,0526	0,4482	-0,3244	0,1089	0,65044	0,2174

Существует ряд других критериев проверки нормального характера распределения (например, критерий Колмогорова-Смирнова или W критерий Шапиро-Уилка).

В критерии Колмогорова-Смирнова сравниваются две эмпирические функции распре деления^[18] . Проверяема нулевая гипотеза имеет вид против конкурирующей , где F(x) - эмпирическая функция распределения остатков, a F_norm(x) - известная функция нормального распределения. Определяется мера расхождения между этими функциями

D=max\|F(x)-F_norm(x)\|	(44)

называемая статистикой критерия Колмогорова-Смирнова. Если вычисленное значение

	(45)

окажется больше критического _а, определенного на уровне значимости , то нулевая гипотеза отвергается. В данном случае =1.03 меньше табличных значений 1.07 и 1.36 для уровней значимости 0.2 и 0.05 соответственно. Следовательно, гипотеза о том, что остаточная последовательность имеет нормальный закон распределения, не противоречит опытным данным. D-статистика не является значимой (см. таблицу 5.) для принятия конкурирующей гипотезы.

Таблица 5 - Результаты теста Калмогорова-Смирнова

Kolmogorov-Smirnov Test (Mean & standard deviation known)
MAX ARIMA( 1,1,0) residuals	N	max D	p
	503	0,0458	p>20

2.6.3 Проверка равенства нулю математического ожидания остатков

Проверка равенства мат. ожидания случайной остаточной компоненты нулю, если она распределена по нормальному закону распределения, осуществляется на основе t-критерия Стьюдента^[3]. Расчетное значение этого критерия задается формулой

	(46)

где -среднее арифметическое значение уровней остаточной последовательности e_t, - стандартное (среднеквадратическое) отклонение для этой последовательности (см. таблицу 4). Если расчетное значение t меньше табличного значения статистики Стьюдента с заданным уровнем значимости и числом степеней свободы n-1, то гипотеза о равенстве нулю математического ожидания случайной последовательности принимается; в противном случае эта гипотеза отвергается и модель считается неадекватной. Т. к. t=0,3087<t₀_.₀₅_;.₅₀₂=1,96, то гипотеза принимается.

2.6.4 Проверка независимости значений уровней остаточной компоненты

Рассмотрим графики автокорреляций и частных автокорреляций остатков ряда (см. рисунок 11 и рисунок 12).

Рисунок 11 - Автокорреляционная функция остатков ряда

Видим, что остатки в данном случае достаточно слабо коррелированны, не выходят за пределы диапазона двух стандартных ошибок. Для, проверки гипотезы об отсутствии существенной автокорреляции воспользуемся d-критерием Дарбина-Уотсона. Расчетное значение критерия^[18].

	(47)

Рисунок 12 - Частная автокорреляционная функция остатков ряда

Согласно критерию при отсутствии автокорреляции . Табличные значения d-статистик для р=1 (число объясняющих переменных) и n=503 5% значимостью равны: d_H=1.76 и d_B=1.78. Т. к.

d=1.98>d_B=1.78	(48)

то гипотеза о независимости уровней остаточной последовательности, т.е. об отсутствии в ней автокорреляции, принимается (точнее сказать не отвергается).

Таким образом, указанные выше четыре проверки свойств остаточной компоненты дают положительный результат, и мы можем сделать вывод об адекватности построенной модели. Можно утверждать, что полученные остатки ряда ведут себя как белый шум. Процесс подбора модели можно считать завершенным.

2.7 Проверка значимости и точности модели

Проверим значимость уравнения с помощью критерия Фишера. Проверить значимость, значит, установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными экспериментальным данным^[19].

Проверка значимости проводится на основе дисперсионного анализа, согласно основной идеи которого

Q=Q_R+Q_e	(49)

Где

	(50)

общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней;

	(51)

остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтенных факторов;

	(52)

сумма квадратов, обусловленная моделью.

Построенное уравнение значимо на уровне , если фактически наблюдаемое значение статистики больше табличного значения:

	(53)

где - табличное значение F- критерия Фишера-Снедекора, определенное на уровне значимости при kl=l и k2=n-l степенях свободы. В нашем случае: Q=2041009; Q_e=50739.1; Q_R=1990270; n=503. Так как

F=19691.2F_005;1,502=3.84	(54)

то уравнение модели значимо.

Для характеристики точности модели воспользуемся показателем средней относительной ошибки аппроксимации:

	(55)

Ошибка менее 5% свидетельствует об удовлетворительном уровне точности.

Коэффициент детерминации найдем по формуле:

	(56)

Т.е. построенная модель объясняет изменчивость данных на 97%. В целом модель довольно хорошая и можно прейти к следующему этапу.

2.8 Построение прогноза и оценка его точности

Построив прогноз на три шага вперед, мы получаем результаты, отраженные в таблице 6.

Таблица 6 - Результаты прогнозирования максимальной цены на три шага вперед

Forecasts; Model:(l,l,0) Seasonal lag: 12

Input: MAX

Start of origin: 1 End of origin: 504

Forecast

Lower

90%

Upper

90%

Std.Err.

505

506

507

538,8067

539,2413

539,3042

522,2392

514,0608

507,5728

555,3742

564,4218

571,0355

10,0538

15,2804

19,2557

В первом столбце даны значения прогнозов, далее - нижняя граница доверительного 90% интервала, верхняя граница, стандартная ошибка. Стандартные ошибки на порядок меньше соответствующих точечных и интервальных прогнозов. Это свидетельствует о том, что надежность прогноза достаточно высокая.

Сравним прогнозные значения с фактическими (см. таблица 7). Все значения фактической цены попадают в соответствующие доверительные интервалы. Чем дальше прогнозное значение от последнего уровня исследуемого ряда, тем шире доверительный интервал, т. к. растет степень неопределенности. Ближайшее будущее с «точки зрения» модели намного более определенно. Границы доверительного интервала важны. Их можно использовать, например, для оценки риска при принятии решения на основе прогноза. Рассчитать риск от неправильного принятия решения.

Показатели точности модели рассчитываются на основе всех уровней временного ряда и поэтому отражают лишь точность аппроксимации. Для оценки прогнозных свойств модели используют те же формулы, но суммирование ведется предсказанным наблюдениям. Средняя относительная ошибка прогноза составляет 0.68%, а среднеквадратическое отклонение равно 5.92, коэффициент расхождения v=0.008 (см.(38)). Таким образом, построенная модель вида (39) чрезвычайно оптимистично оценивает надежность прогноза на одну точку вперед. В первую очередь это связано с предположением о характере тренда, который мы определили как линейный.

Таблица 7 - Анализ прогноза максимального курса, построенного на модели ARIMA(1,1,0)

Дата

Цена

Прогноз

Ниж. гр. 90%

Верх.гр. 90%

Ширина довер.инт

Абс.ошибка прогноза

Ср.отн. ошибка

Ср.кв откл

19.03.11

22.03.11

23.03.11

542

546,98

539,5

538,81

539,24

539,30

522,24

514,06

507,57

555,37

564,42

571,04

33,14

50,36

63,46

3,19

7,74

0,20

0,68

5,92

2.9 Анализ результатов

Идентификация является достаточно грубой процедурой, в которой получают прикидочные значения порядка модели. Критерии носят достаточно расплывчатый характер, возможно, с их помощью может быть идентифицирована не одна модель. Наличие нескольких подходящих моделей не следует рассматривать как фатальную ошибку, а как нормальный поисковый результат.

Ранее мы определили, что порядок разности d равен единице. Исходя из графических соображений, установили, что ряд вторых разностей является передифференцированным, и в качестве первого приближения посчитали подходящей производную первого порядка. Для того чтобы убедиться в правильности принятого решения рассмотрим случай, когда d=2.

Так как для ряда вторых разностей выборочная автокорреляционная функция имеет отрицательный выброс на первой поправке и остальные значения не значимы, а выборочная частная автокорреляционная функция экспоненциально затухает, то согласно критерию 3) из п. 1.4.5. идентифицируем модель как ARIMA(0,2,1):

	(57)

Результаты оценивания (см. таблицу Б.1) свидетельствуют о высокой значимости параметра скользящего среднего q(l): узкий доверительный интервал (равен 0.02), стандартная ошибка на два порядка меньше оцениваемой величины, значение t-критерия много больше табличного (165.351.96). Единственным отрицательным моментом является то, что значение параметра (0.98) очень близко к единице. Проверка адекватности модели (таблица Б.2) дала следующие результаты: остатки независимы (р=324>[314.85]=315), распределены приблизительно нормально (см. рисунок Б.3) с математическим ожиданием равным нулю (t=1.61<t₀₀₅_;₅₀₂=1.96), однако уровни остаточной компоненты не являются независимыми(см. рисунок Б.3 и рисунок Б.4). Критерий Дарбина-Уотсона показывает, что имеет место положительная автокорреляция (d=1.71<d_ниж=1.76). Таким образом, модель ARIMA(0,2,1) не является адекватной. Остатки такой модели нельзя рассматривать как оценки «истинного» случайного шума, лежащего в основе анализируемого ряда. Посмотрим, что будет, если построить прогноз на неадекватной модели. Из таблицы Б.3 видно, что средняя относительная ошибка прогноза увеличилась на 23%, стандартное отклонение - на 8%. Очевидно, прогноз, построенный с помощью модели ARIMA(1,1,0) существенно лучше прогноза, построенного на неодекватной модели ARIMA(0,2,1).

Все вышеизложенные результаты касаются максимальной цены. Аналогичным образом, можно исследовать временной ряд, описывающий минимальную цену продукции СПК колхоза «Новоалексеевский» (рисунок В.1). Дескриптивные статистики для этого ряда (приведенные в таблице В.1) показывают, что оптимальный порядок дискретной производной равен единице.

В процессе идентификации были выделены несколько моделей: ARIMA(1,0,0), ARIMA(1,1,2), ARIMA(1,2,2). По модели ARIMA(1,0,0) -модель первого приближения - был построен в принципе неплохой прогноз, средняя относительная ошибка которого составила 1.7%, среднеквадратическое отклонение 11.65, при этом 88% данных объясняются моделью (см. таблицу В.2). В таблице В.2 представлены результаты аппроксимации и прогнозирования по ARIMA(1,2,2)-модели. В качестве лучшей модели выбрана модель ARIMA(1,1,2) вида:

	(58)

Результаты исследования сведены в таблицу 8.

Таблица 8 - Результаты аппроксимации и прогнозирования минимального курса по модели ARIMA(1,1,2)

модель	р(1)	q(l)	q(2)
ARIMA(1,1,2)	-0,93	-0,89	0,06
точность модели	значение
коэффициент детерминации, % средняя относительная ошибка аппроксимации, % коэффициент сходимости F-значение (k1=2, k2=500) уравнение значимо с вероятностью	96,36 2,49 0,036 6617,23 0,95
точность прогноза
средняя относительная ошибка среднеквадратическое отклонение коэффициент расхождения	1,15 9,00 0,014
характеристика остатков
среднее значение t-критерий дисперсия ассимметрия эксцесс критерий Дарбина-Уотсона количество поворотных точек		0,17 0,32 11,83 -0,38 0,65 2,00 328

В таблице 9 отражены результаты прогнозирования минимальной цены на три шага вперед.

Таблица 9 - Результаты прогнозирования минимальной цены на три шага вперед

Forecasts; Model:(l,l,0) Seasonal lag:	12
Input: MAX
Start of origin: 1 End of origin: 504
		Lower	Upper
	Forecast	90%	90%	Std.Err.
505	514,6742	494,9701	534,3783	11,957
506	515,6622	487,4864	543,838	17,0978
507	516,2462	481,7432	550,7491	20,9373

Рассмотрим один из примеров, каким образом полученная информация может быть использована СПК колхозом «Новоалексеевский» для совершенствования своей деятельности.

Допустим, 18 марта 2011 года конкурирующее предприятие покупает 100 кг продукции по цене 527.76 руб. за кг продукции СПК колхоза «Новоалексеевский. Анализ графика показал, что в рассматриваемый период следует ожидать роста цены на продукцию. Также об этом свидетельствуют полученный точечный и интервальный прогноз, равные 538.81 руб. и (522.24 руб.; 555.37 руб.) соответственно. Наиболее информативным для нас является доверительный интервал прогноза, который показывает, что с 90 % вероятностью данный интервал накроет истинное значение цены. В то время как точечный прогноз может отклоняться в ту или иную сторону от фактического значения. В качестве уровня доверия мы взяли 0.9. Однако бывают ситуации, когда целесообразно брать существенно меньшие значения, например, 0.7. С точки зрения «крайнего оптимизма» цена 19 марта может достигнуть 555,37 руб. (правая граница интервала). Если продать продукцию по этой цене, то прибыль от сделки составит 2 761 руб. Это так называемая «грязная» прибыль, в ней мы не учли иные расходы по сделке. Считаем, что расходы составляют 2.5 % от суммы сделки. С учетом расходов итоговая сумма сделки равна 54 148.575 руб., а чистая прибыль составляет всего 53 руб. 18 коп. Проведем аналогичный анализ в точке «крайнего пессимизма» (левая граница интервала) (см. таблицу 10). Мы видим что, продав продукцию по 522.24 руб., предприятие понесет убыток в размере 3.176.40 руб. Если опираться на точечный прогноз, то убыток составит 1 561.425 руб.

Выше изложенные рассуждения позволяют сделать вывод о том, что 19 марта не стоит продавать продукцию, так как вероятнее всего сделка окажется убыточной. Учитывая, что средствами технического анализа не получено никаких сигналов к развороту тенденции, есть смысл дождаться более выгодного предложения.

Таблица 10 - Анализ доходности сделок

Вид сделки	Объем продукции, кг	Цена одного кг продукции, руб.	Сумма сделки, руб.	Операцион. рибыль/ убыток, руб.	Сумма иных расходов по сделке^*, руб.	Итоговая сумма сделки, руб.	Чистая прибыль/ убыток, руб.
покупка	100	527,76	52 776,00		1 319,40	54 095,40
продажа	100	522,24	52 224,00	-552,00	1 305,00	50 919,00	-3176,40
продажа	100	538,81	53 881,00	1 105,00	1 347,03	52 533,98	-1561,425
продажа	100	555,37	55 537,00	2 761,00	1 388,425	54 148,58	53,175


продажа	100	542,00	54 200,00	1 424,00	1 355,00	52 845,00	-1250,40

*иные расходы (= 2.5 % от суммы сделки)

Действительно, фактическое значение максимальной цены продукции на 19 марта равно 542 руб. Даже если бы верно определить момент продажи (момент достижения максимума), то все равно предприятие потеряло бы 1.250.40 руб. Это является подтверждением верности прогноза.

Данный пример использования предсказанной информации, конечно, не претендует на роль универсального правила «игры» на рынке. Скорее всего, он носит демонстрационно-показательный характер. Все операции не могут быть прибыльными, просто сумма по убыточным операциям должна покрываться суммой по прибыльным за отчётный период. Надо определить предельную величину убытков по отдельным операциям, чтобы даже после нескольких убыточных операций подряд средств на счете оставалось достаточно для спокойной работы и возможности «отыграть» потерянное.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результатом данной дипломной работы стало построение краткосрочного прогноза в рамках адаптивной модели на основе данных отражающих деятельность предприятия. В результате было получено несколько моделей. В ходе исследования были выбраны «лучшие» модели и по ним построен прогноз максимальной и минимальной цены реализации продукции СПК колхоза «Новоалексеевский».

Основной эффект от внедрения результатов работы ожидается в виде повышения качества и эффективности принятия решений способствующих успешному развитию предприятия.

В ходе выполнения дипломной работы, были проведены следующие работы:

2. Оценены параметры модели.

3. Исследована адекватность построенной модели.

4. Построен прогноз на основе адекватной модели.

5. Проведен анализ полученных результатов.

К перспективным направлениям развития темы дипломной работы можно отнести более конкретные расчеты для каждого вида продукции предприятия в отдельности.

В целом построенный краткосрочный прогноз позволит обеспечить системный подход в применении прогнозирования для изучения максимальной и минимальной цены реализации продукции СПК колхоза «Новоалексеевский.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бокс Дж., Дженкинс Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление.М.: Мир,1974. Вып.1 -228 с, Вып.2 197 с.

2. Рабочая книга по прогнозированию / Под ред. Бестужев-Лада. М.: Финансы и статистика, 1984. 462 с.

3. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебное пособие для вузов / В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбеков и др.; Под ред. В.В. Федосеева. М.: ЮНИТИ,1999. 391 с.

4. Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования. М: Высшая школа, 1979. 363 с.

5. Статистический анализ данных на компьютере. Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров. /Под ред. В.Э.Фигурнова. М.: ИНФРА-М, 1998. 528 с.

6. Боровиков В.П., Ивченко Г.И. Прогнозирование в системе STATISTICA в среде Windows. Основы теории и интенсивная практика на компьютере: Учебное пособие. М.: Финансы и статистика, 2000. 384 с.

7. Четыркин Е.М. Статистические методы прогнозирования. М.: Финансы и статистика, 1979. 394 с.

8. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятности и математической статистике: Учебное пособие для втузов. Изд. 2-е, доп. М.: Высшая школа, 1975. 333 с.

9. Статистическое моделирование и прогнозирование. / Под ред. А.Г. Гранберга. М: Финансы и статистика, 1990. 514 с.

10. Швагер Ю.Дж. Технический анализ. Полный курс. М.: Альпина Паблишер, 2001.768 с.

11. Эконометрика: Учебник/ И.И. Елисеева, СВ. Курышева, Т.В. Костева и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. М.: Финансы и статистика, 2001.344 с.

12. Шелобаев С.И. Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе: Учебное пособие для вузов.- М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000. 367 с.

13. Льюис К.Д. Методы прогнозирования экономических показателей. М.:Мир,1986.127 с.

14. Таблицы математической статистики. Л.Н. Большев, Н.В. Смирнов. М.: Наука, 1985.637 с.

15. Справочник по прикладной статистике. / Под ред. Э. Ллойда, У. Лидермана: Пер. с англ. М.: Финансы и статистика, 1989. 625 с.

16. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичная обработка данных: Справочное изд./ С.А. Айвазян, И.С. Енюков, Л.Д. Мешалкин. М.: Финансы и статистика, 1983. 471 с.

17. Общая теория статистики: Учебник. Изд. 2-е, испр. И доп. М.: ИНФРА-М,2000.416 с.

18. Кремер Н.Ш. Теория вероятности и математическая статистика: Учебник для вузов. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001.543 с.

19. Статистический словарь. / Под ред. М.А. Королева. Изд. 2-е. М. Финансы и статистика, 1989. 468 с.

20. Джонстон Дж. Эконометрические методы.М.: Финансы и статистика, 1960. 484 с.

Приложение А

Таблица А.1 - Результаты реализации продукции СПК колхоза «Новоалексеевский» с 03.03.09 по 23.03.11

Дата продаж, дд.мм.гг	Объем продаж за день, кг	Сумма продаж за день, руб	Цена реализации, руб
			первой продажи	минимальная	максимальная	последней	средневзвешенная	рыночная
1	2	3	4	5	6	7	8	9
03.03.09	190223	84,329,080,39	450,25	434,5	458	435,02	443,46	443,46
04.03.09	234038	105,283,910,05	438	435	455	453	449,82	449,82
05.03.09	253357	107,895,406,48	439	413,1	454,9	421	424,72	424,72
06.03.09	179989	78,899,202,78	426	422	445	445	435,53	435,53
07.03.09	226945	99,629,517,92	445,5	430	445,5	440,99	436,88	436,88
10.03.09	166749	74,916,088,49	439	439	453,75	449,1	447,21	447,21
11.03.09	226829	99,649,052,57	445	433,5	445	434	437,06	437,06
12.03.09	91930	40,910,221,98	438	432	441,3	438	439,77	439,77
13.03.09	258358	111,749,853,74	430	429	437	429	432,54	432,54
14.03.09	126889	54,590,286,33	428,65	420,1	437,99	425	430,22	430,22
17.03.09	138867	54,266,159,06	400	386,01	405	392	391,71	391,71
18.03.09	179447	70,471,562,49	407	382	412	389,99	394,11	394,11
19.03.09	98418	39,056,455,11	409	389	409	390	396,84	396,84
20.03.09	45350	18,068,256,10	387	387	403,1	402,51	399,61	399,61
21.03.09	175753	70,448,616,18	402,5	397	405	398,51	400,82	400,82
24.03.09	72222	27,826,471,56	394	382	397	388,44	388,29	388,29
25.03.09	87856	34,376,794,93	388	387	393,6	388,6	391,27	391,27
26.03.09	159856	64,673,736,47	399,99	396	415	407,2	404,54	404,54
27.03.09	169875	69,245,299,07	407	400	423,89	408	412,74	412,74
28.03.09	128167	54,314,952,42	421	417,25	428,49	428,49	423,88	423,88
03.04.09	113445	49,365,274,32	432	432	441	434	435,8	435,8
04.04.09	85550	36,933,893,48	432,1	429,2	434,75	432,7	431,85	431,85
05.04.09	44777	19,325,621,74	434,8	427,8	437,1	433	431,6	431,6
06.04.09	61896	27,164,597,08	438	436	441,9	439	438,88	438,88
10.04.09	118153	51,216,790,58	440	429	442	431,5	433,41	433,41
11.04.09	63425	27,022,016,20	439,5	419	439,5	427	426,05	426,05
12.04.09	68451	28,878,571,31	430	416	432	423,5	421,66	421,66
15.04.09	65961	27,371,441,36	420	412	420	415,51	414,9	414,9
16.04.09	2102473	888,044,643,05	423	419	440	436,5	422,38	422,38
17.04.09	205057	86,680,174,05	433	416,3	436	417,05	423,27	423,27
18.04.09	235519	95,959,659,48	410	395	417,5	409	407,44	407,44
19.04.09	170290	65,440,598,06	404	369	405	370	384,29	384,29
22.04.09	187945	70,116,397,53	372	365	378,5	370,5	373,33	373,33
23.04.09	237182	84,700,027,77	366	340	370	352,5	357,11	357,11
24.04.09	268066	89,657,221,46	340	300	351	341	334,47	334,47
25.04.09	305566	111,083,482,82	347	347	375	375	363,81	363,81
26.04.09	163708	61,598,970,71	360	360	394	384	376,3	376,3
1	2	3	4	5	6	7	8	9
29.04.09	55759	21,328,637,12	390	375,1	398	380,5	383,19	383,19
30.04.09	94018	35,468,682,13	384	375,5	389,25	380	382,57	382,57
01.05.09	404433	154,930,495,89	397	385	397	387,49	386,63	386,63
02.05.09	98450	38,773,587,81	390,95	385,5	400	397	394,63	394,63
05.05.09	68806	27,366,947,22	398,01	389	412,5	410	399,07	399,07
06.05.09	210228	88,068,775,98	406	405	427	415	420,84	420,84
07.05.09	2234152	926,093,999,69	412	390,6	416	397,5	414,56	414,56
08.05.09	161769	63,184,051,34	386	380	400	398	390,14	390,14
09.05.09	129384	52,428,922,70	405,1	400	410	400	405,43	405,43
13.05.09	83968	33,889,287,45	404	396	410,5	403	403,52	403,52
14.05.09	50086	20,021,512,79	400	392,5	404	392,5	399,74	399,74
15.05.09	116347	44,693,769,86	394	375,1	394	385	384,14	384,14
16.05.09	52584	20,446,619,66	386	385	392,9	385,01	388,84	388,84
19.05.09	64877	25,474,819,50	389	388	396,5	392	392,83	392,83
20.05.09	26096	10,065,739,51	387,8	382	387,9	384,05	385,72	385,72
21.05.09	74273	28,155,605,22	389	367	390	372,5	380,29	380,29
22.05.09	247150	89,251,676,25	367	354	370	364	361,41	361,41
23.05.09	56828	20,673,441,59	362,1	359	374,2	373	365,38	365,38
26.05.09	96152	36,076,211,04	370	365,1	390	377,5	375,2	375,2
27.05.09	53911	20,074,821,12	378	368,5	380	372	372,37	372,37
28.05.09	151189	54,679,402,94	372	353	372	355	362,53	362,53
29.05.09	119642	42,607,550,93	356	344	366	358,8	356,12	356,12
30.05.09	57253	19,946,818,37	355	338,26	355	340	348,38	348,38
31.05.09	80076	28,345,485,20	348	348	361,5	357	353,78	353,78
03.06.09	59923	21,672,470,59	360	355	369,4	369	361,51	361,51
04.06.09	70804	26,691,283,12	372	372	380,8	375	377	377
05.06.09	93696	34,616,665,07	374,5	365	374,5	367	369,4	369,4
06.06.09	1584892	577,278,176,90	364	362	380	377,5	364,24	364,24
07.06.09	520045	199,961,912,46	385	378,05	388,99	379,9	384,51	384,51
10.06.09	247081	1 94,573,131,48	380	376,6	387	378	382,76	382,76
11.06.09	162935	58,906,636,45	378,55	349	378,55	365	361,53	361,53
12.06.09	202943	74,775,480,14	368,1	360	374	373,7	368,45	368,45
13.06.09	61123	22,837,597,00	371,5	369,6	382	370	373,49	373,49
14.06.09	57663	21,097,162,08	368	361	371	368	365,87	365,87
17.06.09	63257	23,618,870,38	368	368	375	371,9	373,34	373,34
18.06.09	352059	125,680,032,12	369,99	363	372,8	366,5	367,28	367,28
19.06.09	86778	31,983,833,89	367,5	364	371	370	368,57	368,57
20.06.09	66799	24,760,830,25	366,45	366	373	372,2	370,68	370,68
21.06.09	94029	35,261,990,61	374	371	377,5	371	375,01	375,01
24.06.09	54660	20,333,170,201	370	369	373	372	371,99	371,99
25.06.09	21843	8,100,213,26	369	368	372	371	370,84	370,84
26.06.09	62671	23,126,879,56	371,49	365	372	371,5	369,02	369,02
27.06.09	96099	35,382,816,78	367	365,26	372	372	368,19	368,19
28.06.09	180801	68,248,798,73	372,9	372,01	385	377,98	377,48	377,48
30.06.09	217806	91,554,846,69	372	372	386	386	381,25	381,25
01.07.09	293539	116,750,998,15	389,2	389,2	405	397,75	397,78	397,78
03.07.09	335319	140,863,925,13	401,5	393	410	397,9	402,02	402,02
04.07.09	256150	104,119,096,63	402,89	400	411,5	411,4	406,54	406,54
1	2	3	4	5	6	7	8	9
07.07.09	286872	119,203,368,35	412,01	410,8	420	412	415,34	415,34
08.07.09	230064	94,430,879,21	408	405	422,02	422	410,45	410,45
09.07.09	305943	129,381,584,81	417,5	414,25	430	428,75	422,89	422,89
10.07.09	143413	60,802,415,14	424,51	421,5	420	424,01	423,97	423,97
11.07.09	179227	77,669,112,69	425	425	436	434	433,43	433,43
14.07.09	296357	130,692,861,55	438	435	444	443,25	441,14	441,14
15.07.09	173353	76,858,811,70	448	437,25	449	443	443,41	443,41
16.07.09	203766	89,912,175,53	440	438,25	446,2	443,9	441,35	441,35
17.07.09	102189	44,598,486,68	437,01	431,01	442	434	436,14	436,14
18.07.09	99759	43,205,178,62	435,01	428,1	439	430,9	433,08	433,08
21.07.09	54559	23,312,971,01	427,5	423,1	429,99	429	427,32	427,32
22.07.09	106641	46,303,537,13	431,1	429,25	437,5	437,4	434,19	434,19
23.07.09	98772	43,176,826,92	436	434	440,95	435	437,14	437,14
24.07.09	200789	89,533,831,59	439	437,76	449,9	449	445,91	445,91
25.07.09	274398	125,565,136,40	451	451	460	456,5	457,74	457,74
29.07.09	285028	131,989,383,80	456,5	456,5	468,98	462,75	463,07	463,07
30.07.09	394178	180,905,305,72	460	449	462,5	451,9	458,97	458,97
31.07.09	120443	54,584,904,25	464,5	446	464,5	449,89	450,73	450,73
01.08.09	175535	78,571,768,92	450	444	453	444	447,61	447,61
04.08.09	153044	68,102,022,42	447	435	451,83	450,75	444,98	444,98
05.08.09	112797	51,037,017,37	452,2	449,2	457,77	451,51	452,51	452,51
06.08.09	3166704	1,431,365,839,64	451	448,86	454,5	448,86	452,01	452,01
07.08.09	201775	90,248,278,49	451	444	451	444,01	447,26	447,26
08.08.09	187762	81,562,908,36	447,5	430	447,5	432	434,33	434,33
11.08.09	187382	78,575,790,90	431,9	410	431,9	422,1	419,33	419,33
12.08.09	175701	74,502,737,60	417,2,	417,2	430	420,6	424,01	424,01
13.08.09	119535	49,936,881,69	420,48	406	422	407,5	417,76	417,76
14.08.09	143546	57,605,357,15	410	386	417,9	413,99	401,3	401,3
15.08.09	98694	39,735,817,69	413	396	413	396	402,59	402,59
18.08.09	160568	60,914,868,79	390	374	390	374,5	379,37	379,37
19.08.09	178525	67,502,151,77	370	362	392	391,99	378,15	378,15
20.08.09	178040	68,815,897,22	394	378,01	396,5	385	386,51	386,51
21.08.09	123658	47,541,516,81	385	373,1	393	383	384,44	384,44
22.08.09	136763	50,044,485,20	374	356,01	375,9	361	365,76	365,76
25.08.09	136315	51,696,970,73	370	370	387	385,5	379,29	379,29
26.08.09	86249	33,549,219,30	383,5	381	392	391	388,98	388,98
27.08.09	84270	33,391,514,12	384,1	384,01	404	398	396,28	396,28
28.08.09	198638	78,606,875,73	399	392,56	405	393	395,6	395,6
29.08.09	274801	109,121,290,88	402	394,2	403,49	401	396,82	396,82
02.09.09	213617	87,126,194,26	399,49	399,49	411,99	411,99	407,98	407,98
04.09.09	227899	95,997,690,49	428,99	410,01	434	416,8	421,74	421,74
05.09.09	138479	56,896,906,48	416,15	400	422	405	410,98	410,98
09.09.09	154200	61,833,330,31	401	396	404,8	401,5	400,61	400,61
10.09.09	84917	33,207,648,33	393	387,15	394	391,5	391,05	391,05
11.09.09	233005	92,100,856,03	396	389	398,1	392,6	395,3	395,3
12.09.09	288121	114,095,675,68	390,01	374,5	391	382,8	380,09	380,09
13.09.09	122914	47,112,550,90	383,5	371,07	391,5	380	381,67	381,67
16.09.09	144141	54,856,605,68	372	370	389,35	384,5	380,62	380,62
1	2	3	4	5	6	7	8	9
17.09.09	190054	76,625,114,26	391	391	413	410	403,49	403,49
18.09.09	98188	39,844,528,41	404	397,02	414,87	411,55	405,9	405,9
19.09.09	201464	78,957,344,12	407	373	410,8	382,5	390,36	390,36
20.09.09	114199	46,371,448,84	392,5	392,5	412,5	409	405,82	405,82
23.09.09	224425	94,049,294,82	412	412	423	420	419,34	419,34
24.09.09	128774	53,429,747,89	423,99	411	424,6	416,5	415,18	415,18
25.09.09	206077	84,103,961,18	407,1	403	412,5	407	408,11	408,11
26.09.09	185541	73,550,438,93	396	388	401	396,5	395,28	395,28
27.09.09	182533	70,372,192,30	387,5	382	390	385,7	385,53	385,53
28.09.09	158153	60,533,061,77	404,75	380,5	404,75	383,8	383,23	383,23
29.09.09	375614	146,565,974,02	388	368	388	372	372,86	372,86
30.09.09	165600	61,522,425,33	372	363,15	374	371	368,3	368,3
01.10.09	4018483	1,547,004,192,97	383	378,1	387	379,35	384,92	384,92
02.10.09	209668	77,873,560,06	377,5	363,2	382,5	370,5	371,33	371,33
03.10.09	331739	121,345,709,85	369,98	354	372,5	358,49	365,5	365,5
08.10.09	503796	165,540,125,94	345	315,05	345	326,5	327,12	327,12
09.10.09	233333	72,679,497,18	316	305	321,9	308,5	310,83	310,83
10.10.09	245012	76,818,700,36	308,9	306	321,8	313,25	315,74	315,74
13.10.09	221025	68,705,305,47	310	306	313	312	310,19	310,19
14.10.09	230821	74,832,143,70	316,5	316,5	325,5	325,5	322,29	322,29
15.10.09	151054	49,050,639,20	327,99	313	328	313	320,35	320,35
16.10.09	114251	36,021,810,42	312,99	309	315,9	314	313,5	313,5
17.10.09	359656	114,833,374,74	314	310	320,8	313,6	317	317
20.10.09	446295	140,819,846,38	315	301,25	315,8	302	309,26	309,26
21.10.09	304360	94,059,211,93	303,5	303,5	312,5	309,2	308,78	308,78
22.10.09	355041	106,275,197,76	302,25	290,1	306	304	297,79	297,79
23.10.09	281804	85,543,046,17	298	297	307,99	301	303,22	303,22
24.10.09	265967	81,580,740,81	304	301,2	308,5	307,01	306,33	306,33
27.10.09	162173	51,120,562,16	310,5	308	320,7	315,5	316,45	316,45
28.10.09	307562	94,992,017,18	314	298	314	304	303,5	303,5
29.10.09	250140	74,892,218,66	297	292,05	302	297	297,56	297,56
30.10.09	509231	139,155,551,42	293	256,5	293	259,9	273,75	273,75
01.11.09	396668	100,666,881,26	261	238	271	254	253,21	253,21
04.11.09	185935	46,004,894,23	263,75	239,5	264	249,4	247,52	247,52
05.11.09	359412	96,366,375,16	250	249	279	278,9	269,01	269,01
06.11.09	284381	83,103,139,98	289	280	302	289,7	290,63	290,63
07.11.09	467292	129,526,739,10	280	262,02	293	266,05	275,14	275,14
08.11.09	341960	96,463,772,57	266,45	266,45	299,5	295,9	284,25	284,25
09.11.09	117269	34,881,800,94	290	282	293	286	284,73	284,73
13.11.09	253838	72,528,207,94	291	277,01	292,9	282	286	286
14.11.09	286590	76,695,713,71	278,8	258	279,9	263	267,34	267,34
15.11.09	382034	91,139,036,12	250	223	253	226	237,58	237,58
18.11.09	333856	79,276,107,48	230	230	241	241	236,72	236,72
19.11.09	217057	51,635,172,85	238	233	242,9	242,9	237,82	237,82
20.11.09	287198	66,730,373,48	233	230	238	235	233,39	233,39
21.11.09	426558	97,163,142,31	229,99	219	233,9	227,5	225,72	225,72
22.11.09	276441	66,097,642,95	233	227,5	244	243	234,71	234,71
25.11.09	134547	33,257,290,68	250	245	252	249,7	248,21	248,21
1	2	3	4	5	6	7	8	9
26.11.09	185887	48,599,092,42	247	245,01	255,99	250	251,05	251,05
27.11.09	265965	67,403,860,88	249	246,02	253	250,01	250,05	250,05
28.11.09	221750	57,807,955,01	254,8	254,6	265	260,06	260,09	260,09
03.12.09	129021	31,119,477,87	241	233	249	235,5	240,39	240,39
04.12.09	218981	57,416,470,07	253,9	253,9	269,8	262,21	262,12	262,12
05.12.09	165680	45,069,236,49	260	258,5	280	270	272,15	272,15
09.12.09	179200	49,635,593,72	265	265	285,7	283,5	277,98	277,98
10.12.09	251231	74,720,556,83	288	288	301,5	297	297,74	297,74
11.12.09	278408	84,779,837,882	305	295	313	303,01	304,76	304,76
12.12.09	221402	68,569,288,90	314	302,5	316,4	304	309,99	309,99
15.12.09	197587	60,971,280,46	304	299	313	312,5	308,72	308,72
16.12.09	342768	107,208,467,70	314,03	308,5	317,85	312	312,87	312,87
17.12.09	421956	135,804,680,14	315	314	331	328	321,85	321,85
18.12.09	354244	114,864,485,43	330	318	335	321	324,26	324,26
19.12.09	352953	115,408,392,48	328	316,03	333,95	316,7	327,01	327,01
22.12.09	334207	101,740,680,79	314	296,5	317	303	303,82	303,82
23.12.09	5089021	1,596,669,920,0	304	297,5	314,29	309,5	313,73	313,73
24.12.09	401813	130,769,699,69	318	318	329,5	325,78	325,46	325,46
25.12.09	287195	93,668,864,45	324,45	317,2	332	325	326,44	326,44
26.12.09	367757	118,850,908,52	321,3	317	326	320,01	320,14	320,14
29.12.09	971255	286,099,362,96	325,5	287,56	325,5	288,4	295,69	295,69
30.12.09	777283	221,527,796,38	290	278,01	292	287,4	285,57	285,57
31.12.09	448635	127,191,867,14	288,4	281,7	288,4	287	284,55	284,55
01.01.10	270849	76,683,791,88	283,84	281	285,5	283	283,39	283,39
02.01.10	168528	47,632,769,73	283	282	286	286	283,55	283,55
05.01.10	309105	85,172,559,41	282,1	273,5	282,1	275,7	276,42	276,42
06.01.10	147396	40,743,005,65	277,5	276,51	285	285	282,41	282,41
07.01.10	332636	91,192,574,05	280,53	274,21	283,4	277	278,51	278,51
08.01.10	233547	65,651,920,157	278	278	285,8	284,87	283,34	283,34
09.01.10	263918	74,309,557,42	283,8	279,02	285	281	282,46	282,46
12.01.10	99259	28,123,062,70	278,9	278	284,4	282,6	282,64	282,64
13.01.10	311908	90,025,271,58	285,5	285	294	294	289,41	289,41
14.01.10	302713	89,258,092,13	289,15	289,15	301,5	297,6	296,45	296,45
15.01.10	390461	119,232,174,91	301	300,01	313,4	311,8	307,08	307,08
16.01.10	555807	167,884,953,81	310	291,01	311,5	294	302,56	302,56
19.01.10	334260	97,359,453,54	294,5	286	300	287,59	291,41	291,41
20.01.10	272523	77,994,104,69	292	283,51	293,89	285,03	288,47	288,47
21.01.10	612390	163,470,182,42	282,53	259,5	283,05	269,9	266,72	266,72
22.01.10	351461	96,820,993,31	262	262	284,95	279,16	275,27	275,27
23.01.10	178642	48,954,742,50	283,8	265	284	270	273,85	273,85
26.01.10	102618	28,111,055,43	277	270,11	281,45	278	275,58	275,58
27.01.10	276187	75,083,056,96	283,7	268	287	272,8	276,61	276,61
28.01.10	212034	57,363,344,19	275,3	261,95	275,3	274,49	268,8	268,8
01.02.10	212294	56,092,251,48	267	259	270	266	263,78	263,78
02.02.10	220792	58,679,242,89	265,5	262,01	269,89	266	265,93	265,93
05.02.10	201166	54,282,873,09	268	265,8	276,7	276,7	270,81	270,81
06.02.10	486034	139,091,426,67	280	280	297,5	295	290,43	290,43
07.02.10	259224	75,641,073,74	288	284,58	303,5	298	292,96	292,96
1	2	3	4	5	6	7	8	9
11.02.10	75738	22,061,896,19	291,3	288,01	294,49	292,2	292,17	292,17
12.02.10	152565	43,736,066,10	291	284	291	287	286,26	286,26
13.02.10	212706	60,027,120,37	283,1	276,5	286,99	285,49	283,28	283,28
14.02.10	357415	98,138,869,62	288	262	289	269,89	272,68	272,68
15.02.10	179344	49,146,886,49	270	268	279,7	279,39	274,01	274,01
16.02.10	229903	64,177,027,18	279	275	285,8	284	279,66	279,66
19.02.10	240462	69,175,299,03	281	280,5	291	288	287,66	287,66
20.02.10	184801	53,708,380,67	294	284,15	294	285,15	289,08	289,08
21.02.10	215122	58,540,113,13	281	276,05	282,8	278	279,15	279,15
22.02.10	147602	40,858,424,74	275	274,5	281,5	279,94	277	277
23.02.10	168074	47,300,695,77	283	276,25	284	279,15	281,41	281,41
24.02.10	89464	25,126,220,20	283	280	286	281,5	281,69	281,69
25.02.10	151203	41,466,613,93	282,5	278,3	287	285,5	282,96	282,96
26.02.10	220456	62,140,312,48	289,75	282	293,5	282	288,07	288,97
27.02.10	201209	54,419,417,48	279	273	281	273,6	275,41	275,41
28.02.10	140555	37,424,183,40	277,8	268	277,8	270,5	270,46	270,46
02.03.10	157892	41,344,787,50	272,5	263,15	273	267	266,25	266,25
03.03.10	286516	74,277,214,74	261,65	258	264,89	258,3	261,28	261,28
04.03.10	165397	41,307,993,08	254	247,6	259,49	259	251,89	251,89
05.03.10	175450	45,806,857,67	260,02	260	273,8	272	268,04	268,04
06.03.10	298835	80,579,232,49	284,5	267	284,5	271,5	272,92	272,92
09.03.10	230664	61,578,857,46	264,01	264,01	273,9	273,9	270,79	270,79
10.03.10	221728	61,546,762,19	274,05	273,1	283	283	279,84	279,84
11.03.10	165491	45,875,646,10	285	281,05	290	287	286,3	286,3
12.03.10	194521	54,800,104,68	289	281,01	293	281,05	286,27	286,27
13.03.10	130298	35,760,702,11	286,8	281,5	287,5	281,5	285,18	285,18
16.03.10	189214	50,833,740,10	281	279,1	282,99	280,5	280,75	280,75
17.03.10	280250	76,334,599,45	279	269	279	278,9	273,33	273,33
18.03.10	283090	79,926,783,25	281,19	281,19	288,7	287	284,8	284,8
19.03.10	407921	119,177,928,64	295,05	290	298	295	294,75	294,75
20.03.10	142081	40,763,410,42	297	285,06	297	286,01	289,69	289,69
23.03.10	159446	44,187,349,50	281,25	277,51	285	277,51	281,02	281,02
25.03.10	132369	36,738,105,55	282,05	281,2	285	284,4	283,88	283,88
27.03.10	335261	98,672,168,21	294	292	301,5	300	297,91	297,91
28.03.10	203822	60,521,596,65	299,1	298	306,5	298	301,5	301,5
03.04.10	451481	139,670,283,07	306	306	316,7	307	310,96	310,96
04.04.10	267466	82,167,474,62	306	306	314	310,7	310,62	310,62
07.04.10	244278	76,914,177,74	320	316,11	320	318,7	318,11	318,11
08.04.10	510383	164,804,441,16	318,5	318,5	328	327,96	325,08	325,08
10.04.10	595531	195,774,326,05	327	326,7	336,45	333,5	330,84	330,84
11.04.10	371584	122,641,974,34	332,5	328,12	335	331,4	332,37	332,37
14.04.10	374409	121,025,499,43	328	322,51	328	326,65	324,71	324,71
15.04.10	292251	94,392,918,94	325,11	320,75	325,11	325	323,44	323,44
16.04.10	236925	77,162,315,38	321,5	321,5	330	329,99	326,26	326,26
17.04.10	496558	170,087,757,11	334,55	334,55	350,7	350	344,75	344,75
18.04.10	544183	190,409,504,95	346,01	346,01	353,56	352	350,52	350,52
21.04.10	756134	276,138,913,37	343	343	373	369,23	366,55	366,55
22.04.10	805322	296,349,655,75	374	361,7	375	362,07	368,24	368,24
1	2	3	4	5	6	7	8	9
23.04.10	434329	158,654,875,90	360,01	356	372,69	368	365,39	365,39
24.04.10	407447	148,300,174,37	363	362,71	368,7	365	365,42	365,42
25.04.10	284132	101,691,774,31	366,75	352	367	354,6	358,06	358,06
28.04.10	180014	63,568,582,71	349,01	347,01	354,6	353,21	352,01	352,01
29.04.10	430391	154,383,117,24	357	356,07	364,8	359,3	360,55	360,55
30.04.10	455594	164,730,678,80	356	354	368,5	367	363,63	363,63
01.05.10	739644	278,098,217,76	364,01	364,01	381,9	378,4	376,32	376,32
02.05.10	430750	165,408,607,60	380	374,1	395	394,6	384,33	384,33
04.05.10	581472	236,077,909,91	399,5	397	416	403,25	407,3	407,3
05.05.10	558477	220,578,180,26	406	388,2	407,4	390	395,6	395,6
06.05.10	591754	229,723,290,52	395,9	381,5	398,5	384,5	388,1	388,1
07.05.10	752766	280,424,435,25	379,2	366	379,2	372,4	371,73	371,73
08.05.10	563404	211,217,430,30	377,5	367,6	383,3	370	375,11	375,11
09.05.10	307927	113,327,767,46	370	363	371,9	368,35	367,54	367,54
13.05.10	258724	95,309,495,43	367,43	361,02	371,85	371,5	368	368
14.05.10	332996	121,403,906,81	368,1	360,5	371	365	364,42	364,42
15.05.10	459535	169,293,503,82	363	362	372,49	370,6	368,55	368,55
18.05.10	443731	167,757,616,39	372	372	381,76	380,5	378,7	378,7
19.05.10	786013	303,690,349,22	383,5	380	392	389,2	387,58	387,58
20.05.10	374087	143,400,211,23	387,15	381,76	388,8	384,4	383,8	383,8
21.05.10	726188	282,453,964,54	386	386	392,9	391,2	389,93	389,93
22.05.10	747049	295,743,278,88	395	391,11	402,3	395	398,44	398,44
25.05.10	659229	254,290,972,50	395,75	385,5	398,99	387	390,53	390,53
26.05.10	524499	202,587,619,60	385	382,01	388,47	388	385,1	385,1
27.05.10	251787	97,228,443,83	387,9	380,5	389	385	383,2	383,2
28.05.10	1065070	395,812,742,60	381	365	383	365,1	372,12	372,12
29.05.10	929512	328,129,411,85	369	344,02	369,99	350	353,39	353,39
02.06.10	659436	231,372,192,46	351	342	354,49	343	348,76	348,76
03.06.10	971787	328,381,473,07	350,25	334	350,25	336	336,76	336,76
04.06.10	1038691	350,900,704,00	336	333	347,9	347,9	340,3	340,3
05.06.10	838608	290,977,492,14	351,95	341,1	351,95	346,72	346,66	346,66
06.06.10	701595	240,239,842,06	346,05	334	346,05	334	341,68	341,68
09.06.10	509287	170,434,680,28	334	329,5	339,9	336,9	333,77	333,77
10.06.10	796528	267,525,862,63	339,95	331,5	341	332	335,73	335,73
11.06.10	1145420	368,475,431,68	326	313,15	329,95	318,36	320,36	320,36
12.06.10	740803	238,642,903,01	321,5	313,1	328	317,49	321,12	321,12
13.06.10	420414	133,316,089,08	314	311	324,79	324	318,31	318,31
16.06.10	445427	143,897,766,12	320,01	320	328,5	325	325,49	325,49
17.06.10	791295	256,471,127,134	324,5	315	328,74	316	321,48	321,48
18.06.10	341742	106,848,729,78	320	306,62	320,85	307,6	312,9	312,9
19.06.10	571204	177,041,065,95	307	302,1	313,5	313	307,66	307,66
20.06.10	499827	157,176,132,72	312,5	308,02	317,75	309	314,01	314,46
23.06.10	699518	216,618,377,77	308	304,7	312,4	305,75	308,23	309,67
24.06.10	798525	239,062,590,74	304,8	294,6	306,9	298,88	300,03	299,38
25.06.10	761488	231,974,000,81	297,9	297,9	310,99	309,3	304,81	304,63
26.06.10	1123228	359,883,989,90	313,5	311,98	325	324,01	319,77	320,4
30.06.10	330380	105,232,190,71	320	315,7	322	317,55	318,26	318,52
01.07.10	626146	195,678,883,07	312	306	316,24	316	312,07	312,51
1	2	3	4	5	6	7	8	9
02.07.10	698523	219,590,960,98	318	313,6	319,96	317,8	316,37	314,36
03.07.10	777750	249,353,717,89	318,5	318	321,85	318,01	319,93	320,61
06.07.10	459917	143,830,626,43	318	314,12	319,5	317	316,4	312,73
07.07.10	546066	168,694,078,73	317	305,03	317,5	311,2	309,75	308,93
08.07.10	568241	174,614,329,03	310	307,25	316,8	316,5	311,95	307,29
09.07.10	722430	226,094,306,65	310,01	310	319,9	319,6	315,17	312,96
10.07.10	1407030	451,618,378,02	320	317,51	329	322	322,38	320,97
13.07.10	543537	173,025,276,00	324	320,6	324,2	323,8	322,64	318,33
14.07.10	933865	302,353,984,25	325	324	332	329	328,41	323,77
15.07.10	1020289	324,409,567,93	326,51	315	327	317,5	320,33	317,96
16.07.10	899780	280,941,895,25	313	310	316,8	315	313,65	312,23
17.07.10	694085	218,214,710,38	317	311,76	320,45	313,39	315,57	314,39
20.07.10	615839	192,499,786,48	310	308,25	316,41	313,5	313,27	312,58
21.07.10	650540	205,160,402,65	315,01	311,5	318	311,99	314,36	315,37
22.07.10	1241049	385,824,564,65	311,5	308	317	314,8	312,72	310,89
23.07.10	1170400	368,354,817,09	315,9	313,5	319,1	319	315,79	314,73
24.07.10	1274083	407,480,192,52	319,5	318,51	324,44	323	321,97	319,82
27.07.10	1008536	328,274,554,88	336,9	324,5	336,9	327,07	328,43	325,5
28.07.10	884106	289,751,090,84	327,05	323,78	329,9	327,5	327,02	327,73
29.07.10	984744	317,022,089,95	325	319,01	326,35	321	322,27	321,93
30.07.10	829304	260,151,299,36	317	315,25	319,9	317,41	317,64	313,7
31.07.10	1099183	346,646,950,67	312	312	323,5	323	318,89	315,37
03.08.10	1081939	352,906,493,28	323,9	323,9	330,3	330,3	328	326,18
04.08.10	1276113	422,500,406,25	334	327,9	336,7	329,7	331,72	331,08
05.08.10	1891665	619,312,431,24	327	324	331,5	326,75	327,45	327,39
06.08.10	1044043	341,883,154,52	332,7	324,02	332,9	324,05	327,91	327,46
07.08.10	872653	280,390,424,71	323,5	323,5	328,5	326	326,22	321,31
10.08.10	1164617	374,447,080,76	328	322	330,45	324	326,72	321,52
11.08.10	1545796	504,162,325,61	312,25	312,25	331,5	329,99	328,42	326,15
12.08.10	1494733	461,936,120,34	319,75	308	324	313	314,37	309,04
13.08.10	1015925	323,888,668,76	314,25	311,75	316,9	315	314,66	318,81
14.08.10	883764	272,327,382,36	312,52	300,01	313,89	300,12	307,64	308,14
17.08.10	1328975	393,468,349,36	295,2	289,9	305	303,99	297,78	296,07
18.08.10	1580824	478,438,888,01	306	299	308,7	308	304,52	302,65
19.08.10	2588422	808,946,609,49	310	308,5	318,9	318,3	315,78	312,53
20.08.10	1251301	392,342,030,51	316,2	310,56	316,2	313	312,76	313,55
21.08.10	2265585	673,755,340,11	309	282,01	309	291,99	295,46	297,39
24.08.10	1146486	336,599,707,83	293,53	281,2	300,4	288,5	292,79	293,59
25.08.10	1500605	413,696,971,51	282,28	271,1	284	276,15	275,92	275,69
26.08.10	866066	238,096,258,33	277	269	279	272	273,26	274,92
27.08.10	1029580	277,482,011,26	273	268,4	276,9	269,2	273,26	269,51
28.08.10	4571829	1,390,644,192,6	274	273	281	275,93	276,46	304,18
01.09.10	1038562	285,463,931,53	276,91	272,45	281	274,51	276,6	274,86
02.09.10	653365	178,532,710,14	275,02	272,45	277,49	276,49	275,36	273,25
03.09.10	989350	266,329,661,91	273,5	265,21	274	268,3	269,31	269,2
04.09.10	712617	192,079,118,32	273,9	268,7	273,9	271,1	270,61	269,54
05.09.10	1116867	300,794,989,83	272,5	268,15	276,5	270,36	272,03	269,32
06.09.10	770808	209,122,464,32	270,2	265,01	274,45	274,4	270,99	271,3
1	2	3	4	5	6	7	8	9
08.09.10	842692	229,453,058,70	274,95	274,01	278,5	278	276,54	272,29
09.09.10	955561	270,897,830,26	280,45	277,3	288,49	286,5	284,35	283,5
10.09.10	1820565	538,304,792,03	291	289	303	303	296,79	295,68
11.09.10	1323601	401,183,386,38	305	301,1	308,93	303,65	304,6	303,1
12.09.10	781086	233,737,499,28	300	296,5	301	299,81	298,68	299,25
15.09.10	664987	201,899,040,27	302	301,08	304,5	304,4	303,18	303,61
16.09.10	1885245	587,144,526,54	305,75	305,75	313,38	310	310,78	311,44
17.09.10	1188579	357,208,195,28	303,26	296,22	304,9	297,7	300,58	300,53
18.09.10	722710	214,433,803,62	297	294,01	299,5	297	296,84	296,71
19.09.10	1095113	331,473,133,21	300,62	299,5	308,8	308,32	305,04	302,68
22.09.10	789511	245,210,354,97	312,05	308,5	316,4	315	312,59	310,59
23.09.10	1135802	357,475,532,97	314	310,73	317,85	314,1	315,28	314,73
24.09.10	922197	287,813,968,47	315,5	307,5	318	307,7	312,66	312,1
25.09.10	683844	213,518,976,17	317,25	312	317,25	315,01	314,44	312,23
26.09.10	1173305	375,539,424,61	317,5	316,53	325,55	325	320,94	320,07
29.09.10	1312807	428,941,609,48	321,05	319	332	332	327,22	326,74
30.09.10	1051367	346,470,977,51	330	326,2	335	329,5	329,9	329,54
01.10.10	1323266	438,666,401,43	328	326,62	343,8	337,2	333,65	331,5
02.10.10	1065162	360,760,432,09	336,7	335	343,69	337,52	339,54	338,69
05.10.10	1124590	393,793,257,45	337,53	337,53	356,7	355,2	350,63	350,17
06.10.10	856511	297,976,348,29	352	342,5	355	344,78	347,57	347,9
08.10.10	1217568	433,955,727,34	344	344	365	364	356,81	356,41
09.10.10	1307847	479,951,653,44	362,75	357,25	376,69	372,88	367,38	366,98
12.10.10	4406078	1,644,061,231,1	376,75	355	389	366	373,22	373,13
13.10.10	1407609	539,367,232,64	368,5	368,5	399	395	383,83	383,18
14.10.10	2475199	960,143,694,64	399,5	363	414	365,6	388,95	387,91
15.10.10	2445660	838,585,117,53	359,5	332	359,5	333	342,56	342,89
16.10.10	1506509	489,364,959,97	325,99	321,21	333	323,3	326,26	324,83
19.10.10	973060	319,884,848,89	324	323	336	331,7	330,08	328,74
20.10.10	1371291	466,307,710,25	339	335	345,2	340,11	340,62	340,05
21.10.10	720099	242,750,604,34	336,21	330,81	342,7	333,11	336,96	337,11
22.10.10	957417	331,656,791,08	334	333,15	356,5	355	347,38	346,41
23.10.10	1539214	530,218,452,58	363,25	333	365	340,8	344,45	344,47
26.10.10	896276	305,839,649,54	345,1	335,65	350	337	342,28	341,23
27.10.10	1001016	337,814,573,26	343	332	344,5	336	337,91	337,47
28.10.10	568584	188,678,904,46	338,75	328,1	338,75	328,5	332,22	331,84
29.10.10	655408	211,953,692,63	312,25	312,25	328,01	326	322,21	323,39
30.10.10	891808	294,937,625,76	337	330,51	338,5	333,49	333,48	330,72
03.11.10	866729	288,155,850,72	335,75	327,5	339	332,7	333,08	332,46
04.11.10	1635054	558,745,497,31	340,13	339	349,5	348,8	345,82	341,73
05.11.10	1698346	596,049,777,56	348,65	346	355,2	350	351,19	350,96
06.11.10	1702172	606,178,111,28	353,75	351	361,01	355,4	357,03	356,12
07.11.10	987131	346,148,060,42	349,13	345	353,2	353	349,57	350,66
10.11.10	850397	303,139,170,81	353,05	352	360	354,99	356,53	356,47
11.11.10	703985	249,252,732,11	305,02	305,02	356,9	354,5	355,25	354,06
13.11.10	957891	330,023,857,14	353	332,05	354,97	332,05	343,84	344,53
14.11.10	819432	273,107,214,04	332	325,5	335,99	333,5	331,47	333,29
1	2	3	4	5	6	7	8	9
17.11.10	972676	331,774,994,96	338,35	335,2	346,48	345,8	342,25	341,1
18.11.10	960696	326,176,522,14	345,25	336,3	345,25	338,1	340,62	339,52
19.11.10	971684	337,607,497,72	390	339	390	348	345,55	347,45
20.11.10	1037616	364,934,077,15	348,9	346,5	355,5	353	352,49	351,7
21.11.10	922974	320,918,243,52	349	343,7	353,9	353,85	349,44	347,7
24.11.10	865614	308,106,187,71	352,07	352,07	360,6	356,15	357,67	355,94
25.11.10	845253	296,374,715,79	357,5	351	359	352	354,12	350,63
26.11.10	455972	159,939,984,39	353,45	350	355,99	354	353,2	350,77
27.11.10	853690	302,944,382,76	360	356,5	360	358,12	357,99	354,86
28.11.10	1141920	415,367,470,90	359,74	358,29	369,4	366,31	365,08	363,74
29.11.10	363720	133,838,467,71	366,15	364,5	369,8	369,4	368,16	367,97
03.12.10	1192473	458,666,046,46	372,55	372,55	395,7	395,7	386,73	384,63
04.12.10	1358870	535,456,851,50	398,02	390,16	404,5	398	399,01	394,05
08.12.10	1587039	653,564,118,02	403,15	403,15	426,48	420	414,75	411,81
09.12.10	1645799	694,488,071,65	369,5	369,5	433,35	426,61	423,03	421,98
10.12.10	1937927	825,166,475,12	424,1	420,01	431,3	426	426,76	425,8
11.12.10	1149947	489,622,518,73	425	423	431,7	428,01	427,72	425,78
14.12.10	1041967	436,475,357,75	424,9	415,5	424,9	418	418,67	418,9
15.12.10	1176263	489,485,361,05	411,75	409	421,99	421,9	415,83	416,14
16.12.10	864379	361,887,925,12	418,05	415,55	424,5	418,5	418,94	418,67
17.12.10	1537223	657,188,083,07	417,25	417,25	439	439	430,61	427,52
18.12.10	2121202	953,033,614,55	452	440,5	458,5	450	450,62	449,29
21.12.10	1290896	587,048,833,27	401,5	401,5	461	457,2	455,31	454,76
22.12.10	1579530	737,672,843,43	457	457	476,5	474,5	468,3	467,02
23.12.10	1712969	809,073,139,12	473,75	469,4	479,5	472,5	473,25	472,32
24.12.10	2409458	1,083,181,986,4	469,9	438,5	470,8	442,02	451,69	449,55
25.12.10	1836721	799,598,070,17	445	423	445	426	435,33	435,34
28.12.10	1472078	637,566,108,34	425,03	422	440,9	439	433,07	433,11
29.12.10	1680979	749,379,192,84	441,25	439,01	456,5	451,01	445,56	445,8
30.12.10	1840750	790,782,791,29	443,9	419,1	443,9	428,1	429,57	429,6
31.12.10	959529	418,351,235,70	436,25	429,5	441,94	432	436,1	436
01.01.11	791200	340,031 290,72	438,98	426,25	442	428	434,74	429,77
04.01.11	719140	305,193,747,30	430,01	419,1	431,5	427,5	424,31	424,39
05.01.11	1206498	509,839,405,79	420	416,25	430,98	429,95	423,06	422,58
06.01.11	1820810	790,827,195,77	432	423,5	442,75	437,9	434,6	434,33
07.01.11	1267270	561,001,264,08	435	431,2	450	443,5	443,19	442,68
08.01.11	758959	335,388,475,10	442,63	438,1	449	438,7	442,25	441,91
11.01.11	1064831	471,120,566,11	445,25	438	448	438,01	442,71	442,44
12.01.11	1395304	623,572,099,58	448	442,01	452,7	445	447,58	446,91
13.01.11	1118146	489,792,761,07	445,17	433,5	446,5	438,5	437,87	438,04
14.01.11	2035895	855,381,854,71	422,78	410	426,85	417,99	418,55	420,15
15.01.11	1085309	447,501,816,66	417	404,8	419	405	412,56	412,33
18.01.11	1041235	411,667,684,33	400,05	389	402,5	394,3	395,15	395,36
19.01.11	1118493	445,174,064,85	393,7	387	399,95	389,4	393,51	398,01
20.01.11	1279625	484,700,520,24	383	375	385	383,49	380,09	378,78
21.01.11	912935	351,217,878,08	385,1	381,15	390	387,52	385,85	384,71
22.01.11	1322869	519,355,679,00	387,93	384	403,48	400,6	395,19	392,6
26.01.11	1181816	468,863,141,77	400,31	388,01	406	391	398,58	396,73
1	2	3	4	5	6	7	8	9
27.01.11	1017002	400,053,308,79	394	382,53	395,99	388,5	388,16	393,37
28.01.11	963266	366,388,760,48	390	373	390	375,2	379,87	380,36
01.02.11	1131168	438,175,462,85	374,7	374,1	394,5	393,9	388,57	387,37
04.02.11	1246477	502,314,526,04	404	399	410	399,4	404,17	402,99
05.02.11	1116983	444,637,461,81	403,05	394	406,99	403,5	401,08	398,07
06.02.11	813907	327,785,639,35	404	398,6	405,98	404	403,43	402,73
07.02.11	1469983	608,376,525,52	409	408,25	416,5	413,45	413,89	413,87
11.02.11	1137856	464,762,514,59	366,05	366,05	415	399,54	405,29	408,45
12.02.11	967632	387,200,837,77	403	395,2	406,19	397,55	400,45	400,15
13.02.11	1162923	473,320,212,17	402	402	410,97	404,5	407,61	407,01
14.02.11	1121820	456,739,402,65	405,05	401,1	412,5	410,8	408,26	407,14
15.02.11	1653539	688,352,128,30	414	411	423	420,99	416,94	416,29
18.02.11	1351190	578,574,915,80	427,1	424	434,5	431,3	430,04	428,2
19.02.11	1295223	546,518,039,60	432,98	422,01	432,98	425,45	426,62	421,95
20.02.11	1036966	433,404,178,14	423,85	414	424,4	417	417,97	417,95
21.02.11	1071395	449,861,688,64	414,4	411	427,4	425,5	420,38	419,88
22.02.11	1937894	835,259,860,89	429	424,5	439,25	427,5	432,43	431,01
25.02.11	1205121	510,066,184,58	384,27	384,27	433,97	414,98	426,3	423,25
26.02.11	770422	317,740,850,48	412	408,56	415,8	413,2	412,17	412,42
27.02.11	1851386	796,678,258,91	421,15	420	440	435,5	431,11	430,31
28.02.11	2214714	983,778,670,33	426,75	426,75	457	456	445,75	444,2
01.03.11	1094812	496,917,073,90	457	450	460	454,5	454,74	453,88
02.03.11	557049	250,867,876,27	445,63	445,63	456	455,8	453,37	450,35
03.03.11	1309078	592,448,457,56	463,7	449,17	463,7	450,5	454,16	452,57
04.03.11	2030253	886,751,640,13	453,08	427	455,9	440	437,14	436,77
05.03.11	1223785	538,381,195,94	437,13	435	444,75	442,01	441,63	439,93
06.03.11	1321604	591,385,272,94	446,13	443	451,97	449	448,04	447,4
08.03.11	1181355	531,880,313,99	446	444	456	453	451,19	450,23
09.03.11	2214706	1,036,315,347,1	459,98	459	476	467,93	468,91	467,92
10.03.11	1783154	847,744,738,64	463,9	463	481,8	480	475,97	475,42
11.03.11	2242282	1,076,766,496,6	481,95	467,11	494,9	492	479,97	480,21
12.03.11	1565570	758,346,944,95	490,05	472,5	497,5	479,5	484,85	484,39
15.03.11	1630372	811,385,007,92	489,5	484,12	508,95	503	498,95	497,67
16.03.11	1267203	639,479,593,62	507	498,51	515,85	502	505,95	504,64
17.03.11	1009299	514,726,294,44	512,08	505	515	509	510,37	509,98
18.03.11	1653413	871,957,827,01	516	514,11	535,8	529,5	527,76	527,37
19.03.11	1676674	891,048,556,96	524,87	521	542	540	531,2	531,44
22.03.11	1459758	778,377,521,27	543,5	523,5	546,98	523,5	535,42	533,22
23.03.11	2025610	1,072,431,403,8	518,75	513	539,5	528	530,26	529,44

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

Рисунок Б.1 - График выборочной АКФ ряда вторых разностей

Рисунок Б.2 - График выборочной ЧАКФ ряда вторых разностей

Рисунок Б.3 - Гистограмма остатков модели ARIMA(0,2,1)

Рисунок Б.4 - Автокорреляционная функция остатков ARIMA(0,2,1)

Рисунок Б.5 - Частная автокорреляционная функция остатков ARIMA(0,2,1)

Таблица Б.1 - Результаты оценки параметров модели ARIMA(0,2,1)

Variable: MAX Transformations: 2D(l) Model: (0;2;1) No. of obs. : 500 Initial SS = 88309, Final SS =52181 ( 59,09%) MS = 504,15 Parameters (p/Ps Autoregressive, q/Qs-Moving aver.) highlight: p < 0.05 q(1) Estimate 0,9822 Std.Err. 0,0059
Input: MAX Transformations: 2D(l) Model:(0,2,1) MS Residual=516,68
	Param.	Asympt. Std.Err.	Asympt. t( 502)	p	Lower 95% Conf	Upper 95% Conf
q(1)	0,982184	0,005940	165,354	0,00	0,970514	0,993855

Таблица Б.2 - Характеристика остатков ARIMA(0,2,1)

Характеристика	Значение
Среднее значение	0,73
t-критерий	1,61
Дисперсия	10,18
Асимметрия	-0,36
Эксцесс	0,61
Критерий Дарбина-Уотсона	1,71
Количество поворотных точек	324

Таблица Б.3 - Анализ прогноза максимального курса реализации продукции, построенного на модели ARIMA(0,2,1)

Дата

Цена

Прогноз

Ниж. гр. 90%

Верх.гр. 90%

Ширина довер.инт

Абс.ошибка прогноза

Ср.отн. ошибка

Ср.кв откл

19.03.11

22.03.11

23.03.11

542

546,98

539,5

537,55

539,31

541,06

520,74

515,37

511,55

554,37

563,24

570,57

33,64

47,88

59,01

3,19

7,74

0,20

0,837

6,37

ПРИЛОЖЕНИЕ В

Рисунок В.1 - График минимальной цены

Таблица В.1 - Дескриптивные статистики

Descriptive Statistics
	Mean	Std. Dv.	Min.	Max.	First Case	Last Case	N
MIN MIN :D(-1) MIN :D(-1);D(-1)	348,7529 0,15827 0,017151	58,94162 11,86932 17,194	219 -46,98 -62,25	514,11 55,5 94,5	1 2 3	504 504 504	504 503 502

Таблица В.2 - Результаты аппроксимации и прогнозирования минимального курса по модели ARIMA(1,0,0)

модель	const	p(2)
ARIMA(1,0,0)	376,43	0,99
точность модели	значение
1	2
коэффициент детерминации, % средняя относительная ошибка аппроксимации, % коэффициент сходимости F-значение (k1=1, k2=502) уравнение значимо с вероятностью	88,74 2,97 0,11 11946,49 0,95

Таблица В.3 - Результаты аппроксимации и прогнозирования минимального курса по модели ARIMA(1,2,2)

модель	р(1)	q(l)	q(2)
ARIMA(1,2,2)	-0,95	0,02	0,96
точность модели	значение
коэффициент детерминации, % средняя относительная ошибка аппроксимации, % коэффициент сходимости F-значение (k1=2, k2=499) уравнение значимо с вероятностью	96,34 2,49 0,037 6559,3 0,95
точность прогноза
средняя относительная ошибка среднеквадратическое отклонение коэффициент расхождения	1,11 7,48 0,012
характеристика остатков
среднее значение t-критерий дисперсия ассимметрия эксцесс критерий Дарбина-Уотсона количество поворотных точек	0,62 1,17 11,86 -0,28 0,65 2,12 331