Выполнение операций над нечеткими числами
Работа из раздела: «
Экономико-математическое моделирование»
/
Выполнение операций над нечеткими числами
1. Теоретическая часть
1.1 Основные понятия теории нечетких множеств
Теория нечетких множеств, развивающаяся после публикации в 1965 г. Основополагающей работы Л. Заде, представляет собой обобщения и переосмысления важнейших направлений классической математики. У ее истоков лежат идеи в достижения многозадачной логики (трехзначной логики Лукасевича, k - значной логики Поста), которая указала на возможности перехода от двух произвольному числу значений истинности и поставила проблему оперирования понятиями с изменяющимся содержанием; теории вероятностей, которая породив большое количество различных способов статистической обработки экспериментальных данных (например, гистограммы, функции распределения), открыла пути определения и интерпретации функции принадлежности; дискретной математики (теории матриц, теории графов, теории автоматов и т.д.), предложившей инструмент для построения моделей многомерных и многоуровневых систем, удобный при решении практических задач. [2]
Дальнейшие шаги в этом направлении связываются с созданием строгих и гибких математических методов исследования нечетко определенных объектов. При этом нечеткость образов, представлений и понятий человека вводится в формальные модели различными способами.
Можно выделить следующие основные классификационные признаки способов формализации нечеткости:
1) По виду представления нечеткой субъективной оценки какой-либо величины (нечеткого множества);
2) по виду области значений функции принадлежности;
3) по виду области определения функции принадлежности;
4) по виду соответствия между областью определения и областью значений (однозначное, многозначное);
5) по признаку однородности или неоднородности области значений функции принадлежности.
Нечеткое множество образуется путем введения обобщённого понятия принадлежности, т.е. расширения двухэлементного множества значений характеристической функции до континуума [0,1]. Это означает, что переход от полной принадлежности объекта классу к полной его принадлежности происходит не скачком, а плавно, постепенно, причем принадлежность элемента множеству выражается числом из интервала [0,1].
Рассматривается выполнение операций над нечеткими числами с треугольным представлением. Вследствие того что исходные числа и результат операции задаются только тремя числами, операции существенно упрощаются.
Краткие сведения о методе. Приведем основные определения касающиеся нечетких чисел и операций над ними. [1]
Определение 1. Нечеткое число на действительной прямой - это нечеткий набор, характеризуемый функцией принадлежности . Нечеткое число может быть выражено как
где степень принадлежности множеству , - объединение по всем ; означает, что степень принадлежности x множеству равна .
Определение 2. Нечеткое число на действительной прямой выпуклой, если для каких-либо реальных чисел x, y,
Определение 3. Нечеткое число на действительной прямой называется нормальным, если .
/
Рисунок 1.1 - Примеры нечетких чисел
На рисунке 1.1 показаны различные виды нечетких чисел: - выпуклое, - нормальное, - нормальное выпуклое.
Сформируем принцип обобщения. Пусть и - нечеткие числа на действительной прямой R. Тогда * можно выполнять над нечеткими числами и , используя соотношение
.
1.2 Свойства нечетких множеств
а) нечеткое множество пустое, т.е. , если
б) нечеткие множества A и эквивалентны, т.е. A=B, если [3]
в) нечеткое множество является подмножеством нечеткого множества , т.е. , если
Пример. Пусть ,
A=0.3/1 + 0.5/2 + 1/3,
B=0.4/1 + 0.6/2 + 1/3.
Тогда .
Кардинальное число (мощность) нечеткого множества
находится следующим образом:
Пример. Если и A=0.1/1 + 0.4/2 + 0.7/3 + 1/4, то cardA=2.2.
1.3 Операции над нечеткими числами на основе принципа обобщения
Заметив гипотетическую операцию * арифметическими операциями +, -, Ч,:, получим определение этих действий над двумя нечеткими числами:
; (1.1)
; (1.2)
; (1.3)
. (1.4)
Эти операции пригодны для любых нечетких чисел и в частности для дискретных, однако они громоздки. Для непрерывных нечетких чисел, отличающихся тем, что их функцию принадлежности можно определить, зная ее границы, применим другой принцип. [4]
Определение 4. Число a называется границей функции принадлежности, если выполняются следующие соотношения:
Функция принадлежности имеет две границы: верхнюю и нижнюю. Таким образом, непрерывное нормальное выпуклое нечеткое число можно записать в виде
, (1.5)
где a, b - нижняя и верхняя границы функции принадлежности. Например, нечеткое число (приблизительно 2) можно представить в виде
/
Рисунок 1.2 - Нечеткое число приблизительно 2
(Рисунок 1.2) Пусть * - двухместная операция; и - непрерывные нормальные выпуклые нечеткие числа:
(1.6)
и получают из a, b, , в зависимости от конкретной операции. Функция определяется в зависимости от конкретной операции и нормировки µ.
Рассмотрим четыре арифметические операции:
, (1.7)
C=A+B, , . (1.8)
Функцию будем искать в виде . Исходя из нормировки имеем для ?x?C
Для C?x?
Таким образом,
(2.9)
Аналогично для остальных арифметических операций получаем
(2.10)
где , , .
Для операции умножения имеем
, (1.11)
где C=AЧB, , , для операции деления:
(2.12)
где C=A:B, , .
Замечание. Для операции умножения функции ищем в виде , для операции деления - в виде . Например,
Отметим еще одну особенность непрерывных нормальных выпуклых нечетких чисел: найти нечеткое число, полученное в результате арифметической операции, можно, не проводя лингвистического анализа, поскольку точно известно, при каком x функция принадлежности равна единице.
2. Практическая часть
Пример. Возьмем два нечетких числа приблизительно 6= и приблизительно 8=, графически изображенных на рисунке 1.3:
.
/
Рисунок 1.3 - Нечеткие числа приблизительно 2, приблизительно 6, приблизительно 8, приблизительно 14
Пусть
x=6 (значение подставляется только в одно из слагаемых)
Итак, имеем
Аналогично
Пусть
Итак, . Графики функций принадлежности приведены на рисунки 1.3.
В соответствии с принятыми ранее обозначениями найдем верхние и нижние границы и вершины чисел: для для .
Рассмотрим выполнение арифметических операций над числами и .
Сложение. Согласно (1.8) определим границы и вершину результата (суммы нечетких чисел и )
;
.
Тогда в соответствии с (1.9) имеем
Вычислим значения функции принадлежности результата в нескольких точках:
Итак, получили . Графическое изображение приведено на рисунке 1.3.
Вычитание. Значение границ и вершины результата (разности нечетких чисел и ):
.
В соответствии с (1.9) получим
Определим значения функции принадлежности в нескольких точках:
Получен результат . График приведен на рисунке 1.3.
Умножение. Найдем границы и вершину результата умножения на : ;. Выражение для функции принадлежности имеет вид
функция нечеткий операция принадлежность
/
Рисунок 1.4 - Нечеткое число приблизительно 48
Вычислим значения функции принадлежности в промежуточных точках. Пусть
Итак, получили .
Список источников
1) Борисов А.Н. Принятие решения на основе нечетких моделей. - Рига «Зинатне», 1990 г. - 184 с.
2) Аверкин А.Н. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта. - М.: Наука, 1986 г. - 312 с.
3) Сайт http://matlab.exponenta.ru/fuzzylogic/book5/1_1.php
4) Сайт http://matica.org.ua/lineynie-operatori-kvadratichnie-formi/6-3-nech-tkie-mnozhestva-osnovnie-opredeleniya
5) Сайт http://sedok.narod.ru/s_files/poland/book1/g1.pdf
