Анализ состояния финансовых рынков на основе методов нелинейной динамики

Работа из раздела: «Экономико-математическое моделирование»

/

105

'Анализ состояния финансовых рынков на основе методов нелинейной динамики'

АННОТАЦИЯ

В данной работе раскрыты проблемы анализа финансового рынка и его инструментов, приведен аналитический обзор современных подходов к оценке стоимости финансовых активов, разработанных в рамках как линейной, так и нелинейной парадигмы. Проводится анализ фрактальных свойств американского фондового рынка. Анализируется теория когерентного финансового рынка на примере поведения индекса S&P 500 и предлагается многофакторная модель поведения финансового рынка. Таким образом, был получен дополнительный инструмент для принятия решений о долгосрочном инвестировании, позволяющий снизить риски и увеличить прибыль.

Объем и структура работы. Диплом состоит из введения, шести глав и заключения, списка используемой литературы из 63 наименований и приложения. Основной текст изложен на 75 страницах, содержит 5 таблиц, 31 рисунок, 15 формул.

Ключевые слова: гипотеза эффективного рынка, гипотеза фрактального рынка, гипотеза когерентного рынка, инвестиционный горизонт, фрактальная размерность, показатель Херста, долговременная память, модель Веге-Изинга, фазы рынка.

СОДЕРЖАНИЕ

• ВВЕДЕНИЕ
• 1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР ТЕОРИИ ФИНАНСОВОГО ИНВЕСТИРОВАНИЯ
• 1.1 Классические теории динамики финансовых рынков
• 1.2 Фундаментальный анализ
• 1.3 Технический анализ
• 2. ГИПОТЕЗА ЭФФЕКТИВНОГО РЫНКА
• 2.1 Развитие гипотезы эффективного рынка
• 2.2 Концепция гипотезы эффективного рынка
• 2.3 Несостоятельность линейной парадигмы
• 2.4 Проверка нормальности
• 2.5 Неустойчивая волатильность
• 2.6 Проверка эффективности рынка
• 3. ГИПОТЕЗА ФРАКТАЛЬНОГО РЫНКА
• 3.1 Концепция гипотезы фрактального рынка
• 3.2 Объяснение лептоэксцесса распределения прибылей
• 4. ТЕОРИЯ ЧАСТИЧНО ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ
• 4.1 Анализ основных фрактальных характеристик финансовых рядов
• 4.2 Рождение и развитие фрактальной геометрии
• 4.3 Фрактальная размерность
• 4.4 Показатель Херста и R/S-анализ временных рядов
• 4.5 Эмпирический закон Херста
• 4.6 Взаимосвязь фрактальной размерности и показателя Херста
• 4.7 Обоснованность оценки Н
• 5. ГИПОТЕЗА КОГЕРЕНТНОГО РЫНКА
• 5.1 Модель Изинга
• 5.2 Теория социальной имитации
• 5.3 Гипотеза когерентного рынка
• 5.4 Влияние изменений управляющих параметров на вид функции плотности вероятности
• 5.5 Подсчет характеристик модели Веге-Изинга
• 6. АНАЛИЗ ФРАКТАЛЬНЫХ СВОЙСТВ АМЕРИКАНСКОГО ФОНДОВОГО РЫНКА
• 6.1 Сравнение распределения прибыли на американском фондовом рынке на основании индекса S&P 500 и нормального закона распределения
• 6.2 R/S-анализ американского фондового рынка
• 6.3 Тестирование системы торговли, основанной на распознавании фазы рынка
• ЗАКЛЮЧЕНИЕ
• СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
• ПРИЛОЖЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Современный финансовый рынок характеризуется значительной сложностью протекающих на нем процессов. С одной стороны финансовый рынок достаточно хаотичен, поскольку его эволюция определяется волей большого количества людей, а с другой в нем действуют устойчивые механизмы, определяемые коллективным поведением участников.

В этой связи построение формальных моделей, позволяющих лучше понять структуру и поведение рынка, как единого целого, так и его составляющих, долгое время привлекали и продолжают привлекать внимание практиков и исследователей.

Стандартные методы моделирования временных рядов для анализа и прогнозирования процессов, происходящих на финансовых рынках, часто дают неудовлетворительные результаты. Можно отметить разрыв между действительными экономическими реалиями и экономическими теориями. В частности, было выявлено, что распределение прибыли на фондовом рынке зачастую не соответствует нормальному закону и характеризуется более высокой вероятностью резкого изменения, нежели действительно случайные процессы.

Неспособность линейных моделей объяснять реально происходящие процессы привела к созданию альтернативных подходов, в основу которых заложено изучение рынка капитала как нелинейной динамической системы, где все вновь возникающие цены находятся в зависимости от своих предыдущих значений, а поступающая на рынок новая информация не всегда находит немедленное и симметричное отражение в ценах на рыночные активы.

В современных условиях нелинейный подход не является интегрированной и цельной концепцией, но представлен большим количеством различных подходов и методов анализа, требующих дальнейшего развития и разработки. Наиболее детально разработанными в свете адаптации к условиям финансовых рынков среди нелинейных концепций можно назвать гипотезы фрактального и когерентного рынка.

Экономическая теория, призванная объяснить реальное поведение экономических систем неизбежно должна быть нелинейной.

Степень разработанности проблемы. Значительный вклад в исследование рынка ценных бумаг и развитие теории инвестиций в целом внесли, прежде всего, лауреаты Нобелевских премий (Дж. Тобин (1981), Г. Марковиц (1990), У.Ф. Шарп (1990), М. Шоулс (1997), Р. Ингл (2003)), а также ряд других зарубежных (Г. Дж. Александер, Дж. В. Бей-ли, Г. Дженкинс, Дж. Линтнер, Д. Мерфи, Дж. Моссин, Д. Нельсон, С. Росс и др.) и отечественных (Л.О. Бабешко, А.В. Воронцовский, В.В. Давние, В.Н. Едронова, Д.А. Ендовицкий, Ю.П. Лукашин, Я.М. Миркин, А.О. Недосекин, Е.М. Четыркин и др.) ученых.

Применение методов нелинейной динамики к исследованию финансового рынка было начато Б. Мандельбротом, Б. Лебэроном, А. Броком, Д. Сье и продолжено Т. Веге, Д. Сорнетте, Э. Петерсом, Г.Г. Малинецким, А.Б. Потаповым, Л.П. Яновским, В.А. Перепелица, С.Е. Тепловым, Е.В. Поповой, Л.Н. Сергеевой, М.М. Дубовиковым, Н.В. Старченко и другими.

Цели и задачи дипломной работы. Целью данного исследования является подтверждение нелинейности американского фондового рынка, а также совершенствование и развитие методологического аппарата теории нелинейной динамики.

Для реализации поставленной цели в дипломной работе ставятся следующие задачи:

· обзор существующих инструментов анализа финансового рынка;

· исследование подходов к оценке стоимости финансовых активов, разработанных в рамках как линейной, так и нелинейной парадигмы;

· применение методологического аппарата нелинейной динамики к моделированию и анализу процессов, протекающих на рынках ценных бумаг;

· разработка методики расчета параметров модели Веге-Изинга, построенной на основе гипотезы когерентных рынков;

· осуществление программной реализации расчета параметров состояния финансового рынка и получение торговых сигналов.

Предмет и объект исследования. Предметом исследования в настоящей работе являются математические, физические и экономические инструменты оценки, анализа и прогнозирования стоимости финансовых активов.

В соответствии с поставленной целью, объектом исследования выступает американский фондовый рынок.

Теоретическая и методологическая основа исследования. Методологическую основу исследования составили современная теория финансовых рынков, а также последние достижения в области эконофизического моделирования. В процессе работы над дипломом использовались труды отечественных и зарубежных ученых в области эконометрического моделирования финансовых процессов методами нелинейной динамики, анализа рынка ценных бумаг, финансового и инвестиционного менеджмента.

Были использованы материалы научной периодической печати, интернет-ресурсы, архив котировок фондового индекса S&P 500 (www.finance.yahoo.com). Эти данные составили эмпирическую базу исследования.

При выполнении дипломной работы применялись хорошо известные в профессиональной литературе методы нелинейной динамики, наряду с методами эконометрического, статистического и экономического анализа.

Обработка данных проводилась на ПК с использованием компьютерных программ MathCad Professional и Microsoft Excel.

Научная новизна. В работе представлен основанный на физико-математическом аппарате подход, обеспечивающий построение математической модели для анализа финансово-экономических процессов.

Получены следующие результаты, отличающиеся научной новизной:

· методика оценки параметров модели когерентного рынка, позволяющая определить фазу рыночного состояния;

· положение о переменном числе участников рынка в зависимости от его состояния и о связи степени согласованности мнений инвесторов с постоянной Херста из теории нелинейной динамики;

· предложена стратегия работы на финансовых рынках с учетом фазы рынка, позволяющая получить более высокую доходность и меньший риск по сравнению со стратегий пассивного инвестирования.

Практическая значимость исследования заключается в том, что сформулированные выводы и предложения, разработанные модели и алгоритмы могут быть использованы финансовыми учреждениями, частными инвесторами, разработчиками информационно-аналитических систем, другими субъектами рынка ценных бумаг в качестве инструментария для получения дополнительной информации, способствующей повышению степени обоснованности инвестиционных решений.

Предложенные методы, модели и программы прошли успешную верификацию на реальных временных рядах американского фондового рынка.

1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР ТЕОРИИ ФИНАНСОВОГО ИНВЕСТИРОВАНИЯ

1.1 Классические теории динамики финансовых рынков

Традиционно выделяют три основных направления в поисках инструментов для анализа и прогнозирования финансовых активов: это фундаментальный, технический и количественный виды анализа [1]. Начиная с 1920-х и вплоть до середины 1970-х гг. в рыночном анализе доминировали фундаменталисты (последователи фундаментального анализа) и техники (последователи технического анализа). В 1950-е годы к ним добавилась третья группа - сторонников количественного анализа (последователи Башелье). Один из основателей фундаментального анализа Бенджамин Грехем был также и одним из первых пропагандистов количественного метода. Грехем утверждал, что, анализируя компанию, никогда не следует разговаривать с ее руководством, а сфокусироваться стоит исключительно на числах, так как руководство всегда может убедить аналитика в своей точке зрения.

С развитием компьютерных технологий чистый фундаментальный анализ начал сдавать свои позиции, технический анализ расширяться за счет включения в себя все более изощренных инструментов [2], а количественный анализ окончательно отделился от фундаментального. Количественники стали покупать и продавать акции исключительно на основании количественного анализа, не обращая внимания на реальный бизнес компании или ее текущую рыночную стоимость. Рассмотрим данные подходы более подробно.

1.2 Фундаментальный анализ

Фундаментальный анализ [3, 4] основывается на изучении общих экономических условий, состояний отраслей экономики, положении отдельных компаний, чьи ценные бумаги обращаются на рынке. Отличительной чертой фундаментального анализа является изучение сущности происходящих на рынке процессов, ориентация на установление глубинных причин изменения экономической ситуации путем выявления сложных взаимосвязей между различными явлениями.

В применении к анализу ценных бумаг можно выделить следующие уровни проведения фундаментального анализа [5].

Первый уровень - анализ состояния экономики в целом. Эта информация помогает выяснить, насколько общая ситуация благоприятна для инвестирования. Макроэкономическая ситуация имеет огромное значение, и неустойчивость на этом уровне может повлиять на ожидаемый доход даже по перспективным активам. К факторам влияющим на макроэкономическую обстановку относятся не только экономические, но и политические и социальные факторы.

С точки зрения экономики, исследователи выделяют ряды макроэкономических индикаторов, воздействие которых оказывает ощутимое влияние на финансовые рынки. Так, для рынка США можно выделить [6] следующие закономерности в воздействии (см. табл. 1):

Таблица 1

Воздействие роста макроэкономических индикаторов на валютный и фондовый рынки

Индикатор	Влияние роста индикатора
	Доллар США	Акции	Облигации (дох-ть)
-1-	-2-	-3-	-4-
Ведущие индикаторы
ВВП	Рост	Рост	Рост
Дефицит платежного баланса	Снижение	с.в.	с.в.
Дефицит торгового баланса	Снижение	с.в.	с.в.
Индекс ведущих индикаторов	Рост	Рост	Рост
Дефицит федерального бюджета	Снижение	с.в.	с.в.
Рынок труда
Уровень безработицы	Снижение	Снижение	Снижение
Занятость в несельскохозяйственном секторе	Рост	Рост	Рост
Личные доходы / личные расходы	Рост	Рост	Рост
Производительность труда	Рост	Рост	Рост
Первичные обращения за пособием по безработице	Снижение	Снижение	Снижение
Инфляция
Индекс потребительских цен	Снижение	Снижение	Рост
Индекс промышленных цен	Снижение	Снижение	Рост
Дефлятор ВВП	Снижение	Снижение	Рост
-1-	-2-	-3-	-4-
Недвижимость
Разрешения на строительство	Рост	Рост	Рост
Продажи новых домов	Рост	Рост	Рост
Затраты на строительство	с.в.	Рост	Рост
Количество проданных домов на вторичном рынке	Рост	Рост	Рост
Торговля
Розничные продажи	Рост	Рост	Рост
Заказы товаров длительного пользования	Рост	Рост	Рост
Промышленность
Индекс промышленного производства	Рост	Рост	Рост
Коэффициент загруженности производственных мощностей	Рост	Рост	Рост
Заказ промышленности	Рост	Рост	Рост
Бизнес-климат
Индекс деловой активности	Рост	Рост	Рост
Индекс активности деловой Ассоциации менеджеров в Чикаго	Рост	Рост	Рост
Индекс доверия потребителей	Рост	Рост	Рост
Индекс настроения потребителей	Рост	Рост	Рост

с.в.- слабое влияние

Отметим, что для того, чтобы правильно понять смысл изменения экономических индикаторов и оценить их последствия, необходимо учитывать циклический характер экономики [4]. Одно и то же значение экономического индикатора может иметь разный экономический смысл в зависимости от того, на какой стадии экономического цикла (рецессии, восстановления или подъема) оно наблюдается.

Второй уровень фундаментального анализа - отраслевой анализ. В результате проведения данного анализа инвестор выбирает отрасль, представляющую для него интерес. Ведь даже в условиях мощного экономического подъема инвестирование совсем не в любую отрасль может гарантировать прибыль и позволит избежать потерь.

В рамках фундаментального анализа все отрасли делят на следующие основные группы:

Нарождающиеся отрасли. Как правило, предприятия этих отраслей еще не успели выпустить свои акции на рынок и потому, не всегда прямо доступны инвесторам.

Растущие отрасли. К ним относятся отрасли, которые находятся на начальных этапах своего становления, а также переживающие в результате внедрения новых технологий традиционные отрасли.

Стабильные отрасли. Отрасли, отличающиеся устойчивостью своего развития. В таких отраслях объемы продаж и прибыль относительно стабильны и устойчивы даже в периоды экономических трудностей. Вложения в ценные бумаги компаний этой отрасли можно охарактеризовать высокой надежностью, и, как следствие, низкой доходностью.

Третий уровень фундаментального анализа - анализ компаний, в ходе которого изучаются финансово-хозяйственного положение компаний за несколько последних лет, эффективность управления, прогнозируются перспективы развития. Исследователь пытается оценить определить истинную, справедливую стоимость исследуемого актива. Сравнивая такую справедливую стоимость с текущей оценкой рынка (рыночной ценой), делается вывод о переоцененности или недооцененности товара. Основоположниками такого «стоимостного» инвестирования считаются Бенджамин Грехем и Дэвидом Додд.

Можно выделить следующие этапы в оценке стоимости компании и ее акций [7, 8, 9]:

Сбор пакета финансовой информации. В качестве источников исследуются данные годовых и квартальных отчетов компании, публикации в прессе, материалы собраний акционеров, публичные выступления руководителей компании, исследования специализированных организаций.

Анализ данных о потоках наличности. Рассматривая потоки наличности от операций, инвестору необходимо ответить на ряд вопросов. Возрастают ли потоки наличности? Являются ли позитивные показатели потока наличности следствием ведения операций по основному бизнесу? За счет чего финансируется рост компании?

Анализ баланса компании. Изучаются значения балансовых коэффициентов компании за последние кварталы, включая коэффициент покрытия, коэффициент мгновенной ликвидности, оборот дебиторской задолженности, оборачиваемость товарных запасов, соотношение собственных и заемных средств и т.д.

Анализ отчетов о прибыли за последние кварталы. Для определения того растут или падают продажи и операционная прибыль, сравниваются показатели квартальных результатов по отношению к соответствующим периодам прошлого года.

Анализ отчета о доходах высших должностных лиц, включая данные об их заработной плате, бонусах и принадлежащих им долях акций компании.

Оценка текущей стоимости акций. Для этого изучаются такие коэффициенты, как: капитализация, Profit Margin (прибыльность продаж), Gross Margin (валовая прибыль), EPS (прибыль на акцию), Р/Е (показатель отношения цены акции к доходу на акцию), ROE (рентабельность собственного капитала), PR (показатель выплаты дивидендов) и др.

Прогноз стоимости акций. На основании информации полученной при анализе исследователь создает модель прибыли интересующей его компании и модель чистой текущей стоимости на базе будущих потоков наличности.

Несмотря на то, что фундаментальный анализ является попыткой объективно отразить экономические условия функционирования компаний; сама фундаментальная информация часто «нечеткая» и «размытая», и, как следствие, интерпретация такой информации зависит от субъективного мнения человека ее интерпретирующего. Кроме того, те, кто пользуются этим типом инвестирования, основывают свои решения на информации, которая, как правило, уже известна всем основным участникам рынка, а значит, информация может быть уже учтена в цене акций.

Тем не менее, на рынке можно заметить, что компании, имеющие фундаментальные преимущества, в долгосрочном плане имеют рост котировок акций, превосходящий среднерыночную динамику. Если же рынок «упал», то акции именно таких компаний падают медленнее, а при возобновлении роста быстрее остальных возвращаются к своей прежней стоимости. Эти причины указывают на полезность применения фундаментального анализа при оценке финансовых инструментов и долгосрочной работы стратегического инвестора.

1.3.Технический анализ

Исторически технический анализ имел два места рождения [10, 11, 12]. Более ранее - это феодальная Япония XVII века, где был разработан метод «Росоку но аси» или более просто - «японские свечи». Здесь он применялся для прогноза цен на рисовой бирже. Позже, только в 80-х годах прошлого века этот метод переживет свое возрождение благодаря С. Нилсону, описавшему «японские свечи» в своей книге [13]. Для западного человека предпосылки появления технического анализа появились в 90-х годах XIX века с серии передовиц Чарльза Доу в «Уолл Стрит Джорнал». Принципы, изложенные Доу, использовались им для анализа индексов. В настоящее время суть этих принципов может быть выражена тремя постулатами технического анализа:

Рынок учитывает все. Любой фактор, влияющий на цену - экономический, политический или психологический - уже учтен рынком и включен в цену. Технические аналитики отодвигают на задний план анализ причин макроэкономического характера, повлекших изменение стоимости финансового инструмента. Изучение графика цены - это все, что требуется для прогнозирования.

Цены двигаются направленно. Основным положением технического анализа выступает утверждение о том, что рынок развивается направленно: цены либо растут, либо падают, либо находятся в горизонтальном диапазоне. Такой рынок, в отличие от хаотичного, можно анализировать. Выявление тренда, или превалирующего направления движения цен является залогом успешной торговли. «Trend is your friend» («тренд ваш друг») - гласит известное утверждение. Торгуйте в направлении тенденции, пока она существует.

Выделяются три типа тенденций (см. рис. 1):

· «бычий» (восходящий) тренд - движение цены вверх - каждый последующий пик выше предыдущего (аналогия - бык, который на рогах поднимает цену вверх);

· «медвежий» (нисходящий) тренд - движение цены вниз - каждый последующий спад глубже предыдущего (медведь подминает под себя цену, налегая на нее сверху всей своей массой);

· боковой (горизонтальный, флэт) тренд - цена не имеет четко выраженного движения вниз или вверх и колеблется около некой величины.

Рисунок 1. Определение типа тенденции

Продолжительный флэт - предвестник ценовой бури на рынке - сильного роста или падения цен. На движение рынка в горизонтальной плоскости приходится приблизительно одна треть общего объема времени торгов - эта модель движения цен называется «торговый» или «рыночный коридор». Подобные колебания вверх-вниз отражают период равновесия цен, когда соотношение между спросом и предложением практически неизменно.

К трендам можно приложить следующие принципы движения:

· действующий тренд с большей вероятностью продлится, нежели изменит направление (рынок обладает памятью);

· тренд будет двигаться в одном и том же направлении, пока не ослабеет (не подаст четких сигналов о своем завершении).

История повторяется. «Ключ к пониманию будущего кроется в изучении прошлого». Тот факт, что определенные конфигурации на графиках цен имеют свойство появляться устойчиво и многократно, причем на разных рынках и в разных масштабах времени, является следствием действия некоторых стереотипов поведения, свойственных человеческой психике. Те законы, что работали в прошлом - будут работать в настоящем и будущем.

Технический анализ (ТА) - это исследование динамики рынка (котировок, объема торговли и открытого интереса) посредством графиков с целью прогнозирования будущего направления движения цен финансовых инструментов [14]. По значимости объем и открытый интерес несколько уступают цене и используются, главным образом, как подтверждающие индикаторы.

Задачи ТА. Технический анализ - прикладная социальная психология. Его назначение - выявить тенденции в поведении толпы и их изменения с целью принятия разумных биржевых решений. Технический аналитик выявляет настроения рынка, ставя перед собой совокупность следующих задач:

1. Прогнозирование движения будущего тренда: подъем, падение или боковое движение.

2. Оценка длительности движения: краткосрочное, долгосрочное.

3. Нахождение фазы тренда: начало, зрелость, завершение.

4. Анализ силы тренда: слабый, средний, сильный.

Классификация методов ТА. Методы прогнозирования в рамках технического анализа условно можно разделить на две большие группы:

· графические методы - заключения делаются на основе анализа простых графических элементов - линий тренда, уровней поддержки/сопротивления, фигур и самих графиков цен;

· математические методы - заключения делаются на основе анализа поведения искусственно созданных технических индикаторов, представляющих собой наглядные и простые графики.

На современном этапе своего развития можно выделить следующие составные части технического анализа (см. рис. 2):

Рисунок 2. Составляющие технического анализа

При сравнении пользы от фундаментального и технического анализа, отметим, что они различаются в двух ключевых моментах [15]: цели анализа и дальности взгляда. В фундаментальном анализе главной целью является определение истинной, справедливой стоимости исследуемого актива. В техническом анализе - исследование текущего состояния рынка, определение господствующей тенденции и ключевых ценовых уровней.

При сравнении целей технического и фундаментального анализа видно, что они учитывают в своей работе разные временные горизонты. Первый дает возможность спрогнозировать ближайшее будущее, второй же позволяет заглянуть в далекое будущее. И только в сочетании этих двух взглядов аналитик пробует получить наиболее реальную картину будущего. Из-за разницы в «дальности взгляда» фундаментальный анализ используется, в основном, инвесторам, рассчитывающими на реализацию долгосрочных стратегий, а технический анализ используется игроками, как правило, для краткосрочных и среднесрочных спекуляций.

2. ГИПОТЕЗА ЭФФЕКТИВНОГО РЫНКА

2.1 Развитие гипотезы эффективного рынка

В теории финансового инвестирования нет концепции, которая имела бы такую широкую проверку и так мало доверия к себе, как «эффективные рынки». Она является краеугольным камнем количественной теории рынка капитала, и последние тридцать с лишним лет исследований были полностью ей подчинены. В действительности гипотеза эффективного рынка (efficiency market hypothesis, EMH) уходит корнями в начало прошлого века.

Оригинальная работа, использующая статистические методы для анализа прибылей, была опубликована в 1900 году Башелье [16], который применил к акциям, облигациям, фьючерсам и опционам методы, созданные для анализа азартных игр. Статья Башелье стала работой пионерского предвидения, намного опередившей время. В числе ее достоинств было открытие того факта, что процесс случайных блужданий (формализованный Винером в 1927 году) является броуновским движением.

Однако за недостатком эмпирических данных утверждение Башелье о том, что рыночные прибыли являются независимыми, идентично распределенными (IID) случайными величинами, осталось нереализованным в практическом анализе.

В течение десятилетий, с 1920-х по 1940-е годы, в рыночном анализе доминировали фундаменталисты (последователи Грэхема и Додда) и техники (или технические аналитики, последователи Маги). В 1950-е годы добавилась третья группа - количественников (или количественных аналитиков, последователей Башелье).

Предубежденность против технического анализа отражена в статье Робертса (1964) в кутнеровском томе [17]. Робертс призывает к широчайшему использованию статистического анализа, основанного на работах Кендалла (1964) [18], который сказал: «...изменения в ценах на бумаги ведут себя так, как если бы они порождались рулеткой, для которой каждое выпадение статистически независимо от прошлой истории и отношения частот достаточно устойчивы во времени». Робертс далее утверждает, что «модель изменений настойчиво требует назависимости», а вероятности «должны быть устойчивы во времени». Логическим обоснованием для принятия случайной модели служит следующее соображение: если рынок был несовершенной рулеткой, то «люди должны были бы заметить это и своими действиями изменить его».

Утверждение о том, что цены акций следуют случайному блужданию, было формализовано Осборном (1964) в его теоретической статье о броуновском движении [19]. Он собрал коллекцию разных концепций, которые, в конечном счете, оправдывают применение вероятностных расчетов. Однако эти инструменты ограничены лежащими в их основе предположениями.

Фама (1965) окончательно формализовал наблюдения в виде гипотезы эффективного рынка [20], которая утверждает, что рынок является мартингалом, или «справедливой игрой», то есть информация не может быть использована для выигрыша на торговой площадке.

Академическое сообщество претерпело тридцатилетний парадигмальный сдвиг - от «животного духа» Кейнса до «рационального инвестора» и ЕМН. К 1970-му году академическое сообщество в целом приняло ЕМН (сообщество инвесторов сделало это несколькими годами позже) и то, что Кан (1962) назвал «нормальной наукой», было взято на вооружение теорией финансов [21].

2.2 Концепция гипотезы эффективного рынка

Гипотеза эффективного рынка предполагает, что, вся существенная информация мгновенно и в полной мере отражается на курсовой стоимости ценных бумаг. Поэтому равенство рыночной цены актива его справедливой (действительной) стоимости соблюдается в любой момент времени. В таких условиях становится невозможным получать сверхприбыль (прибыль, превышающую среднерыночные показатели) на постоянной основе. На рынке действует большое число конкурирующих независимых друг от друга рациональных инвесторов с одинаковым инвестиционным горизонтом, каждый из которых стремится максимизировать доходность согласно приемлемой для него степени риска. Фактически теория гласит, что курсы движутся по случайной броуновской траектории, а вероятностное распределение цен описывается нормальным законом (законом Гаусса) с конечной дисперсией.

Рисунок 3. Информационная система финансового рынка [22]

В зависимости от отражаемой информации (см. рис. 3) выделяют три формы эффективности рынка:

Форма эффективности	Отраженная информация
Слабая	Стоимость рыночного актива полностью отражает прошлую информацию, касающуюся данного актива (общедоступная в настоящий момент времени информация о прошлом состоянии рынка, прежде всего по динамике курсовой стоимости и объемах торговли финансовым активом).
Средняя (полусильная)	Стоимость рыночного актива полностью отражает не только прошлую, а всю публичную информацию (текущая информация, которая становится общедоступной в настоящий момент времени, предоставленная в прессе, отчётах компаний, выступлениях государственных служащих, аналитических прогнозах и т.п.).
Сильная	Стоимость рыночного актива полностью отражает всю информацию - прошлую, публичную и внутреннюю (инсайдерская информация, которая известна узкому кругу лиц в силу служебного положения, или иных обстоятельств).

Все три варианта EMH ставят под сомнение обоснованность фундаментального и технического анализа, в свою очередь, сама теория ставится под сомнение приверженцами этих двух подходов.

2.3 Несостоятельность линейной парадигмы

Еще до того как полностью оформилась ЕМН, обнаруживались исключения, которые ставили под сомнение предположение о нормальности. Одна из аномалий была найдена, когда Осборн (1964) вычертил функцию плотности прибылей фондового рынка и назвал их «приблизительно нормальными»: это было необычное наблюдение, так как хвосты этого распределения отличались свойством, которое называется «эксцесс». Осборн заметил, что они толще, чем должны были бы быть. К тому времени как появилась классическая публикация Кутнера (1964) стало общепринятым, что распределения ценовых изменений имеют толстые хвосты, но значение этого отклонения от нормальности еще находилось в стадии обсуждения. Статья Мандельброта (1964) в сборнике Кутнера содержала доказательства того, что прибыли могут принадлежать семейству устойчивых распределений Парето, которые характеризуются неопределенной, или бесконечной дисперсией. Кутнер оспаривал это утверждение, - оно серьезно ослабляло гауссовскую гипотезу, - и предлагал альтернативу, которая состояла в том, что сумма нормальных распределений может являть распределение с более толстыми хвостами, тем не менее оставаясь гауссовским.

2.4 Проверка нормальности

Первое подробное изучение дневных прибылей было предпринято Фама (1965), который нашел, что прибыли имеют отрицательную асимметрию [23]: большее количество наблюдений было на левом (отрицательном) хвосте, чем на правом. Кроме того, хвосты были толще, и пик около среднего значения был выше, чем предсказывалось нормальным распределением, то есть имел место так называемый «лептоэксцесс». Это же отметил Шарп в своем учебнике 1970 года «Теория портфеля и рынки капитала» [24]. Когда Шарп сравнил годовые прибыли с нормальным распределением, он заметил, что «у нормального распределения вероятность сильных выбросов очень мала. Однако на практике такие экстремальные величины появляются довольно часто».

Позже Тернер и Вейгель (1990) [25] провели более глубокое изучение волатильности, используя дневной индекс рейтинговой компании Стандард энд Пур (S&Р) с 1928 года по 1990 год - результаты оказались похожими. В таблице 2 представлены данные этого исследования. Авторы нашли, что «распределения дневной прибыли по индексам Доу-Джонса и S&Р имеют отрицательную асимметрию и большую плотность в окрестности среднего значения, а также в области очень больших и очень малых прибылей, - если сравнивать это распределение с нормальным».

Таблица 2. Основные характеристики частотного распределения дневных прибылей по индексу S&Р 500, с января 1928 года по декабрь 1989 года

На рисунке 4 показано частотное распределение прибылей, которое иллюстрирует это явление. График представляет пятидневную логарифмическую первую разность в ценах по данным S&Р с января 1928 года по декабрь 1989 года. Эти изменения центрированы и нормированы, то есть имеют нулевое среднее и единичное стандартное отклонение. Здесь же представлено частотное распределение гауссовских случайных чисел. Высокий пик и толстые хвосты, которые заметны в таблице 2, ясно видны на графике. Помимо того, значения прибыли встречаются при 4 и 5 сигма на обоих хвостах.

Рисунок 4. Частотное распределение пятидневных прибылей по индексу S&Р 500, январь 1928 - декабрь 1989 года: нормальное распределение и действительные прибыли

Рисунок 5 показывает разности ординат двух кривых на рисунке 4. Отрицательную асимметрию можно увидеть при соответствующем подсчете на трех стандартных отклонениях ниже среднего значения. Вероятность событий на рынке при 3-х сигма примерно в два раза выше, чем для гауссовских случайных чисел.

Рисунок 5. Разность частот: S&Р 500 пятидневные прибыли - нормальное распределение

Также в своем анализе квартальных прибылей по данным S&Р с 1946 года по 1988 год Фридман и Лейбсон (1989) [26] указывают, что «22.6% однодневных падений биржевых цен 19 октября 1987 года были уникальным явлением, но в масштабе квартального временного окна эпизод 4 квартала 1987 года, оказывался в ряду нескольких других периодов необычайно больших оживлений или крахов». Эти авторы замечают, что в дополнение к лептоэксцессу «большие движения чаще являются крахами, чем взлетами» и значительный лептоэксцесс «появляется вне зависимости от выбранного периода».

Эти исследования с очевидностью говорят о том, что прибыли американских рынков капитала не следуют нормальному распределению. Но если рыночные прибыли не являются нормально распределенными, то тогда множество методов статистического анализа, в частности, такие способы диагностики как коэффициенты корреляции, t-статистики, серьезно подрывают к себе доверие, поскольку могут давать ошибочные результаты. Применение случайных блужданий к рыночным ценам также становится сомнительным.

Стерж (1989) [27] в дополнительном исследовании финансовых фьючерсных цен на государственные казначейские облигации, казначейские налоговые сертификаты и евродолларовые контракты также нашел лептоэксцессные распределения. Он заметил, что «очень большие (три или больше стандартных отклонения) изменения цен могут ожидаться в два-три раза чаще, чем предсказано нормальностью».

2.5 Неустойчивая волатильность

Придя к выводу о том, что рыночные прибыли не следуют нормальному распределению, нельзя удивляться, если волатильность окажется весьма неустойчивой. Причина в том, что дисперсия устойчива и конечна только для нормального распределения, а рынки капитала, следуя постулату Мандельброта, подчиняются устойчивым распределениям Парето.

Исследования волатильности имеют тенденцию фокусироваться на устойчивости во времени. Например, при нормальном распределении дисперсия пятидневной прибыли должна быть в пять раз больше дисперсии дневной прибыли. Другой метод, использующий стандартное отклонение вместо дисперсии, основан на умножении дневного стандартного отклонения на корень квадратный из 5. Это скейлинговое свойство нормального распределения называется правилом , где - временной интервал.

Исследования показывают, что стандартное отклонение не подвержено скейлингу в соответствии с правилом . Тернер и Вейгель нашли, что месячная и квартальная волатильности были выше в сравнении с годовой волатильностью, чем это должно было бы быть, но дневная волатильность была ниже годовой.

Также существует работа Шиллера (1989), включенная в его книгу «Волатильность фондового рынка» [28]. Его подход основывается не на рассмотрении распределений прибылей. Вместо этого Шиллер интересуется уровнем волатильности, которая должна была бы быть в рамках рационального рынка. Он замечает, что волатильность на рынке рациональных инвесторов должна бы иметь в основе ожидаемые дивиденды от акций. Цены, однако, намного более волатильны по отношению к изменениям величин ожидаемых дивидендов, даже с учетом инфляции. Шиллер приходит к утверждению, что существует два типа инвесторов: «шумовые трейдеры» - те, кто следуют моде и прихоти, и «штрафные трейдеры», которые инвестируют, исходя из величины ожидаемой прибыли. «Штрафник» - это не обязательно характеристика инвестора-профессионала. Шумовые трейдеры имеют склонность к чрезмерной реакции на новости, которые могут сулить будущие дивиденды, легкие деньги.

Исследованная Шиллером чрезмерная рыночная волатильность бросает вызов:

· идее рациональных инвесторов;

· концепции, утверждающей, что благодаря большому количеству инвесторов можно достичь рыночной эффективности.

Также существует модель Ингла (1982) авторегрессионной условной гетероскедастичности (ARCH) [29]. В этой модели волатильность зависит от своего же предшествующего уровня. Таким образом, высокие уровни волатильности являются следствием высокой же волатильности, в то время как низкая волатильность - следствие низкой волатильности. Это совпадает с наблюдением Мандельброта (1964) о том, что величины изменений цен (без учета знака) коррелированы. ARCH также дает утолщение хвостов вероятностных распределений.

2.6 Проверка эффективности рынка

С совершенствованием методов прикладных исследований стала очевидна несостоятельность полусильной формы ЕМН. Подтверждением тому служит наличие ряда интересных закономерностей, устойчиво проявляющихся из года в год. На рынке с завидной регулярностью появляются аномалии [30], позволяющие извлекать гарантированный доход.

Публикация финансовой отчетности. Как показали исследования, сверхдоходность от инвестиций можно извлечь, покупая акции после выхода квартальных отчетов, в которых прибыль компании оказывается выше, чем в среднем ожидалось аналитиками. Притом если такое расхождение превышает 20%, то сверхдоходность в среднем превышает издержки на комиссионные. По имеющейся статистике, 31% сверхнормативного роста приходится на период перед объявлением, 18% - на день объявления, и 51% - на период после дня объявления (эффект обычно исчерпывается в течение 90 дней).

Календарные эффекты. Было замечено, что в США в конце календарного года многие инвесторы продают те акции, по которым они понесли наибольшие убытки в истекшем году - для того, чтобы получить налоговые вычеты. В первую неделю января (большей частью в первый же торговый день) эти же акции откупаются обратно. Рынок в конце года аномально понижается, а в начале года - аномально растет (январский эффект). Исследования показали, что такой эффект действительно существует, причем он тем больше, чем меньше размер компании. Причем он настолько велик, что значительно перекрывает транзакционные издержки. Другое объяснение январского эффекта - приукрашивание (window dressing) отчетности менеджерами инвестиционных фондов, поскольку они остерегаются показывать в балансах активы, по которым получен существенный убыток.

Из других календарных эффектов можно отметить эффект конца недели - изменения цен с закрытия рынка в пятницу по открытие рынка в понедельник в среднем негативны. Интересно, что такие изменения цен устойчиво позитивны в январе и устойчиво негативны во все остальные месяцы.

Отношение Р/Е. Акции с низкими Р/Е (отношение цены акции к прибыли на акцию) систематически недооценены, а акции с высокими Р/Е - переоценены. Возможным объяснением является то обстоятельство, что высокие Р/Е присущи так называемым «акциям роста», а перспективы роста рынок систематически переоценивает - на деле рост идет более низкими темпами, чем предполагалось.

Рыночная капитализация компании. Акции малых компаний систематически недооценены. Эффект усиливается, если среди таких акций выбирать еще акции с низкими Р/Е. Следует учесть, что для акций малых компаний транзакционные издержки значительно выше, чем для крупных, поэтому выигрыш можно получить только на достаточно длительном периоде (обнаружено, что для акций США он все же немного меньше года).

Отношение P/BV. Акции с низкими P/BV (отношение цены акции к балансовой стоимости акционерного капитала на акцию) систематически недооценены, эффект наиболее сильный из перечисленных. Наиболее сильно эффект проявляется для малых компаний, в этом случае дополнительного влияния отношения Р/Е не прослеживается.

Такие аномалии давно наводят на мысль, что линейная парадигма требует изменения, которое приняло бы их в расчет. На смену старым методам должны прийти новые, которые не предполагают независимости, нормальности или конечных дисперсий. Эти новые методы должны включать фракталы и нелинейную динамику, которые, будучи примененными к реальным данным, демонстрируют большую результативность.

3. ГИПОТЕЗА ФРАКТАЛЬНОГО РЫНКА

3.1 Концепция гипотезы фрактального рынка

В начале 1990-ых годов была разработана новая парадигма - гипотеза фрактального рынка (fractal market hypothesis, FMH), которая создавалась как альтернатива к гипотезе эффективного рынка. Для инвестора важным является не эффективность рынка, и даже не «справедливая» цена, а ликвидность рынка (сама возможность купить или продать товар). Если инвестор хочет продать актив, он готов его продать по цене, не равной «справедливой». FMH придает особое значение влиянию информации и инвестиционным горизонтам в поведении инвесторов.

Основные предположения гипотезы фрактального рынка, выдвинутые Петерсом (1994) [31]:

1) Рынок создают множество индивидуумов с большим количеством различных инвестиционных горизонтов.

Поведение трейдера с однодневным инвестиционным горизонтом радикально отличается от поведения управляющего пенсионного фонда. Для первого инвестиционный горизонт измеряется минутами, а для второго - годами.

2) Информация по-разному влияет на различные инвестиционные горизонты.

Для трейдера с однодневным инвестиционным горизонтом первичная деятельность - это торговля. Подобный трейдер будет в большей степени интересоваться информацией, получаемой из технического анализа. С другой стороны, большинство фундаментальных аналитиков и экономистов, кто также присутствуют на рынке, имеют длинные инвестиционные горизонты. Они склонны думать, что технические тренды плохо применимы для долгосрочных инвесторов. В структуре FMH оба направления анализа: технический и фундаментальный справедливы, потому что влияние информации в основном зависит от каждого индивидуального инвестиционного горизонта.

3) Основополагающим фактором, влияющим на стабильность рынка, является ликвидность (уравновешивает спрос и предложение). Ликвидность достигается когда рынок состоит из множества инвесторов с множеством различных инвестиционных горизонтов.

Поскольку на рынке участвуют много инвесторов с различными инвестиционными горизонтами, то крах или паника на одном инвестиционном горизонте будет поглощаться и сглаживаться за счет других инвестиционных горизонтов. Когда рынок теряет эту структуру (в силу каких-либо неблагоприятных внешних факторов долгосрочные инвесторы уходят с рынка или становятся краткосрочными инвесторами), тогда рынок становится нестабильным и переходит в фазу «свободного падения» - происходит не просто движение цен вниз, а возникают целые «дыры» между ценами ближайших сделок. Подобные явления можно было наблюдать и в момент кризиса 1987 года на фондовом рынке США, когда инвесторы, обескураженные ужесточением монетарной политики Федерального Казначейства, поменяли свои фундаментальные предпочтения, выбросив на рынок слишком большое количество акций; и в кризисе 1998 года в России, когда «толпа» инвесторов стала сбрасывать ГКО, после того как с рынка ушли и краткосрочные, и долгосрочные инвесторы вследствие неясности относительно динамики обменного курса рубль/доллар в ближайшей перспективе.

4) Цены отражают комбинацию краткосрочного технического анализа и долгосрочной фундаментальной оценки.

Таким образом, в краткосрочной перспективе изменения цен будет более волатильно, чем в долгосрочной перспективе. Определенный тренд на рынке отражает изменения в ожидаемом доходе, базирующимся на изменении экономической ситуации. Краткосрочные тренды в большей степени результат поведения толпы. Нет оснований верить, что краткосрочный тренд отражает долгосрочный экономический тренд.

5) Если риск не связан с экономическим циклом, то не будет существовать долгосрочных трендов. Торговля, ликвидность и информация для короткого инвестиционного горизонта будет доминировать.

Если рынок связан с экономическим ростом в долгосрочной перспективе, то риск будет снижаться постоянно (экономический цикл доминирует). Экономический цикл менее волатилен чем торговая активность, он делает доход в долгосрочной перспективе менее волатильным.

Для большей общности гипотеза фрактального рынка не налагает никаких статистических требований на процесс. Цель FMH состоит в том, чтобы дать модель поведения инвестора и движений рыночной цены, которые соответствуют наблюдениям. Когда рынок стабилен EMH работает достаточно хорошо. Но как только наступает паника и обвал рынка, эта гипотеза дает сбой. Что не является неожиданностью, так как, являясь равновесной моделью, она не приспособлена к нестабильным условиям. Нестабильность имеет место, когда рынок теряет свою фрактальную структуру и принимает одинаковые для всех участников инвестиционные горизонты.

Основными инструментами FMH служат фрактальная геометрия и теория хаотических систем. Необходимость в применении теории хаотических систем возникает при анализе финансовых данных за большой период времени. Такой анализ необходим, если инвестировать на очень большой срок. Локально (на небольшом промежутке времени) траектории цен финансовых активов ведут себя случайно, хотя и не совсем так, как броуновское движение, и их можно изучать с помощью фрактальной геометрии, а глобально (на промежутке времени в несколько месяцев или лет) траектории ведут себя не случайным образом. Объяснение заключается в том, что в долгосрочном периоде зависимость цены от случайных факторов уменьшается. Цена больше зависит от общей деловой активности рынка, от других фундаментальных факторов. Динамика изменения цены при этом менее сложная, чем в краткосрочном масштабе и подается изучению с помощью теории хаотических систем.

3.2 Объяснение лептоэксцесса распределения прибылей

Необходимо рассмотреть, как люди реагируют на информацию. Согласно FMH реакция на полученную информацию - выдается сгустками. Если инвесторы игнорируют информацию до тех пор, пока тренды не установятся и затем откликаются, принимая в расчет всю до того накопившуюся информацию, - вот тогда и могут возникать толстые хвосты. Это означает, что люди реагируют на информацию нелинейно. Стоит только перешагнуть некоторый критический уровень, и начинает сказываться все совокупное влияние, которое до того не влекло за собой никаких последствий. За этим скрывается не что иное, как влияние прошлого на настоящее и, следовательно, несостоятельность ЕМН. Ибо в ЕМН информация и отклик на нее находятся в жесткой причинно-следственной связи.

4. ТЕОРИЯ ЧАСТИЧНО ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

4.1 Анализ основных фрактальных характеристик финансовых рядов

На сегодняшний день основная масса литературы, посвященной рыночной экономике, основывается на линейных моделях. Такие модели имеют ограниченную пользу, не отвечают реальному поведению рынка, не дают объяснений внезапных сильных колебаний на финансовых рынках. Можно отметить разрыв между действительными экономическими реалиями и экономическими теориями.

В последнее время все большее внимание уделяется исследованию финансовых временных рядов с точки зрения теории хаоса [32-35]. Это достаточно новая область, которая представляет собой активно развивающийся раздел математических методов экономики. Математическая теория хаоса, являющаяся одним из направлений нелинейной динамики, позволяет выявить сущность глубинных экономических процессов, часто скрытых и неявных, и разработать основу для принятия решений [36, 37]. Возрастание интереса к нелинейной динамике можно связать в основном с двумя факторами - широким распространением и доступностью мощных персональных компьютеров и осознанием важности изучения динамики хаотических систем. Появление ПК вызвало к жизни экспериментальные исследования, которые оказались необходимы ввиду неполноты теоретических представлений в данной области. Обнаруженные на практике хаотические системы породили весьма важные, трудные, но интересные задачи на всех уровнях - от самых абстрактных математических до конкретных задач прикладной физики.

Можно выделить два основных этапа в развитии нелинейной динамики: [38, 39]:

1) Этап диссипативных структур (1950-1980-е гг.). Понятие «диссипативные структуры» было введено И. Пригожиным [40], основателем современной теории сложности, нобелевским лауреатом, и относится, прежде всего, к диссипативным процессам (то есть к процессам вязкости, диффузии, теплопроводности). Такие процессы позволяли исследуемым системам «забыть» начальные данные и сформировать с течением времени подобные стационарные структуры. Задача анализа сводилась к определению изменения и конфигурации структур при вариации внешних параметров и начальных данных.

Соответствующий математический аппарат нелинейной динамики на этом этапе определялся качественной теорией ветвлений решений дифференциальных уравнений. Эти разделы математики интенсивно разрабатывались со времен А. Пуанкаре (конца XIX века), успешно применялись в теории колебаний, что не в последнюю очередь обеспечило первые успехи синергетики.

Математическими образами эпохи стали притягивающие множества (аттракторы) в фазовом пространстве, при этом простейшим аттракторам - неподвижным точкам - соответствовали стационарные, не меняющиеся со временем структуры, а с 70-х годов XX века - более сложные структуры - аттракторы, предельные циклы - различные периодические волновые процессы.

2) Этап динамического хаоса (с начала 1980-х гг. и по настоящее время) [41, 42]. Термин «детерминированный или динамический хаос», под которым понимается непредсказуемое поведение детерминированных систем, был введен в научный обиход в 1975 г. Т.-У. Ли и Дж. Йорком. Термин «динамический» (детерминированный) означает, что отсутствуют источники случайных флуктуации. Важным понятием данного этапа стала чувствительность к начальным условиям: экспоненциальное разбегание двух близких траекторий для класса хаотических аттракторов. При этом скорость разбегания можно определить путем вычисления положительной величины наибольшего показателя Ляпунова. Вследствие этой чувствительности становится невозможным сравнить траекторию объекта и модели для одних и тех же моментов времени, так как даже малая ошибка в начальных данных будет экспоненциально нарастать, что приведет, в конечном счете, к совершенно разным траекториям. Поэтому приходится ограничиваться либо кратковременными прогнозами, либо искать адекватные способы сравнения поведения модели и объекта (например, возможно использование некоторых функционалов от траектории, определяющих количественные характеристики хаоса). К основным типам задач, которые решались на этом этапе, можно отнести задачи анализа временных рядов (в частности, нахождение горизонта прогноза), построения прогнозирующих систем, определения законов движения объекта по ограниченному ряду наблюдений.

Можно отметить, что необходимость большой выборки очень точных измерений предшествующих состояний объекта для алгоритмов нахождения количественных характеристик хаоса и построения прогнозирующих систем делает эти алгоритмы достаточно «капризными». Как указывается в [39] «… в то же время живые существа такими данными для обучения не располагают, поэтому неясно, как им удается эффективно ориентироваться в быстро меняющейся обстановке… возник новый класс задач, весьма сложный для разработчиков программ и легко решаемый биологическими субъектами».

Символами этой эпохи [43] стали субгарманический каскад, множества Кантора, аттрактор Хенона, система Лоренца. Заметим, что именно Э. Лоренц в 1963 г. явился одним из основоположников теории хаоса.

Можно выделить следующие причины, вызвавшие повышенный интерес на сегодняшний день к теории хаоса:

· исследование хаоса обеспечивает новые концептуальные и теоретические средства, позволяющие понять сложное поведение систем, которое не удавалось объяснить другими теориями;

· хаотическое поведение универсально и проявляется в самых разных областях, таких, например, как в механических осцилляторах, электрических цепях, химических реакциях, нервных клетках, нагреваемых жидкостях, экономических системах, в том числе, как будет показано далее, и на финансовых рынках.

Теория хаоса [44] является основным подходом к анализу так называемых маломасштабных разрывов (резких скачков), крупномасштабными разрывами занимается теория катастроф [45, 46]. Этот тип разрывов был введен Р. Томом в 1972 г. и Е. Зиманом в 1977 г. Крупномасштабные разрывы (катастрофы) происходят в определенном состоянии переменных при изменении других, управляемых переменных, которые достигают критических бифуркационных значений. В применении к экономике теорию катастроф впервые продемонстрировал Е. Зиман в задаче о крахе спекулятивных «пузырей» на финансовом рынке. Теория катастроф предложила анализ обшей структуры крупномасштабных разрывов, но подверглась критике за отсутствие моделей, позволяющих предсказать их наступление.

Оба подхода к динамике разрывов и теорию катастроф, и теорию хаоса можно рассматривать как частные случаи более широкой категории - теории бифуркаций, поскольку внезапные изменения, разные по масштабу, возникают в бифуркационных точках, где и происходят скачки на плавных хаотических траекториях. Возможным синтезом этих подходов является порядок. Такой прием предложен И. Пригожином в 1977 г. и разработчиком синергетики Г. Хакеном в 1983 г. [47]. По их мнению, оба типа разрывов являются одновременно и большими, и малыми. Последние будут возбуждать первые при колебаниях системы вблизи крупномасштабных точек бифуркации, где будут происходить катастрофы. Таким образом, хотя хаос может возникать из катастроф в смысле последовательности переходных бифуркаций, катастрофы более высоких порядков могут, в свою очередь, возникать из хаоса.

При анализе хаотических явлений необходимы некоторые меры (критерии), позволяющие получить количественную оценку хаоса, сравнить теоретические и экспериментальные наблюдения, выявить отличие хаотического ряда от случайного. В задаче формирования таких критериев используются два подхода.

В первом подходе акцент делается на динамике хаотической характеристики. В рамках этого подхода применяются такие критерии, как показатель Ляпунова (мера скорости расхождения траекторий, начинающихся на соседних точках), энтропия Колмогорова (параметр, который отображает количество информации на аттракторе). Сюда же можно отнести спектральный анализ, а именно спектральную плотность мощности и автокорреляционную функцию.

Второй подход отражает геометрическую природу траекторий в пространстве состояний. Данный подход предполагает использование критериев, определяемых через фрактальную и корреляционную размерности.

4.2 Рождение и развитие фрактальной геометрии

Понятия «фрактал» и «фрактальная геометрия» возникли в 70-80-х годах прошлого века. Они прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово «фрактал» происходит от латинского fractus, что в переводе означает дробный, состоящий из фрагментов. Оно было предложено американским математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных («изломанных») самоподобных структур, которыми он занимался.

По определению, данному Мандельбротом, «фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому» [48]. Фрактал - это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба (см. рис. 6). Масштабная инвариантость, наблюдаемая во фракталах, может быть либо точной, либо приближённой.

Рисунок 6. Самоподобие фракталов на примере множества Мандельброта

С математической точки зрения фрактал - это, прежде всего, множество дробной размерности [49].

Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой автор собрал и систематизировал научные результаты ученых, работавших в период 1875-1925 гг. в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф).

Фрактальная геометрия -- это революция в математике и математическом описании природы. Вот как об этом пишет сам первооткрыватель фрактальной геометрии Б.Мандельброт: «Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака -- это не сферы, горы -- это не конусы, линии берега -- это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой. Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности» [50].

Мандельброт показал, что геометрия реального мира не евклидова, а фрактальная. «Правильные» евклидовы объекты являются математической абстракцией, природа же предпочитает негладкие, шероховатые, зазубренные формы. К евклидовой геометрии добавилась новая геометрия, отличие которой состоит в том, что она не оперирует гладкими объектами и привычными формами типа треугольника, квадрата, круга, шара и т.п. Фракталы с большой точностью описывают многие физические явления и природные образования. Снежинку, морского конька, ветви деревьев, разряд молнии и горные массивы можно нарисовать, используя фракталы. Поэтому многие современные ученые говорят о том, что природа имеет свойство фрактальности.

4.3 Фрактальная размерность

Главная особенность фрактальных объектов состоит в том, что для их описания недостаточно «стандартной» топологической размерности (для пространства , для поверхности - , для линии - , для точки ), которая, как известно, всегда является целым числом. Под размерностью понимали минимальное число параметров, необходимых для описания положения точки в пространстве. Несостоятельность такого наивного восприятия стала очевидной после открытия взаимно однозначного соответствия между точками отрезка и квадрата и непрерывного отображения отрезка на квадрат (см. рис. 7). Первое из них было построено Кантором (1877 г.), второе -- Пеано (1890 г.).

Рисунок 7. Построение линии Пеано

Фракталам свойственна геометрическая «изрезанность». Поэтому используется специальное понятие фрактальной размерности, введенное Ф. Хаусдорфом и А.С. Безиковичем. Применительно к идеальным объектам классической евклидовой геометрии она давала те же численные значения, что и топологическая размерность, однако новая размерность обладала более тонкой чувствительностью ко всякого рода несовершенствам реальных объектов, позволяя различать и индивидуализировать то, что прежде было безлико и неразличимо. Этот тонкий инструмент позволяет сделать заключение, к какому обычному геометрическому объекту -- точке, линии или плоскости - ближе конкретное экзотическое фрактальное множество.

Мандельброт дал строгое математическое определение фрактала, как множества, хаусдорфова размерность которого, строго больше его топологической размерности. В то время как гладкая евклидова линия заполняет в точности одномерное пространство, фрактальная кривая вторгается в двумерное пространство, потому как ее размерность находится между 1 и 2. Фракталы - бесконечно-изломанные, «махровые» линии. Они напоминают гармошку, каждый кусочек которой, даже очень маленький, если попытаться его распрямить, оказывается бесконечно длинным.

Обсудим фрактальную размерность на примере регулярных фракталов (математическая абстракция). Рассмотрим сначала отрезок единичной длины, который разбит на равных кусков длиной , так что . По мере уменьшения значение растёт линейно, что и следовало ожидать для одномерной кривой. Аналогично, если мы разделим квадрат единичной площади на равных квадратиков со стороной , то получим - ожидаемый для двумерного объекта результат. Можно утверждать, что в общем случае , где - размерность объекта (см. рис. 8).

Рисунок 8. Покрытие объекта n-мерными кубиками

Следовательно, логарифмируя обе части этого равенства и перейдя к пределу при стремящемся к нулю, можно выразить размерность в виде:

(1)

Это равенство является определением хаусдорфовой или фрактальной размерности, которая обычно принимает дробные значения.

Приведем пример множества, состоящего из отдельных точек, но имеющих их столько, сколько и любой отрезок действительной оси. Возьмем отрезок длины 1. Разделив его на три равные части, исключим среднюю часть. С оставшимися двумя отрезками проделаем ту же процедуру и в результате получим 4 отрезка в 1/9 длины каждый и т.д. до бесконечности -- рис. 9.

Рисунок 9. Построение множества Кантора

Множество точек, возникшее после этой процедуры, и является множеством Кантора. Нетрудно заметить, что длина этого множества равна нулю. Действительно,

.

Найдем теперь его хаусдорфову или фрактальную размерность. Для этого выберем в качестве «эталона» отрезок длиной

Минимальное число таких отрезков, необходимых для покрытия множества, равно

Поэтому его фрактальная размерность

.

Также, размерность можно определить, исходя из зависимости изменения размеров той части пространства, которую занимает объект , от изменения его линейных размеров [51]:

(2)

Для линии . Для плоскости . Для объема .

Проделаем такой эксперимент: возьмем равносторонний треугольник и будем последовательно заменять каждую линию, составляющую его, на четыре других, как это показано на рисунке 10.

Рисунок 10. Построение снежинки Кох

Повторяя эту операцию достаточно долго, мы получим некий объект, напоминающий своим внешним видом снежинку (называется - снежинка Кох), причем с каждым шагом длина кривой, ограничивающей площадь снежинки, увеличивается на одну треть. Ее размерность будет равна , так как при каждом увеличении снежинки в три раза длина кривой увеличивается в четыре. Если устремить число итераций к бесконечности, получится объект, конечная площадь которого ограничивается бесконечной кривой.

4.4 Показатель Херста и R/S-анализ временных рядов

Одним из наиболее популярных методов нелинейной динамики является анализ временных рядов на основе вычисления показателя Херста, который получил название - R/S-анализ (rescaled range analysis). Метод был предложен английским исследователем Гарольдом Херстом. На протяжении длительного периода времени Херст занимался исследованием Нила и решением задач, связанных с накоплением водных ресурсов. Он открыл новый статистический метод - метод нормированного размаха [52]. Херст показал, что большинство естественных явлений, включая речные стоки, изменения температуры, осадки, рост колец деревьев, солнечные пятна следуют «смещенному случайному блужданию» - тренду с шумом. Величина коэффициента (показатель Херста) характеризует отношение силы тренда (детерминированный фактор) к уровню шума (случайный фактор). Метод Херста применим и для изучения временных рядов в экономике и на рынках капитала, и позволяет выяснить, являются ли эти ряды также смещенными случайными блужданиями.

Используя безразмерное отношение нормированного размаха можно сравнивать различные явления. Херст обнаружил, что для многих временных рядов наблюдаемый нормированный размах хорошо описывается эмпирическим соотношением:

, (3)

где - некоторая константа,

- текущее значение длины выборки,

- показатель Херста (принимает значения от 0 до 1).

Размах вариации измеряемой случайной величины определяется как разность максимального и минимального накопившегося отклонения:

,

- длина всей выборки

Накопившееся отклонение значений случайной величины от ее среднего значения за время рассчитывается как:

.

Для сравнения различных типов временных рядов Херст разделил размах вариации на стандартное отклонение исходных наблюдений, рассчитываемое по формуле:

.

Прологарифмировав соотношение (3), получим:

. (4)

Для оценки показателя Херста значения как функции от откладываются в двойной логарифмической шкале. Полученные точки аппроксимируются с помощью метода наименьших квадратов, и через угол наклона прямой определяется величина .

Если рассматриваемый временной ряд обладает долговременной памятью, то его R/S-траектория факт исчерпания памяти о начале ряда демонстрирует так называемым «срывом с тренда» или, в другой терминологии, сменой направления тренда, вдоль которого следует определенное количество начальных точек R/S-траектории [53].

Вышеуказанный термин «смена тренда» подразумевает, что точки R/S-траектории, следующие после точки смены тренда, уже «не возвращаются» к первоначальному тренду.

На основании компьютерных экспериментов для временных рядов было сформулировано следующее определение трендоустойчивого начального отрезка временного ряда, заканчивающегося точкой исчерпания этого тренда:

1. Определенное количество точек, относящихся к началу R/S-траектории, следуют вдоль линейного тренда.

2. После точки R/S-траектория меняет тренд, причем, последующие точки этой траектории «не возвращаются» к первоначальному тренду.

3. Временной ряд ординат точек Н-траектории (;) при переходе от к получает отрицательное приращение; при этом точка Н-траектории находится в зоне черного шума, то есть значение показателя Херста .

Как правило, точка смены тренда R/S-траектории появляется с лагом, в силу чего номер точки смены тренда этой траектории является верхней оценкой глубины памяти о начале рассматриваемого временного ряда.

При построении R/S-траектории и H-траектории необходимо учитывать, что R/S-анализ в силу алгоритмической особенности не вычисляет координаты , соответствующие двум первым уровням исследуемого временного ряда, то есть для и .

Применительно к финансовым данным можно использовать следующую трактовку: показатель Херста измеряет влияние информации на временной ряд данных. Значение подразумевает случайное блуждание, что является подтверждением гипотезы эффективного рынка. В этом случае события некореллированны, все новости уже впитаны и обесценены рынком. В противоположность этому при события сегодня будут иметь значение завтра, то есть полученная информация продолжает учитываться рынком некоторое время спустя. Это не просто автокорреляция, когда влияние информации быстро падает (кратковременная «марковская» память), а это долговременная память. Она обусловливает информационное влияние в течение больших периодов времени и характеризуется длиной цикла.

Влияние настоящего на будущее может быть выражено корреляционным соотношением [54]:

, (5)

где - мера корреляции,

- показатель Херста.

Для очень большого количества наблюдений можно ожидать сходимости ряда к величине , так как эффект памяти уменьшается до того уровня, когда становится незаметным. Другими словами, в случае длинного ряда наблюдений можно ожидать, что его свойства станут неотличимы от свойств обычного броуновского движения, или простого случайного блуждания, поскольку эффект памяти рассеивается. Регрессия в этом случае должна выполняться до того как приблизится к 0.5, так как корреляционная мера не применима ко всем без исключения приращениям.

Важно напомнить, что корреляционная мера не имеет отношения к автокорреляционной функции гауссовских случайных переменных. Последняя предполагает гауссовские или почти гауссовские свойства лежащего в основе распределения - хорошо знакомую колоколообразную кривую. Автокорреляционная функция хорошо работает в определенных краткосрочных зависимостях, однако имеет тенденцию преуменьшать долгосрочные корреляции в негауссовских рядах [55].

На рисунке 11 в двойных логарифмических координатах представлена кривая зависимости от для , построенная по данным, полученным с помощью генератора псевдослучайных чисел с гауссовским выходом, и показывает . Эта оценка немного выше, чем ожидалось, но эти псевдослучайные числа сгенерированы детерминистическим алгоритмом, что может быть причиной смещения. Важно заметить, что R/S-анализ - это исключительно устойчивый метод. В его основе нет предположения о гауссовском распределении. Найденное значение не является доказательством того, что налицо гауссовское случайное блуждание, оно доказывает только то, что это процесс, который отличается короткой памятью. Другими словами, любая независимая система, гауссовская или какая-либо другая, может продуцировать .

Рисунок 11. R/S-анализ: случайные гауссовские числа. Фактическое значение , оценка

На рисунке 12 показана аналогичная кривая для - значения, часто наблюдаемого в природных процессах. Эти данные были получены аппроксимацией обобщенного броуновского движения. Такой ряд получен, с учетом памяти о 200 наблюдениях. Данные имитируют естественный цикл из 200 наблюдений.

Рисунок 12. R/S-анализ: фрактальное броуновское движение. Фактическое значение , оценка .

Когда превышается (), тогда R/S-наблюдения становятся сбивчивыми и случайными. Это свойство R/S-анализа позволяет определить среднюю длину цикла системы. В терминах нелинейной динамики систем средняя длина цикла есть длительность, по истечении которой теряется память о начальных условиях.

На рисунке 13 показана аналогичная кривая, построенная для . Действительная в этом случае оказалась немного ниже, но в допустимых пределах.

Рисунок 13. R/S-анализ: фрактальное броуновское движение. Фактическое значение , оценка

Благодаря своей замечательной устойчивости, показатель Херста широко применяется в анализе временных рядов сложных систем. Он содержит минимум предположений об изучаемой системе и позволяет ввести классификацию временных рядов безотносительно к их виду распределения.

Выделяют три интервала значений показателя Херста:

Значение	Поведение случайного временного ряда	Цвет шума	Карикатура долгосрочной зависимости
	Данный диапазон соответствует антиперсистентным (эргодическим) рядам. Такой тип системы часто называют - «возврат к среднему». Если система демонстрирует рост в предыдущий период, то, скорее всего, в следующем периоде начнется спад. И наоборот, если шло снижение, то вероятен близкий подъем. Устойчивость такого антиперсистентного поведения зависит от того, насколько близко к нулю. Чем ближе его значение к нулю, тем ближе к , или отрицательной корреляции. Такой ряд более изменчив, или волатилен, чем ряд случайный, так как состоит из частых реверсов спад-подъем.	Розовый шум
	Указывает на случайный ряд (броуновское движение, случайные блуждания). События некоррелированы между собой (), настоящее не влияет на будущее. Функция плотности вероятности может быть нормальной кривой, однако, это не обязательное условие.	Белый шум
	Значения показателя , принадлежащие данному диапазону, характерны для персистентных или трендоустойчивых рядов. Они характеризуются наличием долговременных корреляций между текущими событиями и событиями будущими. Если ряд возрастает (убывает) в предыдущий период, то вероятно, что он будет сохранять эту тенденцию какое-то время в будущем. Сила персистентности, увеличивается при приближении к 1, или 100% корреляции (). Чем ближе к 0.5, тем более зашумлен ряд и тем менее выражен его тренд. Персистентный временной ряд является фракталом, поскольку может быть описан как обобщенное броуновское движение или смещенные случайные блуждания.	Черный шум

Персистентные временные ряды являют собой наиболее интересный класс, так как оказалось, что они не только в изобилии обнаруживаются в природе, - это открытие принадлежит Херсту, - но и свойственны рынкам капитала.

4.5 Эмпирический закон Херста

Херст предложил также формулу для оценки величины по значению:

. (6)

В этой формуле предполагается, что константа из соотношения (4) равна .

Федер показал, что этот эмпирический закон имеет тенденцию преувеличивать , когда оно больше , и, наоборот, преуменьшать, если , однако для коротких рядов, где регрессия невозможна, этот эмпирический закон может быть использован как разумное приближение [48].

4.6 Взаимосвязь фрактальной размерности и показателя Херста

Фрактальная размерность временного ряда, или накопленных изменений при случайном блуждании, равна . Фрактальная размерность кривой линии равна , а фрактальная размерность геометрической плоскости равна . Таким образом, фрактальная размерность случайного блуждания лежит между кривой линией и плоскостью.

Показатель Херста может быть преобразован во фрактальную размерность с помощью следующей формулы:

. (7)

Таким образом, если , то . Обе величины характеризуют независимую случайную систему. Величина будет соответствовать фрактальной размерности, более близкой к кривой линии. Это персистентный временной ряд, дающий более гладкую, менее зазубренную линию, нежели случайное блуждание. Антиперсистентная величина дает соответственно более высокую фрактальную размерность и более прерывистую линию, чем случайное блуждание, и, следовательно, характеризует систему, более подверженную переменам.

4.7 Обоснованность оценки Н

Даже если найдена аномальная величина , закономерен вопрос, обоснована ли ее оценка. Можно усомниться в том, достаточно ли было данных, или даже - работает ли вообще R/S-анализ. Для решения этого вопроса предлагается следующий простой тест, основанный на тесте, разработанном Шейнкманом и Ле Бароном для корреляционной размерности [56].

В сущности оценка , которая значительно отличается от , имеет два возможных объяснения:

1. В изучаемом временном ряду имеется долговременная память. Каждое наблюдение коррелирует до некоторой степени с последующими наблюдениями.

2. Такого рода анализ сам по себе несостоятелен, и аномальная величина не означает, что имеет место эффект долговременной памяти.

Может оказаться, что существует нехватка данных для обоснованного теста (при этом не существует четких критериев того, сколько данных необходимо). Тем не менее, в этом случае изучаемый ряд как ряд независимых случайных переменных либо а) заключает в себе , отличное от , либо б) представляет собой независимый процесс с толстыми хвостами, описанный Кутнером [57].

Можно проверить обоснованность результатов путем случайного перемешивания данных, в результате чего порядок наблюдений станет полностью отличным от исходного ряда. Ввиду того, что наблюдения остаются теми же, их частотное распределение также останется неизменным. Далее необходимо вычислить показатель Херста этих перемешанных данных. Если ряд действительно является независимым, то показатель Херста не изменится, поскольку отсутствовал эффект долговременной памяти, то есть корреляции между наблюдениями. В этом случае перемешивание данных не оказывает влияния на качественные характеристики данных.

Если имел место эффект долговременной памяти, то порядок данных весьма важен. Перемешанные данные, разрушают структуру системы. Оценка при этом окажется значительно ниже и будет приближаться к , даже если частотное распределение наблюдений не изменится.

Сначала перемешаем случайный ряд, который имел значение . На рисунке 14 в двойных логарифмических координатах представлены перемешанный и неперемешанный ряды. Между ними фактически нет разницы. Перемешанный ряд дал оценку . Перемешивание на самом деле даже увеличило оценку ; это говорит о том, что эффект долговременной памяти отсутствовал.

Рисунок 14. Тест на перемешивание для R/S-анализ: случайные гауссовские числа. Для неперемешанных данных , для перемешанных

На рисунке 15 в двойных логарифмических координатах представлены неперемешанный ряд (полученный при ) и тот же ряд - перемешанный. Исходный ряд дал результативную оценку , перемешанный - . Такое падение величины говорит о том, что при перемешивании была разрушена структура процесса. Перемешанный ряд остался не нормально распределенным, но процесс перемешивания сделал данные независимыми. Это доказывает утверждение Мандельброта о том, что R/S-анализ работоспособен безотносительно к распределению временного ряда.

Рисунок 15. Тест на перемешивание для R/S-анализ: фрактальное броуновское движение. Для неперемешанных данных , для перемешанных

Рассмотренный выше показатель Херста, как будет показано в пятой главе, является одним из важнейших параметров многопараметрической модели, построенной исходя из гипотезы когерентных рынков. В данной модели будет предложено связать показатель Херста с показателем поведения толпы .

5. ГИПОТЕЗА КОГЕРЕНТНОГО РЫНКА

Теория хаоса пытается предсказать движение рыночных цен с точки зрения нелинейных детерминистических моделей. В противоположность ей гипотеза когерентного рынка (coherent market hypothesis, CMH) является нелинейной статистической моделью. Модель была разработана Тонисом Веге и описана в 1990 году в статье «The Coherent Market Hypothesis». В основе модели Веге использована теория социальной имитации, которая в свою очередь является развитием физической модели Изинга, описывающей когерентное молекулярное поведение в ферромагнетике (то есть в металле, обладающем высокой магнитной проницаемостью).

5.1 Модель Изинга

Как отмечает Шредер [43], большинство физических моделей настолько сложны, что приходится полагаться лишь на достаточно простые модели реальности. Одной из таких моделей является модель спиновых систем, названная в честь известного физика Эрнеста Изинга и ставшая в настоящее время основой для создания статистических моделей фазовых переходов в различных областях физики.

Рассмотрим модель в приложении к ферромагнетикам, представляющие собой удобные системы, в которых можно наблюдать фазовые переходы различных типов. В качестве примера ферромагнетика возьмем брусок железа. В модели Изинга спины (магнитные моменты) могут принимать только два выделенных направления - либо вверх (положительный спин), либо вниз (отрицательный спин). Уровень магнитного поля будет зависеть от двух параметров: связи соседних молекул (внутренняя кластеризация) и наличия внешнего поля.

Если железный брусок нагрет, случайные столкновения соседних молекул будут являться причиной хаотического молекулярного движения. Время от времени, большая часть молекул может быть направлена вверх или вниз, но в среднем, разница между количеством молекул направленных верх или вниз будет равна нулю, и как результат мы будем иметь нормальное вероятностное распределение.

Если температура железного бруска понижается ниже критической отметки, то взаимодействие между соседними молекулами усиливается и начинает превышать случайные термальные силы. В случае, если группа молекул начнет движение в определенном направлении, то соседние молекулы также последуют в этом направлении. Вскоре сформируются большие группы как положительно, так и отрицательно направленных молекул, которые на макроскопическом уровне станут причиной долговременных флуктуаций магнитного поля. Однако, если нет внешнего смещения, имеющего тенденцию выравнивать группы в том или ином направлении, среднее значение будет оставаться равным нулю.

Если, в это время, на брусок железа воздействует внешнее магнитное поле, то большинство групп молекул будут выстраиваться в одном направлении. Случайные термальные силы все еще будут являться причиной изменений в магнитном поле, но пока внешнее поле будет оставаться тем же самым, а температура не будет выше критического уровня, большинство молекул будут оставаться выстроенными по направлению внешней силы.

Таким образом, модель Изинга предлагает удобную модель, которую можно применять к системам, состояние которых определяется уровнем внутренней кластеризации и воздействием внешних сил.

5.2 Теория социальной имитации

Теория социальной имитации стала известной после появления работы Е. Каллан и Д. Шапиро, чья статья «A Theory of Social Imitation» вышла в свет в журнале Physics Today в 1974 году. Стоит отметить, что отправной точкой данной теории можно считать работу Вольфранга Вейдлиха. Главная идея Вейдлиха основывалась на предположении, что поведение индивидуумов в социальных группах (к которым можно отнести и рыб, плавающих в косяках, и полет птиц в стаях, и светлячков, мерцающих в унисон, и людей, подтвержденных тенденциям и настроениям моды) подобно молекулам в бруске железа. При некоторых условиях они ведут себя независимо друг от друга. В других случаях, мышление тех же самых индивидуумов поляризуется, то есть личности будут действовать как толпа, и индивидуальное рациональное мышление заменяется коллективным.

Как заметил еще в XIX веке Чарльз Маккей [58]: «Люди, как некто удачно выразился, мыслят стадом; вы узнаете, что стадом же они сходят с ума, а в сознание приходят медленно и поодиночке». Таким же образом, брусок железа, подверженный влиянию магнитного поля достаточно продолжительное время, станет сильно поляризованным, и, только после прекращения влияния внешних факторов, медленно вернется к неполяризованному состоянию.

Фактически Вейдлих расширил хорошо известную модель ферромагнетизма Изинга на поляризацию мнения в социальных группах.

5.3 Гипотеза когерентного рынка

В 1990 году Тонис Веге предложил гипотезу когерентного рынка. За основу Веге взял теорию социальной имитации для моделирования поляризации общественного мнения. Он предположил, что существует связь между рыночной поляризацией и доходностью ценных бумаг.

Отметим, что в применении модели Изинга к моделированию доходностей финансовых инструментов, следует учесть некоторые особенности фондового рынка. В отличие от бруска железа, фондовый рынок представляет собой открытую систему, что предполагает непрерывный поток денежных средств для сохранения возможности фазовых переходов от «беспорядка» к более организованному состоянию. По аналогии, можно привести в пример лазер, нуждающийся во внешней накачке для поддержания непрерывного потока электронов для излучения света. Если поток энергии в лазере недостаточен, он будет излучать лишь слабый, «случайный» свет.

Можно предположить, что промышленные группы на фондовом рынке являются аналогами молекул в бруске железа, и что доходность рынка ценных бумаг пропорциональна различию между числом инвестиционных групп, торгующих на повышение, и числом, торгующих на понижение. Рыночные доходности могут беспорядочно колебаться около нуля (как в перегретом бруске железа), либо, при особых условиях, они могут демонстрировать высокую степень поляризации, которая сопровождается большой разницей в доходности между инвесторами. В дальнейшем такие понятия как инвестор, трейдер, торговец будем считать синонимами.

Для переноса модели Изинга на рынки капитала предположим следующие допущения. Пусть n - число инвестиционных групп на финансовом рынке (число инвесторов). Мнение инвесторов, ожидающих рост котировок, можно обозначить, как «+» (будем называть его позитивным или бычьим), аналогично, мнение инвесторов, ожидающих падение котировок, обозначим как «-» (будем называть его отрицательным или медвежьим), при этом в любой момент времени инвестор может поменять свое мнение на противоположное. Обозначим вероятность изменения мнения с плюса на минус, а - вероятность изменения мнения с минуса на плюс. Необходимо выразить функцию распределения вероятностей .

Можно получить следующее кинетическое выражение [59]:

(8)

В этом уравнении суммируются все вероятностные переходы во мнениях инвесторов, произошедшие за короткий интервал времени , относительно некоторого положения (см. рис. 16).

Рисунок 16. Пример вероятностных переходов

Для описания преобладающей тенденции на рынке (позитивной или негативной) введем переменную . Эта переменная отражает величину рыночной поляризации мнений участников рынка:

Мы можем переписать распределение вероятностей, используя и :

Используя эти выражения, выражение (8) можно упростить:

Тогда

Определим - коэффициент дрейфа, - коэффициент диффузии:

(9)

(10)

В результате получим уравнение Фоккера-Планка для распределения вероятностей:

Это уравнения в частных производных решается интегрированием

(11)

где - это нормирующая константа.

Как было указано выше, Вейдлих по аналогии между поведением индивидуумов в социальных группах и поведением молекул в ферромагните сделал предположение о вероятностях переходов и . Он предположил, что индивидуумы подвергаются воздействию двух сил: силе внутреннего взаимодействия между самими индивидуумами и силе влияния внешних окружающих условий.

Сопоставляя мнения «+» или «-» с направлением спина, аналогично с моделью Изинга, вероятностные переходы экспоненциально зависят от влияния вышеописанных двух сил и равны:

где - мера способности к адаптации по отношению к соседям;

- параметр предпочтительного мнения ( показывает, что положительное мнение предпочитается отрицательному);

- коллективный параметр общественного мнения (в физике соответствует параметру , где - постоянная Больцмана, - температура);

- частота процессов «перескоков».

Используя выражения (9) и (10) можно получить:

(12)

(13)

По аналогии с моделью Изинга при подстановке численных значений (12) и (13) в (11) можно получить два типичных результата. Первый соответствует высокотемпературному пределу, и возникает из-за частых перемен мнения при низкой адаптации индивидуумов , таким образом, получается одноцентровое распределение мнений ( будет колебаться около нуля). Другая ситуация возникает, когда параметр социального климата уменьшается, или же константа связи между инвесторами увеличивается, возникает две группы мнений которые и описывает «поляризацию» рынка.

Распределение рыночных доходностей Веге сопоставил с распределением вероятностей поляризации и дал следующую интерпретацию управляющих параметров системы:

- фундаментальное смещение (результат влияния внешних экономических условий). Параметр варьируется от -0.02, что соответствует негативным окружающим условиям (то есть тем, влияние которых потенциально может уменьшать стоимость ценных бумаг, что может привести к медвежьему рынку), до значения +0.02, соответствующего позитивным окружающим условиям (соответственно, это такие условия, влияние которых потенциально может увеличить стоимость ценных бумаг, что может привести к бычьему рынку). Значения, лежащие около нуля, соответствуют нейтральной экономической ситуации.

- рыночные настроения или показатель степени согласованности инвесторов (в [67] - «показатель поведения толпы»). Параметр может принимать значения от 1,8 до 2,3. При этом соответствует полностью случайному временному ряду. Ситуацию, когда принимает значения от 2 и более, назовем «режимом толпы».

- число степеней свободы, или количество участников рынка. Будем называть участником рынка - группу инвесторов со сходными инвестиционными действиями и ожиданиями относительно дальнейшего направления рынка. Данный параметр Веге предполагает фиксированным и равным 186 (количество промышленных групп).

5.4 Влияние изменений управляющих параметров на вид функции плотности вероятности

Были написаны программы в пакете математической обработки данных Mathcad (см. приложение), позволяющие эффективно исследовать математическую модель, соответствующую CMH. Одна из программ рассчитывает и строит кривую функции плотности вероятности (11) при изменяющихся управляющих параметрах.

Фазы рынка. Изменение управляющих параметров меняет форму функции вероятности (11). Комбинация значений параметров системы дает основные рыночные состояния (фазы рынка):

1. Эффективный рынок, то есть рынок, в котором финансовые инструменты ведут себя как случайный временной ряд, и, следовательно, такой рынок не может быть прогнозируемым. В этом случае инвесторы действуют независимо друг от друга, и информация мгновенно отражается в ценах.

2. Переходные состояния рынка. Возникают из-за возрастания «группового сознания», то есть происходит некое смещение в настроениях инвесторов.

3. Хаотический рынок. Рынок, на котором финансовые инструменты обладают «долгосрочной памятью». Настроения инвесторов в данном случае характеризуются тем, что быстро распространяются в «групповом сознании», а фундаментальные условия нейтральны или еще не определенны.

4. Когерентный рынок, в котором обозначены фундаментальные тенденции, и, кроме того, как и в случае 3, присутствует «долговременная память». Это часто трендовые рынки с низким риском для получения прибыли.

На рисунке 17 проиллюстрирована зависимость рыночного состояния от преобладающего настроя инвесторов и фундаментальных экономических условий по аналогии с Бостонской матрицей, характеризующей тип предприятия. Ниже критического переходного порога (при ) на рынке преобладает состояние случайного блуждания и быстрой смены настроений на рынке. Выше переходного порога, в случае если фундаментальные данные позитивны, проявляется когерентный бычий рынок, если фундаментальные данные негативны, то можно увидеть когерентный медвежий рынок. Когда фундаментальные данные не обеспечивают чистого направления для инвесторов, получаем хаотический рынок.

Рисунок 17. Зависимость рыночного состояния от h и k

Ситуация случайного блуждания. Функция плотности вероятностей (11) может быть значительно упрощена, если поведение инвесторов не является групповым, то есть когда . Если предположить, что фундаментальные данные нейтральны (то есть ), то функция может быть выражена в следующей форме:

Таким образом, мы получаем плотность вероятности нормального закона распределения, отражающее состояние истинного случайного блуждания (см. рис. 18).

Доходности рыночного индекса могут быть рассмотрены как частица, попавшая в потенциальный колодец под действием случайных сил. Колодец будет иметь форму симметричной чаши с дном около нуля. Это отражает действие случайных сил на частицу, влияние которых быстро ослабевает, и она возвращается на дно. Теоретически, случайные блуждания на рынках капитала, в зависимости от фундаментальных данных, могут вызвать как незначительные стабильные прибыли, так и незначительные стабильные убытки. Как замечает Веге, исторически, тем не менее, случайное блуждание на рынках сопровождается, в силу транзакционных издержек, стабильными незначительными убытками и наиболее часто ассоциируется с медвежьими рынками.

Рисунок 18. Функция плотности вероятности доходностей рынка в ситуации случайного блуждания. Параметры: ; ;

Переход к режиму толпы. В случае небольшого возрастания до 2 (величина критического переходного порога) при неизменных фундаментальных условиях (), дисперсия в уравнении (11) становится очень большой, и нормальное распределение для плотности вероятности доходностей рынка (как и модель случайных блужданий) больше не применима. Функция плотности вероятности становится более широкой и плоской. Мы получаем ситуацию неустойчивого перехода.

Если на рынке со случайным блужданием движение частицы в потенциальном колодце резко затухает, что означает, что эффекты от случайных воздействий на частицу будут быстро дисконтированы, то при возрастании , частица начинает свободно колебаться от одного крайнего положения в другое внутри потенциального колодца. Это предполагает высокую неэффективность рынка, на котором можно ожидать большие и продолжительные перемещения в настроениях инвесторов. На рынке присутствует «долговременная память» (таким образом, информация не обесценена), имеются тренды, и они сохраняются, пока новая информация не изменит их.

На рисунке 19 изображена кривая вероятностного распределения, которая соответствуют ситуации нестабильного перехода от случайного блуждания к рынку, на котором присутствует режим толпы. Потенциальный колодец при переходе к режиму толпы будет иметь почти горизонтальное дно на широком диапазоне ожидаемых доходностей. В этот период нестабильности может случиться все что угодно.

Это случай, когда на рынке присутствуют нейтральные фундаментальные новости, в тот же момент незначительное смещение в характере фундаментальных новостей может привести к скосу кривой распределения в сторону этого смещения.

Рисунок 19. Функция плотности вероятности доходностей рынка при переходе к режиму толпы. Параметры: ; ;

Хаотические рынки. Когда показатель поведения толпы превышает величину критического уровня , а фундаментальные данные нейтральны либо очень малы (), модель Изинга будет демонстрировать двойное дно потенциального колодца и соответственно бимодальную функцию распределения вероятностей (любая позитивная или негативная информация может привести к радикальным переменам, это и отражает функция плотности вероятности образуя две вершины). Проявляется высокий уровень поляризации среди инвесторов, но при отсутствии сильного фундаментального смещения им трудно выявить четкое направление, в сторону которого могла бы двигаться толпа, будь то в медвежьем либо бычьем тренде.

За недостатком фундаментальной информации инвесторы отслеживают действия друг друга, поэтому любые слухи могут стать причиной паники, вероятна возможность внезапного смещения в направлении с бычьего в медвежий или наоборот. Вероятность сильного смещения в настроениях инвесторов увеличивается, когда преобладающее направление инвесторского настроя идет вразрез с направлением внешнего смещения в фундаментальных данных.

Как пример, можно привести период, предшествующий краху американского фондового рынка в 1987 году. В это время на рынке наблюдался режим толпы. Фундаментальные экономические условия были нейтрально-медвежьи () и объяснялись монетарной политикой, которую проводила Федеральная резервная система.

На протяжении последних 6 лет процентная ставка постепенно сокращалась с 14 до 5.5%, на этом уровне в 5.5% ставка оставалась первые 8 месяцев 1987 года. К этому моменту рынок поднялся более чем на 25% за последний год, и на рынке преобладал бычий настрой инвесторов. И вот 4 сентября 1987 г. появилась сильная негативная новость для финансовых рынков - ФРС повышает учетную ставку на 0.5% и ясно показывает намерение проводить в дальнейшем сдерживающую монетарную политику.

На рисунке 20 показано вероятностное распределение, относящееся к периоду, предшествовавшему кризису 1987 года.

Рисунок 20. Функция плотности вероятности доходностей рынка в условиях хаотического рынка. Параметры: ; ;

На рисунке 21 изображено движение индекса S&P500, соответствующее этому распределению:

Рисунок 21. Пример фазы «хаотического рынка» индекса S&P 500 1987г.

По функции плотности вероятности видно, что вероятность бычьего состояния рынка остается еще вполне возможной, и, более того, на рынке присутствует режим толпы, тем не менее, на режим толпы наложились медвежьи фундаментальные новости, а это может вызвать потенциально опасную ситуацию. Даже незначительные негативные импульсы могут направить частицу (рыночную доходность) через небольшой барьер в центре потенциального колодца в более вероятное состояние чистого медвежьего настроя и отрицательной доходности. Специфические новости, предшествовавшие краху, были менее важны как причина, нежели преобладающая комбинация настроя инвесторов и фундаментального смещения в данных.

Хаотический рынок может быть описан как квази-эффективный. Пока на рынке присутствует режим толпы, любое направление движения в котировках ценных бумаг может быть устойчивым, если поддерживается хотя бы слабыми новостями, «подогревающими» движение в этом направлении. Такая ситуация существовала первые 8 месяцев 1989 года, когда хорошие новости отражались в высоких рыночных ценах, а плохие, наоборот, в низких (см. рис. 22).

Рисунок 22. Пример фазы «хаотического рынка» индекса S&P500 1989г.

Необходимо быть осторожным, так как высокое стандартное отклонение, связанное с распределением вероятностей на рисунке 20, отражает высокую степень риска на хаотическом рынке.

Когерентный бычий рынок. Когда сильные позитивные фундаментальные данные () накладываются на режим толпы () - ситуация благоприятствует развитию когерентного бычьего рынка. Такой рынок может быть рассмотрен как хаотический рынок, на котором медвежья сторона потенциального колодца высока, и соответствующая ей пропорция вероятностного распределения уменьшается.

На рисунке 23 представлена функция плотности распределения когерентного бычьего рынка. Распределение имеет достаточно длинный хвост, уходящий далеко в отрицательную часть. Модель показывает, что, несмотря на бычьи условия, все же остается небольшая вероятность получения на рынке убытков. На таком рынке риск потерь низок, и общая волатильность падает. Данные условия как нельзя более подходят для совершения покупок ценных бумаг.

Рисунок 23. Функция плотности вероятности доходностей рынка при когерентном бычьем рынке. Параметры: ; ;

Типичный пример когерентного рынка можно наблюдать, когда возрастают свободные денежные накопления. Для поддержания бычьего когерентного рынка необходимо поступление свободных денежных средств (по аналогии - для лазера для поддержания достаточного количества высокоэнергетических электронов для излучения света, необходима внешняя накачка). Поэтому часто когерентные рынки можно наблюдать, тогда, когда величина денежных резервов очень высока.

Для примера, на российском фондовом рынке многие практикующие трейдеры обращают внимание на остатки денег коммерческих банков на корреспондентских счетах в Центральном банке. Фактор избыточной ликвидности является сигналом того, что часть этих денег может пойти на фондовый рынок и поддержит рост котировок.

Как отмечает Веге, большая часть долгосрочной рыночной прибыли получается благодаря когерентным рынкам. Когда когерентный рынок заканчивается и наступает состояние хаотического рыка или случайного блуждания, слишком поздно надеяться на получение дохода от инвестиций.

Когерентные медвежьи рынки. Когерентные медвежьи рынки появляются, когда на рынке присутствуют сильные негативные фундаментальные данные вкупе с поведением инвесторов в режиме толпы . По сути, это зеркальное отражение когерентного бычьего рынка. Когерентный медвежий рынок может быть рассмотрен как хаотический рынок, на котором бычья сторона потенциального колодца высока и соответствующая ей пропорция вероятностного распределения уменьшается. Стандартное отклонение такое же, как и у когерентного бычьего рынка, однако ожидаемый убыток сходен с аналогичной прибылью на бычьем рынке. Хорошим примером когерентного медвежьего рынка может быть крах 1929 года на американском фондовом рынке, который длился несколько лет.

Рисунок 24. Функция плотности вероятности доходностей рынка при когерентном медвежьем рынке. Параметры: ; ;

На рисунке 24 приведен пример подобного рынка. Функция плотности вероятности сильно скошена влево, но остается длинный положительный хвост, указывающий на то, что дни положительных доходностей рынка остаются возможными, даже если их вероятности очень малы. Положительные фундаментальные новости могут иметь меньший эффект на рынок, чем отрицательные той же величины. На таких рынках, совершая короткие продажи, трейдер может получить прибыль сравнимую с доходностью при инвестировании на бычьем рынке.

5.5 Подсчет параметров модели Веге-Изинга

Веге предполагал, что мы не сможем точно узнать значения параметров и (параметр он предлагал приравнять к 186 [62]), и даже узнать, положительны ли они, нейтральны или отрицательны. Тем не менее, удалось предложить метод, позволяющий достаточно точно определить значения управляющих параметров.

Предположим, что существует связь между показателем настроя толпы и показателем Херста . Эту связь можно выразить соотношением:

(14)

Действительно, в случае - мы получаем случайный рынок. Если возрастает и равно 2, то возрастает и показатель Херста до 0.7, что означает присутствие на рынке «режима толпы».

Таким образом, показатель настроения толпы вычисляется достаточно легко, так как существует несколько надежных способов расчета показателя Херста [1, 53, 60, 61]. Для расчета числа степеней свободы рынка и показателя фундаментального смещения использовались процентные приращения дневных значений индекса S&P 500 за период с ноября 2002 года по апрель 2010 года. Вся совокупность данных была разбита на 2-месячные интервалы, и далее, путем подгонки уравнения (11) для каждого интервала были найдены соответствующие значения параметров и .

Следует заметить, что если на рынке нейтральные фундаментальные данные (тем самым отсутствуют значимые инвестиционные идеи) и слабый настрой толпы, то количество степеней свободы рынка - максимально. На рынке много групп (их количество может достигать 500), каждая из которых проводит свою инвестиционную политику с разным временным горизонтом, и в среднем, влияния их на рынок нивелируется, рынок дрейфует в «боковом тренде». В периоды же когерентных рынков (то есть когда есть сильные позитивные или негативные данные вкупе с поведением инвесторов как толпы) число участников рынка сокращается и может уменьшиться даже до 5-20. Это можно объяснить их объединением в большие группы. В период сильных бычьих трендов, равно как и в период сильных медвежьих, ситуация инвесторам, как правило, понятна и вопрос «что делать?» - покупать или продавать не стоит, количество мнений уменьшается, тем самым уменьшается и количество групп игроков.

Гипотеза когерентного рынка дает удобную модель для изучения изменяющихся состояний рынка и, кроме того, позволяет более качественно разобраться в его структуре.

6. АНАЛИЗ ФРАКТАЛЬНЫХ СВОЙСТВ АМЕРИКАНСКОГО ФОНДОВОГО РЫНКА

6.1 Сравнение распределения прибыли на американском фондовом рынке на основании индекса S&P 500 и нормального закона распределения

Проведем исследование распределения прибыли американского фондового рынка, используя дневной индекс S&P 500 за период с января 1995 года по апрель 2010 года.

В приложении произведена подготовка данных для исследования, на основании которых построена гистограмма вероятностного распределения.

На рисунке 25 представлена полученная гистограмма распределения вероятности реализации () за исследуемый период и гистограмма распределения вероятности гауссовых случайных чисел ().

Рисунок 25. Распределение вероятности дневных прибылей по индексу S&P 500 с января 1995 года по апрель 2010 года: нормальное распределение и действительные прибыли

Из рисунка 25 видно, что присутствует высокий пик и толстые хвосты. Также значения прибыли встречаются при стандартном отклонении значительно большем, чем 3 на обоих хвостах.

Для анализа и сравнения закона распределения прибылей американского фондового рынка необходимо исследовать основные характеристики полученного закона распределения, а именно среднее значение, стандартное отклонение, асимметрию и эксцесс. Осуществленные расчеты приведены в таблице 2.

Таблица 2

Основные характеристики вероятностного распределения дневных прибылей по индексу S&P 500, с января 1995 года по апрель 2010 года

Период времени	Среднее значение	Стандартное отклонение	Ассиметрия	Эксцесс
1995 год	0.091	0.385	-0.073	1.132
1996 год	0.057	0.583	-0.616	1.814
1997 год	0.083	0.898	-0.681	6.659
1998 год	0.073	1.005	-0.624	4.844
1999 год	0.055	0.892	0.062	-0.114
2000 год	-0.034	1.098	0.001	1.440
2001 год	-0.044	1.065	0.021	1.502
2002 год	-0.083	1.282	0.428	0.699
2003 год	0.073	0.842	0.054	0.798
2004 год	0.027	0.548	-0.111	-0.116
2005 год	0.009	0.508	-0.016	-0.130
2006 год	0.040	0.495	0.103	1.203
2007 год	0.011	0.791	-0.497	1.502
2008 год	-0.151	2.026	-0.034	3.773
2009 год	0.065	1.347	-0.061	1.912
январь-апрель 2010 года	0.059	0.718	-1.053	1.700
Весь период: январь 1995 года - апрель 2010 года	0.021	0.905	-0.194	1.789

Из таблицы 2 видно, что на всех рассматриваемых интервалах времени, распределение дневных прибылей по индексу S&P 500 значительно отличается от нормального распределения. Распределение дневных прибылей характеризуется преимущественно отрицательной асимметрией и большой плотностью в окрестности среднего значения, а также в области хвостов (очень больших прибылей и убытков). Таким образом, можно предположить, что прибыли имеют фрактальное распределение (распределение Парето).

6.2 R/S-анализ американского фондового рынка

При анализе рынка будем использовать логарифмические прибыли, определенные первой разностью логарифмов значений индекса S&P 500 (). Для R/S-анализа логарифмические прибыли подходят больше, чем широко используемые процентные изменения значений индекса (размах, используемый в R/S-анализе, есть накопленное отклонение от среднего, а логарифмические прибыли складываются в накопленную прибыль, чего нельзя сказать о процентных изменениях).

Анализ будет проводиться по двум периодам:

1) Ряд значений индекса S&P 500, зафиксированных на протяжении 15 лет (с 1995 года по 2010 год), которые преобразованы в 3860 дневных логарифмических прибылей.

2) Ряд значений индекса S&P 500, зафиксированных с ноября 2002 года по апрель 2010 года, то есть период развития американского фондового рынка после кризиса доткомов, которые преобразованы в 1886 дневных логарифмических прибылей.

Оценивать показатель Херста для полного диапазона данных неправильно ввиду того, что ряд имеет конечную память и начинает следовать случайным блужданиям. Теоретически процесс с долговременной памятью предполагается берущим начало из бесконечно удаленного прошлого. Но в теории хаоса утверждается, что в любой нелинейной системе, в ее движении, всегда существует точка, где теряется память о начальных условиях. Эта точка «потери» аналогична концу естественного периода системы. Исходя из этого предполагается, что процессы с долговременной памятью в большинстве систем не бесконечны - они имеют предел [63]. Сколь долга эта память, зависит от структуры нелинейной динамической системы, которая порождает фрактальный временной ряд. По этой причине необходимо строить регрессию на конце каждого диапазона данных, и из анализа полученных оценок можно делать вывод о процессе с долговременной памятью.

R/S-анализ прибылей американского фондового рынка за период с 3 января 1995 года по 30 апреля 2010 года. Начнем с применения R/S-анализа к дневным данным индекса S&P 500 за 15-летний период. На рисунке 26 представлены величины , рассчитанные по регрессиям, включающим все предыдущие значения прибыли до расчетного момента.

Рисунок 26. R/S-анализ: оценка длины цикла дневных прибылей по индексу S&P 500 с января 1995 года по апрель 2010 года

Пик явно наблюдается при значении 601 торговый день или 30 календарных месяцев с . Это оценка показателя Херста для дневных прибылей по индексу S&P 500, которая обозначена на рисунке 26 первой вертикальной линией. После данного значения система монотонно убывает, стремясь к значению . Две последующие вертикальные линии (от (12 октября 2000 года) до (11 марта 2003 года)) показывают отчетливо выделяющийся временной интервал, где происходит смена тенденции поведения оценки показателя Херста - она начинает возрастать, и данная тенденция продолжается в течение средней длины цикла - 601 торгового дня - после чего система замедляет скорость роста. Данный интервал соответствует кризису доткомов 2000-2002 года.

На рисунке 27 показана кривая R/S в двойной логарифмической шкале.

Рисунок 27. R/S-анализ: дневные прибыли по индексу S&P 500 с января 1995 года по апрель 2010 года

Точечная прямая на рисунке 27 соответствуют . Процесс с долговременной памятью наблюдается приблизительно в продолжение 601 торгового дня или 30 календарных месяцев (значение по оси абсцисс приблизительно равно 2.78).

В таблице 3 представлены результаты регрессии с использованием , меньшего или равного 601 торговому дню, и по всей выборке.

Таблица 3

Описание регрессии по двум интервалам: внутри средней длины цикла и по всем значениям дневных прибылей за рассматриваемый период

Описание регрессии	Регрессия до торгового дня	Регрессия до торговых дней
Константа	-0.298	-0.768
Коэффициент при ()	0.635	0.806
R-квадрат	0.857	0.890
Стандартная ошибка	0.108	0.121

По регрессии внутри среднего цикла , а по всей выборке оценка . Средняя длина цикла, или период для дневных прибылей американского фондового рынка по индексу S&P 500 равняется 601 торговому дню или 30 календарным месяцам. Это именно средняя величина, поскольку система непериодична и фрактальна.

Были получены следующие результаты:

1) Американский фондовый рынок имеет среднюю длину цикла 30 календарных месяцев, то есть в течение данного срока система имеет связь с начальными данными - присутствует долгосрочная память. Потеря памяти системой происходит в среднем каждые 30 месяцев.

2) Изменение тенденции поведения оценки показателя на рисунке 26 на интервале, соответствующем кризису доткомов, может свидетельствовать о том, что на американском фондовом рынке произошли системные изменения, то есть изменились фундаментальные показатели: длина цикла и показатель Херста. Проверку данной гипотезы осуществим, проведя R/S-анализ ряда значений индекса S&P 500, зафиксированных с ноября 2002 года по апрель 2010 года - второй из рассматриваемых в данной работе периодов, соответствующий американскому фондовому рынку после кризиса доткомов 2000-2002 года.

R/S-анализ прибылей американского фондового рынка за период с 1 ноября 2002 года по 30 апреля 2010 года. Применим R/S-анализ к дневным данным индекса S&P 500 за период после кризиса доткомов 2000-2002 года. На рисунке 28 представлены величины , рассчитанные по регрессиям, включающим все предыдущие значения прибыли до расчетного момента.

Рисунок 28. R/S-анализ: оценка длины цикла дневных прибылей по индексу S&P 500 с ноября 2002 года по апрель 2010 года

Пик наблюдается при значении 20 календарных месяцев с . Это оценка показателя Херста для дневных прибылей по индексу S&P500, которая обозначена на рисунке 28 первой вертикальной линией. Между двумя другими вертикальными линиями - от (27 февраля 2007 года) до (9 февраля 2009 года) - заключен мировой финансовый кризис 2008-2009 года, который является последствием ипотечного кризиса США 2006-2007 года. На этом промежутке времени индекс начинает вести себя антиперсистентно, то есть если он демонстрирует рост в предыдущем локальном периоде, то в следующем периоде, с большой долей вероятности, начинается спад.

На рисунке 29 показана кривая R/S в двойной логарифмической шкале.

Рисунок 29. R/S-анализ: дневные прибыли по индексу S&P 500 с ноября 2002 года по апрель 2010 года

Прямые на рисунке 29 соответствуют и . Процесс с долговременной памятью наблюдается приблизительно в продолжение 20 календарных месяцев (значение по оси абсцисс приблизительно равно 2.60). После этой точки график меняет наклон и становится более пологим.

В таблице 4 представлены результаты регрессии с использованием , меньшего или равного 20 календарным месяцам, и по всей выборке.

Таблица 4

Описание регрессии по двум интервалам: внутри средней длины цикла и по всем значениям дневных прибылей за рассматриваемый период

Описание регрессии	Регрессия до торговых дней	Регрессия до торговых дней
Константа	-0.139	-0.089
Коэффициент при ()	0.604	0.566
R-квадрат	0.957	0.879
Стандартная ошибка	0.052	0.089

По регрессии внутри среднего цикла . По всей выборке оценка . Средняя длина цикла, или период для дневных прибылей американского фондового рынка по индексу S&P 500 после кризиса доткомов равняется 20 календарным месяцам или 400 торговым дням.

Были получены следующие результаты:

1) Для американского фондового рынка на интервале после кризиса доткомов 2000-2002 года была получена оценка показателя Херста равная 0.604, что несколько ниже оценки, полученной на интервале с 1995 года по 2010 год, равной 0.635. Необходимо отметить, что для второй оценки стандартная ошибка регрессии больше в два раза (0.108 против 0.052).

Таким образом, можно констатировать, что так как измеряет степень зазубренности временного ряда (чем меньше , тем больше шума в системе и тем более ряд подобен случайному), то он выступает в том числе и как показатель риска изменения цен. Можно сделать вывод, что оценка риска для американского фондового рынка не была сильно изменена кризисом.

2) После кризиса доткомов 2000-2002 года произошло уменьшение длины среднего цикла на американском фондовом рынке с 30 календарных месяцев за период с 1995 года по 2010 год до 20 календарных месяцев для интервала после кризиса.

Это свидетельствует о том, что игроки преимущественно пересмотрели свои инвестиционные горизонты в пользу более краткосрочных, так как ситуация на фондовом рынке после кризиса стала предсказуема на меньших диапазонах времени.

3) Показатель Херста устойчив для независимых периодов времени. Кризис американской экономики на него не повлиял - исследования на двух интервалах дали однородные величины (0.635 и 0.604).

4) Полученная оценка , отличная от 0.5, говорит о том, что американский фондовый рынок является фракталом, а не следует случайным блужданиям, и его прибыли имеют фрактальное распределение вероятности. Рынок подвержен смещенным случайным блужданиям с аномальной величиной . Тренд выражен не ярко, но заметен.

Так как значение оценки показателя Херста для прибылей американского фондового рынка принадлежит промежутку , то имеет место персистентный, или трендоустойчивый ряд. Если ряд возрастает (убывает) в предыдущий период, то вероятно, что он будет сохранять эту тенденцию какое-то время в будущем. Влияние настоящего на будущее может быть выражено корреляционным соотношением - . Фрактальная размерность индекса - , то есть ряд более гладкий (менее зазубренный), чем ряд, представляющий собой случайный процесс.

6.3 Тестирование системы торговли, основанной на распознавании фазы рынка

Основной вопрос, который стоит перед трейдером, можно озвучить так: «В каком состоянии находится рынок в данный момент»? Инструментарий CMH может помочь дать ответ на этот вопрос.

Ниже будет предложена простая система торговли, основанная на распознавании фазы рынка. Основная идея системы основана на избегании периодов, когда рынок ведет себя как случайный или хаотический, и попытке инвестировать только тогда, когда поведение рынка напоминает когерентное. Параметры рынка были подсчитаны для коротких, двухмесячных периодов времени, что накладывает некоторые условия на применение теории когерентных рынков. Так, на таких коротких периодах, показатель Херста (а значит и показатель поведения толпы) редко превосходит величину равную 0.7 (для соответственно 2), кроме того, само количество данных для подсчета (в среднем 40 торговых дней) не может давать действительно точную оценку этого показателя. Тем не менее, значение колеблющееся около 0.5 - явное свидетельство о том, что рынок в данном периоде подобен случайному. А значение близкое к 0.6 показывает, что на рынке присутствует неэффективность, то есть можно ожидать большие и продолжительные перемещения в настроениях инвесторов, а вкупе с положительными или отрицательными фундаментальными условиями и тренды (соответственно бычий или медвежий).

Введем следующие торговые правила:

Покупка, когда и ;

Продажа, если становится отрицательным или нейтральным и приближается к 0.5.

Значения и выбраны путем оптимизации стратегии.

Параметры модели вычислялись лишь для последовательных двухмесячных промежутков времени, поэтому реакцию предложенной системы можно считать запоздалой.

Результаты торговли приведены ниже в таблице 5.

Таблица 5

Результат торговли по стратегии избегания хаотичных и случайных фаз рынка

Дата	S&P500	№	H	h	N	Ошибка VEGE	Ошибка pnorm	Нормальный закон дает меньшую ошибку	Buy/Sell	Прибыль	Остаточная сумма квадратов
01.11.2002	900.96	0
31.12.2002	879.82	40	0.378	-0.0045	135	0.001	0.290				10 889
02.01.2003	909.03	41
28.02.2003	841.15	80	0.678	-0.0017	500	0.002	0.005				11 800
03.03.2003	834.81	81
30.04.2003	916.92	122	0.586	0.0017	163	0.002	0.002	да	B		9 790
01.05.2003	916.30	123
30.06.2003	974.50	164	0.390	0.0034	185	0.001	0.006				9 500
01.07.2003	982.32	165
29.08.2003	1 008.01	207	0.645	0.0020	500	0.058	0.062				4 435
02.09.2003	1 021.99	208
31.10.2003	1 050.71	251	0.504	0.0037	417	0.000	0.028				5 909
03.11.2003	1 059.02	252
31.12.2003	1 111.92	292	0.648	0.0005	500	0.071	0.066	да			4 720
02.01.2004	1 108.48	293
27.02.2004	1 144.94	331	0.516	0.0017	500	0.007	0.069				2 511
01.03.2004	1 155.97	332
30.04.2004	1 107.30	375	0.636	-0.0005	500	0.012	0.015				12 905
03.05.2004	1 117.49	376
30.06.2004	1 140.84	416	0.756	0.0007	320	0.237	0.058	да			5 463
01.07.2004	1 128.94	417
31.08.2004	1 104.24	459	0.545	0.0014	500	0.005	0.051				8 066
01.09.2004	1 105.91	460
29.10.2004	1 130.20	501	0.611	0.0020	500	0.029	0.055				4 833
01.11.2004	1 130.51	502
31.12.2004	1 211.92	544	0.695	0.0008	500	0.127	0.059	да			3 267
03.01.2005	1 202.08	545
28.02.2005	1 203.60	583	0.609	0.0013	500	0.045	0.077				4 483
01.03.2005	1 210.41	584
29.04.2005	1 156.85	626	0.428	0.0001	415	0.000	0.046		S	239.93	4 930
02.05.2005	1 162.16	627
30.06.2005	1 191.33	669	0.465	0.0014	500	0.004	0.080				4 148
01.07.2005	1 194.44	670
31.08.2005	1 220.33	712	0.816	0.0024	44	0.372	0.107	да	B		6 646
01.09.2005	1 221.59	713
31.10.2005	1 207.01	754	0.700	0.0001	500	0.084	0.027	да			5 939
01.11.2005	1 202.76	755
30.12.2005	1 248.29	796	0.589	0.0027	500	0.049	0.102				5 432
03.01.2006	1 268.80	797
28.02.2006	1 280.66	835	0.624	0.0016	500	0.047	0.066				4 462
01.03.2006	1 291.24	836
28.04.2006	1 310.61	877	0.448	0.0015	500	0.001	0.067				3 268
01.05.2006	1 305.19	878
30.06.2006	1 270.20	921	0.489	-0.0029	429	0.000	0.033		S	49.87	11 491
03.07.2006	1 280.19	922
31.08.2006	1 303.82	964	0.743	0.0004	463	0.201	0.439				7 058
01.09.2006	1 311.01	965
31.10.2006	1 377.94	1006	0.622	0.0034	500	0.120	0.158		B		1 683
01.11.2006	1 367.81	1007
29.12.2006	1 418.30	1047	0.554	0.0027	500	0.021	0.082				2 258
03.01.2007	1 416.60	1048
28.02.2007	1 406.82	1086	0.291	0.0011	500	0.001	0.072		S	28.88	7 081
01.03.2007	1 403.17	1087
30.04.2007	1 482.37	1128	0.633	0.0016	500	0.044	0.053		B		5 305
01.05.2007	1 486.30	1129
29.06.2007	1 503.35	1171	0.442	0.0036	441	0.000	0.048				7 625
02.07.2007	1 519.43	1172
31.08.2007	1 473.99	1215	0.564	0.0035	280	0.024	0.031				30 514
04.09.2007	1 489.42	1216
31.10.2007	1 549.38	1257	0.570	0.0004	500	0.003	0.030		S	67.01	22 350
01.11.2007	1 508.44	1258
31.12.2007	1 468.36	1298	0.647	-0.0011	244	0.010	0.022				28 814
02.01.2008	1 447.16	1299
29.02.2008	1 330.63	1339	0.716	-0.0001	500	0.026	0.013				32 886
03.03.2008	1 331.34	1340
30.04.2008	1 385.59	1381	0.521	-0.0018	247	0.004	0.007				16 177
01.05.2008	1 409.34	1382
30.06.2008	1 280.00	1423	0.534	0.0035	407	0.009	0.033				14 782
01.07.2008	1 284.91	1424
29.08.2008	1 282.83	1466	0.574	0.0018	219	0.010	0.015				11 756
02.09.2008	1 277.58	1467
31.10.2008	968.75	1510	0.534	-0.0200	10	0.023	0.125				117 280
03.11.2008	966.30	1511
31.12.2008	903.25	1551	0.600	0.0140	10	0.017	0.103		B		74 695
02.01.2009	931.80	1552
27.02.2009	735.09	1590	0.635	-0.0049	66	0.017	0.053				24 164
02.03.2009	700.82	1591
30.04.2009	872.81	1633	0.432	0.0150	50	0.007	0.035				24 857
01.05.2009	877.52	1634
30.06.2009	919.32	1675	0.531	0.0003	167	0.003	0.005		S	16.07	13 050
01.07.2009	923.33	1676
31.08.2009	1 020.62	1718	0.693	0.0012	500	0.062	0.020	да			15 610
01.09.2009	998.04	1719
30.10.2009	1 036.19	1761	0.622	0.0006	500	0.003	0.006				16 057
02.11.2009	1 042.88	1762
31.12.2009	1 115.10	1803	0.805	0.0029	72	0.251	0.049	да			6 969
04.01.2010	1 132.99	1804
26.02.2010	1 104.49	1841	0.583	0.0027	500	0.005	0.032				16 920
01.03.2010	1 115.71	1842
30.04.2010	1 186.69	1885	0.623	0.0036	500	0.097	0.126				4 618
	285.73									401.76

Пример работы модели Веге в сравнении с нормальным законом распределения можно увидеть на рисунке 30.

Рисунок 30. Распределение вероятности дневных прибылей по индексу S&P 500 в период со 2 сентября 2003 года по 31 октября 2003 года: действительные прибыли (), нормальное распределение () и модель Веге ().

Поведение анализируемого индекса S&P 500 и значения параметров модели Веге за выбранный двухмесячный период представлены на рисунке 31.

Рисунок 31. Динамика индекса S&P 500 и значения параметров модели Веге в период со 2 сентября 2003 года по 31 октября 2003 года.

В результате торговли за период с ноября 2002 по апрель 2010 года индекс S&P 500 вырос с 900.96 до 1186.69 (на 285.73 единиц, что может являться прибылью, полученной по стратегии «покупай и держи» за этот период). За этот же период торговля по системе с учетом фазы рынка за счет попытки избегания случайных и хаотичных рынков, то есть с меньшим риском, дала накопленную прибыль 401.76 единиц индекса, что на 40% выше (см. табл. 5).

Всего было совершено 5 сделок, все из них оказались прибыльными, скорей всего, это просто следствие малого количества сделок.

Для оценки риска был использован коэффициент колеблемости остатков ряда после выделения линейной регрессии, построенной по каждому двухмесячному интервалу. Для этого вычислялась остаточная сумма квадратов по следующей формуле:

, (15)

где - число дней в каждом периоде;

- цена закрытия индекса дня;

- цена закрытия индекса дня, построенное по уравнению регрессии.

Из таблицы 5 видно, что среднее значение остаточной суммы квадратов в период торговли 9 341, а среднее значение этого показателя в остальные периоды равно 20 694. Это показывает, что риски торговли по данной системе существенно ниже рисков пассивного управления стратегии длительного владения активом.

Теория когерентного рынка допускает, что в некоторые периоды времени рынок в большей или меньшей степени становится прогнозируемым. Удалось показать, что характеристики состояния рынка связаны с характеристикой «долговременной памяти» Херста, характеризующей настроение участников рынка; в отличие от физической модели Изинга, в которой предполагается постоянное число намагничивающихся элементов, показано, что число участников рынка связано с текущим состоянием рынка.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Начиная с середины ХХ века использование нелинейных математических методов находит все более широкое применение в экономике. Данный подход особенно востребован в сфере анализа динамики ценообразования фондовых рынков.

Фрактальная природа рынков капитала противоречит гипотезе эффективного рынка и всем количественным моделям, которые из нее выводятся. К ним относятся модель оценки капитальных активов (САРМ), арбитражная ценовая теория (APT), ценовая модель Блека-Шоулса и другие численные модели, которые подразумевают нормальное распределение и/или конечную дисперсию.

Эти модели терпят неудачу, так как они упрощают реальность, предполагая случайное поведение, игнорируют влияние времени на принятие решений. Этим предположением о случайности проблема упрощается - она может быть оптимизирована в целях получения единственного решения. Используя случайное блуждание, можно получить «оптимальный портфель», «истинную величину», «справедливую цену».

Фрактальный анализ предлагает для моделирования более сложную математику, но его результаты гораздо ближе к практическому опыту. Фрактальная структура рынков капитала порождает циклы, тренды и множество возможных «справедливых цен». Она указывает на зависимость от человеческих решений, и делает возможным их измерение в количественном аспекте.

С практической точки зрения исследование фрактальных свойств ценообразования активов позволяет более точно оценивать рыночные риски и получать рекомендации, необходимые для работы как частных, так и институциональных инвесторов.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка. - М.: Мир, 2000. - 333 с.

2. Кравчук В.К. Новый адаптивный метод следования за тенденцией и рыночными циклами // Валютный спекулянт, № 12, декабрь 2000, с. 50-55.

3. Закарян И. Интернет как инструмент для финансовых инвестиций. - Спб.: БХВ - Санкт-Петербург, 2000. - 256 с.

4. Лиховидов В.Н. Фундаментальный анализ мировых валютных рынков: методы прогнозирования и принятия решений. - Владивосток.: Forexclub, 1999. - 234 с.

5. Волков М.В. Структура и классификация рынка ценных бумаг. Операции с ценными бумагами в деятельности банков. Управление портфелем ценных бумаг // Финансы и кредит. - 2005. - № 10 (178) - с. 31-40.

6. Найман Э.Л. Трейдер-инвестор. - Киев.: ВИРА-Р, 2000. - 640 с.

7. Едронова В.Н. Учет и анализ финансовых активов: акции, облигации, векселя. - М.: Финансы и статистика, 1995. - 267 с.

8. Ковалев В.В. Финансовый анализ: Управление капиталом. Выбор инвестиций. Анализ отчетности. - М.: Финансы и статистика, 1995. - 432 с.

9. Меньшиков И.С. Финансовый анализ ценных бумаг: Курс лекций. - М.: Финансы и статистика, 1998. - 360 с.

10. Твардовский В.В. Секреты биржевой торговли: торговля акциями на фондовых биржах. - М.: Альпина Бизнес-Букс, 2004. - 368 с.

11. Хаертфельдер М. Фундаментальный и технический анализ рынка ценных бумаг. Спб.: Питер, 2005. - 352 с.

12. Швагер Дж. Технический анализ. Полный курс. - М.: Альпина Паблишер, 2001. - 768 с.

13. Нисон С. Японские свечи: графический анализ финансовых рынков. - М.: Издательство «Диаграмма», 1998. - 336 с.

14. Мерфи Дж. Технический анализ фьючерсных рынков: теория и практика. - М.: Сокол, 1996. - 592 с.

15. Найман Э.Л. Путь к финансовой свободе: профессиональный подход к трейдингу и инвестициям. - М.: Альпина Бизнес-Букс, 2004. - 480 с.

16. Bachelier L., Theory of Speculation. in Cootner P. edition, The Random Character of Stock Market Price. Cambridge: MIT Press, 1964. (Originally published in 1900).

17. Roberts H.V., Stock Market Patterns and Financial Analysis: Methodological Suggestions. in Cootner P. edition, The Random Character of Stock Market Price. Cambridge: MIT Press, 1964.

18. Kendall M.G., The Analysis of Economic Time Series. in Cootner P. edition, The Random Character of Stock Market Price. Cambridge: MIT Press, 1964.

19. Osborne M.F. M., Brownian Motion in the Stock Market. in Cootner P. edition, The Random Character of Stock Market Price. Cambridge: MIT Press, 1964.

20. Fama E.F., Portfolio Analysis in a Stable Paretian Market. Management Science 11, 1965.

21. Kuhn T.S. The Structure of Scientific Revolutions. Chicago: University of Chicago Press, 1962.

22. Лытнев О. Основы финансового менеджмента: курс лекций. http://www.cfin.ru/finanalysis/lytnev/4-3.shtml, 2000.

23. Fama E.F., Portfolio Analysis in a Stable Paretian Market. Management Science 11, 1965.

24. Sharpe W.F., Portfolio Theory and Capital Markrts. New York: McGraw-Hill, 1970.

25. Turner A. L. and Weigel E. J., An Analysis of Stock Market Volatility. Russell Research Commentaries, Frank Russell Company, Tacoma, WA, 1990.

26. Friedman B.M. and Laibson D.I., Economic Implications of Extraordinary Movements in Stock Prices. Brooking Papers on Economic Activity 2, 1989.

27. Sterge A.J., On the Distribution of Financial Futures Price Changes. Financial Analysts Journal, May/June 1989.

28. Shiller R.J., Market Volatility. Cambridge: MIT Press, 1989.

29. Engle R., Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the Variance of U. K. Inflation. Econometrica 50, 1982.

30. Детинич В. В помощь инвестору: гипотеза об эффективности рынка. http://www.parusinvestora.ru/carticles/cart2_7.shtm.

31. Peters E., Fractal Market Analysis. Applying Chaos Theory to Investment & Economics. J. Wiley & Sons, New York, 1994.

32. Беляков С.С. О возможности получать прогнозные значения из остаточной нерегулярной компоненты временных рядов с памятью. Сборник трудов IV Междунар. науч.-практ. конф. - Таганрог: Изд-во ТИУиЭ, 2004. - с. 21-27.

33. Беляков С.С. Использование агрегирования в методах нелинейной динамики для анализа и прогнозирования временных рядов котировок акций: автореферат. - Ставрополь, 2004. - 24 с.

34. Концевая Н.В. О методах определения «длины памяти» рынка и пути их использования для оптимизации торговых систем на валютном рынке. Материалы Междунар. науч.-практ. конф. - Воронеж: Изд-во ВГУ, 2006. - с. 22-29.

35. Тебуева Ф.Б. Сравнительный фрактальный анализ экономических временных рядов с долговременной памятью. Материалы VI Междунар. конф. - Тирасполь: Изд-во РИО ПГУ, 2005. - с. 105-109.

36. Занг В.Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории. М.: Мир, 1999. - 335 с.

37. Сергеева Л.Н. Нелинейная экономика: модели и методы. Монография. - Запорожье: Полиграф, 2003. - 218 с.

38. Кричевский М.Л. Интеллектуальные методы в менеджменте. - Спб.: Питер, 2005. - 304 с.

39. Малинецкий Г.Г. Современные проблемы нелинейной динамики. - М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 336 с.

40. Пригожин И. От существующего к возникающему: время и сложность в физических науках. - М.: Наука, 1985. - 327 с.

41. Кузнецов С.П. Динамический хаос: курс лекций. М.: Физматлит, 2001.

42. Шустер Г. Детерминированный хаос: введение. - М.: Мир, 1988. - 240 с.

43. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. - М.: Регулярная и хаотическая динамика, 2001. - 528 с.

44. Глейк Дж. Хаос: создание новой науки. - Спб.: Амфора, 2001. - 398 с.

45. Арнольд В.И. Теория катастроф. - М.: Наука, 1990. - 128 с.

46. Томпсон Дж.М.Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. М.: Мир, 1985. - 254 с.

47. Хакен Г. Синергетика. Иерархия неустойчивости в самоорганизующихся системах и устройствах. М.: Мир, 1985. - 423 с.

48. Федер Е. Фракталы. - М.: Мир,1991. - 254с.

49. Жиков В.В. Фракталы. // Современное естествознание: Энциклопедия: В 10 т. Т.1: Математика. Механика. М., 2000.

50. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. Издательство: Институт компьютерных исследований, 2002. - 656 с.

51. Марциновский И. Фракталы: от хаоса к порядку. http://www.comprice.ru/articles/detail.php?ID=40116.

52. Hurst H.E. et al. Long-Term Storage: An Experemental Study. - London, Constable, 1965.

53. Перепелица В.А. Математические модели и методы оценки рисков экономических, социальных и аграрных процессов: монография. - Ростов н/Д: Из-во Ростовского университета, 2002. - 208 с.

54. Pancham S., Evidence of the Multifractal Market Hypothesis Using Wavelet Transforms. Florida International University, 1994.

55. Mandelbrot B., Statistical Methodology for Non-Periodic Cycles:From the Covariance to R/S Analysis. Annals of Economic Social Measurement 1, 1972.

56. Sheinkman J. A., LeBaron B., Nonlinear Dynamics and Stock Returns. Journal of Business 62, 1989.

57. Cootner P., Comments on the Variation of Certain Speculative Prices.Cambridge: MIT Press, 1964.

58. Маккей Ч. Наиболее распространенные заблуждения и безумства толпы. - М.: Альпина Паблишер, 2004. - 844 с.

59. Хакен Г. Синергетика. - М.: Мир, 1980. - 403 с.

60. Петерс Э. Фрактальный анализ финансовых рынков. Применение теории хаоса в инвестициях и экономике. - М.: Интернет-трейдинг, 2004. - 304 с.

61. Яновский Л.П. Принципы, методология и научное обоснование прогнозов урожая по технологии «ЗОНТ»: монография. - Воронеж: Изд-во ВГАУ, 2000. - 376 с.

62. Vaga T. The Coherent Market Hypothesis / T. Vaga // Financial Analysts Journal. - December/January, 1991

63. Вильямс Б. Торговый хаос. - М.: ИК Аналитика, 2000. - 328 c.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Подпрограмма HERST

Подпрограмма VEGE

Построение гистограммы по всей выборке

RS-анализ по всей выборке

Выборка от n1 до n2

RS-анализ

Оптимизация параметров h, N