Уравнения линейной регрессии

Федеральное агентство по образованию

Министерства образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Филиал Уральского государственного экономического университета

г.Березники

Кафедра 'Математики и естественнонаучных дисциплин'

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

специальность: 080103.65 'Национальная экономика'

Выполнил (а)

Студент (ка) гр. ЭКФС - 071 Д.А.Вахрушева

Проверил

Профессор, д.т.н. Б.Н.Щеткин

Березники

2010 г

Задание 1.

1. В соответствии с МНК найти уравнение линейной регрессии

2. Вычислить точечные оценки для математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения показателей x и y.

3. Найти парный коэффициент линейной корреляции и с доверительной вероятностью p=0,95 проверить его значимость

4. Сделать точечный и интервальный прогноз для случая расходов на рекламу, равных 5 млн.руб.

5. Построить график линии регрессии с нанесением на него опытных данных.

Для удобства вычислений параметров системы уравнений составим табл.1.

Таблица 1

1. Пример расчета среднего значения:

Построение уравнения регрессии сводятся к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессии, линейных по параметрам, используют метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от теоретических y_x минимальна т.е

Для линейных уравнений, решается следующая система уравнений:

Исходя из таблицы 1, система уравнений с численными значениями параметров имеет вид:

Решим систему уравнения по правилу Крамера:

Определим коэффициенты регрессии a и b:

Также можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают системы:

Уравнение регрессии имеет следующий вид:

y_i = 32,18+2,55x

2. Вычисление среднеквадратического отклонения:

3.Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

Или

Значение коэффициентов парной корреляции лежит в интервале от -1 до +1. его положительное значение свидетельствует о прямой связи. Связь считается достаточно сильной, т.к. коэффициент корреляции по абсолютной величине превышает 0,7.

Рассчитаем коэффициент детерминации. Он показывает долю вариации результативного признака, находящего под воздействием изучаемых факторов.

Или

Подставляя в уравнение регрессии фактические значения х, определим теоретические (расчетные) значения y_i. Найдем величину средней ошибки аппроксимации (расчеты представлены в таблице 1), которая показывает среднее отклонение расчетных значений от фактических. Допустимый предел ее значений 8-10%.

Рассчитаем F-критерий Фишера, применяемый для оценки качества уравнения регрессии. Выполняется сравнение Fфакт и критического (табличного) Fтабл значений F-критерия Фишера.

Если табличное значение меньше расчетного, т.е. признается статистическая значимость и надежность характеристик, уравнение регрессии следует признать адекватным.

Рассчитаем стандартную ошибку:

Рассчитаем t-критерий Стьюдента, применяемый для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции.

Проверка статистической значимости коэффициентов:

Коэффициент корреляции существенно отличен от нуля - это значит, что значения коэффициентов сформировались под влиянием систематически действующего фактора х. Зависимость является значимой и достоверной.

Определим случайные ошибки:

тогда

Рассчитаем доверительный интервал для a и b. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

Доверительные интервалы:

4. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение фактора составит , тогда прогнозное значение результата будет

Ошибка прогноза составит:

Предельная ошибка прогноза:

Доверительный интервал прогноза:

5. Построим график линии регрессии с нанесением на него опытных данных

Рис. 1. График линии регрессии

Задание №2

Имеются данные о доли расходов на товары длительного пользования у_i от среднемесячного дохода семьи x_i. Предполагается, что эта зависимость носит нелинейный характер . Необходимо:

1. Найти уравнение нелинейной гиперболической регрессии .

2. Найти парный коэффициент корреляции и с доверительной вероятностью проверить его значимость.

Таблица 2

1. Уравнение равносторонней гиперболы имеет вид:

произведем линеаризацию модели путем замены X=1/x. В результате получим линейное уравнение . Рассчитаем его параметры по данным таблицы 2. Полученные результаты заносим в таблицу.

Применяя МНК к уравнению , получим систему нормальных уравнений:

Исходя из таблицы 1, система уравнений с численными значениями параметров имеет вид:

Решим систему уравнения по правилу Крамера:

Определим коэффициенты регрессии a и b:

Уравнение регрессии имеет следующий вид:

2.Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

Связь между показателем y и фактором x очень тесная.

Проверим значимость индекса корреляции с помощью F-критерия Фишера. Наблюдаемое значение статистики определяется по формуле:

По таблице критических точек F-распределения Фишера-Снедекора находим табличное значение F_табл.

F > F_табл = 5,32 для ?=0,05, k₁=m=1, k₂=n-m-1=8

51,22 > 5,32

Индекс корреляции значим, т.к. F > F_табл.

Задание №3

Исследуется зависимость месячного расхода семьи на продукты питания z_i. , тыс.р. от месячного дохода на одного члена семьи x_i тыс.р. и от размера семью y_i , чел. Необходимо:

1. В соответствии с методом наименьших квадратов найти уравнение линейной регрессии .

2. Найти парные коэффициенты корреляции .

3. С доверительной вероятностью р=0,95 проверить коэффициенты корреляции на значимость.

4. Вычислить индекс множественной корреляции и проверить с доверительной вероятностью его статистическую значимость.

1. Согласно МНК параметры регрессии уравнения находятся по формуле

, где

матрица значений объясняющих переменных;

- матрица столбец значений зависимой переменной;

- матрица-столбец параметров линейного уравнения регрессии

В нашем случае

Матрица X^TX представляет собой матрицу сумм первых степеней, квадратов и произведений n наблюдений объясняющих переменных:

Таблица 3

Обозначим через B=X^TX. Тогда матрица B^-1 определяется по формуле

,

где - определитель матрицы B, - матрица составленная из алгебраических дополнений к элементам матрицы B. - транспонированная матрица к матрице .

Получаем:

= 15•(187•165-156²)-51•(51•165-45•156)+45•(51•156-45•187)=5985

Таким образом, матрица имеет вид:

а матрица примет вид:

Для матрицы B^-1 получаем:

отсюда матрица

Окончательно для матрицы А получаем:

Следовательно:

c=0,81

a=0,41

b=0,923

Уравнение множественной регрессии имеет вид:

2. Рассчитаем парные коэффициенты корреляции

- 'исправленные' среднеквадратические отклонения величин x,y и z

Таблица 4

По данным таблицы 4 находим:

Матрица парных коэффициентов корреляции имеет вид:

3. Проверим коэффициенты корреляции на значимость с доверительной вероятностью p=0,95, т.е. на уровне значимость ?=1-p=0,05.

Определим случайные ошибки коэффициентов корреляции:

Определяем расчетные значения t-критерия Стьюдента:

По таблице распределения Стьюдента определяем критическое значение t-статистики при ?=1-p=0,05 и числе степеней свободы n-2=15-2=13: t_кр=2,16.

Сравнивая расчетные значения t-критерия с критическим значением, делаем вывод, что значимым является только коэффициент парной корреляции r_yz, т.к. для него

4. Вычислим индекс множественной корреляции R через стандартизированные ?-коэффициенты множественной регрессии и парные коэффициенты корреляции по формулам:

Индекс множественной корреляции:

Задание 4

Дана выборка курса биржевой стоимости акции некоторого предприятия за 12 месяцев.

1 Найти коэффициенты автокорреляции со смещением на 1,2,3 и 4 месяца.

2. Проверить найденные коэффициенты автокорреляции на значимость с доверительной вероятностью .

3. Построить коррелограмму.

4. Построить аддитивную модель временного ряда.

Коэффициенты автокорреляции со смещением (лагом) на k периодов находятся по формуле:

1.1. Рассчитаем коэффициент автокорреляции со смещением на 1 месяц. Для этого составим расчетную таблицу 5

Таблица 5

1.2. Рассчитаем коэффициент автокорреляции со смещение на два месяца. Для этого составим таблицу 6

Таблица 6

1.3. Рассчитаем коэффициент автокорреляции со смещением на 3 месяца. Составим таблицу 7

Таблица 7

=1.4. Рассчитаем коэффициент автокорреляции со смещением на 4 месяца. Составим таблицу 8.

Таблица 8

Проверим значимость всех коэффициентов автокорреляции. Значимость коэффициентов автокорреляции принято проверять с помощью двух критериев: критерия стандартной ошибки и Q-критерия Бокса-Пирса.

Построим доверительный интервал коэффициента автокорреляции по формуле:

, где n - число пар наблюдений временного ряда

для r₁ (объем выборки составляет: n-1=12-1=11)

для r₂ (объем выборки составляет: n-2=12-2=10)

для r₃ (объем выборки составляет: n-3=12-3=9)

для r₄ (объем выборки составляет: n-4=12-4=8)

Рассчитанные значения коэффициентов автокорреляции:

r₁=0,93

r₂=0,90

r₃=0,995

r₄=0,89

не попадают в рассчитанные доверительные интервалы. Тогда делаем вывод, что данные наблюдения показывают наличие автокорреляции 1,2,3,4 порядков.

Проверим значимость всей группы коэффициентов автокорреляции с помощью Q-критерия Бокса-Пирса.

Для уровня значимости ?=0,05 и числа степеней свободы k=4 находим по таблице критических точек распределения ?², ?²_кр=(?=0,05;k=4)=9,5

Так как Q_н> ?²_кр, то в целом, вся группа коэффициентов для лагов, не превосходящих m=4, считается значимой.

3. Построим коррелограмму для исходного временного ряда.

Рис. 2. График автокорреляционной функции r(k)

По коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной или близкой к линейной тенденции.

Рис. 3. График наблюдаемых значений исходного временного ряда

На рисунке 3 по графику наблюдаемых значений временного ряда наглядно видно наличие возрастающей тенденции. Поэтому во временном ряду возможно существование линейного тренда.

Высокие значения коэффициентов автокорреляции 1,2,3 порядков, а также значимость всей группы коэффициентов автокорреляции, свидетельствуют, о том, что ряд содержит линейную тенденцию. Высокое значение коэффициента автокорреляции 3 порядка свидетельствуют о том, что ряд содержит циклические (сезонные) колебания с периодичностью в 3 месяца.

Поскольку амплитуда колебаний приблизительно постоянна, выбираем аддитивную модель временного ряда.

Рассчитаем компоненты выбранной модели:

1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней

2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и уровнями скользящей средней. Используем эти значения для оценки сезонной компоненты S (табл. 10). Для этого найдем средние за каждый месяц по всем кварталам оценки сезонной компоненты S₁.

Таблица 9

Таблица 10

Для данной модели получаем 1,62333-0,72333-1,18667=-0,28667

Корректирующий коэффициент определится по формуле

?== -0,28667/3= -0,09556

Скорректированные значения сезонной компоненты определяются как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом ?:

? , i=1,2,3.

Проверяем условие равенства нулю суммы значений сезонной компоненты S₁+S₂+S₃=0

1,71889-0,62777-1,09112=0

Окончательно для сезонной компоненты получены следующие значения:

за 1 месяц S₁=1,71889;

за 2 месяц S₂=-0,62777;

за 3 месяц S₃=1,09112;

Полученные данные заносим в таблицу 11 для соответствующих месяцев года.

3. Элиминируем влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного ряда:

T+E=Y-S

Таблица 11

4. Определим трендовую компоненту T данной модели. Проведем аналитическое выравнивание ряда (T+E) (гр.4 табл.11) с помощью линейного тренда.

Для удобства обозначим ряд (T+E) как W:

W=T+E

Линейная модель тенденции временного ряда W имеет вид

Согласно МНК параметры модели линейного тренда определяются из системы нормальных уравнений:

Вычислим в таблице 12 необходимые данные:

Таблица 12

Система нормальных уравнений имеет вид:

Решим систему уравнения по правилу Крамера:

Определим коэффициенты регрессии a и b:

Линейная модель тенденции временного ряда имеет вид:

Подставив в это уравнение значения t=1,2,3,…,12, получим выровненные для каждого момента времени (табл.12) или в старых обозначениях, уровни (T+E) (гр.5 табл.11).

5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавляем к уровням T значения сезонной компоненты для соответствующих месяцев (гр.6 табл.11)

6. Расчет ошибки производится по формуле

Значения абсолютных ошибок приведены в гр.7 табл.11.

Для выбора лучшей модели можно использовать сумму квадратов абсолютных ошибок, которая в нашем случае равна 1,768 (гр.8 табл.11).

Средний уровень исходного временного ряда подсчитывается по гр.2 табл.11:

Рассчитаем отклонения уровней исходного ряда от его среднего для каждого месяца (гр.9 табл.11).

Рассчитаем сумму квадратов отклонений уровней ряда от его среднего уровня (гр.10 табл.11), которая равна 428,389.

По аналогии с моделью регрессии для оценки качества построенной модели составляем величину

1-(1,768486/428,3892)=0,9959 или 99,59%

Следовательно, можно утверждать, что аддитивная модель объясняется 99,59% общей вариации уровней временного ряда стоимости акции за последние 12 месяцев.