Регрессионный и корреляционный анализ

/

АО 'Финансовая академия'

ДОКЛАД

Тема: Регрессионный и корреляционный анализ

Выполнила: Садуова Э.Е.,

Фмп-12

Проверила: Искакова З.Д.,

д.э.н., профессор

Астана 2011

План

1. Теоретическое введение

2. Методические рекомендации

3. Основные виды регрессий

1. Теоретическое введение

Регрессионный и корреляционный анализ позволяет установить и оценить зависимость изучаемой случайной величины Y от одной или нескольких других величин X, и делать прогнозы значений Y. Параметр Y, значение которого нужно предсказывать, является зависимой переменной. Параметр X, значения которого нам известны заранее и который влияет на значения Y, называется независимой переменной. Например, X - количество внесенных удобрений, Y - снимаемый урожай; X - величина затрат компании на рекламу своего товара, Y - объем продаж этого товара и т.д.

Корреляционная зависимость Y от X - это функциональная зависимость

где - среднее арифметическое (условное среднее) всех возможных значений параметра Y, которые соответствуют значению . Уравнение (1.1) называется уравнением регрессии Y на X, функция - регрессией Y на X, а ее график - линией регрессии Y на X.

Основная задача регрессионного анализа - установление формы корреляционной связи, т.е. вида функции регрессии (линейная, квадратичная, показательная и т.д.).

Метод наименьших квадратов позволяет определить коэффициенты уравнения регрессии таким образом, чтобы точки, построенные по исходным данным , лежали как можно ближе к точкам линии регрессии (1.1). Формально это записывается как минимизация суммы квадратов отклонений (ошибок) функции регрессии и исходных точек

,

регрессионный корреляционный детерминация экспонента

где - значение, вычисленное по уравнению регрессии; - отклонение (ошибка, остаток) (рис.9.1); n - количество пар исходных данных.

Рис.1.1. Понятие отклонения для случая линейной регрессии

В регрессионном анализе предполагается, что математическое ожидание случайной величины равно нулю и ее дисперсия одинакова для всех наблюдаемых значений Y. Отсюда следует, что рассеяние данных возле линии регрессии должно быть одинаково при всех значениях параметра X. В случае, показанном на рис.1.2 данные распределяются вдоль линии регрессии неравномерно, поэтому метод наименьших квадратов в этом случае неприменим.

Рис.1.2. Неравномерное распределение исходных точек вдоль линии регрессии

Основная задача корреляционного анализа - оценка тесноты (силы) корреляционной связи. Теснота корреляционной зависимости Y от X оценивается по величине рассеяния значений параметра Y вокруг условного среднего . Большое рассеяние говорит о слабой зависимости Y от X, либо об ее отсутствии и, наоборот, малое рассеяние указывает на наличие достаточно сильной зависимости.

Коэффициент детерминации показывает, на сколько процентов () найденная функция регрессии описывает связь между исходными значениями параметров X и Y

где - объясненная вариация; - общая вариация (рис.1.3).

Рис.1.3. Графическая интерпретация коэффициента детерминации для случая линейной регрессии

Соответственно, величина показывает, сколько процентов вариации параметра Y обусловлены факторами, не включенными в регрессионную модель. При высоком () значении коэффициента детерминации можно делать прогноз для конкретного значения .

2. Методические рекомендации

Для проведения регрессионного анализа и прогнозирования необходимо:

1) построить график исходных данных и попытаться зрительно, приближенно определить характер зависимости;

2) выбрать вид функции регрессии, которая может описывать связь исходных данных;

3) определить численные коэффициенты функции регрессии;

4) оценить силу найденной регрессионной зависимости на основе коэффициента детерминации ;

5) сделать прогноз (при ) или сделать вывод о невозможности прогнозирования с помощью найденной регрессионной зависимости. При этом не рекомендуется использовать модель регрессии для тех значений независимого параметра X, которые не принадлежат интервалу, заданному в исходных данных.

3. Основные виды регрессий

Линейная регрессия

Коэффициенты линейной регрессии вычисляются по следующим формулам (все суммы берутся по n парам исходных данных)

Для удобства вычислений используют вспомогательную таблицу (табл.1.1), в которой рассчитываются необходимые суммы.

Таблица 1.1 Вспомогательная таблица для линейной функции

Нелинейная регрессия

Рассмотрим наиболее простые случаи нелинейной регрессии: гиперболу, экспоненту и параболу. При нахождении коэффициентов гиперболы и экспоненты используют прием приведения нелинейной регрессионной зависимости к линейному виду. Это позволяет использовать для вычисления коэффициентов функций регрессии формулы (9.3).

Гипербола

При нахождении гиперболы вводят новую переменную , тогда уравнение гиперболы принимает линейный вид . После этого используют формулы (1.3) для нахождений линейной функции, но вместо значений используются значения

; .

При проведении вычислений во вспомогательную таблицу вносятся соответствующие колонки.

Экспонента

Для приведения к линейному виду экспоненты проведем логарифмирование

;

;

.

Введем переменные и , тогда , откуда следует, что можно применять формулы (9.3), в которых вместо значений надо использовать

; .

При этом мы получим численные значения коэффициентов и , от которых надо перейти к и , используемых в модели экспоненты. Исходя из введенных обозначений и определения логарифма, получаем

, .

Парабола

Для нахождения коэффициентов параболы необходимо решить линейную систему из трех уравнений

Оценка силы нелинейной регрессионной связи

Сила регрессионной связи для гиперболы и параболы определяется непосредственно по формуле (1.2). При вычислении коэффициента детерминации экспоненты все значения параметра Y (исходные, регрессионные, среднее) необходимо заменить на их логарифмы, например, - на и т.д.

Список используемой литературы

1. Мхитарян В.С., Архипова М.Ю., Сиротин В.П., Эконометрика. Учебно-методический комплекс, Москва, 2008.

2. Михайлина Т.М., Федоров М.Е., Корреляционно-регрессинный анализ. Учебное-методическое пособие, Краснодар, 2002.