Распределение вероятностей экономических факторов

/

Задача1

Предприятие состоит из трех независимо работающих подразделений. Предполагается, что вероятность их рентабельной работы в течение времени t соответственно равна 0,6; 0,7 и 0,8. Найти вероятность того, что в течение времени t рентабельными будут: а) все подразделения, б) два подразделения.

Решение.

Пусть событие Аi - “i -ое подразделение рентабельно в течении времени t”

Тогда

а) Найдем вероятность того, что в течении времени t будут рентабельны все подразделения (событие А).

б) Найдем вероятность того, что в течении времени t будут рентабельны два подразделения (событие В).

Так как все три события являются независимыми, то искомая вероятность равна

Ответ: а) 0,336, б) 0,452

Задача 2

Задана плотность распределения вероятностей f( x) непрерывной случайной величины Х. Требуется:

1) определить коэффициент А

2) найти функцию распределения F(x)

3) схематично построить графики F(x) и f(x)

4) найти математическое ожидание и дисперсию Х

5) найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (2 , 3)

Решение.

1) Определим коэффициент А из условия:

т е. .

Плотность распределения примет вид

2) Найдем функцию распределения :

1) если , то ;

2) если , то ;

3) если , то

Следовательно

4) Построим графики функций F(x) и f(x)

4) Вычислим ,

Дисперсию вычислим по формуле

D(X) = M(X 2) - M 2(X), где

5) Найдем вероятность того, что Х примет значение из интервала (2;3)

Ответ: 1) 2) 4)

5)

Задача 3

Заданы математическое ожидание а = 3 и среднеквадратическое отклонение ? = 2 нормально распределенной случайной величины. Требуется

1) написать плотность распределения вероятностей f(x) и схематично построить ее график;

2) найти вероятность того, что Х примет значение из интервала (2; 8)

Решение.

1) Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами а и ?, если ее плотность вероятности имеет вид

Построим график f(x)

2) Вероятность того, что Х примет значение из интервала (2;8) найдем по формуле

Ответ: ,

Задача 4

Производится некоторый опыт, в котором случайное событие А может появиться с вероятностью р. Опыт повторяют в неизменных условиях n раз.

n = 900; p = 0,5. Определить вероятность того, что в 900 опытах событие А произойдёт в большинстве опытов.

Решение.

Необходимо найти вероятность того, что событие произойдёт не менее, чем в 451 опыте из 900. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

, где

,

Подставляя в формулу данные задачи, получаем:

Ответ: 0,4721

Задача 5

В результате 10 независимых измерений некоторой случайной величины Х, выполненных с одинаковой точностью, получены опытные данные, приведенные в таблице. Предполагая, что результаты измерений подчинены нормальному закону распределения вероятностей, оценить истинное значение Х при помощи доверительного интервала, покрывающего истинное значение величины Х с доверительной вероятностью 0,95.

Решение.

Поскольку в задаче имеется выборка малого объема, применим распределение Стьюдента.

Необходимо построить доверительный интервал для оценки математического ожидания а при неизвестном значении среднеквадратического отклонения из нормально распределенной генеральной совокупности.

Требуется отыскать такое число , для которого верно равенство

В этой формуле

- выборочное среднее

S - стандартное (среднеквадратическое) отклонение

a - математическое ожидание

n - объем выборки (нашем случае 10)

- величина, в сумме с доверительной вероятностью дающая 1 (в данном случае 0,05)

Величину (в нашем случае) находим по таблицам распределения Стьюдента. Она равна 2,262.

Находим выборочное среднее как среднее арифметическое

Рассчитаем среднеквадратическое отклонение через исправленную выборочную дисперсию:

Тогда

Получаем:

вероятность распределение среднеквадратический отклонение

Истинное значение случайной величины лежит в доверительном интервале (5,79; 6,87) с доверительной вероятностью 0,95.

Ответ: (5,79; 6,87)

Задача 6

Отдел технического контроля проверил n = 1000 партий однотипных изделий и установил, что число Х нестандартных деталей в одной партии имеет эмпирическое распределение, приведенное в таблице, в одной строке которой указано количество xi нестандартных изделий в одной партии, а в другой строке - количество ni партий, содержащих xi нестандартных изделий.

Требуется при уровне значимости ? = 0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х (число нестандартных изделий в одной партии) распределена по закону Пуассона.

Решение.

Находим выборочную среднюю

В качестве оценки параметра ? распределения Пуассона

выберем полученное значение выборочного среднего ? = 0,9 .

Расчет теоретических частот ведем по формуле

Расчетная таблица значений:

Получили:

Число степеней свободы k = s - r - 1, т.к. проверяется гипотеза о распределении Пуассона (т.е. проверяется один параметр), то r = 1, k = s - 2 = 4 (s = 6)

По таблице получаем:

Та как , то гипотеза о том, что случайная величина распределена по закону Пуассона может быть принята.

Ответ: гипотеза может быть принята.