Построение эконометрических моделей

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Челябинский государственный университет»

(ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»)

ФАКУЛЬТЕТ ЗАОЧНОГО И ДИСТАНЦИОННОГО ОБУЧЕНИЯ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Вариант № 3

Челябинск

Задача 1

Имеются данные о сменной добыче угля (тонн) на одного рабочего и мощности пласта (в метрах).

Таблица 1.1. Исходные данные.

ЗАДАНИЕ

Исследовать зависимость сменной добычи угля на одного рабочего от мощности пласта путем построения уравнения парной линейной регрессии

.

Для исходных данных, приведенных в задаче, требуется:

1. Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о форме связи.

2. Найти оценки параметров модели парной линейной регрессии . Записать полученное уравнение регрессии.

3. Проверить значимость оценок коэффициентов с надежностью 0,95 с помощью статистики Стьюдента и сделать выводы о значимости этих оценок.

4. Определить интервальные оценки коэффициентов с надежностью 0,95.

5. Проверить при уровне значимости 0,05 значимость уравнения регрессии с помощью статистики Фишера и сделать выводы о значимости уравнения регрессии.

6. Определить коэффициент детерминации и коэффициент корреляции . Сделать выводы о качестве уравнения регрессии.

7. Рассчитать среднюю ошибку аппроксимации и сделайте выводы о качестве уравнения регрессии.

8. Рассчитать прогнозное значение результата , если значение фактора X будет больше на 15% его среднего уровня .

9. Дать экономическую интерпретацию коэффициентов парной регрессии.

РЕШЕНИЕ

1. Построим поле корреляции и сформулируем гипотезу о форме связи.

Анализируя поле корреляции, можно предположить, что примерные Х и У связаны линейной зависимостью t = +x, т.к. точки располагаются близко к прямой , причем с возрастанием Х значения У то увеличиваются, то уменьшаются.

2. Найдём оценки параметров модели парной линейной регрессии . Запишем полученное уравнение регрессии.

Составим расчётную таблицу.

Параметры линейного уравнения парной регрессии найдём по формулам

, .

Составим расчётную таблицу 1.2.

Таблица 1.2. Расчётная таблица.

= ;=; = ; =;

= 134,00-20,4*6,54 / 426,61-20,4І = 0,056

Тогда линейное уравнение регрессии запишется так:

Для вычисления значений t нужно в уравнении (*) представлять соответствующие значения xt , данные в условии и полученные результаты внести в графу (t ) расчетной таблицы.

3. Проверить значимость оценок коэффициентов с надежностью 0,95 с помощью статистики Стьюдента и сделать выводы о значимости этих оценок.

Для оценки статистической значимости параметров регрессии и коэффициента корреляции воспользуемся статистикой Стьюдента.

Для этого предварительно рассчитаем стандартную ошибку регрессии S и - стандартную ошибку параметра , используя формулы

и , причём

При n =12, используя результаты таблицы 2, получим :

,
тогда

Число степеней свободы равно числу наблюдений без двух, т.е. n = 12 - 2 = 10

Для этого числа степеней свободы и уровня доверия q = 0,95 из таблицы Стьюдента найдем критическое значение t = 2,228

Расчетное значение t-статистики параметра есть

Значение <, отсюда следует , что параметр не является значимым , значит , и уравнение регрессии (*) не является значимым

4. Определить интервальные оценки коэффициентов с надежностью 0,95.

Т.К. доверительный интервал неизвестного нам коэффициента рассчитывается по формуле : -T кр * S<< + Т кр ,Sв

Где на уровне доверия q = 0.95 T кр = 2,228

= 0,056; Sв = 0,0755

0,056- 2,228* 0,0755< в < 0.056+2,228*0,0755

0,056 - 0,1682< в < 0,056 +0,1682

-0,11 < в < 0,2242 - доверительный интервал параметра в (для q=0,95)

Аналогично находят доверительный интервал для параметра л

= 1,5602

Доверительный интервал л находится так

- T кр *Sл < л < + Ткр *Sл

5,40 - 2,228 * 1,5602 <л < 5,40+2,228*1,5602

5,40 - 3,476 < л < 5,40+3,476

1,924 < л < 8,876 - доверительный интервал для q= 0,95

5. Проверим при уровне значимости 0,05 значимость уравнения регрессии с помощью статистики Фишера и сделаем выводы о значимости уравнения регрессии.

Расчётное значение статистики Фишера определим по формуле

,

где - коэффициент парной линейной корреляции(его можно находить по разным формулам и результаты при этом могут не совпадать)

Используя формулу

,

где и - стандартные отклонения представляющие собой корень квадратный из выбранных дисперсий переменных. х и у соответственно.

;

В нашем случае

F расч = 0,0505* (12-2) / 1-0,0505 = 0,532

При значимости 0,05 и степенях свободы K1 = m=1

И K2 = n-m-1=12-1-1 =10 в таблице найдем F табл = 4,96

Т.к. F факт = 0,532 < F табл =4,96 , то уравнение регрессии (*) на уровне значимости 0,05 не является значимым

6. Определим коэффициент детерминации и коэффициент корреляции . Сделаем выводы о качестве уравнения регрессии.

= 0,0737 Это говорит о том, что на 7,37% дисперсия зависимой переменной у объясняется изменение переменной Х , а 92,63% изменения у

объясняется влиянием других факторов, не учтенных в задаче. И, следовательно, значение = 0,0737 свидетельствует о том, что найденное уравнение регрессии не является значимым

На основе полученного коэффициента детерминации можно рассчитать коэффициент парной линейной корреляции ху = = 0,2715. Это значение говорит о незначительной тесноте связи между переменными Х и У

Из этого следует, что связь между мощностью пласта и выработкой угля на одного рабочего в целом прямая

Так, при изменении Х на 1 единицу (1м) выработка угля на одного рабочего вырастет на 0,056 единицы( тонны)

7. Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации и сделаем выводы о качестве уравнения регрессии.

А = 1/12 * 1,1338=0,0945=9,45%

Очень близка к 10% .Это говорит о качестве подгонки недостаточно хороший, т.к. в среднем расчетные значения отличаются от фактической на 9,45%

8. Рассчитать прогнозное значение результата , если значение фактора будет больше на 15 % его среднего уровня .

Имеем = 20,4 ( 100% + 15% =115% = 1,15)

Х=1,15 * = 1,15*20,4=23,46

Этому значению согласно полученной математической модели будет соответствовать = 5,40+0,056*23,46=5,40+1,314=6,714

Итак, (23,46) = 6,714

9. Дадим экономическую интерпретацию коэффициентов парной регрессии. По приведенным в условии данным получили линейное уравнение регрессии Хt. Значение = 0,0735 говорит о том, что изменения переменной у зависит от изменения фактора х только на 7,35

На уровне значимости 0,05 доверительные интервалы параметров

1,924< л < 8,876

-0,1122 <в< 0,2242

Rху = 0,2715 говорит о прямой зависимости между х и у и незначительной тесноте связи между переменными Х и У

При изменении х на 1 единицу , значение У увеличивается на 0,056 единиц . Смысл параметра л - это значение при х=0

Библиографический список

Айвазян С. А., Мхитарян В. С. Прикладная статистика и основы эконометрики. Учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ, 1998. - 1022 с.

Айвазян С. А., Мхитарян В. С. Прикладная статистика в задачах и упражнениях: Учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. - 270 с.

Афанасьев В. Н., Юзбашев М. М., Гуляева Т. И. Эконометрика: Учебник / В. Н. Афанасьев, М. М. Юзбашев, Т. И. Гуляева; под ред. В. Н. Афанасьева. - М.: Финансы и статистика, 2005. - 256 с.

Доугерти К. Введение в эконометрику: Учебник / Пер. с англ. - М.: ИНФРА-М, 2004. - 432 с.

Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. Начальный курс: Учеб. - М.: Дело, 2004. - 576 с.

Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / И. И. Елисеева, С. В. Курышева, Н. М. Гордеенко и др.; Под ред. И. И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2007. - 192 с.

Эконометрика: Учебник / И. И. Елисеева, С. В. Курышева, Т. В. Костеева и др.; Под ред. И. И. Елисеевой. - М.: Проспект, 2010. - 576 с.

ПРИЛОЖЕНИЯ

линейная регрессия корреляция аппроксимация