Построение фазовых портретов динамических систем
Работа из раздела: «
Экономико-математическое моделирование»
/
/
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛОДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ
ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра экономической кибернетики
Дисциплина: «Моделирование экономической динамики»
Лабораторная работа№5
«Построение фазовых портретов динамических систем»
Выполнила студентка гр. 5-1
Факультета экономической информатики
Пимонова Г.В.
Проверила к.э.н., доцент
Чернова Н.Л.
Харьков, 2012
Цель: получение студентами навыков построения фазовых портретов двумерных автономных динамических систем и анализа характера устойчивости точек равновесия системы.
Вариант 13
определим выражения для правых частей системы уравнений:
>
определим начальные условия:
>
Фазовый портрет(совокупность всех фазовых траекторий системы) будет иметь вид:
Рис. 1 Фазовый портрет системы 1
Попробуем изменить начальные условия:
Фазовый портрет примет следующий вид:
Рис. 2 Фазовый портрет системы 2
Классификация состояний равновесия динамических систем второго порядка
Определение правых частей автономной системы:
>
Определение автономной системы дифференциальных уравнений:
>
Получение уравнений равновесия (функция subst осуществляет подстановку новых значений или переменных в указанное выражение):
>
Поиск координат точек равновесия (функция solve осуществляет поиск решений заданной системы уравнений относительно заданных переменных, функция convert преобразует массив выражений в систему уравнений):
>
Вычисление матрицы линеаризации системы (функция jacobian из пакета линейной алгебры linalg вычисляет Якобиан векторной функции, в данном случае матрицу устойчивости для заданной системы):
>
Вычисление характеристического многочлена (вычисление проведено в символьном виде):
>
Вычисление корней характеристического многочлена - собственных чисел матрицы А в символьном виде:
>
Выделение из множества равновесий их координаты:
>
>
Вычисление собственных чисел матрицы устойчивости для обеих точек равновесия подстановкой в выражения для собственных чисел - eig_eq - значений координат точек равновесия (функция simplify обеспечивает максимально возможное упрощение получаемых выражений):
>
Построение фазового портрета системы Лотки - Вольтерра:
>
>
Рис. 3 Глобальный фазовый портрет системы Лотки - Вольтерра 1
Корни - чисто мнимые числа. Соответственно состояние равновесия - центр.
Изменим условие:
>
Рис. 43 Глобальный фазовый портрет системы Лотки - Вольтерра 2
динамический система матрица равновесие
На фазовом портрете центр с точкой устойчивости (0;0).
Вывод: получены навыки построения фазовых портретов двумерных автономных динамических систем и анализа характера устойчивости точек равновесия системы.
