- В результаті зростання об'ємів перевезень збільшується продуктивність праці. Планування продуктивності праці працюючих підприємства виконано в таблиці 1.11.
- Таблиця 1.11 - Планування продуктивності праці
|
Показник
|
Факт 2011 г.
|
Проект плану
|
План к факту, %
|
|
|
Доходи від реалізації послуг, тис. грн.
|
1097,06
|
1869,56
|
170,42
|
|
|
Персонал робітники, чел.
|
132
|
132
|
100
|
|
|
В тому числі робочі
|
107
|
107
|
100
|
|
|
Продуктивність праці, тис. грн./чел.
|
|
|
|
|
|
Одного робітника
|
8,31
|
14,16
|
170,41
|
|
|
Одного робочого
|
10,25
|
17,47
|
170,69
|
|
|
- Як показали розрахунки, продуктивність праці працюючих збільшилася на 70,41%. Це з'явилося слідством збільшення об'єму перевезень а відповідно і доходів в планованому періоді на 70,42% при незмінній чисельності працюючих.
- Аналіз діяльності Торезського АТП 11467 свідчить, що на підприємстві відбувається погіршення його виробничо-господарських показників, що обумовлено як зростанням конкуренції на ринку автоперевозок, так і за рахунок неефективного менеджменту в області перевезень.
- Ліквідація даних проблем можлива при застосуванні економіко-математичного підходу до планування перевезень. Даний підхід дозволяє оптимізувати перевезення здійснювані АТП, що може привести до скорочення вартості перевезень, або до зменшення часу затрачуваного на перевезення
- 2. Теоретичний аналіз методів і моделей оптимізації перевезень
2.1 Загальна характеристика методів оптимізації для рішення економічних задач
Процеси ухвалення рішень лежать в основі будь-якої цілеспрямованої діяльності. В економіці вони передують створенню виробничих і господарських організацій, забезпечують їх оптимальне функціонування і взаємодію». В наукових дослідженнях - дозволяють виділити найважливіші наукові проблеми, знайти способи їх вивчення, зумовлюють розвиток експериментальної бази і теоретичного апарату. При створенні нової техніки - складають важливий етап в проектуванні машин, пристроїв, приладів, комплексів, будівель, в розробці технології їх побудови і експлуатації; в соціальній сфері - використовуються для організації функціонування і розвитку соціальних процесів, їх координації з господарськими і економічними процесами. Оптимальні (ефективні) рішення дозволяють досягати мети при мінімальних витратах трудових, матеріальних і сировинних ресурсів.
В класичній математиці методи пошуку оптимальних рішень розглядають в розділах класичної математики, пов'язаних з вивченням екстремумів функцій, в математичному програмуванні. Математичне програмування є одним з розділів дослідження операцій - прикладного напряму кібернетики, що використовується для вирішення практичних організаційних задач.
Задачі математичного програмування знаходять застосування в різних областях людської діяльності, де необхідний вибір одного з можливих образів дій (програм дій). Значне число задач, що виникають в суспільстві, пов'язано з керованими явищами, тобто з явищами, регульованими на основі свідомо ухвалюваних рішення. При тому обмеженому об'ємі інформації, який був доступний на ранніх етапах розвитку суспільства, ухвалювалося оптимальне в деякому розумінні рішення на підставі інтуїції і досвіду, а потім, із зростанням об'єму інформації про явище, що вивчається, - за допомогою ряду прямих розрахунків. Так відбувалося, наприклад, створення календарних планів роботи промислових підприємств.
Абсолютно інша картина виникає на сучасному промисловому підприємстві з багатосерійним і багатономеклатурним виробництвом, коли об'єм вхідної інформації такий великий, що його обробка з метою ухвалення певного рішення неможлива без застосування сучасних електронних обчислювальних машин. Ще більші труднощі виникають у зв'язку із задачею про ухвалення якнайкращого рішення. Під ухваленням рішень в дослідженні операцій розуміють складний процес, в якому можна виділити наступні основні етапи:
1-й етап. Побудова якісної моделі даної проблеми, тобто виділення чинників, які представляються найважливішими, і встановлення закономірностей, яким вони підкоряються. Звичайно цей етап виходить за межі математики.
2-й етап. Побудова математичної моделі даної проблеми, тобто запис в математичних термінах якісної моделі. Таким чином, математична модель - це записана в математичних символах абстракція реального явища, так конструйована, щоб аналіз її давав можливість проникнути в єство явища. Математична модель встановлює співвідношення між сукупністю змінних - параметрами управління явищем. Цей етап включає також побудову цільової функції змінних, тобто такої числової характеристики, більшому (або меншому) значенню якої відповідає краща ситуація з погляду приймаючого рішення. Отже, в результаті цих двох етапів формується відповідна математична задача. Причому, другий етап вже вимагає залучення математичних знань.
3-й етап. Дослідження впливу змінних на значення цільової функції. Цей етап передбачає володіння математичним апаратом для вирішення математичних, задач, що виникають на другому етапі процесу ухвалення, рішення. Широкий клас задач управління складають такі екстремальні задачі, в математичних моделях яких умови на змінні задаються рівністю і нерівностями. Теорія і методи рішення цих задач якраз і складають зміст математичного програмування. На третьому етапі, користуючись математичним апаратом, знаходять рішення відповідних екстремальних задач. Звернемо увагу на те що задачі математичного програмування, пов'язані з рішенням практичних питань, як правило, мають велике число змінних і обмежень.
Об'єм обчислювальних робіт для знаходження відповідних рішень такий великий що весь процес не мислиться без застосування сучасних електронних обчислювальних машин (ЕОМ), а значить, вимагає або створення програм для ЕОМ, що реалізовують ті або інші алгоритми, або використовування вже наявних стандартних програм.
4-й етап. Зіставлення результатів обчислень, отриманих на 3-у етапі, з модельованим об'єктом, тобто експертна перевірка результатів (критерій практики). Таким чином на цьому етапі встановлюється ступінь адекватності моделі і модельованого об'єкту в межах точності початкової інформації.
Тут можливі два випадки:
1-й випадок. Якщо результати зіставлення незадовільні (звичайна ситуація на початковій стадії процесу моделювання), то переходять до другого циклу процесу. При цьому уточнюється вхідна інформація про модельований об'єкт і у разі потреби уточнюється постановка задачі (1-й етап), уточнюється або будується наново математична модель (2-й етап), розв'язується відповідна математична задача (3-й етап) і, нарешті, знову проводиться зіставлення (4-й етап).
2-й випадок. Якщо результати зіставлення задовільні, то модель приймається. Коли йдеться про неодноразове використовування на практиці результатів обчислень, виникає задача підготовки моделі до експлуатації. Припустимо, наприклад що метою моделювання є створення календарних планів виробничої діяльності підприємства. Тоді експлуатація моделі включає збір і обробку інформації, введення обробленої інформації в ЕОМ розрахунки на основі розроблених програм календарних планів і, нарешті, видачу результатів обчислень (в зручному для користувачів вигляді) для їх використовування у сфері виробничої діяльності.
В математичному програмуванні можна виділити два напрями.
До першого, вже цілком склалося напряму - власне математичному програмуванню - відносяться детерміновані задачі, що припускають, що вся початкова інформація є повністю визначеною.
До другого напряму - так званому стохастичному програмуванню - відносяться задачі, в яких початкова інформація містить елементи невизначеності або коли деякі параметри задачі носять випадковий характер з відомими характеристиками вірогідності. Так, планування виробничої діяльності часто проводиться в умовах неповної інформації про реальну ситуацію в якій виконуватиметься план. Або, скажімо, коли екстремальна задача моделює роботу автоматичних пристроїв, яка супроводиться випадковими перешкодами. Помітимо що одна з головних труднощів стохастичного програмування полягає в самій постановці задач, головним чином через складність аналізу початкової інформації.
Традиційно в математичному програмуванні виділяють наступні основні розділи.
Лінійне програмування - цільова функція лінійна, а множина, на якій шукається екстремум цільової функції, задається системою лінійної рівності і нерівностей. У свою чергу в лінійному програмуванні існують класи задач структура яких дозволяє створити спеціальні методи їх рішення, вигідно відмінні від методів рішення задач загального характеру.
Так, в лінійному програмуванні з'явився розділ транспортних задач.
Нелінійне програмування - цільова функція і обмеження нелінійна. Нелінійне програмування прийнято підрозділяти таким чином:
Опукле програмування - цільова функція опукла (якщо розглядається задача її мінімізації) і опукло множина, на якій розв'язується екстремальна задача.
Квадратичне програмування - цільова функція квадратична, а обмеженнями є лінійна рівність і нерівності.
(2.1)
при умовах
(2.2)
(2.3)
(2.4)
де - постійні змінні й .
Визначення 2.
Функція (2.1) називається цільовою функцією (або лінійною формою) задачі (2.1) - (2.4), а умови (2.2) - (2.4) - обмеженнями даної задачі.
Визначення 3.
Стандартної (або симетричної) задачею лінійного програмування називається задача, яка полягає у визначенні максимального значення функції (2.1) при виконанні умов (2.2) і (2.4), де к = m і l = n.
Визначення 4.
Канонічною (або основний) задачею лінійного програмування називається задача, яка полягає у визначенні максимального значення функції (2.1) при виконанні умов (2.3) і (2.4), де до = 0 і l = п.
Визначення 5.
Сукупність чисел , що задовольняють обмеженням задачі (2.2) - (2.4), називається допустимим рішенням (або планом). Визначення
Визначення 6.
План , при якому цільова функція задачі (8) приймає своє максимальне (мінімальне) значення, називається оптимальним. Значення цільової функції (2.1) при плані Х позначатимемо через . Отже, X* - оптимальний план задачі, якщо для будь-кого Х виконується нерівність [відповідно ].
Вказані вище три форми задачі лінійного програмування еквівалентні в тому значенні, що кожна з них за допомогою нескладних перетворень може бути переписаний у формі іншої задачі. Це означає, що якщо є спосіб знаходження рішення одній з вказаних задач, то тим самим може бути визначений оптимальний план будь-якої з трьох задач. Щоб перейти від однієї форми запису задачі лінійного програмування до іншої, потрібно уміти, по-перше, зводити задачу мінімізації функції до задачі максимізації; по-друге, переходити від обмежень-нерівностей до обмежень-рівності і навпаки; по-третє, замінювати змінні, які не підлеглі умові позитивності.
У тому випадку, коли вимагається знайти мінімум функції , можна перейти до знаходження максимуму функції , оскільки . Обмеження-нерівність початкової задачі лінійного програмування, що має вид «», можна перетворити в обмеження-рівність додаванням до його лівої частини додаткової ненегативної змінної, а обмеження-нерівність виду «» - в обмеження-рівність відніманням з його лівої частини додаткової ненегативної змінної. Таким чином, обмеження-нерівність
перетвореться в обмеження
(2.5)
а обмежена нерівність
- в обмежену рівність
(2.6)
В той же час кожне рівняння системи обмежень
можна записати в вигляді нерівностей:
(2.7)
Число додаткових ненегативних змінних, що вводяться, при перетворенні обмежень-нерівностей в обмеження-рівність рівно числу перетворюваних нерівностей. Додаткові змінні, що вводяться, мають цілком певний економічний сенс. Так, якщо в обмеженнях початкової задачі лінійного програмування відображається витрата і наявність виробничих ресурсів, то числове значення додаткової змінної в плані задачі, записаної у формі основної, рівно об'єму невживаного відповідного ресурсу.
Відзначимо, нарешті, що якщо змінна , не підлегла умові позитивності, то її слід замінити двома ненегативними змінними і , принявши .
Властивості основної задачі лінійного програмування. Геометричне тлумачення задачі лінійного програмування Число додаткових ненегативних змінних, що вводяться, при перетворенні обмежень-нерівностей в обмеження-рівність рівно числу перетворюваних нерівностей.
Додаткові змінні, що вводяться, мають цілком певний економічний сенс. Так, якщо в обмеженнях початкової задачі лінійного програмування відображається витрата і наявність виробничих ресурсів, то числове значення додаткової змінної в плані задачі, записаної у формі основної, рівно об'єму невживаного відповідного ресурсу.
Розглянемо основну задачу лінійного програмування. Вона полягає в визначення максимального значення функції за умови
Векторний запис має вигляд
F=CX (2.7)
при умові
(2.8)
(2.9)
де , CX - скалярний додаток;
і- m-ні вектори-столби
Визначення 7.
План є опорним планом основної задачи лінійного програмування, якщо система векторів , з (2.9) з коефіцієнтами лінійно незалежна.
Так як вектори є m-мірними, то з визначення опорного плану слідує, що число його позитивних компонент не може бути більши за т.
Визначення 8.
Опорний план називається невиродженим, якщо він містить рівно т позитивних компонент, в осоружному випадку він називається виродженим. Властивості основної задачі лінійного програмування (2.7) - (2.9) тісним чином пов'язані з властивостями опуклих множин.
Визначення 9.
Хай - точки простору . Випуклой комбінацієй цих точок є де - невід'ємні числа, сума яких дорівнює 1:
Визначення 10.
Множина називається опуклою, якщо разом з будь-якими двома своїми крапками воно містить і їх довільну опуклу лінійну комбінацію.
Визначення 11.
Точка Х опуклої множини називається кутовою, якщо вона не може бути відрекомендований у вигляді опуклої лінійної комбінації яких-небудь двох інших різних точок даної множини.
Теорема 1.
Безліч планів основної задачі лінійного програмування є опуклою (якщо воно не порожнє).
Визначення 12.
Непорожня безліч планів основної задачі лінійного програмування називається многогранником рішень, а всяка кутова точка многогранника рішень - вершиною.
Теорема 2. Якщо основна задача лінійного програмування має оптимальний план, то максимальне значення цільова функція задачі приймає в одній з вершин многогранника рішень. Якщо максимальне значення цільова функція задачі приймає більш ніж в одній вершині, то вона приймає його у всякій крапці, опуклою лінійною комбінацією цих вершин, що є.
Теорема 3.
Якщо система векторів в (2.8) лінійно незалежна і
(2.10)
де всі то точка є вершиною многограника рішень.
Теорема 4.
Якщо - вершина многограника рішень, то вектори , відповідають позитивним в рокладанні (2.8) та лінійно незалежні.
Сформульовані теореми дозволяють зробити наступні висновки.
Непорожня безліч планів основної задачі лінійного програмування утворює опуклий многогранник. Кожна вершина цього многогранника визначає опорний план. В одній з вершин многогранника рішень (тобто для одного з опорних планів) значення цільової функції є максимальним (за умови, що функція обмежена зверху на безлічі планів). Якщо максимальне значення функція приймає більш ніж в одній вершині, то це ж значення вона приймає в будь-якій крапці, опуклою лінійною комбінацією даних вершин, що є.
Вершину многогранника рішень, в якій цільова функція приймає максимальне значення, знайти порівняно просто, якщо задача, записана у формі стандартної, містить не більше двох змінних або задача, записана у формі основної, містить не більше двох вільних змінних, тобто , де n - число змінних, r - ранг матриці, складеної з коефіцієнтів в системі обмежень задачі.
Знайдемо рішення задачі, що полягає у визначенні максимального значення функції
(19) (2.11)
при умові
(2.12)
(2.13)
Кожна з нерівностей (2.12), (2.13) системи обмежень задачі геометрично визначає напівплощина відповідно з граничними прямими и . В тому випадку, якщо система нерівностей (2.12), (2.13) сумісна, область її рішень є безліч крапок, що належать всім вказаним напівплощинам. Оскільки безліч точок перетину даних напівплощин - опукла, то областю допустимих рішень задачі (2.11) - (2.13) є опукла множина, яка називається багатокутником рішень (введений раніше термін «многогранник рішень» звичайно використовується, якщо). Сторони цього багатокутника лежать на прямих, рівняння яких виходять з початкової системи обмежень заміною знаків нерівностей на знаки точної рівності. Таким чином, початкова задача лінійного програмування полягає в знаходженні такої точки багатокутника рішень, в якій цільова функція F приймає максимальне значення. Ця крапка існує тоді, коли багатокутник рішень не порожній і на ньому цільова функція обмежена зверху. За вказаних умов в одній з вершин багатокутника рішень цільова функція приймає максимальне значення. Для визначення даної вершини побудуємо лінію рівня (де h - деяка постійна), що проходить через багатокутник рішень, і пересуватимемо її у напрямі вектора до тих пір, поки вона не пройде через її останню загальну крапку з багатокутником рішень. Координати вказаної крапки і визначають оптимальний план даної задачі.
Закінчуючи розгляд геометричної інтерпретації задачі (2.11) - (2.13), відзначимо, що при знаходженні її рішення можуть зустрітися випадки, зображені на рис. 2.1 - 2.2. Рис. 2.1 характеризує такий випадок, коли цільова функція приймає максимальне значення в єдиній крапці А і випадок при якому максимальне значення цільова функція приймає в будь-якій точці відрізка АВ. На рис. 2.2 зображений випадок, коли цільова функція не обмежена зверху на безлічі допустимих рішень, і випадок, коли система обмежень задачі несумісна.
Рисунок 2.1 - Перший і другий випадки знаходження рішення
Рисунок 2.2 - Третій і четвертий випадки знаходження рішення
Відзначимо, що знаходження мінімального значення лінійної функції при даній системі обмежень відрізняється від знаходження її максимального значення при тих же обмеженнях лише тим, що лінія рівня пересувається не у напрямі вектора а в протилежному напрямі. Таким чином, відзначені вище випадки, що зустрічаються при знаходженні максимального значення цільової функції, мають місце і при визначенні її мінімального значення.
Отже, знаходження рішення задачі лінійного програмування (2.11) - (2.13) на основі її геометричної інтерпретації включає наступні етапи:
1. Будують прямі, рівняння яких виходять в результаті заміни в обмеженнях (2.12) і (2.13) знаків нерівностей на знаки точної рівності.
2. Знаходять напівплощини, визначувані кожним з обмежень задачі.
3. Знаходять багатокутник рішень.
4. Будують вектор.
5. Будують пряму, що проходить через багатокутник рішень.
6. Пересувають пряму у напрямі вектора, в результаті чого-небудь знаходять крапку (крапки), в якій цільова функція приймає максимальне значення, або встановлюють необмеженість зверху функції на безлічі планів.
7. Визначають координати точки максимуму функції і обчислюють значення цільової функції в цій крапці.
2.2 Оптимізація грузоперевезень за допомогою транспортної задачі
В даний час менеджер може використовувати при ухваленні рішення різні комп'ютерні і математичні засоби. В пам'яті комп'ютерів тримають масу інформації, організовану за допомогою баз даних і інших програмних продуктів, що дозволяють оперативно нею користуватися.
Економіко-математичні і економетричні моделі дозволяють прораховувати наслідки тих або інших рішень, прогнозувати розвиток подій.
Методи експертних оцінок, про які піде мова нижче, також вельми математизовані і використовують комп'ютери.
Найбільш часто використовуються оптимізаційні моделі ухвалення рішень. Їх загальний вигляд такий:
F (X) > max
X Є A
де Х - параметр, який менеджер може вибирати (управляючий параметр). Він може мати різну природу - число, вектор, множина і т. п. Мета менеджера - максимізувати цільову функцію F (X), вибравши відповідний Х. При цьому він повинен враховувати обмеження X Є А на можливі значення управляючого параметра Х - він повинен лежати в безлічі А. Ряд прикладів оптимізаційних задач менеджменту приведений нижче.
Серед оптимізаційних задач менеджменту найактуальнішими для мети використовування є транспортні задачі.
В транспортній задачі вимагається знайти оптимальний план перевезень деякого продукту від заданої безлічі виробників, також занумерованих числами, до безлічі споживачів, також занумерованих числами .
Виробничі можливості -го виробника задані об'ємом вироблюваного продукту - . Попит -го споживача на цей продукт задається числом . Позначимо планований об'єм перевезень від -го виробника до -ому споживача як. В цих умовах повинні бути виконаний балансові співвідношення:
(2.24)
Для існування допустимого плану перевезень повинен виконаються загальний баланс між попитом і споживанням:
При цьому транспортну задачу називають збалансованою.
Можна переконатися, наприклад, що в збалансованій транспортній задачі
(2.25)
є допустимим варіантом перевезень, тобто задовольняючим обмеженням (2.24). Метою рішення транспортної задачі є мінімізація сумарних транспортних витрат. Якщо припустити, що вартість перевезення продукту лінійно залежить від об'єму перевезення і характеризується числами, де - вартість перевезення одиниці продукту від -го виробника до -му споживача, а - об'єми перевезень, то цільова функція в транспортній задачі приймає вигляд:
(2.26)
і задача полягає в мінімізації (2.26) при виконанні обмежень (2.24) і умови позитивності змінних . Змінні можна представити у вигляді матриці (табл. 2.1).
Таблиця 2.1 - Матриця обсягів перевезень
|
Постачальники
|
Споживачі
|
|
|
1
|
2
|
…
|
|
|
|
1
|
|
|
…
|
|
|
|
2
|
|
|
…
|
|
|
|
…
|
…
|
…
|
…
|
…
|
|
|
M
|
|
|
…
|
|
|
|
або, більш традиційну, у вигляді вектора розвернувши в цей вектор вищенаведену таблицю. При природному обході табл. 2.1 (скажемо по стовпцях) матриця обмежень прийме специфічний вигляд, приведений в табл. 2.2.
Таблиця 2.2 - Матриця обмежень транспортної задачі
|
1
|
1
|
…
|
1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
1
|
…
|
1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
…
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
1
|
…
|
1
|
|
|
|
1
|
|
|
|
1
|
|
|
|
…
|
1
|
|
|
|
|
|
|
1
|
|
|
|
1
|
|
|
…
|
|
1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
…
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
|
|
|
1
|
…
|
|
|
|
1
|
|
|
|
Видно, що матриця обмежень транспортної задачі володіє поряд характерних особливостей, з яких відзначимо наступні:
велика частина її елементів рівна нулю.
серед ненульових елементів багатьох однакових.
Першу властивість матриці називають розрідженістю, а останню властивість називають сверхразреженностью. Для характеризації розрідженості ипользуют два заходи - кількість ненульових елементів в матриці обмежень і їх відношення до загального числа елементів матриці. Остання характеристика називається густиною. Для транспортної задачі густина рівна і падає із зростанням розмірності задачі, що взагалі типово для задач лінійного програмування. Описаний варіант транспортної задачі називається транспортною задачею в матричній постановці. В такій задачі дозволяються зв'язки між довільними постачальниками і споживачами.
На практиці часто деякі зв'язки між певними постачальниками і споживачами неможливі або небажані через різний рід внемодельных міркувань (відсутність доріг, специфіка навантажувально-розвантажувального устаткування і тому подібне). Щоб відобразити подібного роду ситуації, транспортну задачу формулюють в мережному вигляді, задаючи і фіксуючи структуру зв'язків постачальник-споживач. Зв'язку можна задати списком, приведеним в табл. 2.3 тільки замість імен споживачів їх індекси в деякому реєстрі.
Таблиця 2.3 - Список транспортних зв'язків
|
Ў
|
Постачальник
|
Споживач
|
Вартість перевозки
|
|
|
1
|
Торез
|
Донецьк
|
134
|
|
|
2
|
Донецьк
|
Макеєвка
|
27
|
|
|
…
|
…
|
…
|
…
|
|
|
127
|
Сніжне
|
Харцизськ
|
98
|
|
|
Для вирішення транспортної задачі може бути використаний мережний метод
Даний метод заснований на теорії графів і вимагає представлення транспортної задачі у вигляді графа (рис. 2.1).
Рисунок 2.1 - Мережний метод рішення транспортної задачі
Вершини на даному графі представляють постачальників або споживачів продукції. Знаком «+» позначаються постачальники продукції, знаком «-» - споживачі продукції.
Постачальники і споживача сполучені між собою зв'язками, які на графі представлені дугами. Кожний зв'язок відображає вартість перевезення від одного елемента транспортної системи до іншого за одиницю продукції.
Розглянемо алгоритм рішення
Крок 1. Нумерація вершин сіті.
Нумерація вершин здійснюється довільним чином.
Крок 2. Побудова первинного плану перевезень.
Первинний план перевезень повинен відповідати двом критеріям:
- кількість перевезень повинна бути на одну менше ніж кількість вершин в графі, тобто:
(2.27)
де - кількість перевезень;
- кількість постачальників;
- кількість споживачів.
Якщо дана умова не виконується, то необхідно додати, або виключити поставки.
Крок 3. Розрахунок загальної вартості перевезень.
Загальна вартість перевезень розраховується по наступній формулі:
(2.28)
де - вартість перевезення від вершини i до вершини j.
- об'їм перевезення від вершини i до вершини j.
Крок 4. Визначення потенціалів в кожній вершині.
При визначенні потенціалів необхідно привласнити першій вершині довільний потенціал. Після цього рухаючись по поставках розрахувати потенціали у всіх вершинах виходячи з наступної умови:
(2.29)
Крок 5. Розрахунок різниці потенціалів
Різниця потенціалів між вершинами i і j розраховується тільки для зв'язків, на яких немає поставок. Вона розраховується по наступній формулі:
(2.30)
Крок 6. Перевірка умови оптимальності.
Транспортна задача є вирішеною, а опорний план оптимальним, якщо виконується наступна умова:
(2.31)
При виконанні цієї умови рішення транспортної задачі припиняється. Якщо план не оптимальний, то необхідно перейти до наступного кроку.
Крок 7. Введення нового перевезення.
Нове перевезення вводиться між вершинами, для яких різниця потенціалів є мінімальною. Причому перевезення вводиться від меншого потенціалу до більшого.
Крок 8. Розрахунок об'єму перевезення.
Для розрахунку об'єму перевезення необхідно знайти замкнутий контур, який формує перевезення. В отриманому замкнутому контурі необхідно відшукати мінімальне протилежну за об'ємом перевезення. Об'єм даного перевезення буде рівний об'єм нового перевезення.
Крок 9. Перерахунок перевезень.
Рухаючись в цьому ж замкнутому контурі по новій перевезення, для всіх протилежних перевезень з їх об'єму віднімається об'єм нового перевезення, а для всіх сонаправлених об'єм нового перевезення додається.
Після виконання даного кроку необхідно перейти до кроку 3. При правильному виконанні всіх дій загальна вартість перевезень повинна зменшитися.
Вище розглянута класична транспортна задача, на якій показано, як використовується метод потенціалів для знаходження оптимального плану. В економіці підприємства такі задачі зустрічаються украй рідко. Звичайно при складанні економіко-математичної моделі задачі транспортного типу доводиться вводити цілий ряд додаткових обмежень, а потім користуватися методом потенціалів.
Ряд економічних задач легко приводяться до транспортної задачі. Розглянемо ситуації, що часто зустрічаються в економіці підприємства.
1. Окремі поставки від певних постачальників деяким споживачам повинні бути виключені (через відсутність необхідних умов зберігання, надмірного перевантаження комунікацій і т.д.). Це обмеження вимагає, щоб в матриці перевезень, що містить оптимальний план, певні клітки залишалися вільними. Останнє досягається штучним завищенням витрат на перевезення cij в клітках, перевезення через які слід заборонити. При цьому проводять завищення величини cij до таких значень, які явно більше всіх і з якими їх доведеться порівнювати в процесі рішення задачі.
2. На підприємстві необхідно визначити мінімальні сумарні витрати на виробництво і транспортування продукції. З подібною задачею стикаються при рішенні питань, пов'язаних з оптимальним розміщенням виробничих об'єктів. Тут може виявитися економічно більш вигідним доставляти сировину з віддаленіших пунктів, та зате при меншій його собівартості. В таких задачах за критерій оптимальності приймають суму витрат на виробництво і транспортування продукції.
2. Ряд транспортних маршрутів, по яких необхідно доставити вантажі, мають обмеження по пропускній спроможності. Якщо, наприклад, по маршруту AiBj можна провести не більш q одиниць вантажу, то Bj-й стовпець матриці розбивається на два стовпці - і . В першому стовпці попит приймається рівним різниці між дійсним попитом і обмеженням q: , в другому - рівним обмеженню q, тобто . Витрати cij в обох стовпцях однакові і рівні даним, але в першому стовпці , в клітці, відповідній обмеженню i, замість істинного тарифу cij ставиться штучно завишений тариф M (клітка блокується). Потім задача розв'язується звичайним способом.
4. Поставки по певних маршрутах обов'язкові і повинні увійти до оптимального плану незалежно від того, вигідно це чи ні. В цьому випадку зменшують запас вантажу у постачальників і попит споживачів і вирішують задачу щодо тих поставок, які необов'язкові. Отримане рішення коректують з урахуванням обов'язкових поставок.
5. Економічна задача не є транспортною, але в математичному відношенні подібна транспортній, оскільки описується аналогічною моделлю, наприклад, розподіл виробництва виробів між підприємствами, оптимальне закріплення механізмів по певних видах роботи.
6. Необхідно максимізувати цільову функцію задачі транспортного типу. В цій ситуації при складанні опорного плану в першу чергу прагнуть заповнити клітки з найвищими значеннями показника cij. Вибір клітки, що підлягає заповненню при переході від одного допустимого плану до іншого, повинен проводитися не по мінімальній негативній різниці , а по максимальній позитивній різниці . Оптимальним буде план, якому в останній таблиці супроводять вільні клітки з непозитивними елементами: всі різниці .
7. Необхідно в у свій час розподілити вантаж різного роду по споживачах. Задачі даного типу називаються багатопродуктовими транспортними задачами. В цих задачах постачальники m родів вантажів розбиваються на m умовних постачальників, а споживачі n родів вантажів розбиваються на n умовних споживачів. З урахуванням цього розбиття складають повну транспортну таблицю. При цьому помітимо, що деякі маршрути AiBj повинні бути блоковані (закриті), оскільки в даній постановці задачі вантажі різного роду не можуть замінювати один одного. Цим маршрутам AiBj повинна відповідати дуже висока вартість перевезення. Багатопродуктову задачу не завжди обов'язково описувати однією моделлю. Наприклад, якщо поставки вантажів різного роду незалежні, той задачу можна представити у вигляді комплексу транспортних задач по кожному роду вантажу. Проте, якщо між вантажами різного роду існує зв'язок, то в загальному випадку початкову модель (задачу) не вдається розбити на комплекс простих транспортних задач.
2.3 Методи рішення транспортних задач
Існують наступні методи рішення транспортних задач:
- метод північно-західного кута
- метод мінімального елементу
- метод Фогеля;
- дельта-метод
- метод потенціалів
- сітьовий метод
Розглянемо кожний з методів більш детально.
Опорний план є допустимим рішенням ТЗ і використовується як початкове базисне рішення при знаходженні оптимального рішення методом потенціалів.
Всі існуючі методи знаходження опорних планів окрім останнього методу відрізняються тільки способом вибору клітки для заповнення. Саме заповнення відбувається однаково незалежно від методу, що використовується. Слід пам'ятати, що перед знаходженням опорного плану транспортна задача повинна бути збалансованою.
Метод північно-західного кута.
На кожному кроці методу північно-західного кута зі всіх не викреслених кліток вибирається найлівіша і верхня (північно-західна) клітка. Іншими словами, на кожному кроці вибирається перший з не викреслених рядків, що залишилися, і перший з не викреслених стовпців, що залишилися.
Для того, щоб заповнити клітку (i, j), необхідно порівняти поточний запас товару в даному i-й рядку з поточною потребою в даному j-м стовпці .
Якщо існуючий запас дозволяє перевезти всю потребу, то
- в клітку (i, j) як перевезення вписується значення потреби ;
- j-й стовпець викреслюється, оскільки його потреба вже вичерпана;
- від існуючого запасу в i-й рядку віднімається величина зробленого перевезення, колишній запас закреслюється, а замість нього записується залишок, тобто .
Якщо існуючий запас не дозволяє перевезти всю потребу, то - в клітку (i, j) як перевезення вписується значення запасу ;
- i-ий рядок викреслюється, оскільки його запас вже вичерпаний;
- від існуючої потреби в j-й рядку віднімається величина зробленого перевезення, колишня потреба закреслюється, а замість неї записується залишок, тобто.
Знаходження опорного плану продовжується до тих пір, поки не будуть викреслені всі рядки і стовпці.
Метод мінімального елемента.
На кожному кроці методу мінімального елемента зі всіх не викреслених кліток транспортної матриці вибирається клітка з мінімальною вартістю перевезення . Заповнення вибраної клітки проводиться за правилами, описаними вище.
Метод Фотеля.
На кожному кроці методу Фогеля для кожного i-й рядка обчислюються штрафи як різниця між двома найменшими тарифами рядка. Таким же чином обчислюються штрафи для кожного j-го стовпця. Після чого вибирається максимальний штраф зі всіх штрафів рядків і стовпців. В рядку або стовпці, відповідному вибраному штрафу, для заповнення вибирається не викреслена клітка з мінімальним тарифом .
Якщо існує декілька однакових по величині максимальних штрафів в матриці, то у відповідних рядках або стовпцях вибирається одна не викреслена клітка з мінімальним тарифом .
Якщо кліток з мінімальним тарифом також дещо, то з них вибирається клітка (i, j) з максимальним сумарним штрафом, тобто сумою штрафів по i-й рядку і j-му стовпцю.
Формально і реальні і фіктивні стовпці і рядки в транспортній матриці абсолютно рівноправні. Тому при знаходженні опорних планів фіктивні рядки, стовпці і тарифи необхідно аналізувати і використовувати так само як і реальні. Але при обчисленні значення ЦФ фіктивні перевезення не враховуються, оскільки вони реально не були виконані і сплачені.
Якщо величина фіктивних тарифів перевищує максимальний з реальних тарифів задачі [], то методи мінімального елемента і Фогеля дозволяють отримати більш дешеві плани перевезень, ніж у випадку з нульовими фіктивними тарифами
Дельта-метод.
Нехай існує наступна постановка задачі.
Деякий однорідний продукт, зосереджений у m постачальників Ai в кількості ai (i=1,2,3…, m) одиниць відповідно, необхідно доставити n споживачам Bj в кількості bj (j=1,2,3…, n) одиниць. Відома вартість Cij перевезення одиниці вантажу від i-го постачальника до j-му споживача.
Необхідно скласти план перевезень, що дозволяє вивезти всі вантажі, повністю задовольнити Cij xij потреби і має мінімальну вартість.
Позначимо через xij кількість одиниць вантажу, запланованих до перевезення від i-го постачальника до j-му споживача; тоді умови задачі можна записати у вигляді таблиці, яку надалі називатимемо матрицею планування.
Складемо математичну модель задачі. Оскільки від i-го постачальника до j-го споживача заплановано до перевезення xij одиниць вантажу, то вартість перевезення складе Cijxij.
Таблиця 2.4 - План перевезень
|
Постачальники
|
Споживачі
|
Запаси
|
|
|
B1
|
B2
|
…
|
Bn
|
|
|
|
A1
|
C11 x11
|
C12 x12
|
…
|
C1n x1n
|
a1
|
|
|
A2
|
C21 x21
|
C22 x22
|
…
|
C2n x2n
|
a2
|
|
|
…
|
…
|
…
|
…
|
…
|
…
|
|
|
Am
|
Cm1 xm1
|
Cm2 xm2
|
…
|
Cmn xmn
|
am
|
|
|
Потреби
|
b1
|
b2
|
…
|
bn
|
|
|
|
Вартість всього плану виразиться подвійною сумою:
Z = .
Систему обмежень одержуємо з наступних умов задачі:
а) всі вантажі повинні бути вивезений, тобто (i = 1,2,3…, m) (ці рівняння виходять з рядків таблиці);
б) всі потреби повинні бути задоволені, тобто (j = 1,2,3…, n) (рівняння виходять із стовпців таблиці).
Таким чином, математична модель транспортної задачі має наступний вигляд.
Знайти найменше значення лінійної функції:
Z = (2.32)
при обмеженнях
, i = 1, 2…, m (2.33)
, j = 1,2,3…, n (2.34)
xij 0 (j = 1,2,3…, m; i = 1,2,3…, n).
В розглянутій моделі передбачається, що сумарні запаси рівні сумарним потребам, тобто
(2.35)
Така модель називається закритою.
Для вирішення транспортної задачі за допомогою дельта-методу використовується наступний алгоритм.
Алгоритм дельта-методу.
1. Перетворимо таблицю Сij в таблицю приростів , вибираючи в кожному стовпці найменшу вартість і віднімаючи її зі всіх вартостей стовпця. Значення записуємо під відповідними значеннями .
2. Таблицю перетворюємо в таблицю ij, вибираючи в кожному рядку найменший приріст і віднімаючи його зі всіх приростів рядка; результати записуємо під значеннями ij. Якщо в якому-небудь рядку вже є нульовий приріст після першого перетворення, то в цьому рядку приросту залишаємо без зміни і перетворимо прирости рядків, що не містять нульових приростів.
2. Проглядаємо стовпці, що містять один нульовий приріст, і в клітки, що містять його, записуємо потреби bj, не звертаючи уваги на величину запасів постачальників.
Потім проглядаємо стовпці, що містять два нульові прирости, і в клітки, що містять їх, заповнюємо, враховуючи раніше проведене закріплення і запаси постачальників. Потім переходимо до стовпців, що містять три, чотири і т.д. нульових прирости.
Процес закріплення споживачів за постачальниками продовжуємо до тих пір, поки всі об'єми потреб не будуть закріплені за постачальниками.
Підраховуємо для рядків , i=1,2…, m. Якщо все i = 0, та побудова плану закінчена. Він же є оптимальним, оскільки всі вантажі перевозяться з найменшими приростами вартостей. В загальному випадку одержуємо:
а) для одних рядків i= 0 (такі рядки називаються нульовими);
б) для інших i < 0 (такі рядки називаються надлишковим і наголошуються знаком «-»);
в) для третіх i > 0 (такі рядки називаються недостатніми і наголошуються знаком «+»).
4. Відзначаємо знаком «V «стовпці, що мають зайняті клітки в надмірних рядках.
5. Для кожного недостатнього і нульового рядка порівнюємо ij, що стоять у відзначених стовпцях, вибираємо найменше і проставляємо в останню графу таблиці.
6. В останній графі таблиці проглядаємо ij, недостатніх рядків вибираємо найменше і порівнюємо його з i0j для нульових рядків. При цьому можуть бути два випадки:
а) для кожного нульового рядка miniji0j;
б) для деяких нульових рядків minij > i0j.
7. Якщо виконується умова а), то проводиться безпосередній перерозподіл потреби з надлишкового рядка в недостатню клітку відзначеного стовпця, якій відповідає min(xij; ain), де xij - величина перевезення, що стоїть у відзначеному стовпці надлишкового рядка; in - величина різниць, що стоять в надлишковому і недостатньому рядках.
8. Якщо для деякого нульового рядка виконується умова б), то перерозподіл перевіряємо по ланцюжках, що йдуть через цей нульовий рядок з надлишкового рядка в недостатній. Для побудови ланцюжка в нульовому рядку у відзначеному стовпці знаходимо клітку, для якої i0j < minij, і відзначаємо її знаком «+», в цьому ж стовпці знаходимо зайняту клітку, що стоїть в надлишковому рядку, і відзначаємо її знаком «- «- початок ланцюжка.
Починаючи рух по побудованій ланці ланцюжка від «- «до «+», потрапляємо до зайнятої клітки і відзначаємо її знаком» - «, далі по стовпцю переходимо в клітку недостатнього рядка і відзначаємо її знаком «+». Ланцюжок побудований.
Якщо матриця містить велике число нульових рядків, то ланцюжки перерозподілу можуть проходити через дещо нульових рядків і їх кількість значно зростає, тому керуємося наступним правилом. При переході з одного нульового рядка в інший визначаємо отриману суму приростів і порівнюємо її з мінімумом приростів у виділених стовпцях даного рядка. Якщо отримана сума перевищує цей мінімум, то продовження ланцюжка по даному рядку не розглядаємо. Очевидно також, що якщо сума приростів, отримана при переході в недостатній рядок, менше ніж при переході в будь-який інший нульовий рядок, то не слід розглядати продовження ланцюжка переходом в нульовий рядок.
9. Складаємо для кожного ланцюжка суму алгебри приростів ij, беремо їх негативними, якщо ж вони стоять в клітці, відзначеній знаком «- «, і позитивними, якщо клітка відзначена знаком «+». Отриману суму порівнюємо з minij:
а) якщо ijminij всіх побудованих ланцюжків, то відкидаємо їх і проводимо безпосередній перерозподіл;
б) якщо ij < minij, то перерозподіл проводимо по ланцюжку, для якого ця сума найменша.
При цьому можливий об'єм перерозподілу по ланцюжку рівний min (xik jp; in), де xik jp - числа, вказуючі на перевезення, які стоять в клітках, відзначених знаком «- «, 1 k m, 1 p n; in - різності, що стоять в надлишковому і недостатньому рядках, в яких починається і закінчується ланцюжок, 1rm. Слідуючи по ланцюжку, віднімаємо величину перерозподілів з чисел, поміщених в клітках, відзначених знаком «- «, і додаємо до чисел, які стоять в клітках, відзначених знаком «+», на цю ж величину змінюємо in. В результаті одержуємо нове закріплення споживачів за постачальниками
10. Після перерозподілу перевіряємо можливість виключення відзначених стовпців. Стовпці виключаємо з відзначених в тому випадку, якщо зайнята клітка надлишкового рядка перетворилася на незайняту або надмірний рядок перетворився на нульову. В цьому випадку наступну ітерацію слід починати з п. 6 алгоритму. Якщо кількість відзначених стовпців залишилася без зміни, то наступна ітерація починається з п. 7 алгоритму.
Процес перезакріплення продовжується до тих пір, поки всі рядки не перетворяться на нульові. При рішенні задачі дельта-методом кількість ітерацій залежить в основному від числа рядків, тому при m<n споживачів закріплюють за постачальниками, при m>n - постачальників за споживачами. Дельта-метод дозволяє вирішувати відкриту модель, не приводячи її до закритої, проте це можливо тільки в тому випадку, якщо обчислення абсолютно правильні і всі перерозподіли проведені по найкращих ланцюжках.
Метод потенціалів.
Цей метод дозволяє автоматично виділяти цикли з негативною ціною і визначати їх ціни.
Нехай є транспортна задача з балансовими умовами
xi,j = ai (i=1..m; j=1..n);
xi,j =bj (j=1..n; 1..m),
причому ai = bj - умова закритої задачі.
Вартість перевезення одиниці вантажу з Ai в Bj рівна Ci,j; таблиця вартостей задана. Вимагається знайти план перевезень (xi,j), який задовольняв би балансовим умовам і при цьому вартість всіх перевезень бала мінімальна.
Ідея методу потенціалів для вирішення транспортної задачі зводитися до наступного. Уявимо собі, що кожний з пунктів відправлення Ai вносить за перевезення одиниці вантажу (все рівно куди) якусь суму i; у свою чергу кожний з пунктів призначення Bj також вносить за перевезення вантажу (куди завгодно) суму j. Ці платежі передаються деякій третій особі («перевізнику»). Позначимо i + j = i,j (i=1..m; j=1..n) і називатимемо величину i,j «псевдовартістю» перевезення одиниці вантажу з Ai в Bj. Зазначимо, що платежі i і j не обов'язково повинні бути позитивними; не виключено, що «перевізник» сам платить тому або іншому пункту якусь премію за перевезення. Також треба відзначити, що сумарна псевдовартість будь-якого допустимого плану перевезень при заданих платежах (i і j) одна і та ж і від плану до плану не міняється.
Дотепер ми ніяк не зв'язували платежі (i і j) і псевдовартості i,j з істинними вартостями перевезень Сi,j. Тепер встановимо між ними зв'язок. Припустимо, що план (xi, j) невироджений (число базисних кліток в таблиці перевезень рівно (m + n -1). Для всіх цих кліток xi,j >0. Визначимо платежі (i і j) так, щоб у всіх базисних клітках псевдовартості були рівні вартостям:
i,j = i + j = сi,j, при xi,j >0.
- грузоперевезення транспортний мережений планування
- Що стосується вільних кліток (де xi,j = 0), то в них співвідношення між псевдовартостями і вартостями може бути яке завгодно.
- Виявляється співвідношення між псевдовартостями і вартостями у вільних клітках показує, чи є план оптимальним або ж він може бути поліпшений. Існує спеціальна теорема: Якщо для всіх базисних кліток плану (xi,j > 0)
- i + j = i,j= сi, j
- а для всіх вільних кліток (xi,j =0)
- i + j = i,j сi, j
- то план є оптимальним і ніякими способами поліпшений бути не може. Неважко показати, що це теорема справедлива також для виродженого плану, і деякі з базисних змінних рівні нулю. План, що володіє властивістю:
- i,j= сi, j (для всіх базисних кліток) (2.36)
- i,j сi, j (для всіх вільних кліток) (2.37)
- називається потенційним планом, а відповідні йому платежі (i і j) - потенціалами пунктів Ai і Bj (i=1…, m; j=1…, n). Користуючись цією термінологією вищезазначену теорему можна сформулювати так: Всякий потенційний план є оптимальним. Отже, для вирішення транспортної задачі нам потрібне одне - побудувати потенційний план. Виявляється його можна побудувати методом послідовних наближень, задаючись спочатку якоюсь довільною системою платежів, що задовольняє умові (2.14). При цьому в кожній базисній клітці вийти сума платежів, рівна вартості перевезень в даній клітці; потім, покращуючи план слід одночасно міняти систему платежів. Так, що вони наближаються до потенціалів. При поліпшенні плану нам допомагає наступна властивість платежів і псевдовартостей: Яка б не була система платежів (i і j) задовольняюча умові (2.14), для кожної вільної клітки ціна циклу перерахунку рівна різниці між вартістю і псевдовартістю в даній клітці: i,j= сi, j - i,j.
- Таким чином, при користуванні методом потенціалів для вирішення транспортної задачі відпадає самий трудомісткий елемент розподільного методу: пошуки циклів з негативною ціною.
- Процедура побудови потенційного (оптимального) плану полягає в наступному.
- Як перше наближення до оптимального плану береться будь-який допустимий план (наприклад, побудований способом мінімальної вартості по рядку). В цьому плані m + n - 1 базисних кліток, де m - число рядків, n - число стовпців транспортної таблиці. Для цього плану можна визначити платежі (i і j), так, щоб в кожній базисній клітці виконувалася умова:
- i + j = сi,j (2.38)
- Рівнянь (2.15) всього m + n - 1, а число невідомих рівно m + n. Отже, одну з цих невідомих можна задати довільно (наприклад, рівної нулю). Після цього з m + n - 1 рівнянь (2.15) можна знайти решта платежів i j, а по них обчислити псевдовартості: i,j= i + j для кожної вільної клітки.
- Якщо виявилося, що всі ці псевдовартості не перевершують вартостей
- i,j <= сi,j
- то план потенційний і, значить, оптимальний. Якщо ж хоча б в одній вільній клітці псевдовартість більше вартості (як в нашому прикладі), то план не є оптимальним і може бути поліпшений перенесенням перевезень по циклу, відповідному даній вільній клітці. Ціна цього циклу рівна різниці між вартістю і псевдовартістю в цій вільній клітці.
- Отже, приходимо до наступного алгоритму рішення транспортної задачі методом потенціалів.
- 1. Узяти будь-який опорний план перевезень, в якому відзначені m + n - 1 базисних кліток (решта кліток вільна).
- 2. Визначити для цього плану платежі (i і j) виходячи з умови, щоб в будь-якій базисній клітці псевдовартості були рівні вартостям. Один з платежів можна призначити довільно, наприклад, покласти рівним нулю.
- 3. Підрахувати псевдовартості i,j = i + j для всіх вільних кліток. Якщо виявиться, що всі вони не перевищують вартостей, то план оптимальний.
- 4. Якщо хоча б в одній вільній клітці псевдовартість перевищує вартість, слід приступити до поліпшення плану шляхом перекидання перевезень по циклу, відповідному будь-якій вільній клітці з негативною ціною (для якої псевдовартість більше вартості).
- 5. Після цього наново підраховуються платежі і псевдовартості, і, якщо план ще не оптимальний, процедура поліпшення продовжується до тих пір, поки не буде знайдений оптимальний план.
- Таким чином, поліпшення господарської діяльності досліджуваного підприємства можливо за рахунок оптимізації перевезень.
- Оптимізація перевезень відноситься до класу задач лінійного програмування, а саме до транспортної задачі. В даному розділі проведений аналіз існуючих моделей лінійного програмування і показано місце транспортних задач в загальній иерерхии лінійного програмування. Існує велика кількість транспортних задач, основною з яких можуть бути задачі по скороченню часу і задачі по скороченню вартості. Для вирішення транспортної задачі використовується ряд методів? до яких відносяться: метод північно-західного кута; метод мінімального елемента; метод Фогеля; симплекс-метод, дельта-метод; метод потенціалів; мережний метод.
- Кожний з перерахованих методів володіє певними достоїнствами і недоліками, вираженими, перш за все, в можливості використовування і трудомісткості обчислень. В даному розділі розглянуті алгоритми кожного з методів. Надалі в дипломній роботі розглядатимемо дві різних методу, які грунтуються на різному використовуванні математичного апарату: симплекс метод (вирішуваний за допомогою MS Excel) і мережний метод.
- 3. Модель транспортних перевезень для АТП 11467
- 3.1 Загальна постановка задачі транспортних перевезень
- Аналіз діяльності АТП 11467 дозволив визначити наступних постачальників і споживачів по цеглині, які забезпечуються АТП: Снежнянській машинобудівний завод, Енергостройінвест, Донецький торговий університет, ТОВ «Промстрой». Відповідно потреба даних споживачів складе: 12 т, 16,5 т., 14,0., 60 т.
- Як постачальники продукції, яку перевозить Торезськоє АТП виступають: фірма «Строймак», фірма «Еліта», фірма «Олімп», фірма «Цеглинка». Тарифи перевозів одиниці продукції від кожного постачальника кожному споживачу задаються матрицею:
- Можливості поставки складають 30 т., 20 т., 40 т., 40 т.
- Складемо математичну модель задач.
- Маємо:
- m (i=1,2., 4) - постачальники продукції.
- Ai - кількість одиниць продукції «i» постачальника.
- n (j=1,2., 4) - споживачі
- Bj - потреби «j» споживача
- Cij - вартість перевезення 1 умовної одиниці продукції від «i» постачальника до «j» споживача.
- Для даної задачі існують наступні обмеження.
- 1) Балансове обмеження.
- Передбачається, що сума всіх запасів (ai) рівна сумі всіх заявок (bj):
- (3.1)
- Слід зазначити, що для даної постановки задачі дана умова не виконується, оскільки
- (3.2)
- (3.3)
- Тобто спостерігається перевищення об'єму по постачальниках над об'ємам по споживачах.
- Таким чином, слід ввести додаткового споживача на об'єм перевищення (на 27,7 тонн). Нехай дана фірма носить назву «Фіктів». Даною фірмою необхідно поставити 27, т вугілля. І його необхідно пов'язати зі всіма постачальниками.
- Цього споживача необхідно пов'язати зі всіма постачальниками, причому вартість перевезення повинна бути достатньо великої і однакової для всіх споживачів. Приймемо її рівній 20 грн. Таким чином, матриця вартостей прийме вигляд:
- (3.4)
- 2. Ресурсне обмеження.
- Сумарна кількість вантажу, направленого від кожного постачальника до всіх споживачів, повинна бути рівна запасу вантажу у даного постачальника. Це дасть m - умов рівності:
- (3.5)
- Тото
- (3.6)
- Для нашої задачі таке обмеження буде рівне
- (3.7)
- 3. Планове обмеження.
- Сумарна кількість вантажу, що доставляється кожному споживачу призначення від всіх постачальників повинне бути рівна заявці (bj), поданої даним споживачем. Це дасть нам n - умов рівності:
- (3.8)
- Тобто
- (3.9)
- Для нашої задачі таке обмеження буде рівне.
- (3.10)
- 4. Реальність плану перевезень.
- Перевезення не можуть бути негативними числами
- 5. Вимагається скласти такий план перевезень, при якому всі заявки б були виконані і при цьому загальна вартість всіх перевезень би була мінімальна, тому цільова функція або критерій ефективності:
- (3.11)
- Таким чином, дана постановка дозволяє оптимізувати перевезення на АТП 11467.
- 3.2 Використання мереженого планування для рішення транспортної задачі
- Оптимізація за допомогою сіті дозволяє прослідити всі ітерації і перерозподіл поставок від постачальників до споживачів. Представимо початкову задачу у вигляді сіті, в якій всі споживачі матимуть порядкові номери від I до IV, а всі постачальники від V до VIII. Таким чином, сіть має вигляд (рис. 3.1).
- Рисунок 3.1 - Представлення транспортної задачі у вигляді сіті
- Рисунок 3.2 - Первинний план перевезень
- Для вирішення даної транспортної задачі побудуємо первинний план. Первинний план і цільова функція прикмет вигляд (рис. 3.2).
- Вартість перевезень на першому кроці складе за вирахуванням фіктивної поставки:
- Розрахуємо потенціали. Їх розрахунок приведений на рис. 3.3
- На основі отриманих потенціалів розрахуємо різниці потенціалів між всіма вершинами, для яких не існує поставок. Різниці потенціалів приведені в табл. 3.1
- Рисунок 3.3 - Розрахунок потенціалів
- Таблиця 3.1 - Різниці потенціалів
|
Вершина, i
|
Вершина, j
|
|
|
|
I
|
V
|
0.5
|
|
|
VII
|
1.7
|
|
|
VIII
|
1.1
|
|
|
II
|
V
|
-0,6
|
|
|
VII
|
-1
|
|
|
III
|
V
|
-1.6
|
|
|
VIII
|
-1,2
|
|
|
IV
|
VI
|
0
|
|
|
VIII
|
1.3
|
|
|
IX
|
V
|
-0,6
|
|
|
VI
|
-0,1
|
|
|
VII
|
-0,1
|
|
|
- Як бачимо, між вершинами III і VI існує найменша негативна різниця потенціалів, следовательно, тобто необхідно ввести поставку, перерахувати нові потенціали (рис. 3.4).
- Рисунок 3.4 - Перерахунок сіті
- Тоді вартість поставки складе
- Нова різниця потенціалів наведена в табл. 3.2
- Таблиця 3.2 - Різниця потенціалів
|
Вершина, i
|
Вершина, j
|
|
|
|
I
|
V
|
2.1
|
|
|
VII
|
3.3
|
|
|
VIII
|
1.1
|
|
|
II
|
V
|
1
|
|
|
VII
|
0.6
|
|
|
III
|
VII
|
1.6
|
|
|
VIII
|
-1,2
|
|
|
IV
|
VI
|
0
|
|
|
VIII
|
1.3
|
|
|
IX
|
V
|
1
|
|
|
VI
|
-0,1
|
|
|
VII
|
1.5
|
|
|
- Як бачимо, рішення не є актуальним, тобто необхідно ввести поставку VIII III (рис. 3.5).
- Рисунок 3.5 - Перерахунок сіті
- Тоді вартість складе
- Як бачимо вартість постійно зменшується, тобто оптимізація проходить правильно.
- Нова різниця потенціалів наведена в табл. 3.3
- Таблиця 3.3 - Різниця потенціалів
|
Вершина, i
|
Вершина, j
|
|
|
|
I
|
V
|
2.1
|
|
|
VII
|
3.3
|
|
|
VIII
|
1.1
|
|
|
II
|
V
|
1
|
|
|
VII
|
0.6
|
|
|
III
|
VI
|
1,2
|
|
|
VII
|
1,6
|
|
|
IV
|
VI
|
-0,4
|
|
|
VIII
|
0,9
|
|
|
IX
|
V
|
-0,2
|
|
|
VI
|
-0,1
|
|
|
VII
|
0,3
|
|
|
- Рисунок 3.6 - Перерахунок мережі
- Аналіз табл. 3.3 показав необхідність ввести поставку VI IV. Перерахуємо нову мережу (рис. 3.6)
- Тоді вартість складе
- Нова різниця потенціалу приведена а табл. 3.4
- Таблиця 3.4 - Різниця потенціалів
|
Вершина, i
|
Вершина, j
|
|
|
|
I
|
V
|
0,5
|
|
|
VII
|
1,7
|
|
|
VIII
|
1.1
|
|
|
II
|
V
|
-0,6
|
|
|
VII
|
-1
|
|
|
III
|
VI
|
1,2
|
|
|
VII
|
1,6
|
|
|
VIII
|
0,4
|
|
|
IV
|
VI
|
1,3
|
|
|
IX
|
V
|
-0,6
|
|
|
VI
|
-0,1
|
|
|
VII
|
-0,1
|
|
|
- Аналіз табл. 3.4 показав необхідність ввести поставку VII II. Перерахуємо нову мережу (рис. 3.7)
- Рисунок 3.7 - Перерахунок сіті
- Нова вартість складе
- Нова різниця потенціалів наведена в табл. 3.5
- Таблиця 3.5 - Різниця потенціалів
|
Вершина, i
|
Вершина, j
|
|
|
|
I
|
V
|
0,5
|
|
|
VII
|
1,7
|
|
|
VIII
|
0,1
|
|
|
II
|
V
|
0,4
|
|
|
VI
|
1
|
|
|
III
|
VI
|
1,6
|
|
|
VII
|
1,6
|
|
|
VIII
|
-0,6
|
|
|
IV
|
VI
|
0,3
|
|
|
IX
|
V
|
0,4
|
|
|
VI
|
0,9
|
|
|
VII
|
0,4
|
|
|
- Аналіз табл. 3.5 показав необхідність ввести поставку VIII III. Перерахуємо нову мережу (рис. 3.7)
- Нова вартість складає
- Нова різниця потенціалів наведена в табл. 3.6
- Таблиця 3.6 - Різниця потенціалів
|
Вершина, i
|
Вершина, j
|
|
|
|
I
|
V
|
0,5
|
|
|
VII
|
1,7
|
|
|
VIII
|
0,7
|
|
|
II
|
V
|
0,4
|
|
|
VI
|
1
|
|
|
VIII
|
0.6
|
|
|
III
|
VI
|
1,6
|
|
|
VII
|
1,6
|
|
|
IV
|
VI
|
0,3
|
|
|
IX
|
V
|
-0.2
|
|
|
VI
|
0.3
|
|
|
VII
|
0.3
|
|
|
- Рисунок 3.7 - Перерахунок сіті
- Аналіз табл. 3.6 показав необхідність ввести поставку V IX. Перерахуємо нову мережу (рис. 3.8)
- Нова різниця потенціалів наведена в табл. 3.7
- Таблиця 3.7 - Різниця потенціалів
|
Вершина, i
|
Вершина, j
|
|
|
|
I
|
V
|
0,5
|
|
|
VII
|
1,7
|
|
|
VIII
|
0,5
|
|
|
II
|
V
|
0,4
|
|
|
VI
|
1
|
|
|
VIII
|
0.4
|
|
|
III
|
V
|
0.2
|
|
|
VI
|
1.8
|
|
|
VII
|
1,8
|
|
|
IV
|
VI
|
0,7
|
|
|
IX
|
VI
|
0.5
|
|
|
VII
|
0.5
|
|
|
- Рисунок 3.8 - Перерахунок сіті
- Таким чином, опорний план є оптимальним і загальна вартість перевезень складає 547.7 тис. грн.
- Проведемо аналіз оптимального плану перевезень і плану, який існувал на підприємстві. Існуючий план представлений на рис. 3.9.
- Рисунок 3.9 - Існуючий план
- Вартість перевезень складає:
- Таким чином, економія при оптимізації складає 71,35 тис. грн. на рік, яка може бути використана на оновлення парку автомобілів.
- Також проведений аналіз показав, що деякі маршрути є оптимальними. Однак кількість перевезень не оптимальна.
- 3.3 Вирішення транспортної задачі з використанням симплекс-методу
- Для оптимізації вантажоперевезень скористаємося пакетом MS Excel і запрограмуємо симплекс метод в даному пакеті. Для цього скористаємося методом «Пошук рішень».
- Для вирішення в пакті MS Excel скористаємося наступним алгоритмом
- 1) Введення початкових даних:
- - введення вартості перевезень (в рядки B3:F6). Введення даних представлено на рис. 3.10
- - введення об'єму запасів на складах постачальників (в рядки G3:G6) (рис 3.11);
- - введення об'єму споживання (в рядки B7:F7) (рис. 3.12).
- Таким чином, початкові дані мають вигляд (рис. 3.13).
- Рисунок 3.10 - Введення вартості перевезень
- Рисунок 3.11 - Запаси постачальників
- Рисунок 3.12 - Об'єми споживання
- Рисунок 3.13 - Початкові дані
- 2) Введення обмежень:
- Виберемо як змінні рядки, рядок B11:F14 (рис. 3.14)
- Тоді можна ввести системи обмежень (3.7) і (3.10). Для введення систем обмежень необхідно порахувати наступні суми:
- Рисунок 3.14 - Змінні ряд
- - в рядку G11: сума рядків B11:F11
- - в рядку G12: сума рядку B12:F12
- - в рядку G13: сума рядку B13:F13
- - в рядку G14: сума рядку B14:F14
- - в рядку В15: сума рядку B11:В14
- - в рядку С15: сума рядку С11:С14
- - в рядку D15: сума рядку D11:D14
- - в рядку E15: сума рядку E11:E14
- Дані суми представлені на рим. 3.15
- Рисунок 3.15 - Введення обмежень
- 3) Встановлення цільової функції
- Скористаємося формулою 3.11 і встановимо цільову функцію в рядку Н3 (Н3=СУММПРОИЗВ (B3:F6; B11:F14)) (рис. 3.16).
- Рисунок 3.16 - Цільова функція
- Початкове значення цільової функції рівно 0, оскільки ще жодна одиниця товару не перевезена
- 4) Використання пошуку рішень.
- Вікно пошуку рішень має вигляд (рис. 3.17):
- Рисунок 3.17 - Чисте вікно пошуку рішень
- Встановимо цільову функцію рівної мінімальному значенню.
- Як змінні рядки виберемо наступні: B11:F14
- Як обмеження виберемо наступні обмеження:
- - обмеження по постачальниках: G11:G14=G3:G6
- - обмеження по споживачах: B7:F7=B15:F15
- - обмеження позитивності B11:F14>=0
- Таким чином, пошук рішень прийме вигляд (рис. 3.18).
- Рисунок 3.18 - Пошук рішень при введенні всіх даних
- Проведемо прогін рішення за допомогою методу Ньютона і проаналізуємо всі ітерації.
- Ітерація 1. Ітерація представлена на рис. 3.19.
- Рисунок 3.19 - Ітерація 1
- Цільова функція рівна 504 тис. грн
- Ітерація 2. Ітерація представлена на рис. 3.20.
- Рисунок 3.20 - Ітерація 2
- Цільова функція рівна 658 тис. грн
- Ітерація 3. Ітерація представлена на рис. 3.21.
- Рисунок 3.21 - Ітерація 3
- Цільова функція рівна 876 тис. грн
- Ітерація 4. Ітерація представлена на рис. 3.22.
- Рисунок 3.22 - Ітерація 4
- Цільова функція рівна 962 тис. грн.
- Ітерація 5. Ітерація представлена на рис. 3.23.
- Рисунок 3.23 - Ітерація 5
- Цільова функція рівна 1103 тис. грн
- Ітерація 6. Ітерація представлена на рис. 3.24.
- Рисунок 3.24 - Ітерація 6
- Цільова функція рівна 1130 тис. грн
- Ітерація 7. Ітерація представлена на рис. 3.25.
- Рисунок 3.25 - Ітерація 7
- Цільова функція рівна 1126 тис. грн
- Ітерація 8. Ітерація представлена на рис. 3.26.
- Рисунок 3.26 - Ітерація 8
- Цільова функція рівна 1122 тис. грн
- Ітерація 9. Ітерація представлена на рис. 3.27.
- Рисунок 3.27 - Итерация 9
- Як видно з ітерацій вже на шостій ітерації почали виконуватися всі умови.
- Проаналізуємо межі стійкості (рис. 3.28 і рис. 3.29 відповідно)
- Рисунок 3.28 - Анализ межі
- Аналіз меж показує, що межі і знайдені рішення співпадають. Аналіз стійкості також свідчить про наявність стійких рішень.
- Таким чином, можна зробити ряд висновків:
- 1) аналізованому підприємству необхідно здійснювати перевезення по наступному маршруту:
- - фірма «Еліта» Снежнянський машинобудівний завод (12 тонн);
- - фірма «Олімп» Енергобудінвест (16,5 тонн);
- Рисунок 3.29 - Аналіз стійкості
- - фірма «Цеглинка» Донецький торговий університет (14 тонн)
- - фірма «строймак» ТОВ «Промстрой» (28,5 тонн)
- - фірма «Еліта» ТОВ «Промстрой» (8 тонн)
- - фірма «Олімп» ТОВ «Промстрой» (23,5 тонн)
- - фірма «строймак» фіктивній фірмі (1,5 тонни)
- - фірма «Цеглинка» фіктивній фірмі (26 тонн)
- Представимо у вигляді графа, дані перевезення (рис. 3.30):
- Значення цільової функції складе з урахуванням фіктивних перевезень 1097,7 тис. грн., без урахування фіктивних перевезень 547,7 тис. грн.
- Рисунок 3.30 - Граф перевезень
- Таким чином, при запланованому обсязі перевезень прибуток АТП складає
- 1869,6-547,7=1321,9 тис. грн
- В даному розділі була проведена оптимізація вантажоперевезень Торезського АТП 11467. Перш ніж проводити дану оптимізацію, нам необхідно було коректно поставити задачу. Внаслідок чого була здійснена математична і економічна постановка задачі.
- На основі даних постановок було реалізовано два методи рішення транспортних задач: симплекс метод за допомогою пакету MS Excel і мережний метод. Гідністю першого методу є простота в розрахунках, гідністю другого - їх візуалізація. Ці методи показали однакові результати при дослідженні. В результаті дослідження було показано, що при оптимізації вантажоперевезень загальна їх вартість складе 547,7 тис. грн, а прибуток підприємства 1321,9 тис. грн. Слід зазначити, що при здійсненні оптимізації економія складе 71,35 тис. грн. в рік.
Висновки
Оптимізація перевезень автотранспортного підприємства є в сучасних умовах господарювання актуальною темою, що пов'язано з необхідністю підприємствам самостійно ухвалювати рішення про вантажоперевезення і як наслідок зазнавати збитки в результаті некомпетентного ухвалення рішень.
Аналіз діяльності Торезського АТП 11467 свідчить, що на підприємстві відбувається погіршення його виробничо-господарських показників, що обумовлено як зростанням конкуренції на ринку автоперевозок, так і за рахунок неефективного менеджменту в області перевезень.
Ліквідація даних проблем можлива при застосуванні економіко-математичного підходу до планування перевезень. Даний підхід дозволяє оптимізувати перевезення здійснювані АТП, що може привести до скорочення вартості перевезень, або до зменшення часу затрачуваного на перевезення
Таким чином, поліпшення господарської діяльності досліджуваного підприємства можливо за рахунок оптимізації перевезень.
Оптимізація перевезень відноситься до класу задач лінійного програмування, а саме до транспортної задачі. В даному розділі проведений аналіз існуючих моделей лінійного програмування і показано місце транспортних задач в загальній иерерхии лінійного програмування. Існує велика кількість транспортних задач, основною з яких можуть бути задачі по скороченню часу і задачі по скороченню вартості. Для вирішення транспортної задачі використовується ряд методів? до яких відносяться: метод північно-західного кута; метод мінімального елемента; метод Фогеля; симплекс-метод, дельта-метод; метод потенціалів; мережний метод.
Кожний з перерахованих методів володіє певними достоїнствами і недоліками, вираженими, перш за все, в можливості використовування і трудомісткості обчислень. В даному розділі розглянуті алгоритми кожного з методів. Надалі в дипломній роботі розглядатимемо дві різних методу, які грунтуються на різному використовуванні математичного апарату: симплекс метод (вирішуваний за допомогою MS Excel) і мережний метод.
В третьому розділі була проведена оптимізація вантажоперевезень Торезського АТП 11467. В результаті дослідження було показано, що при оптимізації вантажоперевезень загальна їх вартість складе 547,7 тис. грн, а прибуток підприємства 1321,9 тис. грн. Слід зазначити, що при здійсненні оптимізації економія складе 71,35 тис. грн. в рік.
Список джерел інформації
1. Бурков В.Н., Донев Б., Енакеев А.Н. и др. Большие системы: моделирование организационных механизмов. - М.: Наука, 1989. - 246 с.
2. Бурков В.Н., Черепов В.А. Модели и методы управления организационными системами. - М.: Наука, 1994. - 270 с.
3. Бурков В.Н., Кондратьев В.В. Механизмы функционирования организационных систем. - М.: Наука, 1981. - 384 с.
4. Бурков В.Н., Новиков Д.А. Введение в теорию активных систем. - М.: ИПУ РАН, 1996. - 125 с.
5. Голубков Е.П. Использование системного анализа в принятии плановых решений. - М.: Экономика, 1982. - с.
6. Денисов А.А. Колесников Д.Н. Теория больших систем управления. Л.: Энергоиздат, 1982. - с.
7. Одрин В.М., Картавов С.С. Морфологический анализ систем. - Киев: Наукова думка. 1977. - с.
8. Клебанова Т.С., Забродский В.А. и др. Методы исследования операций. - Х.: ХГЭУ, 1999. - 158 с.
9. Давыдов В.Г. Исследование операций. - М.: Высш.шк., 1990. - 384 с.
10. Кузнецов Ю.П., Кузубова В.И. и др. Математическое программирование. - М.: Высш.шк., 1976. - 352 с.
11. Дубрев А.М., Мхиторян В.С. Многомерные статистические методы. - М.: Финансы и статистика. 1998. - 350 с.
12. Рейльян Я.Р. Аналитическая основа принятия управленческих решений. - М.: ФиС, - 1989. - 208 С.
13. Теория систем и методы системного анализа в управлении и связи / В.Н. Волкова, В.А. Воронов, А.А. Денисов. - М.: Радио и связь. 1983.
14. Тян Д.Б., Холод Б.І. Управління проектами. - Дніпропетровськ: ДАУ, 2000. - 224 с.
15. Черняк Ю.И. Системный анализ в управлении экономикой. - М.: Экономика, 1975. - с.
16. Дадаян В.С. Моделирование народнохозяйственных процессов. - М.: экономика. 1973. - 479 с.
17. Ю.Н. Кузнецов В.И. Кузубов А.Б. Волощенко «Математическое программирование»
18. Е.Г. Гольштейн Д.Б. Юдин «Задачи линейного программирования транспортного типа»
19. В.С. Немчинолова «Методы и алгоритмы решения транспортной задачи»
20. Ю.Н. Кузнецов «Линейного программирования «
21. Закон України «Про охорону праці», листопад 2002 р.
22. ГОСТ 12.0.003 - 74 ССБТ. Опасные и вредные производственные факторы. Классификация. - Введ. 01.01.76.
23. ГОСТ 12.1.005-88 ССБТ. Общие санитарно-гигиенические требования к воздуху рабочей зоны. - Введ. 01.01.89.
24. СНиП 2.04.05-91 Нормы проектирования. Отопление, вентиляция и кондиционирование воздуха. - М.: Стройиздат, 1991
25. ДБН В.2.5-28-2006 Природне і штучне освітлення. К.: Мінбуд. Укр., 2006. - 74 с.
26. ГОСТ 12.1.003-83* ССБТ. Шум. Общие требования безопасности.
27. ГОСТ 12.1.002-84 ССБТ. Электрические поля промышленной частоты. Допустимые уровни напряжённости на рабочих местах.
28. ГОСТ 12.1.045-84 ССБТ. Электростатические поля. Допустимые уровни на рабочих местах и требования к проведению контроля.
29. ГОСТ 17.1.3.03-77*. Правила выбора и оценка качества источников централизованного хозяйственно-питьевого водоснабжения. - Введ. 01.07.78.
30. НПАОП 0.00 - 1.31 - 99 Правила охорони праці під час експлуатації ЕОМ.
31. Державні санітарні правила і норми роботи з візуальними дисплейними терміналами електронно-обчислювальних машин ДСанПіН 3.3.2.007, Київ 1998.
32. Методические указания к созданию благоприятных условий труда пользователей ПЭВМ, работающих с дисплеями на ИВЦ - Харьков: Минздрав УССР, 1986.
33. Правила устройства электроустановок. Энергоатомиздат, 1987.
34. НПАОП 40.1 - 1.32 - 01 Правила будови електроустановок. Електрообладнання спеціальних установок.
35. НАПБ Б.03.002-2007 Норми визначення категорій приміщень, будинків та зовнішніх установок за вибухопожежною та пожежною небезпекою. Київ -2007.
36. ДБН В.1.1 - 7 - 2002 Пожежна безпека об'єктів.
37. Дуганов Г.В. и др. Охрана окружающей природной среды. - К.:Выща шк. 1988. - 304 с.
