Параметрический синтез нелинейной стохастической системы
Работа из раздела: «
Экономико-математическое моделирование»
/
/
Введение
Задана структурная схема системы (рисунок 1)
Рисунок 1.
и передаточная функция детерминированной части:
.
Задающее воздействие детерминированное: .
Помеха - стационарная случайная функция с математическим ожиданием, равным нулю, и спектральной плотностью
.
Требуется:
1. Рассчитать зависимости математического ожидания и дисперсии ошибки системы от величины коэффициента передачи в установившемся процессе. Автоколебания в системе считаются недопустимыми.
2. Выбрать оптимальное значение из условия минимума границы значений по вероятности: .
Исходные данные представлены в таблице.
1. Порядок расчета установившегося случайного процесса в системе управления
Для расчета установившегося случайного процесса в системе при стационарных случайных воздействиях применяется спектральный метод.
Данный аналитический метод, называемый также методом передаточных функций, детально развит в рамках теории автоматического управления [1,2] и основан на использовании структурно-динамических схем систем и спектральных плотностей случайных процессов. Непосредственное использование спектральных плотностей возможно только для стационарных процессов. Поэтому данный метод позволяет строить модели процессов, соответствующих некоторым установившимся режимам в стационарных системах при стационарных воздействиях.
Применение данного метода основано на использовании двух свойств линейных систем:
1. Реакция линейной системы на совокупность входных воздействий может быть определена как сумма ее реакций на каждое из них в отдельности (принцип суперпозиции).
2. Случайный сигнал на выходе физически реализуемого линейного динамического звена имеет закон распределения, близкий к нормальному (свойство фильтра).
Второе свойство, строго говоря, имеет место при следующем соотношении между порядком знаменателя n и числителя m передаточной функции звена или системы: n - m ? 2. Однако его обычно используют во всех случаях, когда выполняется условие физической реализуемости n-m ? 1.
Благодаря указанным свойствам оказывается возможным изолированно рассматривать преобразование линейной системой детерминированных и центрированных случайных составляющих входных сигналов и ограничиваться для выходного сигнала или ошибки системы нахождением только математического ожидания и дисперсии, полностью определяющих нормальный закон распределения. Для оценки корреляционных свойств выходных сигналов используются корреляционные функции и спектральные плотности.
Каждый случайный входной сигнал преобразуется в сумму:
,
где mg(t) - детерминированная составляющая, или математическое ожидание входного сигнала; - центрированная случайная составляющая входного сигнала (случайный процесс с нулевым математическим ожиданием).
Модель преобразования детерминированной составляющей строится на основе стандартного аппарата передаточных функций:
L[my(t)] = Ц(p) L[mg(t)],
где L[mg(t)], L[my(t)] - изображения по Лапласу детерминированных составляющих соответственно входного и выходного сигналов; Ц(p) - передаточная функция звена или системы.
Выходной сигнал в установившемся процессе может быть определен по теореме о конечном значении:
Например, при mg(t)=const для асимптотически устойчивой системы получим: my=Ц(0) mg=const.
Модель преобразования центрированной случайной составляющей строится для спектральных плотностей
Sy(щ)=|Ц(jщ)|2Sg(щ),
где спектральная плотность входного сигнала определяется по его корреляционной функции
По полученной спектральной плотности выходного сигнала находят его дисперсию:
Этот интеграл обычно удается привести к форме:
,
где
hn(jщ)=b1(jщ)2n-2 +b2(jщ)2n-4 + … +bn, gn(jщ)=a0(jщ)n +a1(jщ)n-1 + … +an. (1)
Тогда:
, (2)
где ?n - n-й определитель Гурвица для многочлена gn(p) [3], а ?'n получается из ?nзаменой 1-й строки коэффициентами многочлена hn. Например, при n=4
, . (3)
Для системы с несколькими случайными входными сигналами, если они не коррелированы между собой, математическое ожидание и дисперсия выходного сигнала определяются на основе принципа суперпозиции:
,
,
где и - математическое ожидание и спектральная плотность k-го входного сигнала (задающего или возмущающего воздействия); ; - передаточная функция системы от k-го входа к выходу.
Таким образом, выходной сигнал определяется в форме , причем центрированная случайная составляющая описывается дисперсией Dy.
Аналогичный подход используется при нахождении ошибки системы. Она определяется в форме: . Пусть на систему действуют детерминированное задающее воздействие g(t) и несколько некоррелированных случайных возмущений , k=1,2,…, K.
Тогда математическое ожидание ошибки определяется в виде суммы:
,
где , , Цx(p) - передаточная функция системы по ошибке от задающего воздействия, - передаточная функция системы по k-му возмущающему воздействию, k=1,2,…, K.
Дисперсия ошибки совпадает с дисперсией выходного сигнала.
2. Статистическая линеаризация нелинейной части системы
Статистической линеаризацией называется построение линейной модели нелинейного звена системы управления с учетом характеристик преобразования случайного сигнала линейной частью системы (рисунок 2).
Методы статистической линеаризации основаны на допущении о наличии у линейной части системы свойства фильтра. Благодаря этому, сигнал на входе нелинейного звена, то есть на выходе линейной части (рисунок 2), рассматривается в форме , причем для описания центрированной составляющей ограничиваются дисперсией Dx или среднеквадратическим отклонением уx. При нескольких входных сигналах для каждого используется аналогичное представление, а для описания совокупности центрированных составляющих - матрица моментов.
Для однозначной нелинейности общего вида статистически линеаризованная модель имеет вид: .
Для однозначной нечетной относительно входного сигнала нелинейности j(-x)=-j(x) коэффициент j0 выражают через математическое ожидание входного сигнала: j0 = k0mx.
Коэффициент j0 называется средней статистической характеристикой нелинейности; коэффициент k0 - статистическим коэффициентом усиления по математическому ожиданию; коэффициенты k1 - статистическим коэффициентам усиления по случайным составляющим входных сигналов.
Значения коэффициентов статистической линеаризации определяют на основе критериев вероятностной эквивалентности. Обычно используют два критерия.
Первый критерий состоит в равенстве математических ожиданий и дисперсий сигналов на выходе статистически линеаризованного и исходного нелинейного звеньев. Для однозначной исходной нелинейности имеем:
,
,
где f(x) - ПРВ сигнала X на входе нелинейного звена.
Математическое ожидание выходного сигнала линеаризованного звена M[Y] равно j0 (или k0mx для нечетной нелинейности), а его дисперсия D[Y] связана с дисперсией и среднеквадратическим отклонением входного сигнала в соответствии с (4.15):
В результате получим:
или , (4)
. (5)
Знак в формуле соответствует знаку производной в точке, соответствующей mx.
Второй критерий состоит в минимизации среднего квадрата ошибки аппроксимации выходного сигнала нелинейного звена выходным сигналом линеаризованного звена:
.
Раскроем скобки в выражении для h2 и применим к нему первое необходимое условие экстремума по j0 и k1:
,
,
.
Решение полученных уравнений дает выражения для определения j0 и k1, доставляющих минимум h2:
,
. (6)
Обычно рекомендуют вычислять k1 как среднее арифметическое:
,
где - значение, получаемое на основе первого критерия по (4.20); - значение, получаемое на основе второго критерия по (4.21).
Все полученные расчетные соотношения для определения коэффициентов статистической линеаризации предусматривают использование ПРВ сигналов на входе линеаризуемого звена. В силу допущения о наличии у линейной части системы свойства фильтра, обычно используется ПРВ нормального закона распределения.
В курсовой работе задано нелинейное звено с однозначной статической характеристикой типа двухпозиционного реле (рисунок 3).
Его линеаризация выполняется в форме . Для определения k0 применим формулу (4):
,
где - стандартизованная нормальная величина. И далее:
,
где Ф(u) - интеграл вероятностей, рассмотренный в разд. 3.
Аналогично на основе (5), (6) можно получить:
,
.
3. Расчет математического ожидания и среднеквадратического отклонения сигнала ошибки
Замена нелинейного звена линеаризованной моделью позволяет использовать принцип суперпозиции - провести раздельный анализ преобразования системой детерминированных и случайных составляющих входных сигналов. Особенность применения принципа суперпозиции на основе статистической линеаризации состоит в том, что для случайных составляющих нелинейное звено заменяется безынерционным звеном с коэффициентом k1, а для детерминированных - безынерционным звеном с коэффициентом k0 (при нечетной нелинейности) или постоянным сигналом ?0.
Определяемые по полученным выше формулам коэффициенты статистической линеаризации оказываются функциями моментов распределения сигналов на входе нелинейности, которые, в свою очередь, вычисляются через передаточные функции системы, включающей в себя линеаризованное звено, то есть зависят от коэффициентов статистической линеаризации. Вследствие этого расчет стационарного процесса в статистически линеаризованной системе сводится к решению системы нелинейных алгебраических уравнений, требующему применения численных методов.
Для заданной системы (рисунок 1) передаточная функция линейной части:
.
Задающее воздействие изменяется по закону g(t)=g1 (t). На входе действует случайная помеха F(t) с нулевым математическим ожиданием и спектральной плотностью . Требуется определить математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение сигнала ошибки в установившемся процессе.
Выделим детерминированную и случайную составляющие сигнала ошибки: . С учетом характера входных сигналов и в соответствии с принципом суперпозиции составляющие сигнала ошибки в линеаризованной системе будут определяться следующим образом:
mx(t)= xgуст, .
Для расчета детерминированной составляющей сигнала ошибки после линеаризации используется структурная схема (рис. 4, а), а для расчета центрированной случайной составляющей - структурная схема (рис. 4, б), где
,
=k1(mx,уx).
Для полученных структурных схем искомые характеристики сигнала ошибки определяются следующим образом: mE=mx, DE=DY.
При расчете детерминированной составляющей передаточная функция замкнутой системы по ошибке имеет вид:
.
В результате: .
Среднеквадратическое отклонение сигнала ошибки в рассматриваемой задаче полностью определяется возмущающим воздействием и находится через дисперсию выходного сигнала и передаточную функцию замкнутой системы по возмущению, которая в рассматриваемом примере примет вид:
.
В результате: ,
Коэффициенты полиномов (1) примут вид:
a0=T1T2, , ,
, b0=0, b1=0, .
Определители (3) будут иметь третий порядок и получаются следующими:
=
.
В результате:
При заданных k, T и c для расчета характеристик ошибки необходимо решить систему нелинейных алгебраических уравнений:
mE=,
,
,
.
4. Решение уравнений и построение зависимостей
С помощью программы, написанной на языке MATLAB, решив систему методом последовательных приближений, мы найдем зависимости коэффициентов статистической линеаризации, математического ожидания и среднеквадратического отклонения ошибки системы E(t) от величины коэффициента передачи k. Для нахождения зависимости M от k использована функция MATLAB fzero. Текст программы представлен в приложении А. Графики зависимостей представлены на рисунках 5-9.
Рисунок 5
Рисунок 6
Рисунок 7
Рисунок 8
Рисунок 9
Заключение
Оптимальным коэффициентом передачи линейного звена является такое значение, которому соответствует наименьшее значение параметра M. С настоящими исходными данными минимума для функции М нет, так как зависимость монотонно возрастающая.
Список использованных источников
1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления. - СПб: Профессия, 2003.
2. Емельянов В.Ю. Методы моделирования стохастических систем управления: учеб. пособие для ВУЗов. - СПб: БГТУ, 2004.
3. Андриевский Б.Р., Емельянов В.Ю., Коротков Б.Ф. Теория управления: Лабораторный практикум в среде MATLAB/SIMULINK. - СПб: БГТУ, 2001.
