Оцінка адекватності математичної моделі статистичним даним
Работа из раздела: «
Экономико-математическое моделирование»
Міністерство освіти і науки україни
Хмельницький національний університет
КОНТРОЛЬНА РОБОТА №1
з дисципліни Економіко-математичне моделювання
Виконав Віхтюк Р.Г.
Задача 1.
За статистичними даними, приведеними у таблиці 3 побудувати виробничу функцію Кобба-Дугласа, яка описує залежність між об'ємом виробництва Y (результативна ознака) і кількістю спожитої праці L та виробничого капіталу K (чинники). Методом математичної екстраполяції розрахувати прогнозне значення обсягу виробництва при заданих прогнозних значеннях витрат праці та виробничого капіталу.
Провести оцінку адекватності моделі за критерієм Фішера. Розрахунки провести з надійністю .
Таблиця 1 Функція Кобба-Дугласа лінійна і має вигляд: .
|
89,7
|
95,4
|
93,1
|
87,4
|
106,7
|
100,2
|
109,8
|
110,6
|
116,3
|
122,2
|
144,4
|
-
|
|
|
12,6
|
11,9
|
12,4
|
11,1
|
14,0
|
14,4
|
13,1
|
14,5
|
15,6
|
14,3
|
17,4
|
19,0
|
|
|
4,8
|
4,0
|
4,1
|
5,3
|
7,4
|
6,4
|
8,0
|
7,3
|
6,4
|
8,8
|
10,0
|
14,0
|
|
|
Головним в аналізі динамічних рядів є виявлення тенденції (тренду), тобто основної направленості в розвитку явища. Для цього використовують різні прийоми: збільшення інтервалів, механічне згладжування за допомогою ковзної середньої та аналітичне вирівнювання. Останній прийом найзручніший для прогнозування економічних процесів, тому що основна тенденція за цим методом описується у вигляді математичної залежності як функція часу у=(t).
Порівнюючи графік вихідного динамічного ряду з кривими різних функцій, встановлюємо, що найкраще його тенденція описується логарифмічною функцією lgy=a0+a1lgt+a2(lgt)2.
Параметри а0 , а1 , та a2 визначаємо із системи рівнянь
Для знаходження параметрів a0, a1 та a2 скористаємося системою рівнянь, наведеною вище. Необхідні обчислення проведено в табл. Підставляючи в систему необхідні суми, дістаємо:
Розв'язком системи є a0=2,072; a1=-0,137; a2=-0,1397.
Таблиця 2
|
t
|
lgt
|
(lgt)2
|
(lgt)3
|
(lgt)4
|
y
|
lgy
|
lgtlgy
|
lgy(lgt)2
|
yt
|
|
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
112
|
2,05
|
0
|
0
|
118
|
|
|
2
|
0,30
|
0,09
|
0,03
|
0
|
110
|
2,04
|
0,61
|
0,18
|
111
|
|
|
3
|
0,48
|
0,23
|
0,11
|
0,05
|
112
|
2,05
|
0,98
|
0,47
|
109
|
|
|
4
|
0,60
|
0,36
|
0,22
|
0,13
|
116
|
2,06
|
1,24
|
0,74
|
110
|
|
|
5
|
0,70
|
0,49
|
0,34
|
0,24
|
114
|
2,06
|
1,44
|
1,01
|
111
|
|
|
6
|
0,78
|
0,61
|
0,47
|
0,37
|
113
|
2,05
|
1,60
|
1,25
|
112
|
|
|
7
|
0,84
|
0,71
|
0,59
|
0,50
|
117
|
2,07
|
1,74
|
1,47
|
114
|
|
|
8
|
0,90
|
0,81
|
0,73
|
0,66
|
118
|
2,07
|
1,86
|
1,68
|
115
|
|
|
9
|
0,95
|
0,90
|
0,86
|
0,81
|
118
|
2,07
|
1,97
|
1,85
|
117
|
|
|
10
|
1,00
|
1,00
|
1,00
|
1,00
|
120
|
2,08
|
2,08
|
2,08
|
119
|
|
|
11
|
1,04
|
1,08
|
1,12
|
1,16
|
122
|
2,09
|
2,17
|
2,26
|
120
|
|
|
12
|
1,08
|
1,17
|
1,26
|
1,37
|
123
|
2,09
|
2,26
|
2,45
|
122
|
|
|
13
|
1,11
|
1,23
|
1,37
|
1,51
|
118
|
2,07
|
2,30
|
2,55
|
124
|
|
|
14
|
1,15
|
1,32
|
1,52
|
1,74
|
121
|
2,08
|
2,39
|
2,75
|
126
|
|
|
15
|
1,17
|
1,37
|
1,60
|
1,88
|
125
|
2,10
|
2,46
|
2,88
|
127
|
|
|
16
|
1,20
|
1,44
|
1,73
|
2,07
|
125
|
2,10
|
2,52
|
3,02
|
128
|
|
|
17
|
1,23
|
1,51
|
1,86
|
2,29
|
130
|
2,11
|
2,60
|
3,19
|
130
|
|
|
18
|
1,26
|
1,59
|
2,00
|
2,52
|
133
|
2,12
|
2,67
|
3,37
|
132
|
|
|
19
|
15,79
|
15,91
|
16,81
|
18,3
|
|
37,36
|
32,89
|
33,21
|
134 П
|
|
|
20
|
|
|
|
|
|
|
|
|
135 Р
|
|
|
21
|
|
|
|
|
|
|
|
|
136 О
|
|
|
22
|
|
|
|
|
|
|
|
|
138 Г
|
|
|
екстраполяція фішер регресія
Отже, шукана формула має вигляд
lgy=2,072-0,137lgt+0,1397(lgt)2.
А теоретичні значення попиту на продукцію заводу за минулі 18 та наступні чотири роки можна обчислити за формулою yt=102.072-0,137lgt+0,1397(lgt)2, підставивши відповідні значення t від 1 до 22 (див. табл.7 графа 10).
На зміну рівня досліджуваного явища в часі окрім систематичних, постійних причин, дія яких описується трендом (або основною тенденцією розвитку), впливають також випадкові причини. Ступінь їх впливу на варіацію рівнів ряду динаміки визначається за допомогою дисперсійного аналізу.
Таблиця 3
|
t
|
Y
|
yt
|
y-yt
|
( y-yt )2
|
yt- ?
|
y- ?
|
(yt- ?)2
|
(y- ?)2
|
|
|
1
|
112
|
118
|
-6
|
36
|
-1,28
|
-7,28
|
1,6384
|
52,9984
|
|
|
2
|
110
|
111
|
-1
|
1
|
-8,28
|
-9,28
|
68,5584
|
86,1184
|
|
|
3
|
112
|
109
|
3
|
9
|
-10,28
|
-7,28
|
105,6784
|
52,9984
|
|
|
4
|
116
|
110
|
6
|
36
|
-9,28
|
-3,28
|
86,1184
|
10,7584
|
|
|
5
|
114
|
111
|
3
|
9
|
-10,28
|
-5,28
|
68,5584
|
27,8784
|
|
|
6
|
113
|
112
|
1
|
1
|
-7,28
|
-6,28
|
52,9984
|
39,4384
|
|
|
7
|
117
|
114
|
3
|
9
|
-5,28
|
-2,28
|
27,8784
|
5,1984
|
|
|
8
|
118
|
115
|
3
|
9
|
-4,28
|
-1,28
|
18,3184
|
1,6384
|
|
|
9
|
118
|
117
|
1
|
1
|
-2,28
|
-1,28
|
5,1984
|
1,6384
|
|
|
10
|
120
|
119
|
1
|
1
|
-0,28
|
0,72
|
0,0784
|
0,5184
|
|
|
11
|
122
|
120
|
2
|
4
|
0,72
|
2,72
|
0,5184
|
7,3984
|
|
|
12
|
123
|
122
|
1
|
1
|
2,72
|
3,72
|
7,3984
|
13,8384
|
|
|
13
|
118
|
124
|
-6
|
36
|
4,72
|
-1,28
|
22,2784
|
1,6384
|
|
|
14
|
121
|
126
|
-5
|
25
|
6,72
|
1,72
|
45,1584
|
2,9584
|
|
|
15
|
125
|
127
|
-2
|
4
|
7,72
|
5,72
|
59,5984
|
32,7184
|
|
|
16
|
125
|
128
|
-3
|
9
|
8,72
|
5,72
|
76,0384
|
32,7184
|
|
|
17
|
130
|
130
|
0
|
0
|
10,72
|
10,72
|
114,9184
|
114,9184
|
|
|
18
|
133
|
132
|
1
|
1
|
12,72
|
13,72
|
161,7984
|
188,2384
|
|
|
2147
|
|
|
192
|
|
|
922,7312
|
673,6112
|
|
|
Абсолютною мірою випадкових коливань динамічного ряду є середнє квадратичне відхилення фактичних (емпіричних) рівнів від теоретичних (вирівняних якимось способом):
= = 4,24
де y - фактичні рівні ряду динаміки; уt - теоретичні (обчислені за формулою залежності) рівні.
Середньоарифметичне:
? = y / n = 2147 / 18 = 119.28 тис шт
Відносний показник випадкових коливань визначається в процентах до середнього рівня ряду динаміки:
== 3,55%
Факторну дисперсію, що характеризує варіацію під дією постійних причин можна визначити за формулою
=51,26.
Загальна дисперсія:
= 37,42.
Щоб визначити роль систематичної варіації в загальній, факторну дисперсію слід віднести до загальної:
= 1,37.
Це відношення показує, яка частка загальних коливань рівня ряду динаміки зумовлена постійними причинами (основною тенденцією розвитку).
На відміну від варіаційних рядів рівні динамічних рядів не є незалежними один від одного, кожний наступний значною мірою залежить від попереднього. Така залежність між рівнями одного динамічного ряду має назву автокореляції. Ступінь залежності визначається за допомогою коефіцієнта автокореляції:
Таблиця 4
|
yi
|
yi+1
|
yi - ?i
|
Yi+1 - ?i+1
|
Колонка 3 Х Колонка 4
|
(Колонка 3)2
|
(Колонка 4)2
|
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
|
|
112
|
110
|
-6,47
|
-9,7
|
62,759
|
41,8609
|
94,09
|
|
|
110
|
112
|
-8,47
|
-7,7
|
65,219
|
71,7409
|
59,29
|
|
|
112
|
116
|
-6,47
|
-3,7
|
23,939
|
41,8609
|
13,69
|
|
|
116
|
114
|
-2,47
|
-5,7
|
14,079
|
6,1009
|
32,49
|
|
|
114
|
113
|
-4,47
|
-6,7
|
29,949
|
19,9809
|
44,89
|
|
|
113
|
117
|
-5,47
|
-2,7
|
14,769
|
29,9209
|
7,29
|
|
|
117
|
118
|
-1,47
|
-1,7
|
2,499
|
2,1609
|
2,89
|
|
|
118
|
118
|
-0,47
|
-1,7
|
0,799
|
0,2209
|
2,89
|
|
|
118
|
120
|
-0,47
|
0,3
|
-0,141
|
0,2209
|
0,09
|
|
|
120
|
122
|
1,53
|
2,3
|
3,519
|
2,3409
|
5,29
|
|
|
122
|
123
|
3,53
|
3,3
|
11,649
|
12,4609
|
10,89
|
|
|
123
|
118
|
4,53
|
-1,7
|
-7,701
|
20,5209
|
2,89
|
|
|
118
|
121
|
-0,47
|
1,3
|
-0 ,611
|
0,2209
|
1,69
|
|
|
121
|
125
|
2,53
|
5,3
|
13,409
|
6,4009
|
28,09
|
|
|
125
|
125
|
6,53
|
5,3
|
34,609
|
42,6409
|
28,09
|
|
|
125
|
130
|
6,53
|
10,3
|
67,259
|
42,6409
|
106,09
|
|
|
130
|
133
|
11,53
|
13,3
|
153,349
|
132,9409
|
176,89
|
|
|
2014
|
2035
|
--
|
--
|
489,964
|
474,2353
|
617,53
|
|
|
тис шт;
тис шт;
.
Задача 1.
На основі статистичних даних показника і факторів та знайти оцінки параметрів регресії, якщо припустити, що стохастична залежність між факторами і показником має вигляд, наведений у таблиці 5.
Використовуючи критерій Фішера, з надійністю оцінити адекватність прийнятої математичної моделі статистичним даним. Якщо модель адекватна, то знайти точкову оцінку прогнозу.
Таблица 5
|
13
|
14
|
10
|
11
|
17
|
18
|
16
|
18
|
20
|
22
|
25
|
|
|
32
|
31
|
34
|
37
|
40
|
38
|
44
|
48
|
47
|
49
|
50
|
|
|
59
|
57
|
55,6
|
54,6
|
78,8
|
79,2
|
115
|
163
|
155
|
192
|
|
|
|
С(х)= в1 + в2 І(t) + ? (t)
в1 = а0 / 1-а0 в2 = а1 / 1 - а1
де ? (t) = u(t) / l - a1
в1 = 2 / 1-0,5 = 4
в2 = 0,5 / 1-0,5 = 1
?(Е) = 3,2 / 1-0,3 = 6,4
С(t) = 4+1(t)+ 64
Список літератури
1. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие / Под ред. В.В. Федосеева. - М.: ЮНИТИ, 2009.
2. Кулинич О.І. Економетрія. Навчальний посібник. Хмельницький: Видавництво 'Поділля', 2013
3. Ржевський С.В. Вступ до економетрії. Навчальний посібник для студентів економічних спеціальностей. Київ: Видавництво Європейського університету, 2009
4. Бугір М.К. Математика для економістів. Лінійна алгебра, лінійні моделі: Навч. посіб. - К.: ВЦ “Академія”, 2011.
5. С.І. Наконечний, Т.П. Романюк, Т.О. Терещенко. Економетрія. Навчальний посібник. - К: КНЕУ, 2011
