Определение коэффициентов корреляции и оценка адекватности регрессионной модели

/

СОДЕРЖАНИЕ

Задача 1

Решение

Задача 2

Решение

Задача 1

Таблица 1

Исходные данные

Задание:

1. Используя данные ГОСКОМСТАТА РФ или Всемирного банка, найти значения исследуемых статистических показателей до 2012 года.

2. Методом регрессионного и корреляционного анализа найти линейные и нелинейные связи между показателями макроэкономического развития, указанными в таблице.

3. Сделать экономические выводы причины наличия или отсутствия связи.

Решение:

I По исходным данным определим коэффициенты корреляции и коэффициенты уравнения регрессии.

1. Найдем суммы по столбцам: «Индекс-дефлятор» и «Реальная заработная плата».

2. Найдем среднее арифметическое по столбцам: «Индекс-дефлятор» и «Реальная заработная плата»:

- xcр;

- ycр.

А затем найдем значения сумм по полученным столбцам.

3. Найдем отклонения от среднего значения:

- x-xcр;

- y-ycр.

А затем найдем значения сумм по полученным столбцам.

4. Найдем ковариацию.

Ковариация - это среднее произведение отклонений признаков от их средних квадратических отклонений: (x-xcр)(y-ycр).

А затем найдем значения сумм по полученным столбцам.

2. Найдем квадраты отклонений.

- (x-xcр)2;

- (y-ycр)2.

А затем найдем значения сумм по полученным столбцам.

3. Найдем М - коэффициент ковариации (характеризует связь случайных величин, но в отличие от r может принимать какое угодно положительное значение).

где N - количество лет.

4. Найдем Dx, Dy - дисперсию.

5. Найдем Sx, Sy.

Sx=Dx1/2;

Sу=Dу1/2.

6. Найдем r - коэффициент корреляции.

r=Mxy/Sx*Sy.

7. Найдем коэффициенты уравнения регрессии.

Для линейной зависимости алгоритм нахождения коэффициентов корреляции в уравнении y=ax+b прост:

;

b = Y - aX .

Результаты подсчетов отражены на рис. 1:

Рис. 1- Определение коэффициентов корреляции и уравнения регрессии

Вывод: Коэффициент корреляции r свидетельствует о наличии или отсутствии линейной связи между переменными.

Из вычислений получено: r =-0,03. Связь между показателями «Индекс-дефлятор» и «Реальная заработная плата» отрицательная, но ее практически нет. Связь отсутствует, т.к. это независимые случайные величины: дефлятор - это индекс цен, используемый при пересчете текущих стоимостных показателей в постоянные цены, он никак не связан с заработной платой.

II. Оценим адекватность модели.

Соответствие модели экспериментальным данным называется адекватностью модели. В статистике принято несколько критериев адекватности. Рассмотрим алгоритм одной из них.

1. В новую таблицу скопируем значения столбцов «Индекс-дефлятор» и «Реальная заработная плата» - Xэ, Yэ (наблюдаемые аргумент и значение функции).

2. Вычислим Yр (расчетное значение функции) по формуле: Yр=ax+b.

3. Вычислим |Yр-Yэ|.

4. Вычислим Е - среднее относительное отклонение (погрешность)

,

где Yэ - наблюдаемое значение функции;

Yр - расчетное значение;

N - количество лет (число опытов).

5. Построим графики линейной и нелинейной зависимостей.

Результаты подсчетов и графики отражены на рис. 2 и 3.

Рис. 2 - Графики зависимостей между индексом-дефлятором и реальной заработной платой

Рис.3 - Расчетные значения у различных функций

Вывод: Е принимает значение меньше 10% (именно при таком среднем относительном отклонении в экономике принимаются значения этого критерия) при линейной, логарифмической, степенной и экспоненциальной зависимостях. В этих случаях модель считается адекватной, то есть, экспериментальные данные максимально приближены к точным. А при полиномиальной зависимости модель не является адекватной.

Задача 2

Таблица 2

Исходные данные

Задание:

1. Используя данные ГОСКОМСТАТА РФ или Всемирного банка, найти значения исследуемых статистических показателей до 2012 года.

2. Методом регрессионного и корреляционного анализа найти линейные и нелинейные связи между показателями макроэкономического развития, указанными в таблице.

3. Сделать экономические выводы причины наличия или отсутствия связи.

Решение:

I. По исходным данным определим коэффициенты корреляции и коэффициенты уравнения регрессии.

1. Найдем суммы по столбцам: «Оборот розничной торговли» и «Реальные располагаемые доходы населения».

2. Найдем среднее арифметическое по столбцам: «Оборот розничной торговли» и «Реальные располагаемые доходы населения»:

- xcр;

- ycр.

А затем найдем значения сумм по полученным столбцам.

3. Найдем отклонения от среднего значения:

- x-xcр;

- y-ycр.

А затем найдем значения сумм по полученным столбцам.

4. Найдем ковариацию.

Ковариация - это среднее произведение отклонений признаков от их средних квадратических отклонений: (x-xcр)(y-ycр).

А затем найдем значения сумм по полученным столбцам.

2. Найдем квадраты отклонений.

- (x-xcр)2;

- (y-ycр)2.

А затем найдем значения сумм по полученным столбцам.

3. Найдем М - коэффициент ковариации (характеризует связь случайных величин, но в отличие от r может принимать какое угодно положительное значение).

где N - количество лет.

4. Найдем Dx, Dy - дисперсию.

5. Найдем Sx, Sy.

Sx=Dx1/2;

Sу=Dу1/2.

6. Найдем r - коэффициент корреляции.

r=Mxy/Sx*Sy.

7. Найдем коэффициенты уравнения регрессии.

Для линейной зависимости алгоритм нахождения коэффициентов корреляции в уравнении y=ax+b прост:

;

b = Y - aX .

Результаты подсчетов отражены на рис. 5.

Рис. 5 - Определение коэффициентов корреляции и уравнения регрессии

Вывод: Коэффициент корреляции r свидетельствует о наличии или отсутствии линейной связи между переменными.

Из вычислений получено: r =0,61. Это свидетельствует о средней положительной зависимости между показателями «Реальные располагаемые доходы населения» и «Оборот розничной торговли». То есть с увеличением доходов населения увеличивается оборот розничной торговли и, наоборот, если доходы уменьшаются, население совершает меньше покупок и оборот розничной торговли падает.

II. Оценим адекватность модели.

Соответствие модели экспериментальным данным называется адекватностью модели. В статистике принято несколько критериев адекватности. Рассмотрим алгоритм одной из них.

1. В новую таблицу скопируем значения столбцов «Оборот розничной торговли» и «Реальные располагаемые доходы населения» - Xэ, Yэ (наблюдаемые аргумент и значение функции).

2. Вычислим Yр (расчетное значение функции) по формуле: Yр=ax+b.

3. Вычислим |Yр-Yэ|.

4. Вычислим Е - среднее относительное отклонение (погрешность)

,

где Yэ - наблюдаемое значение функции;

Yр - расчетное значение ;

N - количество лет (число опытов).

5. Построим два графика (по экспериментальным данным и по расчетным) на одной координатной плоскости.

Результаты подсчетов и графики отражены на рис. 6 и 7.

Рис. 6 - Графики линейной и нелинейной зависимостей

Рис.7 - Расчетные значения у различных функций

регрессионный корреляционный анализ уравнение

Вывод: Видим, что Е < 10% при всех зависимостях, линейных и нелинейных. Следовательно, во всех случаях модель адекватна, и экспериментальные данные максимально приближены к точным.