Випадкові потоки подій. Пуассонівські потоки

/

Випадкові потоки подій. Пуассонівські потоки

В СМО під вхідним потоком подій розуміють потік вимог на обслуговування (наприклад, потік автомобілів, що прибувають на АЗС для заправки, де подією є прибуття одного, будь-якого автомобіля, моментом здійснення події -- момент його прибуття на АЗС, часовий інтервал між подіями -- інтервал між моментами прибуття на АЗС цього та попереднього автомобіля), а також вихідний потік обслуговування (наприклад, потік заправлених автомобілів, що покидає АЗС).

Потік подій є регулярним, якщо події відбуваються через рівні інтервали часу.

Випадковий потік характеризується нерівномірністю інтервалів часу слідування подій. Головною характеристикою випадкового потоку є ймовірність попадання інтервалу часу між подіями в задані межі.

До пуассонівського потоку подій належать ті, що задовольняють наступні умови: відсутність післядії, відсутність імовірності появи двох подій одночасно (ординарність потоку), стаціонарність потоку.

Математичні моделі послідовностей часових інтервалів між подіями у потоках Пуассона та Ерланга

Враховуючи, що Pо() є імовірність того, що в інтервалі ф немає жодної події, тобто згідно з законом Пуассона (при m=0):

,

можна стверджувати, що

, (>0)

Тоді диференційна функція розподілу (щільність розподілу) буде мати вигляд:

, ()

Графіки F(ф) і л(ф) для цього закону, що називається експоненціальним (показовим) законом розподілу інтервалів між сусідніми подіями в пуассонівському потоці, представлено на рис.1.

Для експоненціального закону розподілу величина Т = характеризує швидкість зміни імовірності появи певних інтервалів. Наприклад, за будь-якої інтенсивності л

F(T) = 0,631 ? 0,63; F(2T) = 0,865; F(3T) = 0,95

F(T) = 0,369л ? 0,37л; f(2T) ? 0,135л; f(3T) = 0,05л ,

що означає, що в діапазоні від 0 до Т = знаходяться приблизно 63% всіх числових інтервалів між подіями в пуассонівському потоці, в діапазоні від 0 до 3Т = знаходяться приблизно 95%. Практично це означає, що визначивши експериментально інтенсивність потоку л, можна визначити також межі 95% діапазону всіх можливих значень часових інтервалів в потоці як Т0,95 =.

/

Рис.1. Графіки F(ф) і л(ф) для експоненціального закону розподілу імовірностей.

Для опису потоків подій з післядією використовуються потоки Ерланга. При цьому замість одного інтервалу між подіями розглядають суму k інтервалів як один інтервал, враховуючи, що з ростом інтервалу взаємодія подій зменшується. Кількість інтервалів визначають порядок потоку Ерланга. Наприклад, при k = 2 в потоці, що взаємодіє, розглядають кожну другу подію (шляхом “просіювання” кожної парної або непарної події), при k = 3 - кожну третю подію і т.д. Очевидно, чим більша взаємодія подій в потоці, тим більший слід вибирати інтервал розгляду tj = (j=), де і - відраховується кожного разу від tj. Очевидно, що найпростіший (пуассонівський) потік можна розглядати як потік Ерланга 1-го порядку (k=1, тобто без “просіювання” подій).

В загальному випадку для потоків Ерланга k-го порядку

де л - інтенсивність породжуючого потоку Пуассона (без “просіювання”).

На рис.2 показані щільності розподілу імовірностей часових інтервалів слідування подій в потоках Ерланга k-го порядку при (k=1,2,3,4). При цьому k є в певній мірі характеристикою зв'язності потоку.

Інтегральна та функція щільності розподілу мають аналітичний вираз:

математичний модель подія інтервал

Графік f(ф) для цього розподілу представлено на рис.2 і є f(ф) експоненційного закону розподілу, переміщену на ф0.

/

Приклади моделей потоків подій в транспортних системах

Приклад 1.

Маємо результати 20 вимірювань часових інтервалів руху автомобілів у потоці (N=20):

ti (сек) = 1,2; 2,0; 2,1; 2,0; 2,1; 3,0; 10,5; 2,1; 1,7; 1,2; 1,5; 1,5; 11,5; 11,0; 2,1; 2,0; 1,1; 1,7; 9,7; 11,8

Визначити закон розподілу інтервалів руху автомобілів у потоці.

Рішення

1. Визначимо середній інтервал руху автомобілів (оцінка математичного сподівання)

сек.

2. Визначаємо оцінку дисперсії інтервалів руху відносно середнього інтервалу

3. Розраховуємо оцінку середньоквадратичного відхилення інтервалів руху від середнього інтервалу

сек.

4. Визначаємо інтенсивність руху

.

5. Щільність експоненціального розподілу часових інтервалів

6. Інтегральна функція розподілу часових інтервалів руху

Графіки f(ф) і F(ф) представлені на рис.3.

Першим показником належності послідовності часових інтервалів до експоненціального розподілу є рівність за умови ti>0.

У випадку, що розглядається, ми маємо саме рівність цих значень. Тому приймаємо у першому наближенні гіпотезу про експоненціальний закон розподілу часових інтервалів руху в потоці.

/

Примітка: В цьому прикладі не розглядається питання визначення репрезентативності вибірки і застосування відповідних критеріїв перевірки статистичних гіпотез. Ці питання відносяться до курсу “Прикладна статистика”.

Приклад 2.

В даному прикладі розглянемо аналогічну задачу за умови руху з підвищеною інтенсивністю, коли на режим руху починає впливати взаємодія між сусідніми автомобілями, що рухаються в потоці. Маємо результати 20 вимірювань часових інтервалів руху автомобілів у потоці (N=20):

ti (сек) = 1,7; 2,0; 2,1; 2,5; 4,0; 5,0; 6,0; 3,1; 2,6; 3,2; 2,0; 6,8; 7,0; 3.2; 3,3; 5,2; 6,0; 3,8; 1,6; 2,0

Рішення

Здійснюємо статистичну обробку даних за методикою прикладу 1. В результаті визначаємо:

сек; = 3,075 сек2; = 1,753 сек.

Оскільки ? при ti>0 (i=) і ці значення відрізняються досить суттєво, використовуємо для опису розподілу часових інтервалів руху розподіл Ерланга.

Визначаємо інтенсивність руху (одночасно це є інтенсивність потоку Ерланга)

Л=сек-1

Враховуючи

визначаємо порядок потоку Ерланга

Вибираємо найближче ціле значення k=4. Таким чином, для опису часових інтервалів руху потоку, що розглядається, приймаємо потік Ерланга 4-го порядку зі щільністю імовірності розподілу часових інтервалів

Будуємо графік цієї функції, звівши результати розрахунків fk(ф) при різних значеннях ф до таблиці 1.

Таблиця 1

Для самостійної роботи.

1. Побудувати графік функцій Fk(ф) та fk(ф), застосовуючи відповідні формули потоків Ерланга.