Моделювання хімічних реакторів

Работа из раздела: «Химия»

/

/

1. Математичне моделювання хіміко-технологічних процесiв

1.1 Загальні поняття

Моделювання - це вивчення об'єкту шляхом побудови і дослідження його моделі, здійснюване з певною метою і складається у заміні експерименту з оригіналом експерименту на моделі.

Модель повинна будуватися так, щоб вона найбільш повно відтворювала ті якості oб'єкта, які необхідно вивчити у відповідності з поставленою метою. В усіх відносинах модель повинна бути площе об'єкту та зручне для його вивчення.

Таким чином, для одного й отого ж об'єкту можуть існувати різноманітні моделі (клас моделей), відповідні різноманітним цілям його вивчення.

Необхідною умовою моделювання є подобiє об'єкту та його моделі. Від спеціаліста, що займається побудовою моделей, вимагаються слідуючи основні якості:

- чітке уявлення про cутність фізико-хімічних явищ, протікаючих в об'єкті;

- уміння математично описувати протікаючи процеси та застосовувати засоби моделювання;

- бути у стані забезпечити одержання на моделі змістовних результатів.

Цілі і завдання моделювання:

1. Оптимальне проектування нових та інтенсифікація діючих технологічних процесів.

2. Контроль за ходом процесу, одержання необхідної інформації про нього та обробка одержаної інформації з метою управління ходом технологічного процесу.

3. Рішення задач дослідження об'єктів, де ніяк не можна проводити активні експерименти (режими роботи реакторів, траєкторії космічних об'єктів і т.д.).

4. Максимальне прискорення переносу результатів лабораторних досліджень в промислові масштаби.

Вимоги до моделі:

1. Витрати на утворення моделі повинні бути значно менш витрат на утворення оригіналу.

2. Повинні бути чітко визначені правила iнтерпретації результатів обчислювального експерименту.

3. Основна вимога - модель повинна бути істотної. Ця вимога укладається в тому, що модель повинна відбивати необхідні, істотні для рішення конкретного завдання властивості об'єкту. Для одного й отого ж об'єкту cкладно створити узагальнену модель, що відбиває всі його властивості. Тому важливо забезпечити істотність моделі.

1.2 Класифікація моделей

Класифікацію моделей можна проводити по різним типам ознак:

- по способу пізнання: науково-технічні, художні, життєві.

- по природі моделей: предметні (фізичні / матеріальні);

знакові (уявні).

Матеріальні моделі - зменшене (збільшене) відбивання оригіналу з збереженням фізичної суттєвості (реактор - пробiрка). Уявна модель - видображення оригіналу, що відбиває істотні риси і що виникає у свідомості людини в процесі пізнання. Образні моделі носять описовий характер. Знакові моделі - є математичними описами процесів, явищ, об'єктів і звичайно називаються математичними моделями. Знакові моделі можуть також включати у себе схеми та креслення наприклад,

Математична модель - сукупність математичних залежностей, суттєвість,

що відбивається у явній формі технологічного процесу, т.є., всі істотні параметри технологічного об'єкту пов'язані системою математичних порівнянь.

По повноті відбивання внутрішніх властивостей об'єкту моделювання моделі поділяють на динамічні та статичні.

Динамічні моделі в основному використовуються при розробці систем автоматизованого управління процесами, бо вони враховують перехідні характеристики об'єкту.

Статичні моделі описують стаціонарні (що установилися) процеси. По використовуваному математичному апарату математичні моделі поділяються на:

1. детерміновані - при зміні будь-якого параметра значення вихідних величин визначаються однозначно.

2. статистичні - результат визначається з визначеною мірою вірогідності (т. є. неоднозначно визначається заданими параметрами).

1.3 Фізичне моделювання

Фізичне моделювання - це засіб дослідження на моделях, що мають однакову фізичну природу з об'єктом моделювання, тобто. становлять деякий макет об'єкту, що вивчається. Фізичні моделі відтворюють увесь комплекс властивостей явищ об'єкту.

В фізичному моделюваннi важливу роль грає теорія подобiя. Її основне положення: необхідне фізичне подобiє моделі та об'єкту забезпечується лише при рівності всіх однотипних комплексів, що визначаються безрозмірних комплексів (критеріїв подобiя) у східних точках моделі та об'єкту. При фізичному моделюваннi в додаток до геометричного подобія передбачається подобiє швидкостей, сил, матеріальних середовищ і т. п.

При моделюваннi на основі засобу подобiя безрозмірни комплекси грають двояку роль. По-перше, на їх основі визначають, коли модель подобна оригіналу, при цьому комплекси служать власно критеріями подобiя. По-друге, значення отих же комплексів у подібних точках і є ота кількісна міра, що і переноситься з моделі на об'єкт.

Розглянемо деякі часто використовувані критерії подобiя:

- Критерій Рейнольдса (критерій гідродинамічного подобiя):

Re = W L/ V

де W - швидкість потоку,

L - розмір, що визначається,

V - кiнематична в'язкість середи.

- Критерій Нуссельта (критерій теплового подобiя):

Nu = a L / l

де a - коефіціент теплоотдачi,

l - коефіціент теплопровідностi,

L - розмір, що визначається.

Критерії подобiя дозволяють установити аналогію між різними явищами.

Можливість фізичного моделювання визначається наступною залежністю:

f = A - R.

де f - число мір волі,

A - кількість параметрів, критеріїв, що характеризують процес,

R - число критеріїв подобiя, які необхідно підтримувати рівними у

процесі дослідження.

Якщо число мір волі f < 0 - оте застосовувати фізичне моделювання не можна, бо немає волі вибору параметрів моделі.

Достоїнства засобу фізичного моделювання:

- наочність - фізична модель відтворює практично всі сторони оригіналу;

- можливо вивчення процесу без складання його математичного опису;

- можливість відтворення виробничого процесу у лабораторних умовах.

Недоліки засобу фізичного моделювання:

- відсутність унiверсальностi - для кожного нового процесу необхідно

створювати нову модель;

- висока вартість моделей для дослідження складних процесів;

- неможливість застосування цього засобу для моделювання більшої частини хімічних процесів та реакторів, а також інших складних об'єктів.

Більш докладно зупинимося на останній нестачі. Застосування теорії подобiя дозволяє сформулювати вимоги до моделі, задоволення яких забезпечує можливість кількісного розповсюдження результатів експерименту з моделі на оригінал. Але в отих випадках, коли процес у оригіналі складний, задовольнити цим вимогам виявляється дуже тяжко. Коли число критеріїв, що визначають подобiє, достатньо велика, побудова подібної моделі стає нереальною задачею. Саме цим визначаються труднощі, виниклі при спробах застосування засобу подобiя для моделювання хімічних процесів та реакторів.

Рядом дослідників були сформульовані критерії подобiя для наданого класу процесів. Але опинилося, що в переважній більшості випадків ці процеси настільки важки, що для дотримання подобiя моделі та оригіналу вимоглося би iдентичність дуже великого числа критеріїв подобiя зразу, забезпечити яку практично неможна.

У вигляді прикладу розглянемо систему, у якій тече хімічна реакція.

Виходячи з теорії подобiя, для такої системи можна скласти критерії подобiя, зокрема критерій Рейнольдса Re= W L/ V, що характеризує гідродинамічний режим, критерій Дамкеллера Da = r L / (W C), що характеризують хімічне перетворення та ін.

В наданих критеріях

C - концентрація вихідної речовини, що реагує,

r - швидкість хімічної реакції.

Інші позначення приведені вище.

Критерії Re, Da (інші критерії в цілях спрощення не розглядуються) характеризують систему, що вивчається. Однак ці критерії несумісні між собою, оскільки при Re = const величина W протилежно пропорційна, а при Da = const - прямо пропорційна величині L. З приведеного зіставлення слідує, що для збереження гідродинамічного подобія швидкість струму W повинна змінюватися назад пропорційно, а для збереження хімічного подобiя - прямо пропорційно лінійному розміру L. Природно, що в одному й отому ж процесі це ніяк. Причина цього лежить не в невдалому виборі критеріїв подобiя, а у неможливості, у загальному випадку, зберегти однаковим вплив фізичних факторів на швидкість хімічного перетворення у реакторах різноманітного масштабу.

В дійсності, у складних системах зміна масштабу викликає, як правило,

зміну структури системи та характеру вдачі протікаючих у неї процесів. Всім відоме існування критичних розмірів системи, що містить U-235 та U-238. Ці розміри визначають співвідношенням між числом що створюються при діленні нейтронів та числом поглинаємих та відходящих назовні. З збільшенням масштабу частка часток, що губляться зменшується та змінює характер протікання процесу - замість повільного ділення наступає вибух.

В хімічному реактор швидкість власне хімічного перетворення не залежить від розмірів реакційної системи. Але протікання хімічної реакції приводить до зміни складу та температури. Наслідком цього є виникнення процесів переносу речовини та тепла, бистрота яких надто істотно залежить від розмірів системи. Склад та температура у свою чергу дуже сильно впливають на бистроту хімічної реакції.

Внаслідок виникає дуже складна залежність умов протікання хімічного процесу від розмірів апарату. Причому зміна розміру реактора може значно змінити як загальну швидкість процесу, так і співвідношення швидкостей реакцій, які приводять до різноманітних продуктів реакції, т. є. вибірність процесу.

Таким чином, можна зробити висновок, що неможливість використання засобу фізичного моделювання для хімічних реакторів пояснює несумісністю умов подобiя фізичних та хімічних що складають процес. Цей висновок справедлив для більшості хімічних процесів та реакторів. Лише у випадку, якщо швидкість хімічного процесу не впливає на швидкість сумарного процесу наприклад, каталiтичнi процеси у галузі зовнішньої дифузії), критерії хімічного подобiя випадають та застосування теорії подобiя стає можливим.

Крім отого, широко використовується фізичне моделювання гідродинамічних та теплових процесів, протікаючих в отих частинах реактора, де хімічне перетворення відсутнє (наприклад, розподілені та змішувальні будови та ін).

1.4 Математичне моделювання

Це найважливіший засіб сучасного наукового дослідження, основний апарат системного аналізу. Математичне моделювання - це вивчення поводження об'єкту в отих чи інших умовах шляхом рішення порівнянь його математичної моделі. У хімічній технології математичне моделювання застосовують практично на всіх рівнях дослідження, опрацювання та впровадження. Наданий засіб базується на математичному подобiї. У математично подібних об'єктів процеси володіють різноманітною фізичною природою, але описуються iдентичними порівняннями.

У вигляді прикладу розглянемо декілька різноманітних по фізичній природі явищ та їх математичного опису:

1. Закон Фур'є (перенос тепла)

q =-лdt/dx

де: T - температура, q - тепловий потік, Х - поточна координата,

л - коефіцієнт теплопровідності.

2. Закон Фіка (перенос речовини)

j =-D*dc/dx

де: D - коефіцієнт дифузії, С - концентрація.

3. Закон Ньютона (перенос кількості руху)

f_тр=-m*dwf /dx

де: w - швидкість потоку,

m - в'язкість, f_тр - сила тертя.

4. Закон Ома (перенос електрики)

i = - c*du/dx

де i - густина струму, c - питома провідність, u - потенціал.

Знак (-) при коефіцієнтах порівнянь означає, що потік спрямований з областей з більшими значеннями параметра у область, де цей параметр має менше значення.

В усіх чотирьох законах спостерігає подобiє математичних описаній різноманітних фізичних явищ. Тому будь-який з перелічених процесів може служити моделлю другого. Кожний з приведених законів можна з використанням визначених перерахувальних коефіцієнтів iнтерпретировати, наприклад, на електричній моделі, що ілюструє закон Ома. Серед розгляданих прикладів електрична модель є найбільш простою й може бути застосована для деяких оригіналів з різноманітною фізичною природою, т.є. вона стає універсальної. На такій моделі відтворюється не самий фізичний процес, а його математичний опис чи аналогія між законами, що виражають явища в оригіналі та у моделі.

Практика наукових досліджень підтвердила, що можливо представляти процес, що вивчається на моделі, в якої протікає інший по своїй природі процес, якщо математичний опис цих процесів ізоморфен. Гомоморфiзм - ця відповідність деяких властивостей оригіналу властивостям моделі. Iзоморфiзм - взаємний гомоморфiзм, т. є. коли всі властивості моделі відповідають властивостям оригіналу.

На перших порах свого розвитку математичне моделювання називалося аналоговим. Більш отого, використання засобу аналогії привело до появи аналогових обчислювальних машин - АОм.

Це електронні будови, що складаються з інтеграторів, будов, що диференціюють, суматорів та підсилювачей. На АОм моделюється фізичні явища, що аналогічні ефектам електричної природи.

У порівнянні з фізичним математичне моделювання - більш універсальний засіб.

Математичне моделювання:

- дозволяє здійснити за допомогою однієї будови (ЕОМ) рішення цілого класу задач, що мають однаковий математичний опис;

- забезпечує простоту переходу від одного завдання до іншого, дозволяє вводити перемінні параметри, обурення та різноманітні початкові умови;

- дає можливість проводити моделювання по частинам («елементарним процесам»), що особливо істотно при дослідженні складних об'єктів хімічної технології;

- економічнєє засобу фізичного моделювання як по витратам, так і по вартості.

1.5 Засоби складання математичних моделей

У ході математичного моделювання об'єктів хімічної технології завжди потрібно вирішувати три основні задачі:

- побудова математичного опису;

- дослідження математичної моделі;

- прийняття оптимальних рішень.

Під математичним описом розуміє запис закономірностей протікання процесу в об'єкті у вигляді порівнянь, краєвих та початкових умов й логічних зв'язків.

Задача складання математичного опису - сама складна, тонка і відповідальна частина математичного моделювання. При цьому важливо не стільки знання математики, скільки глибоке розуміння сутності протікаючих в об'єкті фiзико-хімічних процесів.

Побудова моделі у загальному випадку включає:

- складання математичного опису;

- рішення порівнянь математичного опису (аналітичне або шляхом утворення моделюючого алгоритму);

- перевірку адекватності моделі;

- остаточний вибір моделі (при наявності деяких моделей).

Існують три засобу складання математичного опису:

1) Емпiричний (експериментально статистичний, засіб «чорного ящика»).

2) Експериментально-аналітичний (феноменологічний).

3) Теоретичний (структурний).

Емпiричний засіб

Емпiричний засіб, в основному, використовується, коли процес мало вивчений або нічого невідомо о його природі. Цей засіб також дозволяє отримати математичний опис діючого об'єкту без дослідження його внутрішньої структури.

Зовнішні зв'язки будь-якої системи можна представити у вигляді такої схеми.

Вхідні параметри поділяються на три групи Х - контрольовані, але не регулюємі параметри;

U - контрольовані і регулюємі параметри (керуючі параметри);

Z - неконтрольовані та нерегулюємі параметри (обурення).

Модель «чорного ящикa» - модель об'єкта, створена безвідносно внутрішніх властивостей об'єкта, без врахування фізичної сутності процесів, що протікають у ньому. Дaнa модель відобрaжaє зaлежність знaчень вихідних пaрaметрів від вхідних.

Математичний опис у загальному виді становить систему порівнянь виду:

В принципі ці порівняння визначають залежність i-го виходу від всіх вхідних діянь. Але установити вид функцій F принципово ніяк - адже обурення Z нам невідомі. Проте, у більшості випадків, кожне з порівнянь можна представити у вигляді

Тут функція розтрощена на дві складові: залежність F від контролюємих параметрів та похибка («шум») f. Тепер задача i ставиться таким образом: установити вид функції F_i та оцінити «шум» f_i. Під математичною моделлю будемо розуміти саме Y_i = F_i (U_i, X_i). Це порівняння, що встановлює зв'язок між вихідними та i ії вхідними параметрами, називають порівнянням регресiї. Найбільш часто цю функцію представляють алгебраїчним многочленом.

Звичайно спершу розраховують більш прості многочлени, відхилення досвідчених точок від розрахункових значень порівнюють з випадковою помилкою експерименту. Якщо обидві величини одного порядку, отой опис вважають задовільним. Якщо відхилення не можна пояснити випадковою помилкою, оте розраховують більш складний многочлен. По мірі збільшення порядку многочлена точність опису зростає, але одночасно, по-перше, збільшується необхідне число опитів для знаходження коефіцієнтів многочлена, а, по-друге, ускладнюється трактова моделі.

Порівняння регресiї можна отримати одним з трьох способів:

1. Пасивний експеримент.

2. Активний експеримент.

3. Визначення реакції об'єкту на стандартне обурення.

Пасивний експеримент - виробляється збиранням та аналізом інформації про стан технологічних параметрів об'єкту без спеціальної зміни вхідних параметрів процесу.

Достоїнства наданого засобу - практично повністю відсутні витрати на експеримент.

Недоліки: 1. У нормальних умовах експлуатації вагання технологічного

режиму невеликi і тому експериментальні точки близькi друг до друга. В цих умовах на точність опису можуть сильно повіяти випадкові помилки.

2. Необхідно мати достатньо велику кількість експериментальних наданих.

Активний експеримент - складається у цілеспрямованій зміні вхідних параметрів технологічного процесу. В основі цього засобу лежить планування експерименту.

Практично всі процеси хімічної технології є складними і на показники процесу виявляють вплив велике число факторів. Можливі два підходу до дослідження таких многофакторних систем. Перший заснований на отому, що дослідження об'єкту розбивається на серії, в кожної з яких досліджується зміна тільки одного параметра при фіксованих інших. Другий підхід заснований на побудові плану експерименту, що передбачає зміну всіх спливаючих факторів. Такий план повинен забезпечити максимум точності та мінімум кореляції.

Такий експеримент називають многофакторним.

Достоїнством першого підходу є його наочність та простота iнтерпретації результатів, що отримуються. Другий підхід значно ефективнєє - при отому ж обсязі експериментальних досліджень та отієї ж точності опитів отримується істотно велика точність результатів.

У вигляді прикладу розглянемо вплив температури (x₁), та часу перебування (x₂), на вихід продукту (y₂). Математичну модель отримуємо у виді полiнома 1-й міри лінійного порівняння регресії - y = b + bx + bx. Для цього використовуємо плани 1-го порядку, що будуються наступним чином. Обираємо центр області, що досліджується (центр плану), й у нього переноситься початок координат. Задаються мінімальні (min) та максимальні (max) значення вхідних параметрів х₁ та х₂. Складаємо план експерименту (рис. 1.3а). При цьому кожний фактор приймає лише два значення - вар'ірується на двох рівнях (верхньому та нижньому).

На наступному етапі перемінні кодируються. При цьому координати центру плану прирівнюються до нулю, а інтервали вар'їрування приймають за одиницю. Кодировані перемінні значно полегшують обробку результатів опитів, що в даному випадку проводиться у стандартній формі, не залежній від конкретних умов завдання.

На практиці для скорочування запису часто замість «+1» та «-1» просто пишуть «+»,» -». план, що розглядається, побудовам так, що кожний фактор вар'ірується на двох рівнях, причому у опитах перебираються всі можливі комбiнації двох рівней факторів. Такий план називають планом повного факторного експерименту на двох рівнях. Визначимо значення коефіцієнтів по наступним формулам:

Активний експеримент дозволяє за рахунок цілеспрямованої зміни вхідних параметрів отримувати необхідний обсяг інформації при істотно меншому числі опитів, чим при пасивному експерименті.

При визначення реакції об'єкту на стандартні обурення на вхід подається який-то стандартний сигнал - одиничний iмпульс, східчаста або синусоїдальна зміна вхідного параметра.

Дослідження об'єкту при нанесенні стандартних обурень помітно полегшує обробку інформації, що одержується. Цим способом в основному користуються при вивченні динаміки (перехідних характеристик) об'єкту, при визначенні гідродинамічних обставин та ін.

При використанні емпiричних засобів математичний опис складається наступним чином:

1. Проводяться експерименти засобом «чорного ящика», т. є. вивчається реакція об'єкту на різноманітні обурення.

2. Здійснюється статистична обробка результатів та пошук найкращий форми апроксимації одержаних даних.

3. Будується математичний опис.

Єдиним критерієм застосування одержаного математичного опису є найвелика простота порівняння при хорошої апроксимації експериментальних даних.

Загальна оцінка експериментальних засобів

Достоїнства: простота описання доступність одержання моделей можливість побудови моделі за відсутності теорії процесу.

Недоліки: неможливість застосування моделі для режимів, для яких не проводилися вимірювання; неможливість застосування моделі при переході до інших установок; неможливість екстраполяцiї результатів.

Експериментально - аналітичний засіб

При використанні цього засобу дослідник намагається визначити фізичну суттєвість явищ, протікаючих в об'єкті. Використовується декомпозиція складного явища, т. є. на основі аналізу визначаються більш прості, елементарні процеси, що можна досліджувати більш доступними способами. Після аналізу впливу елементарних процесів на процес в цілому, несуттєві фактори відкидаються, і вибирається отой елементарний процес, що виявляє найбільш істотний вплив.

Після цього складається математичний опис, причому не в формі полiнома, а у вигляді залежності, що характерна для наданого елементарного процесу. Вплив інших елементарних процесів враховується зміною коефіцієнтів, входивших в цю залежність.

У вигляді прикладу розглянемо побудову моделі для опису процесу переносу тепла в непорушному зернистому шарі в аксiальному напрямі.

Процес переносу тепла здійснюється за рахунок наступних процесів:

1 - конвекція

2 - теплопровідність

3 - випромінювання

При температурах менш 800 К та малих лінійних швидкостях потоку газу перенос тепла, в основному, визначається теплопровідністю.

Цей процес описується порівнянням Фур'є:

q = - л * dt/dх (1. 4)

де л - дійсне значення теплопровідністю.

Однак користуватися порівнянням (1.4) ще не можна, так як. в ньому не враховані 1 та 3 елементарні що складають процес переносу тепла. Для їх обліку замість дійсного значення л вводиться деяке «ефективне» значення л _еф, що визначається експериментально, тоді порівняння (1. 4) приймає вид:

q = - л _еф* dt/dx (1. 5)

Рівняння (1.5) є експериментально-аналітичною моделлю процесу переносу тепла в непорушному зернистому шарі. Цілком очевидно, що л _еф не є фізичною константою, а залежить від умов експериментів, при яких вона була одержана від масштабів установки.

Достоїнства: - краще описує нелінійні властивості об'єкту моделювання, так як дозволяє більш надійно вибирати вигляд порівняння.

Недоліки: - ефективні коефіцієнти змінюються у залежності від умови проведення опитів, тому експериментально - аналітична модель справедлива лише в тому iнтервалі, у якому вироблявся експеримент.

Зіставимо емпiричний та експериментально-аналітичний засоби побудови математичних моделей. Експериментально-аналітичний засіб має перевагу перед чисто експериментальним в тому, що він відбиває теорію процесу.

Для обліку впливу явищ, не обчислених при складанні моделі, вводяться ефективні коефіцієнти. В першому засобі експеримент необхідний для одержання моделі, в другому - для визначення коефіцієнтів моделі.

Теоретичний засіб

Цей засіб припускає складання математичного опису на основі детального вивчення та глибокого понiмання отих фізичних та хімічних закономірностей процесів, протікаючих в ньому. Складений на основі цього засобу математичний опис дає можливість з великою точністю провіщати результати протікання процесу у заданих нами умовах.

Теоретичний засіб - найбільш надійний спосіб складання математичного опису. Математичний опис об'єкту складають такі частини

Матеріальні та енергетичні баланси складаються на основі закону збереження енергії та маси:

«прихід» - «витрата» = «накопичення».

Обмеження можуть бути зумовлені технологічними, технічними або економічними причинами. Експериментально-аналітичні залежності - моделі елементарних процесів, які входять у складний процес, всілякі коефіцієнти та їх залежності від параметрів.

Достоїнства: можливість широкої екстраполяції розділення складного процесу на окремі що складають та дослідження процесу по частинам полегшує складання моделі процесу в цілому, можливість вивчення процесу на різних рівнях.

Недоліки: трудність утворення надійної теорії складних процесів неможливість використання при невідомому механізмі процесу великої витрати часу.

Зіставлення засобів побудови математичних моделей

Вибір засобу залежить від важливості та міри важкості процесу. Для дорідних багаготонажних виробництв необхідні хороші моделі, тут застосовують теоретичний засіб. Цим же засобом користуються при утворенні принципово нових технологічних процесів.

Для дрібних виробництв зі складним характером процесу використовують експериментальний засіб. На практиці, як правило, використовується разумне поєднання всіх засобів.

Вірогідність та простота моделі

Збудована однім з розглянених вище засобів математична модель одночасно повинна задовольняти вимогам вірогідності та простоти.

Достовірна модель, яка правильно описує поводження об'єкту, може опинитися надто складної. Складність моделі визначається, як правило, складністю об'єкту, що досліджується та мірою точності, що пред'являє практикою до результатів розрахунку. Необхідно, щоб ця складність не переважала деякої межі, що визначається можливостями існуючого математичного апарату. Отже, модель повинна бути достатньо простою у математичному відношенні, щоб її можна було вирішити наявними засобами та коштами.

Рішення порівнянь математичного опису

При рішенні порівнянь математичного опису з використанням ЕОМ необхідно утворення моделюючого алгоритму («машинної» моделі). Моделюючий алгоритм є перетвореним математичним описом та становить послідовність арифметичних та логічних операцій рішення, записану у вигляді програми.

При розробці такого алгоритму раніше всього необхідно обрати засіб рішення порівнянь математичного опису - аналітичний чи численний. Треба пам'ятати про необхідність перевірки точності обраного засобу розрахунку.

Інколи із-за обмеженості існуючих засобів приходиться спрощувати математичний опис. В цьому випадку необхідна оцінка внесеної при цьому похибки

Перевірка адекватності та iдентифікація моделі

Перевірка адекватності - це оцінка вірогідності збудованої математичної моделі, дослідження її відповідності об'єкту, що вивчається.

Перевірка адекватності здійснюється на тестових експериментах шляхом порівняння результатів розрахунку по моделі з результатами експерименту на об'єкті, що вивчає при однакових умовах. Це дозволяє установити кордони застосовності побудованої моделі.

Основним етапом в побудові адекватної моделі є iдентифікація математичного опису об'єкту. Задачею iдентифікації є визначення виду моделі та знаходження невідомих її параметрів - окремих констант або їх комплексів, що характеризують властивості об'єкту. Iдентифікація можлива при наявності необхідної експериментальної інформації про об'єкт, що вивчає.

Вибір математичної моделі

Задача вибору моделі виникає при наявності для одного й отого ж об'єкту класу моделей. Вибір моделі є одним з найважливіших етапів моделювання. В кінцевому рахунку перевага отієї чи іншої моделі визначає критерій практики, що розуміє у широкому змісті.

При виборі моделі треба сходити з розумного компромiсу між важкістю моделі, повнотою характеристик, що одержують з її допомогою об'єкту та точністю цих характеристик. Так, якщо модель недостатньо точна, оте її треба доповнити, уточнити введенням нових факторів може також опинитися, що надана модель занадто важка та оті ж результати можна отримати за допомогою більш простої моделі.

2. Моделювання хімічних реакторів

На основі математичних моделей хімічних реакторів вирішуються наступні завдання:

- вибір конструкції та розмірів реакторів;

- визначення оптимальних режимів роботи;

- дослідження і оптимiзація процесів та реакторів;

- розробка систем автоматичного управління.

Нижче будуть розглянуті ряди математичних моделій реакторів, що найбільш часто використовуються на практиці.

2.1 Модель реактора ідеального змішування

Особливістю моделі реактора ідеального змішування (РІЗ) є те, що концентрація і температура однакові по всьому об`єму реактора та дорівнює відповідним значенням на виході.

Приймемо наступні обозначення:

Тх - температура хладогента

Qi - об'ємна витрата;

Сi - концентрація ключевого компоненту;

Ti - температура;

Індекси: вх. - вхід, вих. - вихід

Оскільки в РІЗ змішування діється миттєво по всьому реактору, то Свих=C, Твих = Т. Для спрощення також приймемо, що Qвх = Qвих = Q.

Позначимо: V - обсяг реактору; S - поверхня теплообміну; W - швидкість хімічного перетворення.

Матеріальний баланс записується на основі закону збереження кількості речовини:

(2. 1)

Перетврюємо: (2. 2)

Дорівнення (2.2) стає дорівненням матеріального балансу РІЗ.

Енергетичний баланс записується на основі закону збереження енергії

(2.3)

де C_Р - теплоємність реакційної суміші; p - густота реакційної суміші;

a - коефіціент теплопередачi; S - поверховість теплообміну;

Cа - усереднена об'ємна теплоемність апарату.

C_A = C_Rx_RR + C_Px_PP + C_Kx_KK

де x_R, x_P, x_K - частка загального обсягу, що займається внутрішніми конструкціями, реакційною середою й каталізатором, відповідно;

C_R, C_P, C_k - теплоємністі конструкціі реактору, реакційноі середи та каталізатора, відповідно;

_R, _P, _K - густота матеріалу реактора, реакційноі середи, та каталізатору, відповідно.

Перетворюємo дорівняння (2.3)

(2.4)

Дорівнення (2.4) стає дорівненнєм теплового балансу РІЗ.

Дорівнення кінетикі.

В загальному виді швидкість реакціі визначається як функція

составу та температури реакційноі суміші:

w =F (C, T) (2. 5)

де:

C - вектор концентрацій, T - температура;

а) проста реакція:

W= kf(C);

де: k - константа швидкісті реакціі, що визначається по дорівненню Аррейніуса:

k = k₀ * e-^E/RT

де: k₀ - предекспонента; E - eнергія актіваціі;

в) оборотна реакція: _ _

W=k₁ f₁ (C) - k₂ f₂ (C)

де: k₁ - константа швидкісті прямої реакції,

k₂ - константа швидкісті зворотної реакції.

Початкові умови.

Початкові умови визначають поля температур та концентрацій в початковий момент часу, що, взагалі кажучи, може бути обрано довільно.

t = 0; C = C _поч; T = T_поч; (2. 6)

Обмеження.

Визначають діапазон параметрів, в яких працює реактор.

T_min < T < T_max (T_min і T_max - робочий діапозон температур)

C_{вх min} < C_вх < C_{вх max} (C_{вх min} і C_{вх max} - робочий діапозон вхідних концентрацій)

Q_min< T < Q_max (Q_mіn і Q_max - робочий діапозон oб'ємноі витрати)

Модель РІЗ для опису стаціонарного режиму

Стаціонарний режим характеризується значеннями параметрів, які установились, тому для його опису можна користуватися статичною моделлю РІЗ, в якій доданки, що враховують зміну речовини і тепла в часу (праві частини рівнянь) дорівнюються нулю.

Тоді рівняння балансів приймуть такий вигляд:

матеріальний баланс:

Q (C_BX - C) - VW = 0 (2. 7)

енергетичний баланс:

QC_P (T_BX - T) + VW(-H) -S (T - T_x) = 0 (2. 8)

Інші рівняння моделі не змінюються.

Таким чином, статична модель РІЗ становить систему алгебраїчних рівнянь.

Модель РІЗ при протечі деяких реакцій

В цьому випадку матеріальний баланс - це система рівнянь, кількість яких дорівнює кількості ключових компонентів.

Якщо ключова речовина бере участь в деяких реакціях, то швидкість його зміни буде дорівнена сумі швидкостей реакцій, в яких бере участь дана ключова речовина. Рівняння енергетичного балансу тільки одне. Виділення тепла в результаті протечі хімічних реакцій розраховується як сума творів швидкостей реакцій на тепловий ефект відповідної реакції.

Рівняння кінетики: W₁ = k₁ f₁(C₁) …. W_n = k_n f_n(C)

Дослідження моделі РІЗ

Поводження об'єкту визначається сукупністю значень параметрів, які входять у математичний опис.

Проведемо класифікацію параметрів моделі РІЗ.

Вхідні параметри:

- технологічні: T_вх, C_вх, Q_вх, T_х^*;

- конструктивні: V, S^*;

- фізичні: a, C_P, r, C_A;

- параметри, які характеризують реакцію: (-DH), E, B.

Вихідні параметри:

- технологічні: T_вих, C^*;

- час: t.

Для знаходження всього трьох вихідних параметрів необхідно задати 13 вхідних параметрів. Для спрощення дослідження моделі і скорочування кількості параметрів застосовують запис рівнянь моделі в безрозмірної формі. Вводиться ряд безрозмірних параметрів (таблиця 2.1).

Таблиця 2. 1

Безрозмірні	Розмірні	Збільшення
Ступінь перетворення Х = (С0 - С) / С0	Концентрація C = (1 - X) С0	DC = - C0 dx
Час t` = t /	Час t = t`	dt = dt`
Температура = (T - T0)/ (b T0)	Температура T = T0 (1 + b)	DT = bT0d
Швидкість реакції	Швидкість реакції
Константа швидкісті реакції	Константа швидкісті реакції

Внаслідок одержуємо модель РІЗ в безрозмІрному виді:

- Матеріальний баланс:

(2.9)

- Єнергетичний баланс:

(2.10)

- Рівняння кiнетикi:

(2.11)

де

- відношення усередненої теплоємністi апарату до теплоємністі реакційноі суміші («безрозмірна теплоємність»);

- адіабатичний розігрів, тобто величина, що характеризує на скільки градусів розігріється реакційна суміш при повній мірі перетворення;

- адіабатичний розігрів в безрозмірной формі;

- безрозмірний параметр тепловідвода;

b= RT₀ / E - критерій Аррейнiуса;

X - міра перетворення;

T₀ - опорна температура, К;

₀ - константа швидкісті реакціі при опорной температури;

R - газова постійна;

- час перебування (контакту);

С₀ - концентрація на вході;

t - віношення поточного значення часу до часу контакту (» безрозмірний час»).

Підрахуємо кількість параметрів в безмірной моделі;

а) вихідні параметри: - технологічні , X

- час t`.

б) вхідні параметри: - технологічні X_{BX, BX}, _X.

в) фізичні - , .

г) параметри, що характеризують реакцію - .

В безмірної моделі 8 параметрів. Таким чином число параметрів скоротилося за рахунок зникнення конструктивних параметрів. Це є важливим достоїнством безмірноі моделі РІЗ.

Побудова Q - T - діаграми і дослідження стійкості стаціонарних режимів РІЗ

Однією із основних характеристик хімічного реактора є його стійкість, тобто спроможність вертатися до вихідного стаціонарного стану після усунення зовнішніх збуреннь. Для дослідження стійкості РІЗ широко використовують діаграму залежності тепловиделення і тепловідводу від температури (Q-T діаграму).

Спершу розглянемо залежність швидкості реакції, яка протікає в РІЗ, на прикладі єдиної необоротної реакції 1-го порядку. Швидкість реакції в розмірному виді виражається наступною залежністю:

W = K C = K₀ e-^E/RT C (2.12)

Значення концентрації C в реакторі залежить від величини концентрації на вході C₀ і температури в реакторі T. Із рівнення матеріального балансу для стаціонарного режиму (2.7) слідує, що

C = C₀/(1+K) = C₀/(1+K₀ e-^E/RT ) (2.13)

де t = V/Q - час контакту, c.

Підставляя (2.13) в (2.12), остаточно одержимо:

(2.14)

Графік залежності (2.14) має наступний вид (див. рис. 2.2):

При малих значеннях температури T другий доданок в знаменнику зневажливо малий по зрівнянню з одиницею. Тоді:

(2.15)

В цій області з підвищенням температури швидкість реакції зростає по закону Аррейнiуса (нижня вітка графіка).

При великих температурах, навпаки, другий доданок в знаменнику формули (2.14) стає набагато більше одиниці. Тоді:

W₀=C₀ (2.16)

де = V/Q - час контакту.

Фізичний зміст залежності (2.16) достатньо зрозуміло. При високих температурах реакція протікає настільки хутко, що реагує практично вся речовина, що надходить в апарат. В цьому режимі швидкість реакції W практично не залежить від температури (верхня вітка графіку).

Аналогічний вид мають ці залежності і в безрозмірної формі. Для побудови Q-T-діаграми розглянемо рівнення енергетичного балансу в безрозмірної формі (2.10). В стаціонарному режимі накопичування тепла дорівнює нулю. Запишемо рівнення енергетичного балансу у наступному виді:

(2.17)

Позначимо ліву частину порівняння q_R-виділення тепла, тобто кількість тепла, що виділяється при протечі хімічної реакції в одиницю часу, а праву - q_T-отвод тепла, тобто кількість тепла, що отводиться через стінку холодильника із струмом. В стаціонарному режимі виділення і отвод тепла дорівнюються між собю q_R = q_T.

Перетворюємо вираз для розрахунку величини теплоотводу q:

Остаточно:

(2.18)

де a = _BX + _X.

Вираз для розрахунку величини тепловиділення q_R:

Характер залежностей (2.18) і (2.19) від температури наступний вираз (2.18) становить порівняння прямої лінії, причому q зростає, коли збільшується .У виразі (2.19) _АД - коеффiциєнт, який не залежить від температури, так що залежність q_R від має такий вид, як функція W = f (T) (рівняння 2.14), відрізняясь лише масштабом.

Лінії залежностей q_R і q_T від температури пересікаються в трьох крапках - 1, 2 і 3. В цих крапках при температурах q₁, q₂, q₃ процес стаціонарен, тому що дотримується умова стаціонарностi q_R = q_T або d/dt' = 0.

Як видно із графіку в наданій сітуаці при одніх і отих же значеннях вхідних параметрів режима, що забезпечують не тільки значення різноманітних вихідних параметрів, але і відрізняються по стійкостi.

Розглянемо спершу стаціонарний режим 3, що відповідає режиму роботи при температурі ₃. Так як швидкості виділення і отвода тепла однакові, оте поки температура не зміниться, режим залишається стаціонарним. Припустимо, що внаслідок випадкового обурення змінюється значення x і відбувається зміщення на величину . При цьому за рахунок прискорення швидкості реакції зростає швидкість виділення тепла; це зростання діється по лінії, яка відповідає кривої тепловиділення. Одночасно, за рахунок збільшення різниці температур між температурами в реакторі і теплоносія зростає швидкість відведення тепла, це зростання діється по лінії тепловідводу.

В крапці 3 лінія тепловідвода минає з більш великим кутом наклона, чим лінія тепловиділення. Тому при температурі ₃ + швидкість відвода виявляється вищою, ніж швидкість його виділення. В цих умовах, після зняття обурення реактор почне охолоджуватися. Охолодження буде тривати до отих пор, поки температура в реакторі не стане дорівняної ₃. При цій температурі швидкості від вода і виділення тепла знову зрівняються і режим знов стане стаціонарним.

Навпаки, якщо внаслідок обурення ( = - ) реактор почне охолоджуватися, оте після зняття обурення (тому що швидкість виділення тепла при цих умовах перевищує швидкість тепловідводу) реактор знову почне нагріватися до досягнення в ньому температури, яка дорівнює ₃.

Таким чином, стаціонарний режим в крапці 3 вертається до вихідного стану після зняття зовнішніх обурень, можна сказати що режим стійкий.

Спроможність системи (реактора) вертатися до вихідного стаціонарного стану після зняття обурень називається стійкiстью.

Інакше кажучи, вихідний стаціонарний режим є стійким, якщо після усунення джерел порушення режиму будь-які малі відхилення з течією часу прагнуть до нуля. Якщо ж значення відхилень наростають в часу, оте вихідний стаціонарний режим нестійкій.

При температурі ₁, відповідній стаціонарному режиму 1, з погляду стійкiстi картина повністю аналогична розглянутому вище режиму в крапці 3, тому що і в цьому випадку лінія тепловідвода іде круче, чим лінія тепловиділення і вихідний стаціонарний режим стійкий.

Тепер розглянемо режим в крапці 2. Тут наклон лінії тепловідвода менш, чим лінії тепловиділення. Але також, як і в крапках 1 і 3, q_R = q_T і якщо немає обурень, режим буде стаціонарним. Хай сталося випадкове обурення і температура ₁ підвищілася на величину . При температурі = + швидкість виділення тепла стає більше, ніж швидкість тепловідвода. І тому після зняття обурення реактор буде не охолоджуватися, а нагріватися, віддаляясь від вихідного стану. Нагрів буде тривати до отих пор, поки знов швидкість тепловиділення не буде дорівняної швидкості тепловідвода, т. є. реактор досягне нового стаціонарного стану - при температурі ₃. Аналогічно, при заперечливих обуреннях реактор буде самопроiзвольно охолоджуватися до отих пор, поки не досягне стійкого стаціонарного стану при температурі .

Проведений аналіз показав, що із трьох можливих в наданих умовах стаціонарних режимів тільки два: 1 - при низькій температурі і, відповідно, малої швидкості реакції) і 3-при високій температурі і великої швидкості реакції є стійкимi, а третій - при проміжних значеннях температури і швидкості реакції (крапка 2) - нестійкий.

Умова стійкостi

Умова стійкостi визначається співвідношенням тепловідвода і тепловиділення. Режими є стійкими, якщо швидкість тепловідвода перевищує швидкість тепловиділення. Враховуючи геометричний зміст похильной умову стійкістi можна сформулювати наступним образом система стійка, якщо кут наклона крiвой тепловиділення менш, чим лінії тепловідвода

(2.20)

Вплив вхідних параметрів на стаціонарні режими. Побудова статичних характеристик РІЗ

Розглянемо вплив зміни основних параметрів на вході в РІЗ на стаціонарні режими. Швидкість тепловідвода є функцією наступних параметрів:

q_T = f(_{вх; х}; ) (2.21)

Оскільки порівняння залежності швидкості тепловідвода від параметрів (2.18) подає порівняння прямої лінії, оте при зміні параметрів, які входять в коефіціент a - _вх і _х, лінія тепловідвода буде переміщатися паралельно самої собі.

Розглянемо вплив температури входу на стаціонарні режими. При збільшенні _вх лінія тепловідводу буде зміщатися праворуч. При цьому умови існування стаціонарних режимів будуть іншими.

Стаціонарні режими, одержані при базовому значенні _вх, позначені цифрами 1,2,3. При збільшенні _вх лінія тепловідводу зміщується праворуч. При цьому число стаціонарних режимів залишається колишнiм (позначені 4,5,6). При подальшому збільшенні _вх число стаціонарних режимів спромагається змінитися. Для деякого значення _вх одержуємо тільки два стаціонарних режима - точки 7 та 8, причому стаціонарний режим в крапці 7 - нестійкій. При більш великих значеннях _вх лінія тепловідвода лежить нижче лінії тепловиділення практично у всієї області, за винятком високих значень . В даному випадку має місце тільки один стаціонарний режим - точка 9. Аналогічна картина спостерігається і при зменшенні значення .

Розглянемо докладно стаціонарні режими в крапках 7 і 13. Малійша зміна температури приводить до того, що реактор практично миттєво переходить на високотемпературний режим (із точці 7 в точку 8 на верхньої ветвi графіку) або, навпаки, на спідкотемпературний режим (із точки 13 в точку 14 на нижньої ветвi).

Аналіз роботи реактора слушно проводити з використанням статичних характеристік, що показують зміну вихідних величин (в даному випадку - ) в стаціонарному режимі при зміні параметрів на вході.

Кількісною мірою зміни вихідних величин при зміні вхідних параметров служить параметрична чутливiсть - межа відношення зміни вихідної величини до відповідної зміни вхідной:

(2.22)

де A - вхідний параметр.

Вираз (2.22) є ніщо інше, як:

P = d/dA (2.23)

На практиці звичайно використають слідуючий близький вираз:

P /A (2.24)

Статична характеристика при зміні _вх приведена на рис. 2.5. Для побудови статичної характеристики використаються тільки крапки стаціонарних режимів, одержаних при побудові Q-Т діаграми при зміні температури входу. Для кожного значення температури входа вибираються крапки, відповідні стаціонарним режимам і переносяться на графік статичної характеристики.

Позначимо m-основний робочий режим. Розглянемо iнтервал _вх` - <sub>вх</sub>``. В цьому діапазоні температур можливо існування трьох режимів.У разі, коли <sub>вх</sub> > <sub>вх</sub>`` або <sub>вх</sub> < <sub>вх</sub>` в реакторі буде тільки один стійкий режим (високо або низкотемпературний). Із статичної характеристики також видно, що вдалині від крапок 7 і 13 (що називаються крапками зриву) величина параметричної чутливостi невелика. По мірі наближення до цих крапок величина параметричної чутливостi різко зростає, а після цього діється скачкообразний перехід на інший режим - зрив. В крапках зриву величина P нескінченно велика.

В ході нормальної експлуатації реактора завжди мають місце невеликі вагання вхідних параметрів. В зв'язку з цим виникає завдання визначення запасу стійкостi сукупності допустимих відхилень параметрів процесу. Практично запас стійкостi становить iнтервал від заданого режиму до кордону стійких стаціонарних станів. Так, наприклад, для режиму m запас стійкостi по температурі входу складає:

_вх = _вх⁷ - _вх^m

Для забезпечення стійкої і безпечної роботи реактора необхідно виконання наступного обмеження:

_вх > _вх

де _вх - можливий iнтервал зміни q в процесі експлуатації

Розглянемо вплив параметра g на стаціонарні режими в РІЗ.

З порівняння (2.18) виходить, що параметр визначає наклон лінії тепловідвода.

Із збільшенням величини кут наклона буде зростати, а лінія тепловідвода буде повертатися навкруг деякої точки (рис. 2.6). Визначимо коордiнати цієї крапки. Для цього розглянемо два випадки: ₁ = 0 і ₂ = 1. В цьому випадку, величина тепловідвода буде равна: q_Т1 = - _ВХ і q_Т2 = 2 - _вх - _Х. Оскільки

ця точка - «центр обертання» є загальною для обох випадків, оте у неї q_Т1 = q_Т2. Тоді: - _ВХ = 2 - _ВХ - _Х. Звідси = _Х - абсциса центру обертання.

Ордiната наданої крапки - q_Т = _Х - _ВХ.

При малих значеннях існує єдиний високотемпературний режим - область а. По мірі збільшення спостерігається перехід в область існування трьох режимів - область b. При великих значеннях буде існувати єдиний нiзкотемпературний режим - область с. При певних значеннях параметра можливі «зриви» із високотемпературного режиму на нiзкотемпературний - точка 13 і навпаки - точка 7.

Порівнявши статичні характеристики = f(вх) і =f() можна спостерегти, що вони є зеркальним відбиванням друг друга. Розглянемо вплив величини адiабатичного розігріва на характер стаціонарних режимів в РІЗ. Величина адiабатичного розігріва для однієї і отієї ж реакції є функцією тільки концентрації на вході в реактор - С₀. При зміні ад змінюється положення лінії тепловиділення - q_p.

Із зменшенням величини адаiбатичного розігріва графік залежності q_R = f() зменьшується по висоті і зміщується праворуч. В крапці 13 діється зрив на нiзкотемпературний режим. При збільшенні ад картина змінюється. Графік залежності зміщується ліворуч, збільшуясь по висоті, і в крапці 7 переходить скачкообразно на високотемпературний режим.

Статична характеристика по каналу

- _АД має такий же вигляд, як і статична характеристика по каналу - _ВХ.

Аналогічним образом будуються статичнi характеристики при варіюванні інших параметрів.

Необхідно визначити наступне. Вище були розглянуті випадки, коли можливе існування в реакторі деяких стаціонарних режимів. В тому випадку, якщо існує єдиний стаціонарний режим, оте вид статичних характеристик змінюється. Побудова статичних характеристик проводиться наступним чином. Вибирається вихідний стаціонарний режим. Після цього при варіюванні одного із вхідних параметрів визначаються нові стаціонарні режими. Статичнi характеристики будуються, як правило, в коордiнатах вих = f (a_ВХ),

Дослідження статичних характеристик в будь-якому реакторі необхідно, поперше, для провiщування поводження об'єкту при зміні умов на вході; подруге, для вибору канала управління, тобто отакого параметра, яким можна варіювати, щоб здійснювати процес в заданих умовах при можливих флуктуаціях вхідних параметрів.

При виборі каналу управління необхідно, щоб:

1. Зміна параметра на вході виявляла помітний вплив на вихідні параметри.

2. Обраний канал управління повинен бути найменьш iнерційним, тобто часу, протягом якого параметр на виході відреагує на зміну вхідного параметра, слід бути мінімально можливим.

2.2 Реактор ідеального витиснення (РІВ)

Характерною особливістю РІВ є те, що в ньому не діеться змішення вдовж напряму руху потоку. У будь-якому поперечному перетині реактора частки мають однакову швидкість руху.

Математична модель РІВ

Якщо у РІВ параметри змінюються по довжині реактора, то для висновку рівнянь балансів виділяється елементарниий обсяг шару висотою dZ.

Запровадемо наступні позначення:

L - довжина реактора, м;

Z - відстань від входу до вибранного шару висотою dz, м;

S - перетин реактора, м²;

U - швидкість струму (м/с);

Q = U S (м ³ /с) - об'ємний видаток;

V = Sdz - обсяг виділеного елементарного шару, м³;

Свх, Твх - концентрація і температура на вході в шар;

C, Т - концентрація і температура на вході у

виділений шар;

W - швидкість хімічного перетворення;

Складемо порівняння матеріального балансу для виділеного елементарного прошарку за одиницю часу dt.

(2.25)

В рівнянні (2.25) перше слагаєме враховує кількість речовини, що вноситься із струмом у виділений елементарний обсяг прошарку; друге-кількість речовини, що виноситься з потоком; третя - кількість речовини, яка витрачається (образується) внаслідок хімічного перетворення. Права частина враховує зміну кількості речовини у виділеному елементарному прошарку. Перетворив (2.25), одержимо остаточний вигляд дорівнення матеріального балансу для РІВ:

(2.26)

Енергетичний баланс складається аналогічно.

(2.27)

Тут перший та другий доданок враховують прихід і видаток тепла з конв'єктивним струмом у виділений елементарний об'єм; третій - тепловіділення за рахунок хімічної реакції, четвертий-відвід(підвід) тепла з теплоносiєм. Права частина - накопичення тепла.

Вважаючи, що С_P і r - незмінні у всьому обсязі реактора і спростивши цю залежність, одержимо остаточний вигляд енергетичого балансу для РІВ:

(2.28)

Рівняня кiнетикi. В загальному випадку швидкість хімічного перетворення висловлються наступною залежністю:

W=F( T) (2.29)

де C - вектор концентрації {С₁, C₂…. C_n}.

В математичну модель РІВ входять кордонні і початкові умови, а також обмеження.

Кордонні умови для РІВ - умови протікання процесу на вході в прошарок.

Z = 0 C = C_BX T = T_BX (2.30)

Початкові умови встановлюють значення концентрації і температури у реакторі в початковий момент часу.

t = 0 C = C_BX T = T_BX (2.31)

Обмеження:

Tmin < T < Tmax Cmin < C < Cmax (2.32)

Система порівнянь (2.26) - (2.32) становить математичний опис РІВ в розмірній формі. При описі стаціонарних режимів в зрівняннях балансів проiзводні по часу прирівнюються нулю.

Дослідження РІВ.

1. Зміна ступені перетворення при iзотермічному режимі

Для визначення ступені перетворення по довжині реактора необхідно визначити залежність зміни міри перетворення (х) по довжині реактора. Для цього розглянемо стаціонарний режим у РІВ. Швидкість хімічного перетворення для реакції першого порядку визначається наступним виразом:

W = K C = K C₀ (2.33)

де К-константа швидкості реакції, залежна від температури

К = Kо е-^Е/(R*T)

C₀, C - початкове і поточне значення концентрації;

Х=(С₀ - С)/С₀ - ступінь перетворення

В iзотермічному режимі Т=const, отже, К=const.

В стаціонарному режимі рівняння матеріального балансу має наступний вигляд (тому що dС/dt=0):

(2.34)

У (2.34) висловимо значення концентрації через ступінь перетворення і замість W підставимо його значення з (2.33). Одержимо:

(2.35)

Т.к. L/U=, отже dZ/U = dt. Тоді замість (2.35) можна записати:

dX / dZ = K (1-X) `(2.36)

Для того, щоб визначити зміну ступені перетворення по довжині

реактора, слід проiнтегрувати (2.36).

Отримаємо:

- ln (1-X)=K (2.37)

Перетворив (2.37), одержимо:

X = 1 - e-^K (2.38)

Одержаний вираз дозволяє визначити Х по довжині реактора.

З аналізу (2.38) видно, що практично неможливо одержати ступінь перетворення рівну 1

Аналогічна залежність-зміна концентрації по довжині реактора має вигляд:

2. Зміна ступеня перетворення при адiабатичному режимі

При адiабатичному протіканнi процесу визначити зміну ступеня перетворення по довжині реактора можна тільки при сумісному рішенні дорівнень матеріального і теплового балансів. Якісно цю залежність можна пояснити наступним чином (рiс.2.13). На початковій дільниці шару (0 - 1) ступінь перетворення буде мала, тому що із-за низьких температур швидкість хiмiчного перетворення буде невелика. На наступних дільницях шару за рахунок протікання хімічної реакції температура зростає, концентрація вихідного компонента ще достатньо велика і швидкість реакції помітно збільшується, що приводить до чималого збільшення ступеня перетворення (участок 1 - 2). До кінця шару (участок 2 - 3) вихідного компоненту практично не залишається і, відповідно, швидкість реакції зменьшується і ступінь перетворення практично не змінюється

Зіставлення РІЗ та РІВ

Порівняння реакторів найбільш слушно проводити по якомусь параметру, що визначає техніко-економічні показники. У вигляді такого параметра частіше всього використовують час перебування t. Співвідношення між часами перебування в РІЗ (_з) і в РІВ (_в) залежно від ступеня перетворення розглянемо для простійшого випадку - протікання реакції першого порядку при iзотермічних умовах і постійному обсязі.

Для РІЗ із (2.7) слідує:

= (C_BX - C)/W (2.40)

де = V / Q.

Так як у данному випадку W=KC, то висловивши в (2.40) значення концентрації через ступінь перетворення, отримаємо залежність часу перебування від ступені перетворення для РІЗ:

(2.41)

Для РІВ залежність часу перебування від ступені перетворення може бути одержана з рівняння (2.37)

_в= - 1 / K - Ln (1-X) (2.42)

Тоді відношення = -1/K-Ln (1-X) буде функцією тільки ступені перетворення:

(2,43)

Проведемо зіставлення РІЗ і РІВ, задаючи різні значення міри ступе ні перетворення, зіставляючи моделі по відношенню _C/_B (табл. 2.2)

Таблиця 2.2

X	0	0.5	0.7	0.8	0.9	0.99
C/B	1	1.5	2.0	2.5	4	22

З приведеного зіставлення видно, що час перебування у реакторі ідеального змішеняя завжди більше, ніж у реакторі ідеального витиснення. При цьому, чим вище ступінь перетворення Х, тим t більше відрізняється від _B.

Оскільки час перебування прямопропорційний обсягу апарата, то необхідний обсяг РІЗ завжди більше, чим обсяг РІВ. При рівних обсягах реакторів ступінь перетворення Х в РІВ досягає понад більш високих значень, чим у РІЗ. Треба визначити, що відношення обсягу реакторів збільшується з підвищенням порядку реакції.

Для РІВ ступінь перетворення та концентрація змінюється плавно по всій довжині реактора, тому у будь-якому перетині по середня швидкість процесу вище, чим у РІЗ.

Незважаючи на очевидні привілеї РІВ в хімічній промисловiсті надто часто застосовуються і РІЗ, особливо у вигляді каскада реакторів. Це пояснюється передусім простотою їх виготовлення, полегкістю регулювання температури, доступністю узлів апарату, що полегшує очистку внутрішніх поверхностей.

Ячеєчна модель

Ця модель схематично представляє реальний апарат як деяке число однакових послідовно сполучених ячеєк (аппаратів) ідеального змешення (рiс.2.17) Сумарний обсяг всіх ячеєк дорівнює обсягу реального апарату, отже, обсяг кожної ячейкi дорівнює V/n. Кількість ячеєк n є параметром, що характеризує ячеєчну модель реального апарату. Якщо n = 1, оте ячеєчна модель переходить у модель ідеального перемішення, а у випадку n = ? - у модель ідеального витіснення.

У ряді випадків в апаратах справді можна виділити дільниці по ходу потоку, в кожному з яких режим близок до ідеального перемішення - каскад реакторів ідеального перемішення, тарельчата барботажна колона, реактор з кiпящим шаром.

Рис. 2.17

При складанні ячеєчної моделі використовуються наступні допущення:

- в кожній ячейкі потік має структуру ідеального перемішення й концентрація Cі не змінюється у межах відповідної ячейкi (i=1,2, n - індекс ячейкi);

- перемішення між ячейками відсутнє;

- об'ємна швидкість Q не змінюється.

Крім отого, частіше всього для вигоди розрахунків приймається, що

- объєм кожної з n ячєєк однаков та дорівнює V_i:

- сума объємів всіх ячеєк дорівнює загальному обйому зони, для якої справедлива ячеєчна модель (V = nV_i)

- середній час перебування часток у кожній ячейкі =V/Q=_с/n, а середній час перебування у системі _с = V/Q.

Оскільки у кожної ячейкі дотримується режим ідеального перемішення, оте для будь-який i-ой ячейкi справедливо порівняння моделі РІС:

(2.43)

або

(2.44)

де i = 1, 2,…, n.

Система порівняннь уявляє собою матеріальні баланси в кожної з прийнятих n ячеєк.

(2.45)

……………….

Рівняння енергетичного балансу має наступний вигляд:.

…………………………………………. (2.46)

Кiнетичні порівняння

Оскільки концентрація змінюється східчасто від ячейкi до ячейкі, оте швидкості реакції в кожному реакторі різні.

W = F(C_I, Т_I), I = 1, 2, 3… n

Початкові умови та обмеження записуються для кожної ячейкi аналогічно моделі РIС.

Порівняємо профілі концентрацій у реакторах РІВ, РІЗ та каскаді реакторів ідеального перемішення при n=3. Зіставлення проводиться при однакових початкових концентраціях С_Ао і Х = const, де Х - міра перетворення.

Для останньої ячейкi концентрація речовини А у ячеєчної моделі співпадає з його концентрацією при ідеальних режимах (витиснення та перемішення).Но перші ячейкi працюють при великих значеннях С_A, чим ячeєчна модель при режимі ідеального витиснення, та, відповідно, в них швидкість хімічного перетворення вище. Інакше кажучи, середня концентрація у каскаді реактора виявляється більш високою, чим у РИС. Тому обсяг каскаду реакторів завжди менш, ніж обсяг одного РИС при отих же характеристиках процесу.

Для необернутої реакції першого порядку міра перетворення при будь-якому числі ячеєк n визначається по наступній формулі:

(2.47)

Легко переконатися, щo при n = 1 вираз (2.47) переходить у (2.13), а при n > ? прагне до (2.38). Також з (2.47) видно, що з зростанням числа ячеєк міра перетворення достатньо швидко наближається до результатів, характерних для режиму ідеального витіснення.

Цим і пояснюється, що у хімічній технології часто використовують прийом секціонiрованiя - апарати, у яких створюється інтенсивне змішення потоку, поділяють на послідовні секції.

2.4 Дифузійна модель з подовжнім переносом речовини та тепла

Далеко не завжди вдається описати процес, який протікає у промисловому реакторі, ідеальними моделями. Так, наприклад, для порівняно невеликих по довжині реакторів при малих лiнейних швидкістях потоку реакційної суміші для опису адiабатичного режиму протікання процесу не підходить ані РІЗ, ані РІВ. Очевидно, що ми маємо справу з деякою проміжною нагодою, де має місце неповне змішення по потоку, т.є. на режим ідеального витиснення накладається часткове перемішення. Це підтверджується iмпульснимi та разгонними характеристика ми дифузійної моделі, що показують реакцію об'єкту при нанесенні на вході iмпульсного або стрибкообразного обурення (рiс.2.19, 2.20)

Рис. 2.19. Iмпульсні характеристики

(ф - час перебування суміші у реакторі)

Спершу розглянемо одномірний випадок - перенос речовини здійснюється тільки у продольному напрямку. Така модель отримала назву однопараметрична дифузійна модель (рiс.2.21). Висновок рівнянь балансів здійснюється аналогічно РІВ.

Рис. 2.20. Разгонні характеристики

Характер процесів переносу визначається двома складовими:

1.конвективной - яка відповідна режиму ідеального витиснення;

2.дифузійної - яка описує гуртовий вплив різноманітних факторів, що виражаються у відході одніх часток потоку вперед і відставанні інших

Для опису другої складової використовуємо закон Фіка:

(2.48)

де q_м - кількість речовини, що дифундує у прямому та зворотному напрямку;

D_L - ефективний коефіціент продольной дiффузii;

dc/dz - градієнт концентрації;

S - площа поперечного перетину.

Знак «-» у порівнянні (2.48) показує, що дифузійний потік завжди скерований вбік зменшення концентрації.

Складемо математичну модель дифузійної моделі.

Матеріальний баланс:

(2.49)

У порівняннi (2.49) перші два доданка враховують перенос речовини через нижній кордон виділеного елементарного обсягу: перше - прихід за рахунок конвективного потоку, друге - унос за рахунок дифузійного потоку. Третій та четвертий доданок - перенос речовини через верхній кордон: третє - унос з конвективним потоком, четверте - прихід за рахунок дифузійного потоку. П'ятий доданок враховує зміну кількості речовини за рахунок хімічної реакції.

В правої частині - зміна кількості речовини у виділеному елементарному обсязі в часу. Після скорочення і ділення на SdZ одержимо:

(2.50)

Порівняння (2.50) становить матеріальний баланс однопараметричної дифузійної моделі. Перший доданок враховує перенос речовини за рахунок конвективного потоку, другий - за рахунок дифузійного потоку, третій-за рахунок хімічної реакції.

Pівняння енергетичного балансу складається аналогічно, а замість закона Фіка використовується закон Фур'є:

(2.51)

де q_Т - кількість теплоти, яка переноситься за рахунок теплопроводтностi;

_L - ефективний коефіціент продольної теплопроводностi;

dT/dz - градієнт температур.

Знак «-» у (2.51) означає, що передача тепла здійснюється у сторону зменшення температури.

(2.52)

Перетворив (2.52), одержимо порівняння енергетичного балансу:

(2.53)

Порівняння кiнетики й початкові умови аналогічні моделі РIВ:

W = f (Т, С) (2.54)

Т = Т_ПОЧ (Z) С = C_ПОЧ (Z) (2.55)

Краєві (кордонні) умови необхідно задавати як на вході, так і на виході із реактора. Для висновку цих умов у загальному віпадку необхідно скласти матеріальний та тепловий баланси для вхідного та вихідного перетина реактора. На відміну від балансів, які виводяться для елементарного обсягу, в даному випадку не враховуються зміни за рахунок хімічної реакції та накопичування, тому що товщина шару dZ=0 та отже, доданкі, що містять dZ, також дорівнюють 0.

Спочатку розглянемо перетин Z=0:

(2.56)

(2.57)

Після перетворень одержимо кордонні умови у наступному виді:

Z = 0: (2.58)

При Z=L, т.є. на виході з реактора, як правило, швидкість хімічного перетворення вкрай мала, оскільки процес виходить або на повну, або на рівноважну міру перетворення. Отже, градієнти температур та концентрацій відсутні. Тому можна записати:

Z = L: dС/dZ=0; dТ/dZ=0; (2.59)

2.5 Двохпараметрична дифузійна модель

На відміну від попередньої моделі, що враховує зміну концентрацій та температури тільки у продольному напрямі, двохпараметрична модель враховує зміну цих параметрів ще й у радiальному напрямі. Надана модель використовується, в основному, для опису процесів у трубчатих реакторах.

За рахунок чого виникає радiальний перенос? При проходжннi хімічної реакції в трубчатом реакторі у його міжтрубном просторі циркулює теплоноситель, що відводить або підводить тепло. Температура теплоносителя Т_х відрізняється від температури всередині трубки Т, що приводить до виникнення градієнту температур по діаметру трубки. Це, у свою чергу, буде причиною виникнення градієнту концентраций.

Для опису радiального переносу використовуються Dг, гl - ефективні коефіцієнти дифузії та теплопроводностi у радiальному напрямку.Інші позначення аналогічні попередньої моделі.

Порівняння матеріального балансу має вид:

(2.60)

Перші три доданка цілком аналогічні однопараметричної дифу зійної моделі. Четвертий доданок враховує перенос речовини за рахунок радiальної дифузії.В останньому доданку облічуємо зміну площі поперечного перетину по мірі віддаління від центру трубки Порівняння енергетичного балансу має вигляд:

(2.61)

Кiнетичне порівняння та початкові умови такі ж, як і в попередній моделі:

W=f (C, Т) (2.62)

t = 0: T = T_ПОЧ(Z); C = C_ПОЧ(Z); (2.63)

До кордонних умов однопараметричної дифузійної моделі (2.58) і (2.59) додаються умови при r = 0 та r =R.

Розглянуті вище моделі використовуються для розрахунку різноманітних хімічних реакторів залежно від типу реактора, процесу, який протікає в ньому і поставленої мети дослідження.

3. Побудова математичної моделі каталітичного реактора

3.1 Етапи побудови математичної моделі

математичний каталітичний реактор моделювання

В хімічному реакторі відбувається складний процес, що складається взаємодіючих елементарних процесів - хімічних перетворювань та фізичних етапів переносу речовини і тепла. У вигляді прикладу представимо схематично основні складові процесу, що тече у шарі каталiзатора.

Навіть з цієї облегшеноі схеми видно, наскільки складні і різноманітні процеси в шарі каталiзатора. В реакторі, крім деяких шарів каталiзатора, як правило, існують різноманітні теплообміни, смесiтельні та розподільні будови. Отже, реактор можно представити у вигляді багатоступінчастоі структури. Математична модель такого складного об'єкту будує послідовно на основі попередньої побудови моделей його складових частин.

Дослідження складного процесу по частинам дає можливість переходити до моделі більш високого рівня, включаючи в неї як складову частину «вузьку» модель більш низького рівня. Цей перехід є корректним лише в тому випадку, якщо:

вiдома область зміни перемінних, що цікавить нас, вхідних в «широку» модель більш низького рівня;

проаналiзована вузька модель всієї цієї областi;

показано, що «вузька» модель задовільно описує процес на більш низькому рівні.

Для складання математичного опису хiмико-технологічного процесу в реакторі та його дослідження необхідно поділити процес на більш прості частини та установити зв'язки між ними. Можливі різноманітні шляхи виділення рівней і складових частин складного процесу. Для цього, як правило, використовують системний та еволюционний спосіб.

Системний - реактор розглядається як сукупність підсистем, відоброжая при цьому його iєрархичну (взаiмопідлеглу) будівлю, таким чином надана система розглядається у просторі.

Еволюционний - система (реактор) розглядається в розвитку, в часі.

Треба визначити, що приведені етапи не задають однозначної послідовностi, а носять iтераційний характер.

Спершу сформулюємо завдання, що вирішуються на кожному з етапів, а після цього розглянемо більш докладно деякі з них.

1. Завданням структурного аналізу є вияв та опис структури реактора - виділення рівней більш простих складових складного процесу, протікающего в реакторе, і встановлення зв'язків між ними.

2. Кiнетична модель - сукупність стадій реакцій та дорівнень, що характеризують залежність швидкості реакції від концентрації, температури і тиска у всієї області їх зміни, що охоплює практичні умови реалізації конкретних процесів. Кiнетична модель - основа математичного моделюванiя хімічних процесів і реакторів. На основі кiнетичних закономірностей проводиться визначення оптимальної форми, розмірів і пористоi структури зерен каталiзатора, розрахунок необхідної кількості каталiзатора в заданих умовах, оптiмiзация процесу і дослідження його стійкості, розрахунок статичних і динамічних характеристик процесу.

Дані, необхідні для побудови кiнетичних моделей, одержують внаслідок експериментальних досліджень. Причому обов'язковою вимогою є забезпечення таких умов проведення експерименту досліду, що би цілком виключали вплив процесів переносу речовини і тепла при кiнетичних вимірах, оскільки швидкість реакції повинна однозначно визначитися концентрациямi, температурою і тиском в данний момент.

Засоби обробки експериментальних данних і побудови кiнетичних моделей докладно розглядаються в курсі «Теорія хімічних процесів».

3. Модель процесу на одiночном зерні каталiзатора будується з урахуваням того, що хімічне перетворення протікає на внутрішньої поверхні пористих зерен каталiзатора, що утворюються багаточiсленними парами різноманітного розміру і форми. Внаслідок виникають процеси переносу речовини і тепла у середині зерен.

Якщо відома детальна структура пор, то, використовуючи математичну модель, треба разрахувати швидкість реакції як функцію складу і температури реакційної суміші W_Н = f (C_П, Т_П), а також міра використання внутрішньої поверхні.

Математична модель процесу на одiному зерні каталiзатора дозволяє вирішити і зворотне завдання - завбачити оптимальну порiсту структуру, форму і розміри зерен каталiзатора, показники, що забезпечують найкращу його працю.

4. На етапі теоретичної оптiмiзациi визначаються найкращі умови здійснення процесу, не дбаючи про те, чи можутьвони бути реалізовані в реальних апаратах. Початковими даними для проведення всіх розрахунків на наданому етапі служать кiнетичнi дані. Одержані теоретичні оптимальні умови використовуються на наступних етапах - попереднього вибору типу реактора і технико - економічних розрахунків.

5. Попередній вибір типу реактора проводиться на основі знайденого теоретичного оптимального режиму. Як правило, використовуючи математичні моделі, проводиться розрахунок деяких можливих варіантів і обирає той з них, що дозволяє найбільш повно реалізувати теоретично оптимальний режим.

6. Стійкість процесу має істотне значення при виборі конструкції апарату.

Проблема дослідження стійкості виникає при здійсненні екзотемічних реакцій. Якщо при проектуванні обирати режими реактора тільки з умов матеріального і теплового балансів та інтенсивності теплообміну, то можно легко зробити помилку, запроектувавши нестійкій режим.

Визначення параметричної чутливості необхідно для прогнозу поведінки реактора при різноманітних флуктуаціях вхідних параметрів, а також для вибору каналу управління технологічним режимом опрацювання системи автоматичного регулювання.

7. На етапі проектування реактора, використовуючи одержані раніше результати з обліком технологічних умов, обмежень і економічних даних, виробляє остаточний вибір технологічної схеми реактора, режиму його роботи і розрахунок необхідної кількості каталiзатора. Залежно від особливостей процесу та міри його вивченності обирає масштаб першого досвідчено-промислового реактора.

8. Гідравлічне моделювання проводиться для визначення і подальшого усунення можливих відхилень від заданого технологічного режиму, обумовленних неоднорідністю умов подогріва або охолодження, неравномірністю підвода реакційної суміші в реактор, неоднорідностю прохідного струму крізь шар каталiзатора та ін. Як правило, гідравлічне моделювання проводиться на фізичних моделях при виконанні умов геометричної і гідродинамічної подібності.

3.2 Структурний аналіз

У вигляді прикладу розглянемо структурний аналіз процесу, протікающого в реакторі з непорушним шаром каталiзатора.

Першим рівнем, що складається із окремих стадій хімічного перетворення, служить знакова модель складної хімічної реакції, протікающій в кiнетичній області в відсутності процесів переносу тепла і речовини. Дорівнення, що описують швидкість хімічного перетворення (кiнетична модель), входять як складні в модель другого рівня - модель процесу на одiночном зерні каталiзатора.

Складовими частинами цього рівня є також стадії переносу речовини та тепла у середині зерна каталiзатора. Зв'язки між окремими складовими описуються дорівненнями матеріального і теплового балансів. Третій рівень - модель процесу у шарі каталiзатора урахуванням процесів переносу речовини і тепла як по шару каталiзатора, так і до зовнішньої поверхнi зерен. Модель другого рівня - швидкість, що спостерігає хімічне перетворення - входить у модель третього рівня як складова частина.

Модель четвертого рівня - модель реактора з урахуванням розміщення окремих прошарків каталiзатора, теплообмінних, смесiтельних та інших вузлів. Модель процесу в шарі каталiзатора (модель третього рівня) входить як складова до моделі четвертого рівня.

Уявляючи реактор у вигляді багатоступінчастоу моделі, ми поділяємо складний процес на більш прості составні і одержуємо можливість проводити вивчення по частинам і влаштовувати зв'язк між окремими частинами.

Можливі різноманітні шляхи виділення рівней і складових частин складного процесу у реакторі. Проте всі раздроблення повинні відповідати принципу iнварiантностi складових частин до масштабу, що укладає в наступному - закономірністi протіканiя процесів в складових частинах наданого рівня моделі не повинні залежати від масштабу рівня, що роздивляється, а вплив масштабу слід враховуватися взаємодією між складовими частинами і краєвими умовами.

Необхідно визначити, що в цьому визначенні промова іде про iнварiантностi саме закономірності протікання процесів на нижньому рівні до процесівна більш високому рівні, а не про iнварiантностi кількісних залежностій. Так, зміна масштабу більш високого рівня може значно деформувати кількісну картину на більш низькому рівні, проте залежность протіканiя процесів залишаться минулими.

При дотриманні принципу iнварiантностi одержані суммарні залежності про теканiя процесу на нижньому рівні будуть входити як складні наступного рівня моделі і не будуть залежати від його масштабу. Наприклад, закономірностi протеканiя процесів в складових частинах моделі другого рівня - порiстого зерна каталiзатора - перенос речовини і тепла у середині пор каталiзатора і швидкісті хімічного перетворення не залежать від масштабів зерна. Вплив же масштабу на розподіл концентраций і температури по радіусу зерна визначаються краєвими умовами і характером тепло- і массообміну між зовнішньої поверхні зерна і ядром струму. Одержані залежності що спостерігаються швидкості реакцій на порiстому зерні не залежать від масштабу наступного рівня - слоя каталiзатора і входять в нього як складова частина математичної моделі процесів, протікающих в шарі каталiзатора.

3.3 Моделювання процесу на одному зерні каталiзатора

У всякому гетерогенному процесі взаємодія між компонентами діється на поверхнi розділу фаз чи в безпосередньоу близькості від неї. Тому сучасні каталiзатори становлять порiсті матеріали з високорозвиненою внутрішньою поверхністью. Головна причина, що змушує застосовувати подібні каталiзатори це багаторазове збільшення поверхнi розділу фаз. Так, якщо непорiста гранула діаметром 5 мм має поверхність порядку 10^-4 м², то поверхність пор в порiстої гранулі такого ж розміру може складати 20-600 м², т.ч. різниця може досягати 10⁵ раз.

Картина процесу, протекающого в порiстом зерні каталiзатора відрізняється великою складністю, тому що діфузія речовини проходить в вузьких порах, форма і перетин яких непостоянні. Для аналізу процесів в зерні каталiзатора була запропонована достатньо проста схема - квазiгомогенная модель. Відповідно до цього зерно розглядається не як складна система пор, а як деяке суцільне непоруш-не середовище, всередині якого іде дифузія реагентів (обумовлена ефективним коефіціентом дифузії ) і в якій протікає хiмiчеська реакція (визначаєма константой швидкості реакції, віднесенноу до одиниці обсягу зерна K_З). При цьому, якщо реакція іде при постійній температурі, то значення і К₃ вважаються однаковими в всіх крапках зерна.

Для побудови моделі введем слідуюче спрощення - будемо розглядати зерно каталiзатора безкінцевих розмірів. При цьому дiффузіонний струм спрямований від поверхні зерна вглиб уздовж осі R на безмежну глибину. Мета цього спрощення складається у отому, щоб завдання стало одномерним - розглядається тільки одна коордiната.

При зроблених допущеннях iзотермичеський процес в зерні каталiзатора описується рівнянням:

(3.1)

де С - поточна концентрація;

e - порiстость зерна каталiзатора;

r - поточна коордiната;

t - час;

D - ефективний коефіціент дiффузii;

W - швидкість хімічного перетворення;

Краєві умови: прі r = 0 C = Cп (3. 2)

прі r >? C > 0

Для реакції 1-го порядку W=K S_Уд Wс (3. 3)

де К-константа швидкості реакції, віднесена до одиниці поверхнi;

Sуд - питома поверхня, рівна відношенні суммарноу поверхні до обсягу зерна.

Для опису стаціонарного режиму при проходженні реакції першого порядку дорівнення (3.1) прийме слідуючий вигляд:

(3.4)

(3.5)

Вираз (3.4) з урахуванням краєвих умов (3.2), одержимо

Позначимо:

(3.6)

Тоді, замість (3.5) можна записати:

(3.7)

Формула (3. 7) у безмірному вигляді виражає глибину проникнення реагента в зерно каталiзатора. На рис. 3.5 зображений графік цієї формули. По мірі углублення в зерно каталiзатора концентрація зменшуеться. Теоретично зменшення може тривати до r = ?.

Практично це вірно, починаючи з r/l ?5 при цьому відношення концен трацій C/c ? 0, 01, і, відповідно швидкість реакції на два порядка менша, чим у зовнішньоу поверхнi.

Для аналізу впливу різноманітних факторів на хід реакції слушно аналізува ти протікання процесу, прийнявши за абсцису або r, або аналізувати протікання або відношення r/d, де d - діаметр зерна каталiзатора. В цьому випадку розподіл концентрацій по зерну нескінченних розмірів, а певного діаметру d.

Виявляється, що розподіл концентрацій істотно залежить від відношення L/d.

Взагалі кажучи, параметр L можна трактувати як масштаб глибини проникання реагента в зерно каталiзатора. З іншого боку, цей параметр можна трактувати як деяку міру співвідношення швидкості дифузії і реакції: при малому значенні швидкість дифузії значно менш швидкості реакції та навпаки. В літературі широко використовується слідуючий параметр, назад пропорційний параметру

L - безмірний модуль Тiле:

(3. 8)

де R - радіус зерна.

Модуль Тiле визначає відношення швидкості реакції до швидкості дифузії.

Залежно від величини параметра j можливі різноманітні режими роботи каталiзатора.

1. При малих значеннях модуля Тiле (ш <0. 5) швидкість хімічної реакції значноменш, чим швидкість дифузії. В цьому випадку центру зерна буде відповідати дуже малі значення відношення r/l. Із ріс. 3.7 видно, що при цьому концентрація реагента в центрі зерна буде така ж, як і на поверхнi, т. ч. С ? Сп обсяг каталiзатора працює з однаковою інтенсивністю, а швидкість процесу на зерні буде визначатись хімічною реакцією. Профіль концентрації по діаметру зерна показаний на рис. 3.6 (верхня крива), цю область роботи каталiзатора прийнято називати кiнетичною т. ч. лiмiтiрующей стадією є кiнетика процесу.

2.Більші значення ш >2, 5 відповідають режиму, при якому швидкість реакції значно більше швидкості діфузії. При цьому проходить швидке падіння концентрації реагента і реакція завершується в гирлі пор Наданому режиму відповідає нiжня крива на ріс. 3.6 Таку область роботи каталiзатора прийнято називати внутридiффузiонною, так як лiмiтiрующа стадія всього процесу є дифузія реагента у середину зерна каталiзатора.

Однією з найважливіших характеристик процесу на порiстому зерні каталiзаора є ступінь використання внутрішньої поверхнi каталiзатора, рівна відношенню спостерігаємоу швидкості реакції до швидкості реакції у відсутністі внутрi дiффузiонного гальмування, у кiнетичнiй області:

=Wнабл / Wкин (3.9)

Для кінетичної області (при значеннях ш < 0,5) міра використання близька до 1, тобто використовуеться практично вся внутрішня поверхня. З зростанням модуля Тiле величина міри використання з монотонно прагне до нуля і у галузі значень

ш > 2, 5 процес протікає в внутрiдiффузiонноу області.В цьому випадку з=1/ш, тобто чим більше ш, отим менш з.

Між діфузійною і кiнетичною областями лежить перехідна область, відповідаюча умовам, при яких концентрація реагента в центрі зерна каталiзатора менш, ніж на зовнішній поверхнi, але вище розрахованной по рівненню (3.5).

В цій області з зростанням параметру ш міра використання змінюється від значень, характерних для кiнетичноу області, до значень, характерних для дифузійної області. У перехідній області працюють багато промислові каталiзатори.

На графіку залежності міри використання внутрішньої поверхнi від параметра Тiле (рiс. 3.7) чітко вiдни ці три області протікання процесса на зерні:

- відтинок АB ( <0,5) - кінетична;

- відтинок CD ( >2,5) - дiффузiонна;

- відтинок BC - перехідна область.

Змищенню процесу з дифузійної в перехідну сприяють зменшення розміру зерна R збільшення ефектив коефіціенту діфузії D.

Останнє в значно визначається збільшенням діаметрів пор. Щоб за рахунок такого зростання не надто зменшити внутрішню поверхню зерна каталiзатора, доцільно застосовувати каталiзатори з бiдiсперсною структурою - широкі транспортні пори та дрібні мікропори. Таким чином, знаючи швидкість переносу реагентів всередині зерна каталiзатора, можна зробити попередні висновки про його оптимальні порiсті структури. Дамо визначення оптимальної структури. Швидкість реакції W, віднесена до одиниці обсягу зерна каталiзатора, - це по суті активність одиниці обсягу каталiзатора. Вона залежить від питомої активності W_Уд - скоростi реакції, віднесеної до одиниці поверхнi каталiзатора, питомої повехностi каталiзатора S_УД і її доступності, що характеризується мірою використання внутрішньої поверхні

W=Wуд * Sуд * (3.10)

Для наданого хімічного складу каталiзатора його питома активність приблизно постійна. Отже, максимальна активність каталiзатора відповідає максимальному значенню S_УД*. Порiсту структуру, що забезпечує цю умову, прийнято називати оптимальною. Надане визначення відноситься до нагоди протікання простих реакцій. Для складних реакцій оптимальна порiста структура повинна забезпечувати максимальну швидкість реакції при заданої селектівностi.

Для реакцій, протікающіх у кiнетичній області, швидкість реакції прямо пропорційна загальної внутрішньої поверхнi ( = 1).Максимальне значення твору

S_УД* можливо при тонкопорiстої структурі зерна каталiзатора.

Для реакцій, протікающих в діффузійній області, міра використання менш 1, що пояснюється впливом внутрiдiффузiйнного гальмування Максимальне значення твору S_УД* у данному випадку залежить не тільки від величини внутрішньої поверхнi, але і від параметра ш. При інших рівних параметрах зменшити величину ш i відповідно, збільшити можна за рахунок зменшення розміру зерна. При цьому відкриваються нові устья пор, в яких протікає реакція.

При подальшому роздрібненні наступить такий стан, коли в усіх порах концентрація С стане рівної Сп і процес перейде в кiнетичну область. Основні рекомендації по вибору оптимальної порiстої структури повинні засновуватися на аналізі впливу процесів переносу речовини всередині зерна і хімічного перетворення, а також обліку технологічних умов здійснення конкретного процесу.

Помiмо оптимальної порiстой структури на показники роботи реактора істотний вплив оказують розміри зерна каталiзатора і його форма. Під оптимальними формами і розмірами зерен каталiзатора будем розуміти такі, що дозволяють досягнути задану проiзводiтельность при мінімальних видатках на контактний апарат з каталiзатором і подолання його гідравлічного опору.