Устойчивость плазмы в магнитных ловушках

/

Содержание

• Введение
• Невозмущенное состояние
• Потенциальная энергия возмущения
• Преобразование кинетического слагаемого
• Условие устойчивости
• Заключение
• Список литературы

Аннотация

Получены уравнения для поперечных компонент смещения плазмы, минимизирующего функционал Крускала - Обермана потенциальной энергии МГД-возмущения. Условие устойчивости состоит в отсутствии отрицательных собственных значений у этой системы уравнений (одно из них интегро-дифференциальное по продольной координате, другое интегральное) для любой магнитной поверхности в плазме.

Введение

Настоящая работа касается устойчивости плазмы в магнитных ловушках, в которых характерный размер изменения удерживающего магнитного поля сравним с 'поперечным' размером плазмы. Интерес к таким ловушкам связан с тем, что в них возможна МГД-устойчивость в отсутствие магнитной ямы. К этому классу относится, в частности, ряд осесимметричных конфигураций, образованных полоидальным магнитным полем, как с замкнутыми силовыми линиями (конфигурации с обращенным полем (FRC), см. [1]; ловушки типа [2, 3] с внутренними проводниками, их разнообразные версии описаны в [4,5]), так и открытых (полукасп [6]; ловушка с дивертором [7, 8]; непараксиальный пробкотрон, устойчивый против 'первой' моды [9]) С открытой ловушкой с дивертором имели дело, в частности, в экспериментах TARA (Массачусетский технологический институт) [10] и HIEI (Киотский университет) [11]. Диверторные ячейки можно использовать для стабилизации плазмы и в замкнутых ('тороидальных') системах (проект ЭПСИЛОН [12]). Ловушки с внутренним проводником осуществлены в действующих установках LDX (Массачусетский технологический институт) [13], RT-1 (Университет Токио; одной из задач этого эксперимента является моделирование в лаборатории свойств устойчивости магнитосферной плазмы, где роль сильной неоднородности поля также важна) [14], МАГНЕТОР (МИФИ) [15].. В МГД-модели с изотропным давлением, в которой стабилизация сильно неоднородным полем проявляется как влияние сжимаемости плазмы, условие конвективной (желобковой) устойчивости имеет вид [16,17]

, (1)

где p (a) - невозмущенное давление плазмы, a - 'метка' магнитной поверхности, U (a) = ?B^-1dl, интегрирование ведется по длине магнитной силовой линии в плазме, г=5/3 - показатель адиабаты. В осесимметричных конфигурациях, рассматриваемых ниже, под магнитными поверхностями понимаются поверхности вращения, на которых лежат силовые линии и по которым происходит азимутальный дрейф частиц.

Согласно (1) устойчивы профили давления, не слишком быстро спадающие с U. Безразлично устойчивый профиль, при котором инкремент обращается в нуль, есть p_* = p₀ (U/U₀) - ^г, где p₀ и U₀ относятся к некоторой произвольно выбранной магнитной поверхности внутри плазмы. При выполнении (1) величина давления плазмы ограничена требованием устойчивости относительно баллонной моды.

В задаче отыскания границы МГД-устойчивости случаю бесстолкновительной плазмы адекватна кинетическая модель Крускала - Обермана [18, 19], которая не предполагает изотропизации давления в колебаниях. Устойчивые по Крускалу - Оберману профили p (a) могут, как показали расчеты, проделанные для различных конфигураций при в = 8рp/B² >0 [20 - 23], существенно отличаться от получаемых в МГД-модели.

Расчеты профилей, устойчивых в модели Крускала - Обермана, при конечных в до сих пор отсутствуют. Трудность расчетов устойчивости при конечном в связана с тем, что, хотя общий критерий устойчивости хорошо известен - положительность функционала потенциальной энергии возмущения, - до сих пор не разработана регулярная процедура отыскания при в ? 0 того возмущения, на котором достигается минимум (именно им определяется устойчивость) этого функционала. В случае в > 0 подобной трудности не возникает, поскольку наиболее опасные возмущения имеют простой вид 'желобков'.

Заменой 'кинетического' слагаемого в выражении Крускала - Обермана для потенциальной энергии колебаний на величину, ограничивающую его снизу, удается при в ? 0 находить достаточные условия устойчивости, см., например, [24,25]; для плазмы с изотропным невозмущенным давлением при этом получается критерий (1).

В недавней работе [26] условия устойчивости в случае сформулированы, не прибегая к такой замене.

В данной работе получено условие МГД-устойчивости по Крускалу - Оберману для плазмы с конечным в без предположения об изотропии невозмущенного давления (результат [26] охватывается как частный случай).

Невозмущенное состояние

Рассматриваются осесимметричные равновесные конфигурации полоидального магнитного поля

, , (2)

ш - потоковая функция, r - расстояние от оси. Поле , силовые линии которого лежат на поверхностях ш = const (так что естественно взять ш в качестве метки магнитной поверхности), и величины, характеризующие плазму, зависят от ш и координаты, отсчитываемой вдоль . Считается, что на магнитной силовой линии имеется один минимум . Функция распределения частиц (в задаче важны горячие, вносящие вклад в давление плазмы, популяции; для сокращения записи будем считать, что такая популяция только одна - электроны или один сорт ионов) зависит от интегралов движения: энергии е = н² /2 (для удобства поделена на массу частицы), магнитного момента м = / (2B) и метки магнитной поверхности, возле которой происходит движение, ш. Магнитное поле и компоненты давления

, (3),

(4)

(M - масса частицы, ) удовлетворяют уравнениям равновесия [27]

, (5)

, (6)

где означает производную в направлении B, - плотность азимутального тока во внешних катушках, . Плотность тока в плазме составляет, см. [28],

. (7)

Описание отклонений от равновесия удобно проводить в связанных с равновесным полем ортогональных координатах ш,и,ч в которых

, , .

Здесь ч - координата вдоль , направление отсчета азимутального угла и выбирается так, чтобы единичные векторы составляли правую тройку, r = r (ш,ч) - расстояние до оси от точки на силовой линии ш = const; якобиан J (ш,ч) удовлетворяет вне проводников уравнению

, (8)

где . Это уравнение получается взятием циркуляции по контуру, ограничивающему площадку dшdч в плоскости и = const, с учетом (7). Выбор ч не однозначен (преимущество того или иного выбора здесь не обсуждается), и от него зависит граничное условие для J, поскольку решение (8) содержит произвольный множитель ц (ч).

В дальнейшем равновесное состояние считается заданным, то есть функции r (ш,ч), B (ш,ч), J (ш,ч), (ш, B (ш,ч)) известными.

Потенциальная энергия возмущения

Исходим из выражения для потенциальной энергии МГД-возмущения [29]

, (9) где

, (10)

,

, , -

смещение элемента плазмы поперек , , ; у и ф считаются положительными (тем самым исключаются источники неустойчивостей, в случае ?/?ш = 0 именуемых, соответственно, шланговой и зеркальной); кинетическое слагаемое

=, (11)

интегрирование по длине вдоль силовой линии в (11) ведется между точками поворота частицы, а для пролетных частиц в случае замкнутой силовой линии - по всей ее длине. Присутствующая в (10), (11) величина q выражается через коэффициенты Ламе [30]

(12)

и связана с кривизной силовой линии : именно, .

Функционал W для азимутальной моды m

Записав компоненты смещения в виде [17]

, , (13)

m ? 1 (выбор начала отсчета и и фазы и₀ роли не играет), и перейдя в (11) от переменных к переменным , после интегрирования по и будем иметь

, , (14) где

плазма магнитная ловушка устойчивость

, (15)

, (16)введены обозначения

, (17)

, (18)

, (19)

- значение поля в минимуме на силовой линии ш = const. Нижний предел интегрирования по л в (16) в случае открытой ловушки равен , где - поле в пробке, а в случае замкнутых силовых линий, когда есть пролетные частицы, предел . В дальнейшем будем полагать , имея в виду, что в случае открытой ловушки величина (17) равна в интервале (в конусе потерь) нулю. Для изотропной функции распределения эта величина не зависит от и равна давлению , выражение (15) сводится к формуле (6.16) (c ) статьи [17], а (16) переходит в выражение (27.3) работы [19]. Стабилизирующее действие неоднородности поля существенно, если кинетический член (16) сравним по величине с 'гидродинамическим' слагаемым (15).

Преобразование кинетического слагаемого

Преобразуем кинетический член к другой форме. Заметим, что величина стоит в (16) только в сумме с . Используем обозначение

. (20)

Перепишем (16) как

(21)

и изменим в (21) порядок интегрирования по и . Область интегрирования показана на рис.1.

Рис.1. Область интегрирования в плоскости в интеграле (21).

Получим

, (22)

где [] - интервал изменения ч в ловушке. Далее вернемся к записи величины , фигурирующей в (22), в виде (18) и поменяем порядок интегрирования по л и координате ч (см. рис.2).

Рис.2. Область интегрирования в плоскости в интеграле (22).

Придем к выражению

, (23)

в котором ядра суть

, (24)

(25)

(26)

, (27)

где

, (30)

а величина равна

(31)

то есть

. (31а)

Анизотропия распределения частиц проявляется в представлении кинетического члена в форме (23) тем, что вносит зависимость множителя P в (30) от л; в случае изотропного распределении будет, как уже говорилось, просто , этот случай рассматривался в [26].

Поскольку и входят в (31а) равноправно, после переименования переменных в слагаемом с в (23) окончательно имеем

(32)

Условие устойчивости

Для устойчивости достаточно, чтобы при любом ш величина в (14) была для возмущений неотрицательна. Примем нормировку

, (33)

где - положительная функция. Поскольку мы интересуемся только знаком на каждой магнитной поверхности, конкретный вид C (ш) (характер локализации возмущения по ш) для дальнейшего не существен, важна лишь положительность этой величины. Условие устойчивости будет соблюдено, если для каждого ш при нормировке (33) не отрицателен минимум функционала относительно варьирования зависимостей и от ч, или, что эквивалентно, не отрицателен минимум функционала

. (34)

В выражении для азимутальное число m содержится в (15). Слагаемое с m положительно и стремится к нулю при m > ?. Имея в виду получить наиболее жесткое среди возможных m условие устойчивости, положим (как в [17]) m >>1 и данное слагаемое опустим. При этом компонента будет входить в , как и в , только в комбинации .

Функционал при m > ? назовем.

Обозначим интересующий нас через . Этот минимум достигается на компонентах смещения (13), удовлетворяющих уравнениям Эйлера. При варьировании в (34) принимаем во внимание в случае замкнутых силовых линий ('длиной' ) требование

, (35)

а в случае открытой ловушки поставим на торцах граничные условия

(36)

(эти условия допускают существование желобковых и баллонных мод). В обоих случаях приходим к уравнению Эйлера

. (37)

Варьирование дает второе уравнение Эйлера

. (38)

В случае изотропного невозмущенного распределения уравнения (37), (38) переходят в уравнения, полученные в [26].

Если система интегро-дифференциальных уравнений (37), (38) с дополнительным условием (35) (или граничными условиями (36)) не имеет ни при каком ш собственных значений , плазма устойчива.

При в > 0 в первом приближении по в из (38) получается , т.е. , а из (37) будем иметь X = const. (Критерий устойчивости [31], см. также книгу [32], получится в следующем приближении по в). Это с учетом (13) означает, что поперечное смещение (дрейф в скрещенных равновесном магнитном поле и электрическом поле возмущения) происходит в результате действия потенциального поля , имеющего желобковый вид: Ц не зависит от ч.

Заметим, что при замене кинетического слагаемого в на выражение , ограничивающее снизу, которое не содержит интегрирования по л и включает только интегралы по ч (например, для имеем, согласно теореме сравнения [18, 19], )), интегральное и интегро-дифференциальное уравнения Эйлера, заменяющие (37), (38), будут уравнениями с вырожденными ядрами. Это упрощает их решение и отыскание достаточного условия устойчивости (при сводящегося для желобковой моды к (1), см. [24, 26]).

Заключение

Для кинетического слагаемого в функционале Крускала-Обермана потенциальной энергии МГД-возмущения получено выражение в форме двойного интеграла по продольной координате (32). Минимизация по двум компонентам смещения при нормировке (33) приводит к системе уравнений Эйлера, состоящей из одного интегро-дифференциального и одного интегрального уравнений (37), (38). Вид ядер в интегральных слагаемых определяется функцией распределения частиц по питч-углу, формулы (24) - (31). Условием МГД-устойчивости служит отсутствие отрицательных собственных значений у этой системы.

Список литературы

1. Tuszewskii M. // Nucl. Fusion. 1988. V.28. P. 2033.

2. Кадомцев Б.Б. // Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций /Под ред. М.А. Леонтовича. М.: Изд. АН СССР, 1958.Т. IV. С.353.

3. Ohkawa T., Kerst D. W. // Phys. Rev. Lett. 1961. V.7. P.41.

4. Фюрт Г. // Физика высокотемпературной плазмы /Под ред. М.С. Рабиновича. М.: Мир, 1972. С.172.

5. Морозов А.И., Савельев В.В. // Успехи физ. наук. 1998. Т.168. С.1153.

6. Димов Г.И. // Успехи физ. наук. 2005. Т.175. С.1185.

7. Lane B., Post R. S., Kesner J. // Nucl. Fusion. 1987. V.27. P.227.

8. Пастухов В.П., Соколов А.Ю. // Физика плазмы. 1991. Т.17. С.1043.

9. Рютов Д.Д., Ступаков Г.В. // Письма в ЖЭТФ. 1985. Т.42. С.29.

10. Casey J. A., Lane B. G., Irby J. H. et al. // Phys. Fluids. 1988. V.31. P. 2009.

11. Yasaka Y., Takano N., Takeno H. // Transactions of Fusion Technology. 2001. V.39. P.350.

12. Kulygin V. M., Arsenin V. V., Zhiltsov V. A. et al. // Nucl. Fusion. 2007. V.47. P.738.

13. Kesner J., Boxer A. C., Ellsworth J. L. et al. // 21^st IAEA Fusion Energy Conf., Chengdu, China, 2006. IC/P7-7.

14. Yosida Z., Ogawa Y., Morikawa J. et al. // Ibid. IC/P7-14.

15. Берникова М.М., Вайтонене А.М., Вайтонис В.В. и др. // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Термоядерный синтез. 2003. Вып.1. С.22.

16. Кадомцев Б.Б. // Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций /Под ред. М.А. Леонтовича. М.: Изд. АН СССР, 1958.Т. IV. С.380.

17. Bernstein A. B., Frieman E. A., Kruskal M. D., Kulsrud R. M. // Proc. Roy. Soc. London. 1958. V. A244. P.17.

18. Kruskal M. D., Oberman C. L. // Phys. Fluids. 1958. V.1. P.275.

19. Rosenbluth M. N., Rostoker N. // Phys. Fluids. 1959. V.2. P.23.

20. Adler E. A. // Phys. Fluids. 1982. V.25. P. 2053.

21. Михайловская Л.В. // Физика плазмы. 1988. Т.14. С.1241.

22. Соколов А.Ю. // Физика плазмы. 1992. Т.18. С.657.

23. Арсенин В.В., Куянов А.Ю. // Физика плазмы. 2001. Т.27. С.675.

24. Walstead A. E. // Phys. Fluids. 1982. V.25. P.1358.

25. Simakov A. N., Hastie R. J., Catto P. J. // Phys. Plasmas. 2000. V.7. P.3309.

26. Арсенин В.В. // Физика плазмы. 2008. Т.34. №5.

27. Grad H. // Phys. Fluids. 1967. V.10. P.137.

28. Шафранов В.Д. // Вопросы теории плазмы /Под ред. М.А. Леонтовича. Вып.2. М.: Госатомиздат, 1963. С.92

29. Taylor J. B., Hastie R. J. // Phys. Fluids. 1965. V.8. P.323.

30. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. М.: Издательство АН СССР, 1951.

31. Кадомцев Б.Б. // Физика плазмы и проблема управляемых термоядерных реакций /Под ред. М.А. Леонтовича. М.: Изд. АН СССР, 1958.Т. IV. С.370.

32. Михайловский А.Б. Теория плазменных неустойчивостей. Т.2. Неустойчивости неоднородной плазмы. М.: Атомиздат, 1971.