Поверхностные акустические волны
Работа из раздела: «
Физика и энергетика»
Министерство образования и науки российской федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра вычислительных технологий
КУРСОВАЯ РАБОТА
«Поверхностные акустические волны»
Факультет компьютерных технологий и прикладной математики, 32гр.
Специальность 010501 - Прикладная математика и информатика
Краснодар 2011
Содержание
Введение
1 Постановка задачи
1.1 Уравнение Ламе
1.2 Граничные условия
1.3 Матрица Грина
2.Энергетические характеристики
3. Работа с Vibros
Заключение
Список литературы
Введение
В данной курсовой работе мы будем рассматривать поверхностные акустические волны (ПАВ). ПАВ - упругие волны, распространяющиеся вдоль свободной поверхности твёрдого тела или вдоль границы твёрдого тела с другими средами и затухающие при удалении от границ. ПАВ бывают двух типов: с вертикальной поляризацией, у которых вектор колебательного смещения частиц среды в волне расположен в плоскости, перпендикулярной к граничной поверхности (вертикальная плоскость), и с горизонтальной поляризацией, у которых вектор смещения частиц среды параллелен граничной поверхности и перпендикулярен направлению распространения волны.
Развитые методы энергетического анализа и созданный на их основе комплекс программ позволили организовать систематическое накопление численных результатов с целью выявления общих закономерностей распределения энергии поверхностного источника в стратифицированном полупространстве. Расчеты проводились в основном для двухслойных моделей. Сравнение полученных результатов с аналогичными результатами для однородного полупространства дает количественную информацию о влиянии слоистости среды на перераспределение энергии.
1. Постановка задачи
Расчеты проводились в основном для целей вибросейсморазведки, поэтому рассматривались в первую очередь среды, моделирующие свойства грунтов. Приводятся результаты для следующих сред (скорость в км/с, плотность в г/см3 )
1) Почва, суглинок сухой
1.1) хр=0.2, хs=0.12, с=1.4,
1.2) хр=0.8, хs=0.32, с=1.6;
2) Водонасыщенные породы
2.1) хр=0.7, хs=0.07, с=1.4,
2.2) хр=1, хs=0.17, с=1.6,
2.3) хр=1.3, хs=0.65, с=1.8;
3) Известняк
3.1) хр=4, хs=1.8, с=2.2;
Остановимся на трех двуслойных моделях (назовем их А, В, С) со следующими свойствами слоев (в числителе свойства верхнего слоя, в знаменателе - нижнего полупространства):
А - 1.1/2.2, В - 1.2/2.4, С - 2.2/3, h=4м;
h- толщина слоя.
Плотности слоев во всех моделях примерно одинаковы, их изменение в диапазоне 1.3-2.2 несущественно сказывается на результатах. Среды с пониженной скоростью распространения Р-волн (звука) обычно называют более мягкими, а с повышенной - жесткими.
В качестве источника берется нагрузка P?-imt , равномерно распределенная в круге радиуса б. Рассматривается два случая приложения нагрузки:
А) вертикальный источник
фxz= фyz=0,
Б) горизонтальный источник
уxz= фyz=0,
Результаты, полученные для вертикального источника, помечаются индексом z, а для горизонтального х, например, ЕV,x, ER,x и ЕV,z, ER,z.
При переходе к безразмерному виду в качестве характерных величин взяты l0 = 1 м, х0= 1000 кг/м3 , с0= 1000 м/с.
Указанные энергетические характеристики для двуслойных сред А, В, С даны на рисунках 8.17-8.29.
1.1 Уравнение Ламе
Уравнение Ламе - линейное обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка в комплексной области
где - эллиптическая функция Вейерштрасса, А и В - константы. Это уравнение было впервые изучено Г. Ламе [1]; оно возникает при разделении переменных в уравнении Лапласа в эллиптических координатах. Уравнение (1) называется формой Вейерштрасса для у.Л. Существует такая замена независимой переменной в уравнении (1), в результате которой получается форма Якоби для у.Л.:
Имеются также многочисленные алгебраические формы у.Л., переход к которым осуществляется различными преобразованиями независимой переменной уравнения (1), например:
поверхностная акустическая волна упругая энергетическая
Для практических приложений форма Якоби является наиболее подходящей. Особенно важен случай, когда в уравнении (1) (или (2)) В=n(n+1), где n - натуральное число. В этом случае решения уравнения (1) мероморфны во всей плоскости и их свойства довольно хорошо изучены. Среди решений уравнения (2) при В=n(n+1) первостепенное значение имеют функции Ламе.
1.2 Граничные условия
1) До начального момента времени t=0 точки тела находятся в покое:
?0, ?0.
2) Начиная с момента t=0 к телу наряду с объемными силами F, заданными в некотором ограниченном объеме среды V0, прикладываются поверхностные нагрузки
=q,
Не равные нулю в некоторой ограниченной области поверхности Щ; вне Щ всюду q(x,y,t)?0.
Обозначим z1, l=2,…,N, точки разрывов функций л, м, упорядоченные следующим образом z1=0>z2>z3>…>zN> ?h? ?? (z1 не является точкой разрыва, а введена для дальнейшего единообразия). Плоскости z=z1, ?? ?x, y ??, l=2,…,N, являются границами раздела слоев. Предположим, что слои жестко сцеплены между собой, в этом случае должны выполняться условия непрерывности напряжений и перемещений на границе раздела слоев
3) +, , l=2,…,N.
Чтобы полностью замкнуть постановку задачи, необходимо к условию 1-3 добавить условия на бесконечности
u>0 при R=>?,
дополненные некоторыми условиями излучения.
1.3 Матрица Грина
Для полуограниченных сред с плоско-параллельными границами раздела представление решения для некоторой поверхностной нагрузки z=0=q(x, y) получают через матрицу Грина k(x), столбцы которой ki являются решениями для сосредоточенных поверхностных нагрузок
=0=ei(x), i=1,2,3:
. (4)
Здесь - область приложения нагрузки q к поверхности полупространства = 0.
На практике используют интегральное представление k через Фурье символ К(1,2,):
(5)
где K - матрицы Грина однородного полупространства в изотропном случае:
, (6)
2. Энергетические характеристики
3. Работа с Vibros
1. В фортрановском проекте Vibros0303 считаем полюса со следующей входной информацией в файле inpv.dat:
wdzSt.dat UxSt.dat UzSt.dat ! Names of the files 'poles', 'Ux' and 'Uz'
0 1 ! Mode Nr
1000. 1000. 2000. 5000. ! r(j) [m]
0.1 100. 0. 1 ! f1,f2,hf [Hz]
0.0001 0.001 5. ! eps, hpol, rwmax
2 ! Ns
800. 320. 1600. 4. ! Vp,Vs,Ro,h (St)
2500. 1250. 2000. 200. ! Vp,Vs,Ro,h
2. Вызываем матлаб программу PolRes('wdzSt.dat',0,100) для контроля найденных полюсов.
3. Уточняем эти частоты с пропущенными полюсами более мелким шагом hpol=0.0001:
wdzSt.dat UxSt.dat UzSt.dat ! Names of the files 'poles', 'Ux' and 'Uz'
0 1 ! Mode Nr
1000. 1000. 2000. 5000. ! r(j) [m]
0.1 100. 0. 1 ! f1,f2,hf [Hz]
0.0001 0.0001 5. ! eps, hpol, rwmax
2 ! Ns
800. 320. 1600. 4. ! Vp,Vs,Ro,h (St)
2500. 1250. 2000. 200. ! Vp,Vs,Ro,h
В выходном файле outv.dat видно, что на первой из этих частот (27.4 и 33.5) по-прежнему найден только один полюс. Пропускаем эту частоту с еще более мелким шагом hpol=0.00003:
wdzSt.dat UxSt.dat UzSt.dat ! Names of the files 'poles', 'Ux' and 'Uz'
0 1 ! Mode Nr
1000. 1000. 2000. 5000. ! r(j) [m]
0.1 100. 0. 1 ! f1,f2,hf [Hz]
0.0001 0.00003 5. ! eps, hpol, rwmax
2 ! Ns
800. 320. 1600. 4. ! Vp,Vs,Ro,h (St)
2500. 1250. 2000. 200. ! Vp,Vs,Ro,h
4. Для контроля еще раз строим графики: PolRes('wdzSt.dat',0,100)
Теперь все полюса найдены.
5. Считаем частотные спектры по интегралам (для rwmax < 5) и вычетам (для rwmax > 5) и посылаем их в файлы UxSt.dat и UzSt.dat:
wdzSt.dat UxSt.dat UzSt.dat ! Names of the files 'poles', 'Ux' and 'Uz'
0 1 ! Mode Nr
1000. 1000. 2000. 5000. ! r(j) [m]
0.1 100. 0. 1 ! f1,f2,hf [Hz]
0.0001 0.001 5. ! eps, hpol, rwmax
2 ! Ns
800. 320. 1600. 4. ! Vp,Vs,Ro,h (St)
2500. 1250. 2000. 200. ! Vp,Vs,Ro,h
5. Делаем активным проект TVibrm.
Считаем u_x(t) по сплайнам с входной информацией в inpt.dat:
UxSt.dat uxtSt-sp.dat ! Names of files 'Uw', 'Ut'
0. 10. 0.01 ! [t1,t2] ht
1000. ! TN
1 1 ! jr1,jr2 for r(j),j=jr1,jr2
2 100. ! nf,b
1 1 ! iuv, met (iuv = 1 -> u(t), else - v(t); met=1 - TVSpl else TVFFT)
А потом по FFT:
UxSt.dat uxtSt-fft.dat ! Names of files 'Uw', 'Ut'
0. 10. 0.01 ! [t1,t2] ht
1000. ! TN
1 1 ! jr1,jr2 for r(j),j=jr1,jr2
2 100. ! nf,b
1 2 ! iuv, met (iuv = 1 -> u(t), else - v(t); met=1 - TVSpl else TVFFT)
6. Строим графики u_x(t) с помощью матлаб-программы TVplot:
TVplot('uxtSt-sp.dat' ,4) - для первого случая (по сплайнам)
TVplot('uxtSt-fft.dat',5) - для второго (FFT)
Заключение
Анализ приведенных здесь численных результатов позволяет сделать следующие выводы:
1) Для двуслойной среды по сравнению с однородной возрастает доля энергии поверхностных и каналовых волн, появляются резонансные периодически чередующиеся частоты. Период чередования зависит от толщины и свойств слоев, т.е. от отношения h/лp, h/лs (лp, лs - длина продольных и поперечных волн).
2) Количество энергии объемных волн Еv (z), переносимой через плоскость z=const, остается постоянным для всех z.
3) В многослойном полупространстве, как и в слое, возникают «обратные» волны, т.е. имеются точки дисперсионных кривых, которым соответствуют волны с противоположным направлением фазовой и групповой скоростей. Точкам щ, отмеченным звездочками, соответствуют двукратные оR , энергия на этих частотах стремится к бесконечности.
Список литературы
1) Lame G., 'J. math. pures et appl.', 1837, t. 2, p. 147-88;
2) С т р е т т М. Д. О., Функции Ляме, Матье и родственные им в физике и технике, пер. с нем., Хар.- К., 1935;
3) Уиттекер Э.-Т., Ватсон Д.-Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963;
4) Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламели Матье, пер. с англ., М., 1967;
5) Гобсон Е. В., Теория сферических и эллипсоидальных функций, пер. с англ., М., 1952. Н. Х. Розов.
6) В.А.Бабешко, Е.В.Глушков, Ж.Ф.Зинченко, Динамика неоднородных линейно-упругих сред,- М.: Наука. Гл. ред. Физ.-мат. Лит., 1989.-344с.-ISBN 5-02-014001-5.
7) Е.В.Глушков, Н.В.Глушкова, Интегральные преобразования в задачах теории упругости (учебное пособие)
8) Интернет-энциклопедия «Викпедия».
