Основные соотношения для высокочастотного электромагнитного поля

Основные соотношения для высокочастотного электромагнитного поля

• СОДЕРЖАНИЕ
• 1. Уравнения Максвелла
• 2. Граничные условия
• 3. Энергия электромагнитного поля и теорема Пойнтинга
• 4. Применение метода комплексных амплитуд
• 5. Волновой характер электромагнитного поля. Плоские волны
• 6. Распространение плоской волны в среде с потерями
• Список использованных источников

1. Уравнения Максвелла

Как известно, макроскопическое электромагнитное поле в сплошных неподвижных средах описывается следующими уравнениями Максвелла в дифференциальной форме

(1-1)

где и - мгновенные значения векторов напряженности электрического и магнитного поля, и - мгновенные значения векторов электрической и магнитной индукции, - мгновенное значение вектора объемной плотности электрического тока.

В уравнениях (1-1) число неизвестных больше числа уравнений, поэтому их дополняют еще двумя уравнениями

(1-2)

где - объемная плотность электрического заряда, и так называемыми материальными уравнениями, которые для линейной и изотропной среды (т.е. имеющей одинаковые свойства по всем направлениям) имеют вид

(1-3)

В (1-3) - абсолютная диэлектрическая, а - абсолютная магнитная проницаемости среды; это - скалярные величины.

Приведенные выше соотношения можно дополнить законом Ома в дифференциальной форме

, (1-4)

где - удельная электрическая проводимость среды.

В системе единиц СИ, которой мы будем пользоваться в дальнейшем, перечисленные выше величины имеют следующую размерность:

- вольт на метр

- ампер на метр

- кулон на метр квадратный

- вебер на метр квадратный

- ампер на метр квадратный

- кулон на метр кубический

- 1/(Ом метр)

Как уже говорилось, в изотропных средах величины и являются скалярными; они могут быть записаны в виде

,

где и - диэлектрическая и магнитная проницаемости вакуума, выражающиеся соответственно в фарадах на метр и генри на метр, а и - относительные диэлек- трическая и магнитная проницаемости среды (безразмерные величины). В системе единиц СИ

Заметим, что существуют анизотропные среды, для которых соотношения (1-3) не выполняются. В таких средах связь между и и между и описывается не скалярными и , а тензорными и величинами. Соотношения (1-1), (1-2), (1-3) представляют полную систему уравнений Максвелла в дифференциальной форме.

Для описания электромагнитного поля нам также понадобится выражение для объемной плотности энергии электромагнитного поля

,

которое в случае изотропной среды, где выполняется условие (1-3) принимает вид

(1-5)

Плотность энергии имеет размерность джоуль на метр кубический.

В (1-5) первое и второе слагаемые в правой части представляют плотность энергии электрического и магнитного поля.

При использовании других систем единиц выражения (1-1) и (1-2) имеют иной вид. Так в системе СГС (Гауссовой)

В этой системе - скорость света в вакууме, а значения и равны единице. В дальнейшем мы везде будем пользоваться системой СИ.

Все величины, входящие в приведенные выше соотношения (кроме , поскольку для идеально проводящей среды ), являются конечными и непрерывными. Разрывы возможны только на границе раздела 2-х сред с разными параметрами.

Токи , входящие в уравнения Максвелла, могут быть порождены самим электромагнитным полем (токи проводимости, возникающие в среде с ), а могут являться источниками электромагнитного поля. В последнем случае они называются сторонними ().

Векторное поле может быть изображено графически. Обычно оно изображается с помощью линий векторов и , т.е. линий к которым в любой точке пространства векторы и являются касательными.

При этом линии вектора изображаются сплошными, а линии вектора - штриховыми линиями.

Известно, что уравнения с частными производными, записанные выше, не имеют определенных решений, пока к ним не добавлены дополнительные условия. Примером таких условий являются граничные условия, рассмотренные в разделе 1.2.

2. Граничные условия

Выше уже говорилось, что возможен случай, когда параметры среды , и , изменяются скачкообразно. Это, например, имеет место, когда в неограниченном пространстве имеется какое-либо тело (диэлектрик или проводник) или несколько тел. В этом случае поведение векторов поля ,,и на поверхности тел, т.е. на границе раздела 2-x сред, определяется граничными условиями. Граничные условия могут быть получены из соотношений (1-1) и (1-2), записанных в интегральной форме; ниже мы просто сформулируем граничные условия без вывода. Поскольку любой вектор можно представить в виде суммы нормальной и тангенциальной составляющих к границе раздела, граничные условия формулируются отдельно для нормальных и тангенциальных составляющих. Пусть имеются 2 среды с параметрами , и , (рис. 1.1).

На границе раздела должны выполняться следующие условия:

1) Нормальные составляющие векторов и непрерывны при переходе из одной среды в другую

(1-6)

Условие (1-6) может быть нарушено только в случае, когда на границе раздела имеется слой поверхностного электрического заряда. Тогда нормальная составляющая вектора имеет скачок, численно равный поверхностной плотности заряда. Используя соотношения (1-3) из (1-6) получим

(1-7)

Следовательно, нормальные составляющие векторов и имеют разрыв на границе раздела 2-х сред.

2) Тангенциальные составляющие векторов и непрерывны при переходе из одной среды в другую

(1-8)

Граничное условие (1-8) часто используется при решении различных задач. При этом вначале отдельно определяются тангенциальные составляющие векторов и в средах 1 и 2, а затем полученное решение «сшивается» в соответствии с (1-8).

Очень важным является частный случай, когда среда 2 обладает свойствами иде ального проводника (). Сформулируем также без вывода граничные условия на поверхности идеального проводника:

1) Тангенциальная составляющая вектора равна нулю

(1-9)

Это соотношение легко получается из (1-8), если учесть, что в идеальном проводнике электромагнитное поле отсутствует и .

2) Нормальная составляющая вектора равна нулю.

(1-10)

3) Тангенциальная составляющая вектора имеет разрыв, численно равный величине плотности электрического поверхностного тока (этот ток протекает в бесконечно тонком поверхностном слое). Математически это записывается так

(1-11)

Здесь - вектор плотности электрического поверхностного тока, его направление определяется по правилу векторного произведения, размерность - ампер на метр. Поскольку правая часть (1-11) по абсолютной величине представляет тангенциальную составляющую вектора , то (1-11) можно записать в виде

(1-12)

т.е. плотность поверхностного тока численно равна тангенциальной составляющей вектора на поверхности идеального проводника. Здесь имеется в виду суммарное поле , которое представляется как сумма падающего и отраженного полей

(1-13)

Поскольку для идеально проводящей плоской поверхности бесконечных размеров численно равно , то (1-12) можно записать в виде

, (1-14)

где - тангенциальная составляющая вектора падающего поля. Соотношение (1-14) справедливо только для идеально проводящей плоскости бесконечных размеров, если эти условия не выполняются, оно становится приближенным (приближение физической оптики).

Выражения (1-10) и (1-11) не очень удобны при решении ряда практических задач. Далее в разделе 2.4 мы получим другие граничные условия для тангенциальной составляющей вектора на поверхности идеального проводника.

3. Энергия электромагнитного поля и теорема Пойнтинга

Одной из важнейших характеристик электромагнитного поля является его энергия. Выше приводилось выражение (1-5), определяющее плотность энергии поля в единице объема. Здесь мы рассмотрим баланс энергии поля в некотором замкнутом объеме , ограниченном поверхностью (рис. 1.2).

Объем заполнен однородной и изотропной средой, имеющей некоторые потери, которая характеризуется параметрами , и .

Внутри объема могут находиться источники поля (сторонние токи ), вследствие конечной проводимости среды в объеме в соответствии с (1-4) существуют токи проводимости .

(1-22)

Соотношение (1-22) носит название теоремы Пойнтинга, оно записано для мгновенных значений входящих в него величин.

Учитывая (1-15), (1-16) и (1-5) получаем, что левая часть (1-22) - это мощность, отдаваемая в данном объеме сторонними токами, первое слагаемое в правой части - увеличение энергии электромагнитного поля в объеме, второе - мощность потерь в объеме, а третье - поток вектора через поверхность . То есть мощность, отдаваемая в объеме сторонними токами, частично расходуется на увеличение запаса энергии в объеме, частично расходуется на потери в объеме и частично излучается во внешнее по отношению к объему пространство. Эта последняя часть мощности определяется как поток вектора (вектор Пойнтинга) через поверхность . Это слагаемое является очень важным, так как определяет наличие или отсутствие излучения. Количественно мгновенное значение мощности, излучаемой из объема , определяется соотношением

(1-23)

где (1-24)

- мгновенное значение вектора Пойнтинга (рис. 1.3). Его направление определяется по правилу векторного произведения.

Вектор представляет собой мгновенное значение вектора плотности потока мощности и имеет размерность ватт на квадратный метр. Заметим, что для изменяющихся во времени периодических процессов в течение периода могут изменяться как величина, так и направление вектора . Далее в разделе 1.8 мы рассмотрим определение вектора в случае гармонических колебаний.

4. Применение метода комплексных амплитуд

В систему уравнений Максвелла входят частные производные по координатам и по времени. Для упрощения решения желательно избавиться хотя бы от производных по времени. Это можно сделать, применив метод комплексных амплитуд.

На практике наиболее часто встречается случай, когда вектора поля и токи изменяются во времени по гармоническому закону. При этом некоторая скалярная величина (например - напряженность поля), характеризующая поле, запишется в виде

(1-32)

где - угловая частота, а - частота колебаний.

Тогда вектор в декартовой системе координат запишется в виде

(1-33)

Здесь ,,- амплитуды составляющих вектора по осям координат, а , , - их фазы.

Среду, в которой существует электромагнитное поле, будем полагать однородной и изотропной, поэтому параметры среды , и - постоянны.

По формуле Эйлера

, (1-34)

тогда выражение (1.32) можно записать в виде

(1-35)

и вместо (1.33) получим

(1-36)

Введем обозначение

(1-37)

где - величина называемая комплексной амплитудой, поскольку содержит информацию об амплитуде и фазе составляющей .

Тогда соотношение (1-36) можно записать в виде

, (1-38)

где

(1-39)

Эта величина называется комплексной амплитудой вектора . Она характеризует амплитуду и фазу всех составляющих вектора .

Если некоторая комплексная величина удовлетворяет дифференциальному уравнению, то ему должны удовлетворять ее действительная и мнимая части. Поэтому в уравнения Максвелла можно вместо подставить и уравнения останутся справедливы.

Подставив вместо , , в (1-1) их комплексные амплитуды получим

(1-40)

В дальнейшем в этих соотношениях можно сократить и опустить индекс и точку сверху. Тогда (1-1) запишем в виде

(1-41)

подразумевая, что на самом деле каждая из векторных величин - это вещественная часть некоторой комплексной величины. Так на самом деле - это . Для того, чтобы перейти обратно к явной зависимости от времени, решение нужно умножить на и в полученном выражении взять вещественную часть.

Введем в уравнения (1-41) кроме электрических магнитные токи (см. раздел 1.4) и будем полагать, что среда характеризуется кроме электрической проводимости еще и магнитной проводимостью . Тогда в соответствии с (1-25), (1-26) и (1-27) вместо (1-41) получаем

(1-42)

Преобразуя правые части (1-42) запишем:

(1-43)

Введем обозначения

(1-44) (1-44)

где и - комплексные абсолютные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды.

В среде без потерь , соответственно и и - чисто вещественные величины, в случае среды с потерями и - комплексные величины. Мнимые части в (1-44) характеризуют плотность токов проводимости, т.е. потери в среде.

Чаще всего мы имеем дело с диэлектриком с потерями. Одной из его характеристик является тангенс угла диэлектрических потерь, обозначаемый . Он определяется соотношением

(1-45)

Чем больше , тем больше потери в диэлектрике.

В дальнейшем в обозначениях и точку наверху будем опускать, имея в виду, что в среде без потерь и вещественны, а в среде с потерями - комплексны. Тогда окончательно выражения (1-1) примут вид

(1-46)

Здесь мы избавились от производных по времени и токов проводимости в явном виде. Такая форма записи будет использоваться в дальнейшем.

5. Волновой характер электромагнитного поля. Плоские волны

Волновой характер электромагнитного поля можно доказать, если свести уравнения Максвелла к другим уравнениям, которые заведомо описывают волновой процесс.

Рассмотрим электромагнитное поле в некоторой точке пространства вдали от источников. В этой точке отсутствуют сторонние токи и заряды (рис. 1.5). Введем декартову систему координат ,,. Пусть среда, в которой существует электромагнитное поле, не имеет потерь.

Величина - это волновое число или коэффициент фазы. Иногда используется термин «постоянная распространения». В нашем случае, когда среда не имеет потерь, вещественно, но в среде с потерями комплексно. Физический смысл рассмотрим ниже.

Таким образом, после ряда преобразований получили

(1-53)

Это - однородные векторные волновые уравнения или уравнения Гельмгольца. Они справедливы для монохроматических колебаний с частотой и в той области пространства, где отсутствуют сторонние токи и заряды. Получим простейшее решение этих уравнений. Решение ищем в некоторой области, достаточно удаленной от точки расположения источников поля (точка на рис. 1.5).

Поскольку можно полагать, что расстояния , то поле в точке не должно зависеть от координат и . Тогда в выражении для оператора Лапласа останется только вторая производная по .

Известно, что в декартовой системе координат векторное волновое уравнение распадается на 3 скалярных. Так вместо (1-53) можно записать

(1-54)

(1-55)

Выражения (1-54) и (1-55) записаны относительно проекций векторов и на оси декартовой системы координат. Рассмотрим решение таких уравнений.

Поскольку существует только зависимость от координаты , все уравнения имеют однотипный вид:

(1-56)

Это - линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Его решение, как известно, имеет вид:

(1-57)

Решение всех остальных уравнений аналогично. Тогда, очевидно, и в векторной форме

, (1-58)

где - единичный вектор, указывающий направление , а и - произвольные постоянные. Для определения произвольных постоянных и рассмотрим физический смысл полученного решения.

Для того, чтобы от записи с использованием комплексных амплитуд перейти к явной зависимости от времени (см. раздел 1.5) умножаем (1-58) на и берем вещественную часть.

, (1-59)

Имеем 2 решения: в виде и в виде . Проанализируем их, рассмотрев, как перемещается в пространстве точка с постоянной фазой (т.е. при постоянном аргументе косинуса).

В момент времени точка имеет координату , при изменении времени на точка перемещается на

(1-60)

Поскольку , то и .

Решение в виде характеризует электромагнитную волну, распространяющуюся от источников в направлении оси . Для решения в виде получим и, соответственно . Оно характеризует волну, распространяющуюся к источникам в направлении, противоположном оси , что не соответствует физическому смыслу задачи. Поэтому в (1-59) необходимо положить и окончательное решение для примет вид

, (1-61)

а с использованием метода комплексных амплитуд

. (1-62)

Скорость перемещения точки с постоянной фазой в направлении распространения волны (ось ) называется фазовой скоростью. Из (1-60) и (1-52) получаем

(1-63)

Полученное решение представляет собой плоскую волну. Поверхности равных фаз - это плоскости . Определим фазовую скорость в вакууме. Подставив в (1-63) значения и (см. раздел 1.1) получим

(1-64)

Это - скорость света в вакууме ().

В среде, отличной от вакуума, , и . В частности, для диэлектрика с относительной диэлектрической проницаемостью и магнитной проницаемостью

(1-65)

Расстояние , на котором аргумент косинуса изменяется на называется длиной волны ().

Подставляя в аргумент косинуса значения и и образовав разность аргументов запишем

.

Отсюда

и (1-66)

Уже говорилось, что - это волновое число или коэффициент фазы. Эта величина показывает, как изменяется фаза поля с расстоянием и имеет размерность радиан/метр. Длина волны измеряется в метрах. Из соотношений (1-52) и (1-66) видно, что в диэлектрике при длина волны меньше, а волновое число больше, чем в вакууме.

В заключение сформулируем основные свойства плоской волны в среде без потерь:

1) Векторы и взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения.

2) Поверхности равных фаз - плоскости, перпендикулярные направлению распространения.

3) Амплитуда поля от расстояния не зависит.

4) Распространение волны происходит с фазовой скоростью , зависящей от параметров среды.

5) Отношение амплитуд векторов и есть постоянная величина, называемая волновым сопротивлением среды .

6) Вектор Пойнтинга, а значит и направление переноса энергии поля, совпадает с направлением распространения.

Плоская волна является идеализированным, наиболее простым для анализа вари антом, но следует учитывать, что на больших расстояниях от любого реального источника поле весьма близко к рассмотренной плоской волне.

6. Распространение плоской волны в среде с потерями

В среде с потерями, и и волновое число , определяемые соотношениями (1-44) и (1-52), будут комплексными. Обозначим это комплексное волновое число

(1-74)

Здесь вещественная часть обозначена ; далее будет видно, почему это сделано.

В уравнениях (1-53) вместо будет фигурировать и в результате вместо (1-58) мы получим

, (1-75)

Исходя из физического смысла задачи мы в (1-75) полагаем , как ранее это делалось при анализе выражения (1-58). В результате получаем

(1-76)

Если теперь от комплексных амплитуд перейти к явной зависимости от времени, то вместо (1-76) получим

(1-77)

Сравним полученное ранее решение (1-61) для среды без потерь с (1-77). Видно, что амплитуда поля с расстоянием уменьшается, это уменьшение характеризуется коэффициентом , который называется коэффициентом затухания.

Роль волнового числа играет вещественная часть , которую мы обозначили . Посмотрим, насколько уменьшится амплитуда поля, если оно пройдет расстояние .

Из (1-76) получаем

(1-78)

Здесь - число, показывающее во сколько раз уменьшилась амплитуда, имеет размерность 1/метр.

В технике величину затухания часто обозначают не в относительных единицах, а в децибелах. Затухание в децибелах определяется соотношением

(1-79)

Здесь , .

Пусть среда имеет только диэлектрические потери. Тогда в соответствии с (1-44) и (1-45)

(1-80) (1-44)

и выражение для примет вид

(1-81)

Получим отдельные выражения для и через параметры среды. Для этого возведем правую и левую части (1-81) в квадрат и приравняем вещественные части. Приравняем также квадраты модулей правой и левой части (1-81). После ряда преобразований получаем

(1-82)

Проанализируем полученные соотношения. В случае отсутствия потерь и получаем и , т.е. приходим к прежнему решению (1-62) для плоской волны в среде без потерь. Рассмотрим отдельно случаи хорошего диэлектрика с малыми потерями (мало и мал) и хорошего проводника (велико и велик).

В случае диэлектрика с малыми потерями и из (1-82) получаем приближенное выражение для

(1-83)

При вычислении выражения для уже нельзя полагать , а величину нужно приближенно вычислить по формуле бинома.

(1-84)

Тогда с учетом (1-45) получаем

(1-85)

В хорошем диэлектрике с малыми потерями волновое число, фазовая скорость и длина волны почти такие же, как в диэлектрике с теми же параметрами и ,

но без потерь. Амплитуда поля с расстоянием убывает по закону , причем затухание практически не зависит от частоты.

В случае хорошего проводника и выражения (1-82) принимают вид

(1-86)

В хорошем проводнике при , и электромагнитное поле проникает в проводник только на очень небольшое расстояние. Чем выше частота, тем быстрее затухает поле с расстоянием. В хорошем проводнике ток в соответствии с (1-4) протекает только в очень тонком поверхностном слое, быстро затухая при продвижении вглубь проводника по закону (см. рис. 1.6). Это явление носит название «поверхностный эффект» или «скин-эффект».

Для количественной оценки, насколько глубоко ток и поле проникают в проводник, вводится понятие глубины проникновения . Это - расстояние, пройдя которое, амплитуда поля уменьшается в «» раз ().

Полагая и .

Воспользовавшись (1-86) получаем

(1-87)

Для идеального проводника и , т.е. ток протекает только в бесконечно тонком поверхностном слое. Для реально существующих хороших проводников глубина проникновения очень мала и уменьшается с увеличением частоты.

Список использованных источников

1. Мешков И.Н. Электромагнитное поле Мешков И.Н., Чириков Б.В. М., 1987 - 256 с.

2. Стась И.Е., Шипунов Б.П., Ивонина Т.С. Электродные процессы в высокочастотном электромагнитном поле // Известия вузов. Химия и химическая технология / Стась И.Е., Шипунов Б.П., Ивонина Т.С. - 2003.