Определение моментов инерции тел методом трифилярного подвеса
Работа из раздела: «
Физика и энергетика»
Министерство образования РФ
Рязанская государственная радиотехническая академия
Кафедра ОиЭФ
«Определение моментов инерции тел методом трифилярного подвеса»
Рязань 2008
Введение
Цель работы: определить момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр его масс, экспериментально проверить аддитивность момента инерции и теорему Штейнера.
Приборы и принадлежности: трифилярный подвес, секундомер, штангенциркуль, линейка набор тел.
Элементы теории
Момент инерции тела является мерой его инерции при вращательном движении и зависит не только от массы данного тела, но и от распределения данной массы относительно оси вращения.
Момент инерции материальной тачки (I) относительно некоторой оси равен:
I = mr2,
где m - масса материальной точки; r - расстояние от точки до оси вращения.
В силу аддитивности момента инерции можно записать выражение:
,
где Ik - момент инерции k-ой части вращающейся системы; N - число частей во вращающейся системе.
Для протяженных тел момент инерции определяется, как сумма моментов инерции отдельных элементарных объёмов (dV), на которые можно разбить данное тело и которые можно считать материальными точками:
,
где dm = dV - масса элементарного объёма; - плотность тела в данной точке. Для однородных тел, у которых - const:
.
Так, момент инерции однородного круглого пустотелого цилиндра или диска массой m с внутренним радиусом R2 относительно оси, совпадающей сего геометрической осью, рассчитанный с помощью формулы (4), равен:
.
Тогда:
для сплошного цилиндра, у которого R1 = 0, R2 = R.
;
для тонкого кольца, у которого R1 = R2 = R
I = mR2.
Согласно определению момента инерции одно и то же тело относительно разных осей обладает различными моментами инерции, которые могут быть найдены по теореме Штейнера:
8) I = I0 + ma2,
где I0 -момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела; I - момент инерции того же тела относительно оси, параллельной предыдущей и смещённой на расстояние a от неё; m - масса тела.
В данной работе требуется определить момент инерции ненагруженной платформы и платформы с исследуемыми телами, что позволяет найти момент инерции самих тел и провести проверку аддитивности момента инерции, а так же убедиться в справедливости теоремы Штейнера. Для этого в ней используется метод трифилярного подвеса.
После однократного выведения данной системы (подвеса или подвеса с грузом) из положения устойчивого равновесия, поворотом на некоторый угол , система начинает совершать произвольные колебания, период которых зависит момента инерции системы, а следовательно и от её массы. Таким образом полную механическую энергию данной системы (E) в произвольный момент времени t (и пренебрегая трением) можно записать так:
9) ,
где J - момент инерции системы, состоящей из платформы и установленного на ней исследуемого твёрдого тела; = d / dt - угловая скорость системы при повороте её на угол ; M - масса системы (платформы с грузом или без оного). В формуле (9) - кинетическая энергия вращательного движения системы, - потенциальная энергия системы. При (z - z0) - есть небольшая высота, на которую приподнимается система при вращении в силу перекоса нитей на которых смонтирован трифилярный подвес (z0 - высота покоящейся платформы; z - высота платформы, совершающей крутильные колебания, в произвольный момент времени).
В предоставленном после этого самому себе устройстве начнут совершаться крутильные колебания, период которых зависит от момента инерции подвешенной системы. Момент инерции, а следовательно, и период колебаний будут меняться, если платформу нагружать какими-либо телами.
Координаты точки А1 верхнего диска в системе координат, указанной на рисунке, равны: х1=r; y1 = 0; z1 = 0. Координаты же точки А крепления нижней платформы к нити подвеса в момент времени, когда платформа повернулась на малый угол , равны, соответственно,
10) x = Rcos(); у = Rsin(); z = z.
Расстояние между точками А и А1 равно длине нити подвеса (l), и поскольку при колебаниях платформы длина нитей не меняется, то в любой момент времени справедливо соотношение:
.
С учетом указанных выше координат точек А и А1 на основании (11) можно написать для произвольного значения угла а поворота следующее выражение:
12) .
Если = 0, то
13) .
Здесь x = R; у = 0; z = z0 - координаты точки А нижней платформы в момент времени, когда = 0. Приравнивая выражения (12) и (13) и раскрывая скобки, получаем:
14)
Так как угол мал, то для него можно использовать следующие соотношения:
15) sin() ;
16)
Используя их, из (14) для малых углов получаем:
17) .
Учитывая соотношение (14), получаем:
18) ;
или
19) .
Подставив в (9) найденное значение (z0-z), имеем
20) ;
или
21) .
Дифференцируя выражение (21) по времени и учитывая, что полная энергия системы Е с течением времени не меняется, получаем:
22) .
Из последнего выражения следует:
23) .
Обозначив
24) ,
получим
25) .
Это дифференциальное уравнение гармонического осциллятора. Решение уравнения (25) можно записать в виде:
26) ,
где 0 - амплитуда колебания; 0 - циклическая частота колебаний.
Период колебаний равен:
27) .
Решив последнее уравнение относительно J, получим расчетную формулу:
28) .
На основании (28) по известным параметрам установки (R, r, z0, М) и измеренному на опыте периоду колебаний можно определить момент инерции системы.
Расчётная часть
R = 12,410-2 м.; R1 = 54,2510-3 м.;
R2 = 4910-3 м.; r = 3,210-2 м.;
L = 19210-2 м.; mпл = 37310-3 м.;
R 0; R1 0;
R2 0; r 0;
L 0; mпл 0;
mтела = 18710-3 кг.; mтела 0;
|
№ п/п
|
1) Определение J платформы
|
2) Определение J тела
|
3) Проверка аддитивности момента инерции
|
4) Проверка теорема Штейнера
|
|
|
N
|
t, с
|
t, с
|
n
|
t, с
|
t, с
|
n
|
t, с
|
t, с
|
n
|
t, с
|
t, с
|
|
|
1
|
15
|
69
|
1,9910-4
|
15
|
59
|
1,9910-4
|
15
|
52
|
1,9910-4
|
15
|
59
|
1,9910-4
|
|
|
2
|
|
66
|
|
|
61
|
|
|
54
|
|
|
60
|
|
|
|
3
|
|
70
|
|
|
59
|
|
|
53
|
|
|
58
|
|
|
|
Ср. Знач.
|
|
68,33
|
|
|
59,67
|
|
|
53
|
|
|
59
|
|
|
|
Вначале определим периоды Ti колебаний системы во всех случаях снятия показаний (см. таблицу).
Ti = tср/n; 1) c. 2)
c. 3) c. 4) c.
Используя измерения снятые в 1-ом случае, по формуле (28) рассчитаем момент инерции ненагруженной платформы Jпл:
кгм2.
Вычислим значение абсолютной погрешности Jпл:
Jпл = Jпл tст; где tст = 1,95 при P = 0.95
;
;
Полагая, что значения среднеквадратичных погрешностей m, R, r и L пренебрежимо малы (в силу приведения их значений по умолчанию), формулу для вычисления Jпл можно свести к формуле:
.
В свою очередь t найдём следующим способом:
; ;
; при k = 1,1 (для P = 95) и c = 1 с.
с.
Тогда Jпл принимает значение:
кгм2.
Теперь найдём момент инерции системы (J платформы с грузом) для 2-ого случая.
кгм2.
Далее найдём момент инерции тела (Jт) исходя из аддитивности момента инерции по формуле:
Jт = J - Jпл;
Jт = (4,55 - 3,97)10-3 = 5,810-4 кгм2.
Найдём момент инерции того же тела через его массу и размеры (по формуле (5)):
кгм2.
Вычислим суммарный момент инерции системы для 3-его случая.
кгм2.
Для проверки аддитивности момента инерции надо убедиться в верности соотношения (2).
I = J + Jт = Jпл + 2Jт;
(45,5 +5,8)10-4 = (39,7 + 25,8)10-4 (47,8 1,99)10-4 кгм2.
Остаётся проверить теорему Штейнера с использованием результатов измерений в 4-ом случае.
Определим момент инерции всей системы по формуле (28):
кгм2.
Теперь рассчитаем момент инерции тела по приведённой ниже формуле.
Jт = (J - Jпл)/2;
Jт = 10-3(5,92 - 3,97)/2 = 0,9710-3 кгм2.
Найдём момент инерции тела через выражение (8), при a = м.
0,5810-3 + 18710-3
