Спектральная плотность некоторых тестовых сигналов

Задача 1.1

Пользуясь парой интегральных преобразований Фурье, вычислить и изобразить на спектральной диаграмме спектр периодического процесса с амплитудой А и частотой 0 (a(t)=Acos0t).

Решение:

(1)

спектральная плотность сигнал импульс

Или

,

где

дельта функции.

Задача 1.2

Вычислить и изобразить амплитудный и фазовый спектры периодического импульсного процесса в виде прямоугольных импульсов амплитудой А, длительностью и периодом Т.

Решение:

Будем использовать пару преобразований Фурье в симметричной форме:

используем свойство - ()

Умножим числитель и знаменатель на , тогда получим

, ,

Задача 1.3

Вычислить и изобразить спектральную плотность одиночного прямоугольного импульса амплитудой А и длительностью .

Решение:

Пусть данный сигнал располагается симметрично относительно начала отчета времени.

- комплексная спектральная плотность

Спектральная плотность рассматриваемого сигнала есть вещественная функция частоты.

Удобно ввести безразмерную переменную , и окончательно представим результат так:

(2)

Отметим, что значение спектральной плотности на нулевой частоте равно площади импульса:

Задача 1.4

Вычислить и изобразить амплитудный спектр периодического процесса в виде отрезков синусоидальных колебаний амплитудой А, частотой 0 и длительностью (радиоимпульсов), следующих с периодом Т.

Решение:

Найдем спектральную плотность одиночного радиоимпульса, который получится путем произведения одиночного прямоугольного импульса длительностью и амплитудой А = 1 на косинусоиду с частотой и амплитудой А.

В соответствии со свойством преобразования Фурье о смещении спектра колебаний:

,

где - спектр одиночного прямоугольного импульса

Из задачи 1.3:

,

Для описания периодической последовательности радиоимпульсов с периодом Т, воспользуемся свойством преобразования Фурье при переходе от непрерывного спектра к дискретному:

где

Воспользовавшись тригонометрическими соотношениями последнее выражение можно привести к виду:

Задача 1.5

Изобразить амплитудный спектр суммы сигналов, спектры которых вычислены в задачах 1.1 и 1.2.

Решение:

Т.к. преобразование Фурье линейно, то спектр линейной комбинации сигналов представляет собой линейную комбинацию их спектров

, т.е.

, где

Задача 1.6

Вычислить и изобразить спектр амплитудно-манипулированного сигнала. Амплитудно-манипулированный сигнал (АМ) рассматривать как произведение гармонического колебания a1(t)=Acos0t и сигнала а2(t) в виде периодической последовательности прямоугольных импульсов с единичной амплитудой.

Решение:

Если a2(t) - функция, в каждый момент времени принимающая значение либо 0, либо 1, то амплитудно-манипулированный сигнал представляется в виде:

(3)

Считая, что амплитуда этих импульсов равна 1, на основании (3) имеем:

где q - скважность последовательности.

Задача 1.7

Вычислить и изобразить спектр фазоманипулированного сигнала. Фазоманипулированный сигнал (ФМ) представляет собой последовательность радиоимпульсов, имеющих одинаковую амплитуду А и длительность - , отличающихся по фазе на . Его целесообразно рассматривать как сумму двух АМ сигналов.

Решение:

Т.к. при смещении функции времени относительно начала координат, изменяется лишь фазовый спектр, а амплитудный не меняется, т.е. , то воспользовавшись тем, что преобразование Фурье линейно, а также тем, что для получения амплитудно-манипулированных сигналов необходимо сдвинуть спектры на по оси частот. Получаем:

спектр АМ сигнала: прямоугольного и

спектр АМ сигнала: прямоугольного и

спектр фазоманипулированного сигнала.

Задача 1.8

Вычислить и изобразить спектры продифференцированной импульсной последовательности с параметрами из задачи 1.2.

Решение:

Спектр исходной импульсной последовательности:

Воспользуемся свойством преобразования при дифференцировании функции времени:

Задача 1.9

Вычислите и изобразите спектр сигнала, построенного следующим образом. Записать четырёхразрядным двоичным числом n=13. Постройте периодический сигнал с периодом Т=4, где означает длительность символа двоичного кода. Логическую единицу представьте напряжением +1В, логический нуль напряжением -1В. Длительность символа примите равной 1 мкс.

Решение:

Запишем число n = 13 четырехразрядным двоичным числом: n = 1101.

Вычисляя модуль и аргументы имеем: