Расчет параметров функционирования коммутационной системы

/

Белорусский государственный университет

информатики и радиоэлектроники

Факультет Заочного вечернего и дистанционного обучения

Кафедра сетей и устройств телекоммуникаций

Контрольная работа

по основам теории телетрафика, сетей и систем телекоммуникаций

Минск 2009

Присваиваем следующие значения для условных обозначений при решении задач:

НЗ = 53 - 30 = 23;

ПцНЗ = 2;

ВцНЗ = 3.

Задача 1.

На коммутационную систему поступает простейший поток с интенсивностью 3. Определить за время 4 мин. вероятности

Дано:

3 выз. /мин

4 мин

Решение:

Простейший поток полностью определяется распределением Пуассона:

, (1)

где - вероятность поступления ровно k вызовов за интервал времени t;

- параметр простейшего потока, причем интенсивность µ потока Пуассона численно равна его параметру л, т.е. .

Рассчитаем простейший поток согласно (1):

= 6,144Ч10^-6;

= 7,373Ч10^-5;

= 4,424Ч10^-4;

= 1,77Ч10^-3.

Вероятность поступления не менее k вызовов за время [0, t) определяется выражением:

. (2)

Вычислим искомое значение согласно (2) для 4:

= 0,9977.

Ответ:

6,144Ч10^-6; 7,373Ч10^-5; 4,424Ч10^-4; 1,77Ч10^-3; 0,9977.

Задача 2.

Определить вероятности поступления K>3 и K>=3 вызовов за промежуток t = (120-23) = 97 с, если параметр простейшего потока (150-23) = 127 выз. /ч.

Дано:

127 выз. /ч

97 с

Решение:

Простейший поток найдем с помощью распределения Пуассона (1), учитывая, что :

= 0,218.

Согласно (2) рассчитаем значение :

= 0,664.

- ?

-?

Ответ:

= 0,218; = 0,664.

Задача 3.

Для простейшего потока с параметром (299+23) = 322 выз. /ч определить значение , при котором вероятность за время t= (89 +23) = 112 c.

Определить величины вероятностей и построить распределение вероятностей для

Дано:

322 выз. /ч

112 с

,

,

.

Решение:

Максимум функция достигает при целом значении в двух точках и

,

.

Простейший поток найдем с помощью распределения Пуассона (1) для k=k1 и k=k2:

.

= 0,125;

= 0,124.

Итак, 0,125.

Далее рассчитываем простейший поток (1) для :

= 0,112;

= 0,095.

Далее рассчитываем простейший поток (1) для :

= 0,063;

= 0,052.

Построим распределение вероятностей для найденных и i = 0,2 … 12:

Ответ:

= 0,125; = 0,124;

= 0,112; = 0,095;

= 0,063; = 0,052.

Задача 4.

Телефонистка справочного бюро в среднем выдает = (9 + НЗ) = 32 справок в час. Определить вероятность того, что случайно поступивший вызов получит отказ ввиду занятости телефонистки, если обслуживание каждой заявки занимает (91 - НЗ) = 68 с.

Дано:

32 выз. /ч

68 с

Решение:

Вероятность поступления более одного вызова за время [0, t) определяется выражением (2):

.

Вычислим искомое значение согласно (2), учитывая, что :

= 0,123. -?

Ответ:

= 0,123.

Задача 5.

На двухстороннюю межстанционную линию поступают два простейших потока вызовов с параметрами (70 + НЗ) = 93 выз. /ч и (110 + НЗ) = 133 выз. /ч. При занятии линии на противоположный конец передается сигнал блокировки длительностью мс. Определить вероятность блокировки межстанционной линии и вероятность встречного соединения, то есть одновременного (за время ) поступления вызовов с обоих концов соединительной линии.

Дано:

93 выз. /ч

133 выз/ч

мс с

Решение:

Определим величину общего параметра , суммировав и : выз. /ч. Блокировка линии произойдет, если за время 0,1 с одновременно поступят один и более вызовов. Согласно выражения (2) для k ? 1:

.

Следовательно, , где - вероятность отсутствия поступления хотя бы одного вызова:

= 0,994.

Вероятность блокировки:

1 - 0,944 = 0,056.

Встречное соединение произойдет, если на двухстороннюю линию поступит ровно два звонка:

-?

Ответ:

=0,056;

Задача 6.

При расчете мощности зуммерного генератора на АТС допускается его перезагрузка не более чем в (5+ВцНЗ) = 8 случаях из 1000. Определить, на обслуживание какого количества вызовов одновременно, должна быть рассчитана мощность зуммерного генератора, если емкость АТС N = (1 500 + + ПцНЗ?100) = 1700 номеров, среднее количество от одного источника выз. /ч, среднее время слушания зуммерного сигнала t=3 c.

Дано:

выз/чвыз/c

1700

c

Решение:

Определим интенсивность поступающей нагрузки по формуле:

. (3)

Следовательно, согласно (3):

Эрл.

Интенсивность обслуженной нагрузки определяется выражением:

. (4)

Рассчитаем искомое значение (4):

3,34 Эрл

Следовательно, мощность зуммерного генератора должна быть рассчитана на обслуживание n = 4 вызовов одновременно.

-?

n - ?

Ответ: 3,34 Эрл, n = 4.

Задача 7.

Для потока Пальма задана функция . Доказать, что при этом поток Пальма становится простейшим потоком.

Дано:

Доказательство:

Функция распределения вероятностей промежутков между вызовами для простейшего потока имеет вид:

. (5)

Средняя величина промежутка z = 1/л.

Распределение промежутков времени между вызовами для потока Пальма задается соотношением:

;(6)

В соотношении (6):

- функция Пальма - Хинчина, определяющая вероятность отсутствия вызовов на интервале длиной ф при условии, что в начале интервала имеется вызов;

л - параметр потока Пальма.

Тогда, исходя из (5), (6) и заданной функции получаем:

,

что соответствует отрицательному экспоненциальному закону распределения промежутков времени между вызовами простейшего потока.

Значит, поток Пальма, заданный функцией , становится простейшим, что и требовалось доказать.

Задача 8.

Для потока Пальма функция . Определить функции распределения и .

Дано:

Решение:

Распределение промежутков времени между вызовами для потока Пальма задается соотношениями (6):

;

Воспользовавшись данными соотношениями:

простейший поток вызов коммутационный

.

,

Ответ:

.

Задача 9.

При исследовании потока Бернулли оказалось, что на каждом 20 - минутном интервале случайным образом поступает по (10+ВцНЗ) = 13 вызовов. Для 10 - минутного интервала определить вероятности , k=0, 1, 2, 3, 4 и . Для найденных значений построить распределение вероятностей.

Дано:

n = 13

t = 10

T = 20

k = 0

k = 1

k = 2

k = 3

k = 4

Решение:

Для потока Бернулли вероятность поступления k вызовов в любом промежутке [0; t), где t<T, определяется выражением:

. (7)

Здесь - число сочетаний из n по k:

(8)

Произведем расчеты согласно (7) и (8). Полученные данные сведем в таблицу (Таблица 1) и по ним строим распределение вероятностей.

Таблица 1

-?

Ответ:

= ; ; ; 0,035; 0,087.

Задача 10.

Концентратор обслуживает (10+ВцНЗ) = 13 источников нагрузки. Для 15-минутного интервала времени t определить вероятность поступления одного и хотя бы одного вызова, если в начале интервала t все источники были свободны. Интенсивность свободного источника (20-ВцНЗ) /10 = 1,7 выз. /ч.

Дано:

N = 13 ,t = 15 мин = 0,25ч

1,7 выз. /ч

Решение:

Параметр простого последействия примитивного потока прямо пропорционален числу свободных в данный момент источников:

, (9)

где N - общее число источников вызовов;

i - число занятых источников;

б - параметр потока одного источника в свободном состоянии.

Найдем значение согласно (9): . Дальнейшие расчеты будем делать с помощью распределения Пуассона (1) для k = 0 и k = 1:

.

Вероятность поступления одного вызова:

0,022.

Теперь определим вероятность поступления хотя бы одного вызова:

0,004;

Следовательно

1 - 0,004 = 0,996.

-?

Ответ:

0,022; = 0,996.

Задача 11.

Задана характеристика неординарного пуассоновского потока в виде следующего ряда распределения.

Определить вероятности поступления трех и четырех вызовов на интервале t = (100 + НЗ) =123 c, если параметр потока вызывающих моментов = (150 +НЗ) =173 выз. /ч.

Дано:

= 173 выз. /ч

t = 123 c =0,03 ч.

Решение:

При переменной характеристике неординарности l можно говорить о вероятности поступления любого произвольного числа вызовов k на временном интервале длиной t:

, (10)

где л - параметр потока вызывающих моментов;

- среднее число вызывающих моментов в единицу времени, в которые с вероятностью поступают группы вызовов по в каждый.

Итак,

=173·0,1= 17,30;

=173·0,2= 34,60;

=173·0,35= 60,55;

=173·0,2= 34,60;

=173·0,1= 17,30;

=173·0,05= 8,65;

=173·0=0.

Суммирование проводится по всем k, удовлетворяющим условию:

. (11)

Таким образом, неординарный пуассоновский поток с переменной характеристикой неординарности можно представить как суперпозицию независимых неординарных пуассоновских потоков с постоянными

-?

характеристиками неоднородности и параметром .

Теперь определим вероятность поступления трех вызов, используя условие (11): , следовательно, 3=1+2+0, т.е. или 3=0+0+3. При этом . Получим два возможных значения, вероятность поступления состоит из двух слагаемых:

= 0,013.

Определим вероятность поступления четырех вызов: , следовательно, 4=1+0+3+0, т.е. или 4=0+0+0+1. При этом

Итак,

= 0,011.

Ответ:

0,013; = 0,011.

Литература

1. Аксенов В.А. Потоки вызовов: Метод. указ. для практ. занятий по курсу 'Основы теории телетрафика, сетей и систем телекоммуникаций' для студ. спец.45 01 03 “Сети телекоммуникаций” дневной и заочной форм обучения/В.А. Аксёнов, Н.А. Чижевская Мн.: БГУИР, 2005. 11с.

2. Корнышев Ю.Н., Фань Г.Л. Теория распределения информации. ? М.: Радио и связь, 1985. - 235 с.: ил.

3. Лившиц B. C. и др. Теория телетрафика. ? М.: Связь, I979. - 271 с.: ил.

4. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей: Задачи и упражнения. ? М.: Наука, 1973. - 189 с.: ил.

5. Корнышев Ю.Н., Мамонтова Н.П. Задачник по теории телефонных и телеграфных сообщений. ? Одесса: ОЭИС, 1974. - 228 с.: ил.