Исследование искажений сигналов на выходе фильтра нижних частот
Работа из раздела: «
Коммуникации, связь, цифровые приборы и радиоэлектроника»
/
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
«Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)»
Факультет ИБС
Кафедра ТОЭ
КУРСОВАЯ РАБОТА
По дисциплине: Теоретические основы электротехники
На тему: ИССЛЕДОВАНИЕ ИСКАЖЕНИЙ СИГНАЛОВ НА ВЫХОДЕ ФИЛЬТРА НИЖНИХ ЧАСТОТ
Выполнил Соколов В.Н.
Проверил: Попов Е.Ф.
Санкт-Петербург 2015 г.
Оглавление
1. Техническое задание
2. Нормировка
3. Определение передаточной функции цепи
4. Расчет частотных характеристик цепи
5. Составление уравнений состояний цепи
6. Определение переходной и импульсной характеристик
7. Вычисление реакции при воздействии одиночного импульса
8. Определение спектральных характеристик одиночного импульса воздействия
9. Вычисление спектра реакции при одиночном импульсе на входе цепи
10. Определение спектра периодического входного сигнала
11. Приближенный расчет реакции при периодическом воздействии
Заключение
Список использованной литературы
1. Техническое задание
Целью курсовой работы является практическое освоение и сравнение различных методов расчета цепей, прогноза ожидаемых реакций и оценки полученных результатов.
Задание к курсовой работе:
Схема
Входной импульс
Параметры схемы
|
R1=R2, Ом
|
L1, мГн
|
L2, мГн
|
C1, пФ
|
|
|
2000
|
1
|
1
|
500
|
|
|
Данные импульса
|
|
|
Im, A
|
tи1, мкс
|
tи2, мкс
|
T
|
|
|
2
|
62.8
|
12.56
|
tи
|
|
|
2. Нормировка
Проведем нормирование параметров и переменных цепи.
Базисные величины при нормировке: Rб = Rн = R2 = R1 = 2 кОм; wб = 106 c-1
R*1 = R*2 =
L*1 = ; L*2 = 0.5
C*1 = CwбRб = 1
Для простоты записи знак нормировки “*” в дальнейшем опускаю
3. Определение передаточной функции цепи
Для расчета передаточной функции цепи воспользуемся методом пропорциональных величин:
Пусть I'Rн(S) = 1, тогда U'Rн(S) = 1
U'L2(S) = I'н(S)zL2 =
U'C1(S) = U'L2(S) + U'н(S) =
I'C1(S) =
I'L1(S) = I'C1(S) + I'Rн(S) =
U'L1(S) = I'L1(S)zL1 =
U'R1(S) = U'L1(S) * U'C1(S) =
I'R1(S) =
I'0 = I'R1(S) + I'L1(S) =
H(S) = (3.1)
Рис. 2.2.а
Рис. 2.2.б
Проконтролируем функция Н(S). Из (3.1) следует, что Н(0) = 0,5;H(?) = 0, что соответствует результатам, полученным по схемам замещения цепи при S=0 и при , приведенным на рис. 2.2,а,б соответственно
Практическая длительность переходного процесса:
4. Расчет частотных характеристик цепи
цепь сигнал импульс спектр
Амплитудно-фазовая характеристика получается из переходной характеристики при подстановке
Обобщенная частотная характеристика:
H(jw)= H(s)|S=jw =
Амплитудно-частотная характеристика(АЧХ):
А(w)=|(H(jw)|=
Фазочастотная характеристика (ФЧХ):
Ф(w)=arg{H(jw)}=0 - arctg - arctg(w - 1.73) - arctg(w + 1.73)
Определим полосу пропускания по графику АЧХ на уровне 0,707 Amax (щ) ?0,3535 . Частота среза щср ? 2; полоса пропускания ?щПП ? [0;2], что соответствует фильтру нижних частот. Значение АЧХ на нулевой частоте, определяющее соотношение площадей под графиками входного и выходного сигналов, A(0) = 0,5. Так как A(?) = 0, то график выходного сигнала должен быть непрерывным (без скачков).
Анализ рис. 2.1, б показывает, что ФЧХ в полосе пропускания близка к линейной. Следовательно, в случае попадания спектра воздействия в полосу пропускания цепи искажения формы сигнала не будут существенными.
Оценим время запаздывания по наклону графика ФЧХ в области низких частот: tз = |?Ц (щ)|/ ?щ, где ?Ц(щ) - приращение фазы, измеренное в радианах; ?щ - приращение частоты в области низких частот. Для ФНЧ можно также использовать формулу t з = Ц?(0). Таким образом, tз ? 1.
Графики АЧХ, ФЧХ, АФХ приведены на рис. 2.1, а, б, в соответственно
Рис.2.1.а
Рис.2.1.б
рис.2.1.в
5. Составление уравнений состояний цепи
Получим уравнения состояния цепи с помощью формальной процедуры, для чего заменим L-элементы на источники тока i(t)L1 и i(t)L2 , а C- элемент на источник напряжения u(t)С1 .
Для получения уравнений состояния используем метод узловых напряжений:
Используем соотношения ; получим уравнения состояния:
Уравнение состояния в матричной форме
Записываем характеристический полином
Корни ХП - частоты собственных колебаний цепи
6. Определение переходной и импульсной характеристик
Для получения переходной и импульсной характеристик воспользуемся операторным методом.
Получение переходной характеристики
График переходной характеристики приведен на рис. 2.2, а.
Рис.2.2.а
Получение импульсной характеристики:
Для этого возьмем производную от переходной характеристики.
h(t)=1e-2t - 0.578cos(1.73t + 1.571)e- t - 0.99994sin(1.73t+1.571)e-t
График импульсной характеристики приведен на рис. 2.2, б.
Рис.2.2.б
Выполним численный расчет переходной характеристики, для чего получим численное решение уравнений состояния на основе алгоритма Эйлера:
Уравнение связи:
- Реакция на нагрузке
Графики переходной характеристики, полученные на основе аналитического и численного расчета, приведены на рис 2.3
Рис.2.3
7. Вычисление реакции при воздействии одиночного импульса
Найдем изображение по Лапласу входного одиночного импульса, для чего с помощью метода двойного дифференцирования представим указанный импульс в виде
i0(t) = 2I0mд1(t) - 4I0mд1(t - tu/2) + 2I0mд1(t - tu)
I0(S) = (2.6)
Iн(S) = H(S)I0(S) = = Iн1(S) - Iн1(S)e-Stu/2 + Iн1(S)e-Stu
Iн1(S) = Iн1(t)д1(t) - Iн1(t - tu/2) д1(t - tu/2) + Iн1(t - tu)д1(t - tu)
Графики реакции (штриховая линия) и измененного в A(0) раз воздействия (сплошная линия) приведены на рис. 2.4.а ,б соответственно. Анализ рис. 2.4.а,б подтверждает правильность предположений, сделанных в п.4
Рис.2.4.а
Рис.2.4.б
8. Определение спектральных характеристик одиночного импульса воздействия
Определим спектральные характеристики одиночного импульса. С учетом (2.6) комплексный спектр импульсного воздействия:
I0(jw) = I0(S)|S=jw = (1 - 2e-jwtu/2 + e-jwtu) = e-jwtu/2(ejwtu/2 - 2 + e-jwtu/2) = e-jwtu/2sin2
Амплитудный спектр входного сигнала:
A(w) = sin2
Фазовый спектр входного сигнала:
Ф(w) = - +
Ширина спектра импульсного входного сигнала, определенная по 10%-му амплитудному критерию (см. рис. 2.5.1, а), ?щСП ? [0;0,9]. Сравнение ширины спектра воздействия и полосы пропускания цепи показывает, что спектр входного сигнала укладывается в полосе пропускания, следовательно, оценки, сделанные в п. 4, справедливы, что подтверждается данными точного расчета, проведенного в п. 7
Графики амплитудного и фазового спектров одиночного импульса воздействия приведены на рис 2.5.1.а,б и рис.2.5.2,а,б соответственно
Рис.2.5.1.а
Рис.2.5.1.б
Рис.2.5.2.а
Рис.2.5.2.б
9. Вычисление спектра реакции при одиночном импульсе на входе цепи
Выражение для амплитудного спектра реакции:
A1(w) = sin2
А(w) =
A2(w) = A1(w)*A(w)
Фазовый спектр реакции:
Ф1(w) = - +
Ф2(w) = 0 - arctg - arctg(w - 1.73) - arctg(w + 1.73)
Ф3(w) = Ф1(w) + Ф2(w)
Графики амплитудного и фазового спектров реакции на импульсное воздействие приведены на рис.2.6.1.а,б и рис.2.6.2,а,б соответственно
Рис.2.6.1.а
Рис.2.6.1.б
Рис.2.6.2.а
Рис.2.6.2.б
10. Определение спектра периодического входного сигнала
I1(s) = - e-Stu/2+ e-Stu = (1 - 2e-Stu/2 + e-Stu)
Еk = * (1 - e-jk2рtu/2tu + e-jk2рtu/tu) = (1 - 2e-jkр + e-jk2р) = e-jkр sin2
Aмплитудный спектр входного периодического сигнала
Ak = | Еk| = sin2
Фазовый спектр входного периодического сигнала
Фk = arg Еk = - kр +
Запишем отрезок ряда Фурье, аппроксимирующий входное периодическое воздействие при N = 9
Графики амплитудного и фазового дискретных спектров приведены на рис.2.7.1 и рис.2.7.1,а,б соответственно
Рис.2.7.1
Рис.2.7.1.а
Рис.2.7.1.б
11. Приближенный расчет реакции при периодическом воздействии
Запишем выражения для амплитудного и фазового дискретных спектров реакции при периодическом воздействии:
Ak2 = Ak * A(w)
Фk2 = Фk + Ф(w)
tu = 62.8
Полученные значения отсчетов дискретных спектров приведены в таблице
|
k
|
wk
|
Akвх
|
Фkвх
|
A(w)
|
Ф(w)
|
Akвых
|
Фkвых
|
|
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0.501
|
0
|
0
|
0
|
|
|
1
|
0.1
|
2.546
|
-90o
|
0.501
|
6o
|
1.276
|
96o
|
|
|
3
|
0.3
|
0.849
|
-90o
|
0.501
|
17o
|
0.425
|
107o
|
|
|
5
|
0.5
|
0.509
|
-90o
|
0.501
|
29o
|
0.255
|
119o
|
|
|
7
|
0.7
|
0.364
|
-90o
|
0.5
|
41o
|
0.182
|
131o
|
|
|
9
|
0.9
|
0.283
|
-90o
|
0.499
|
54o
|
0.141
|
144o
|
|
|
Отрезок ряда Фурье, аппроксимирующий реакцию, имеет вид:
Графики амплитудного и фазового дискретных спектров реакции на периодическое воздействие приведены на рис.2.8.1,а,б.
Рис.2.8.1.а
Рис.2.8.1.б
tu = 12.56
Полученные значения отсчетов дискретных спектров приведены в таблице
|
k
|
wk
|
Akвх
|
Фkвх
|
A(w)
|
Ф(w)
|
Akвых
|
Фkвых
|
|
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0.501
|
0
|
0
|
|
|
|
1
|
0.5
|
2.546
|
-90o
|
0.501
|
29o
|
1.275
|
|
|
|
3
|
1.5
|
0.849
|
-90o
|
0.461
|
97o
|
0.391
|
|
|
|
5
|
2.5
|
0.509
|
-90o
|
0.228
|
166o
|
0.116
|
|
|
|
7
|
3.5
|
0.364
|
-90o
|
0.092
|
200o
|
0.033
|
|
|
|
9
|
4.5
|
0.283
|
-90o
|
0.044
|
217o
|
0.012
|
|
|
|
Отрезок ряда Фурье, аппроксимирующий реакцию, имеет вид:
Графики амплитудного и фазового дискретных спектров реакции на периодическое воздействие приведены на рис.2.8.2,а,б.
Рис.2.8.2.а
Рис.2.8.2.б
Анализ приведенного на рис. 2.8.1.б и 2.8.2.б графиков подтверждают правильность оценки времени запаздывания ( tз ? 1), данной в п.4
Заключение
В результате выполнения курсовой работы было исследовано влияние фильтра нижних частот на входной сигнал. При использовании и сравнении различных методов расчета электрических цепей было установлено:
1.Полоса пропускания заданного фильтра нижних частот составляет интервал от 0 до 2
2. Значение АЧХ на нулевой частоте, определяющее соотношение площадей под графиками входного и выходного сигналов, A(0) = 0,5. Так как A(?) = 0, то график выходного сигнала должен быть непрерывным (без скачков).
3. ФЧХ в полосе пропускания близка к линейной. Следовательно, в случае попадания спектра воздействия в полосу пропускания цепи искажения формы сигнала не будут существенными.
4.Сигнал на выходе имеет время запаздывания, равное 1 c.
Список использованной литературы
1. Бычков Ю.А., Золотницкий В.М., Чернышев Э.П. Основы теории электрических цепей: Учебник для вузов. - СПб.: Издательство «Лань», 2002. - 464 с.
2. Бычков Ю.А., Золотницкий В.М., Чернышев Э.П. и др. Сборник задач и практикум по основам теории электрических цепей. - СПб.: Питер, 2005. - 304 с.:ил. - (Серия «Учебное пособие»).
3. Бычков Ю.А., Соловьева Е.Б., Чернышев Э.П. и др. Анализ электрических цепей. Учебное пособие к курсовой работе по теоретической электротехнике - СПб.: СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2011. - 176 с.
