Построение логарифмической амплитудно-частотной характеристики

Контрольная работа

Вариант №78

Исходные данные

Передаточная функция разомкнутой части системы имеет вид:

k₀ = (номер варианта, умноженный на число, образованное двумя последними цифрами текущего года) плюс один;

a = 0, если номер варианта - четный, а = номер варианта, умноженный на 0,1, если номер варианта нечетный;

b = сумма цифр номера варианта;

с = 0,5(а+b).

Таким образом, передаточная функция будет иметь следующий вид:

Задание 1: по заданной передаточной функции разомкнутой системы построить ЛАЧХ.

1) Преобразуем функцию к виду:

2) Для построения ЛАЧХ разомкнутой системы представим передаточную функцию в виде произведения элементарных звеньев:

3) Построим ЛАЧХ разомкнутой системы:

Задание 2:построить схему переменных состояния замкнутой САУ.

1) Передаточная функция замкнутой САУ будет иметь вид:

автоматическое управление частотная характеристика

раскроем скобки:

2) Для построения схемы переменных состояния используем метод прямого программирования, для этого разделим числитель и знаменатель на 0,134р³, имеем:

3) Построим схему переменных состояния:

4)По данной схеме переменных состояния составим систему уравнений при этом примем, что r(t) - единичная ступенчатая функция:

Для y(t) составим уравнение: y(t)=62,475x₁(t).

Определяем матрицу коэффициентов:

Матрица выхода: С=

Задание 3:определить характеристическое уравнение замкнутой САУ:

1) по передаточной функции:

а) характеристическое уравнение передаточной функции:

D(p)=0,134p³+2,067p²+p+8,33, разделим на коэффициент при p³, имеем:

D(p)=p³+15,5p²+7,5p+62,475

б)найдем корни характеристического уравнения:

D(p)=p³+15,5p²+7,5p+62,475=0

решая кубическое уравнение в среде Mathcad получаем корни:

p₁=-15,28

p_2,3=-0,11±j2,02

2) по передаточной матрице (по схеме переменных состояния):

Определим характеристическую матрицу:

Раскроем матрицу:

Задание 4: Рассчитать устойчивость замкнутой САУ:

1) по корням характеристического уравнения:

корни характеристического уравнения p³+15,5p²+7,5p+62,475 посчитаны в предыдущем задании:

p₁=-15,28

p_2,3=-0,11±j2,02

так как действительные части полученных корней отрицательные (левые) - система устойчива.

2) По критерию Гурвица:

D(p)=p³+15,5p²+7,5p+62,475=a₀ p³+a₁p²+ a₂p+ a₃

Найдем определители: Д₁= a₁>0,

Система устойчива так как a₀>0, Д₁>0, Д₂>0.

3)По критерию Михайлова:

Формулировка: «Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении щ от 0 до начинался с точки на вещественной оси и проходил последовательно против часовой стрелки n квадрантов, не обращаясь в ноль и стремясь к в n-ом квадранте».

В характеристическом уравнении D(p)=p³+15,5p²+7,5p+62,475 заменим оператор p на jщ, имеем:

D(jщ)= (jщ) ³+15,5(jщ )²+7,5(jщ )+62,475= - jщ³-15,5щ²+j7,5щ+62,475,

Выделим действительную и мнимую части:

D(jщ)= P(щ)+jQ(щ)=(62,475-15,5щ²)+j(7,5щ- щ³)

Для построения годографа Михайлова вычислим значения вещественной и мнимой части при конкретных значениях частоты из интервала от 0 до ? и занесем их в таблицу:

Построим годограф Михайлова:

Как видим, годограф проходит последовательно три квадранта, не обращаясь в ноль и стремясь к бесконечности в третьем квадранте. Следовательно, исследуемая система устойчива.

4)По критерию Найквиста:

Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости системы по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой САУ.

p(0,067p+1)(2p+1) - характеристическое уравнение разомкнутой САУ.

Найдем корни данного уравнения:

p1=0

p2=-15

p3=-0,5

Как видно система имеет два отрицательных (левых) корня и один нулевой корень, следовательно, разомкнутая САУ находится на границе устойчивости. Для данного случая формулировка критерия Найквиста следующая: «Для устойчивости замкнутой системы, имеющем в разомкнутом состоянии все левые точки, а также 1 или несколько нулевых корней, необходимо и достаточно, чтобы при изменении щ от 0 до ? критическая точка (-1,j0) не охватывалась годографом АФЧХ разомкнутой системы вместе с ее дополнением».

В передаточной функции разомкнутой САУ заменим оператор р на jщ, получим:

После преобразования выражения функции и выделения действительной и мнимой частей, получим:

Для построения годографа Михайлова вычислим значения вещественной и мнимой части при конкретных значениях частоты из интервала от 0 до ? и занесем их в таблицу:

Построим АФХ:

Пунктиром показано дополнение к АФХ - полуокружность бесконечного радиуса.

Из рисунка и расчета видно, что АФХ с дополнением не охватывает точку с координатами (-1,j0), следовательно система устойчива.

Задание 4:определить основные показатели качества САУ косвенным (коневым) методом.

Характеристическое уравнение замкнутой системы:

D(p)=p³+15,5p²+7,5p+62,475=0

Корни характеристического уравнения:

p₁=-15,28

p_2,3=-0,11±j2,02

Так как действительные части корней отрицательные - система устойчива.

Время переходного процесса оцениваем по формуле:

з - степень устойчивости, находится как расстояние от мнимой оси до ближайшего корня, т.е. з=0,11, отсюда время переходного процесса равно:

Степень колебательности находится по формуле:

Чем больше м, тем больше перерегулирование у.

Ошибка в установившемся режиме, если на входе единичный ступенчатый сигнал: