Методика проведения факультативного курса "Методы решения нестандартных задач по алгебре"

Работа из раздела: «Педагогика»

1

МОСКОВСКИЙ ГОРОДСКОЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра алгебры, геометрии и методики их преподавания

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

По теме

Методика проведения факультативного курса “Методы решения нестандартных задач по алгебре”

Москва, 2011

Содержание

Введение

Глава 1. Общая характеристика факультативных занятий по математике и психолого-педагогическое обоснование необходимости их проведения в старшей школе

§ 1. Факультативные занятия как один из компонентов дифференцированного обучения

§ 2. История развития факультативных занятий по математике, их роль в системе школьного образования

§ 3. Психологические особенности старшеклассников и развитие их математических способностей

§ 4. Требования к учителю, ведущему факультативные занятия

§ 5. Факультативные занятия по математике и методика их проведения

Глава 2. Разработка факультативного курса “Методы решение нестандартных задач по алгебре”

§ 1. Программа факультативного курса “Методы решения нестандартных задач по алгебре“

§ 2. Методические рекомендации к занятиям

§ 3. Содержание факультативного курса “Методы решения нестандартных задач по алгебре”

Занятие 1. Решение уравнений с помощью оценок функций, основанных на свойстве ограниченности

Занятие 2. Решение неравенств с использованием свойства ограниченности функций

Занятие 3. Разбор наиболее трудных задач для самостоятельной работы и проверочная работа по материалу занятий 1 и 2

Занятие 4. Векторно-координатный метод: доказательство неравенств и решение задач на наибольшее и наименьшее значение

Занятие 5. Векторно-координатный метод: решение уравнений и систем уравнений

Занятие 6. Разбор наиболее трудных задач для самостоятельной работы и проверочная работа по материалу занятий 4 и 5

Занятие 7. Метод обращения к монотонности функции

Занятие 8. Решение уравнений вида : основные утверждения

Занятие 9. Решение уравнений вида : следствия из основных утверждений

Занятие 10. Разбор наиболее трудных задач для самостоятельной работы и проверочная работа по материалу занятий 7, 8 и 9

Занятие 11. Решение уравнений вида и его модификаций

Заключение

Библиография

Приложение

Часть 1. Упражнения для самостоятельной работы дома с решениями

Часть 2. Дополнительные упражнения

Часть 3. Варианты проверочных и зачетной работ

Не в количестве знаний заключается образование,

но в полном понимании и искусном применении

всего того, что знаешь.

А. Дистервег

Введение

В дипломной работе разработан факультативный курс по теме “Методы решения нестандартных задач по алгебре” и рассмотрена методика его проведения в 11 классе средней школы. Это являлось целью данной работы.

В настоящее время в преподавании математики большое внимание уделяется дифференциации обучения, самым динамическим компонентом которой являются факультативы. Они дают возможность закрепить, углубить и расширить знания учащихся, способствуют развитию математических способностей, творческому отношению к учебе. Факультативные занятия призваны обеспечить индивидуальное развитие школьников, основательную подготовку в вуз. Существенную роль играют они и в формировании математической культуры, необходимой каждому человеку. Ведь еще М.В. Ломоносов сказал: ”Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит”.

Заметим, что тема разработанного факультатива весьма актуальна. Решение задач занимает в математическом образовании огромное место. Поэтому обучению решения задач уделяется много внимания. Задачи служат как усвоению знаний и умений, так и формированию определенного стиля мышления: соблюдение формально-логической схемы рассуждений, лаконичное выражение мыслей, четкая расчлененность хода мышления, точность символики. Развитие мышления школьников в процессе их учебной деятельности тесно связано с формированием приемов мышления (анализ, синтез, обобщение, абстрагирование и т.д.), которые выступают также как методы научного исследования, проявляющиеся наиболее ярко при решении задач. Особенно большое значение имеют задачи нестандартные, необычные, требующие хорошего знания школьного курса математики, умения логически рассуждать, применять свои знания творчески, а также смекалки, сообразительности и даже интуиции.

Учитель должен стараться приобщать учащегося к радости умственного труда, давая ему возможность испытать радость творчества, открытия, победы в процессе обучения математике, особенно при решении задач. Обучение будет тем эффективнее, чем чаще учащийся станет преодолевать различные трудности, чем насыщеннее будет его умственная деятельность. Важно создать на занятии атмосферу творческого подъема. Как писал Д. Пойа: “Решение нестандартной задачи может потребовать от ученика настоящего усилия; но он его не сделает, если у него нет для этого основания; лучшим мотивом является интерес к задаче. Таким образом, мы должны позаботиться выбрать интересные задачи и сделать их привлекательными…”[34]

В начале работы над дипломом были поставлены следующие задачи. Во-первых, подобрать и ознакомиться с необходимой литературой по выбранной теме. Во-вторых, показать историю становления факультативов, указать их место, роль, значение в обучении математике, дать психолого-педагогическое обоснование их существования. В-третьих, показать значимость нестандартных задач в процессе обучения математике, выбрать определенные нестандартные методы их решения, разработать содержание факультатива и дать некоторые методические указания для его проведения.

Для выполнения этих задач было изучено и проанализировано большое количество методической, педагогической, психологической, а также математической литературы. Это позволило написать как теоретическую, так и практическую части диплома.

Глава 1 представляет собой теоретическую часть работы. В §1 главы 1 исследуется развитие понятия дифференциации в школьном математическом образовании в нашей стране. Дана характеристика факультативных занятий как компонента дифференциации. В §2 подробно проанализирован процесс становления факультативных занятий по математике, их место и роль на разных этапах развития математического образования. В §3 рассмотрены психолого-педагогические предпосылки создания факультативов, описаны возрастные особенности умственного развития школьников, становление математических способностей. Определены составляющие компоненты математических способностей по Крутецкому и особенности их проявления.

§4 посвящен вопросу, какие требования предъявляются к учителю, ведущему факультативные занятия. Подчеркнута необходимость повышенных требований к его профессионализму, личностным и организаторским качествам. Наконец, в §5 рассмотрена методика проведения факультативов, особенности их организации. Показаны формы и методы проведения факультативных занятий. Отмечена важность задач проблемного характера, применения эвристического метода обучения. Даны методические принципы обучения на факультативных занятиях, предложенные И.Ф. Шарыгиным. Глава 2 посвящена, в основном, практической стороне работы. В ней представлена разработка факультативного курса “Методы решения нестандартных задач по алгебре”.

В §1 приведена программа курса факультатива. В пояснительной записке дано понятие “нестандартная задача”, подчеркнута важность нестандартных задач в процессе обучения математике. Кратко описано содержание факультативного курса, который посвящен методам, использующим свойства ограниченности и монотонности функций, и векторно-координатному методу для решения уравнений и неравенств разного вида (рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических, тригонометрических и смешанных), а также их систем.

В §2 даны методические рекомендации к занятиям по факультативному курсу “Методы решения нестандартных задач по алгебре”. Показано значение методики проведения занятий, рассмотрены варианты их организации. Выделена зависимость выбора форм и методов проведения занятий от уровня подготовки и индивидуальных способностей учащихся. Подчеркнута важность изучения методики решения нестандартных задач, применения нестандартных методов.

В §3 подробно описано содержание каждого занятия. Приведен теоретический материал и большое количество разнообразных задач. По теме каждого занятия разобраны типичные примеры, приведены задачи для самостоятельной работы. В Приложении имеются решения всех задач, предлагаемых для самостоятельной работы, а также условия задач для проверочных работ по вариантам, материалы к зачету.

Заметим, что хотя среди задач, предлагаемых в факультативном курсе, есть задачи небольшой трудности, большее число задач ранее включались в варианты школьных выпускных экзаменов и вступительных экзаменов в вузы с высокими требованиями по математике. Поэтому данный факультатив может быть полезен при подготовке в вуз тем учащимся, кто чувствует призвание к математике.

Глава 1. Общая характеристика факультативных занятий по математике и психолого-педагогическое обоснование необходимости их проведения в старшей школе

§ 1. Факультативные занятия как один из компонентов дифференцированного обучения

факультативное занятие математика нестандартное решение

Дифференциация обучения - это необходимое условие гуманизации и демократизации образования. Она предоставляет каждому учащемуся равно высокий шанс достичь высот культуры и является залогом максимального развития детей с самыми разными способностями и направлениями интересов.

Под дифференциацией понимают такую систему обучения, при которой каждый ученик, овладевая некоторым минимумом общеобразовательной подготовки, являющейся общезначимой и обеспечивающей возможность адаптации в постоянно изменяющихся жизненных условиях, получает право и гарантированную возможность уделять преимущественное внимание тем направлениям, которые в наибольшей степени отвечают его склонностям.

Анализ психолого-педагогической литературы показывает, что дифференциация обучения как общая педагогическая задача не является новой ни для нашей, ни для зарубежной школы. Необходимо отметить работы в этом направлении педагогов: Бабанского Ю.К., Кирсанова А.А., Лернева И.Я., Рабунского Е.С., Скаткина Н.М., Унт И.Э. и других; психологов: Выгодского С.Л., Гальперина П.Я., Давыдова В.В., Крутецкого В.А., Менчинской Н.А., Талызиной Н.Ф., Фридмана Л.М. и других; методистов: Гусева В.А., Капеносова А.Н., Куприяновича В.В., Метельского Н.В., Слепкань З.И., Смирновой И.М. Столяра А.А. и других. Довольно много разработок в этой области принадлежит математикам Болтянскому В.Г., Дорофееву Г.В., Колягину Ю.М. и другим.

Дифференцированное обучение имело место уже в школе дореволюционной России.

Его истоком считают фуркацию - разделение учебных планов с целью специализации учащихся, которая совместима с сохранением общеобразовательного характера школы. Уже в X1X веке проявлением фуркации было разделение учебных заведений на классические гимназии, реальные училища (технические и коммерческие), кадетские корпуса и т.д.

В конце X1X -начале ХХ столетия развернулось широкое движение за реформу преподавания математики в школе.

В то время обсуждалось несколько различных проектов типологии учебных заведений. Так, проектом министра просвещения Н.П.Боголепова предлагалась следующая типология: гимназия с 2 древними языками; гимназия с одним латинским языком; гимназия, допускающая принцип индивидуализации (для учащихся, обнаруживших успехи по какому-то предмету…); реальное училище; так называемая школа нового типа ( здесь предусматривались дополнительные занятия для детей, проявивших интерес и склонности к изучению языков или естественных наук; на старшей ступени предполагалась фуркация по трем направлениям: классическому, естественному и гуманитарному); средняя школа с бифуркацией (гуманитарным отделением и реальным отделением) - по существу, предполагалось соединение в одной школе двух типов учебных заведений: гимназии и реального училища.

Вопросы, связанные с реформой преподавания математики, дискутировались на знаменитых съездах преподавателей математики 1911-1914 гг. В резолюции первого съезда говорится ”съезд признает желательной подробную разработку вопросов о такой организации преподавания в средней школе, которая, сохраняя общеобразовательный ее характер, допускала бы специализацию старших классов, приноровленную к индивидуальным способностям учащихся” Труды Всероссийского съезда преподавателей математики. Т.1.СПб.;1913,с.210..

Этим идеям не суждено было сбыться в то время. Вскоре началась революция, гражданская война и перестройка всей системы народного образования.

В 20-30-ые годы существовали школы с сельскохозяйственным и промышленным уклоном, что отвечало требованиям времени. Но это была скорее профессионализация, а не дифференциация обучения.

Новое движение за модернизацию среднего образования в нашей стране началось в конце 50-х гг. XX века. Тогда появился новый термин -“дифференциация” обучения. (Виды и формы дифференциации показаны на схеме 1 [39]).

Схема 1.

Специализированные школы и классы с углубленным изучением ряда предметов стали проявлением дифференциации

В 1966-1968 годах появилась еще одна форма дифференцированного обучения - факультативные занятия по различным предметам. Они давали возможность 1-2 часа в неделю дополнительно работать со школьниками, проявляющими повышенный интерес и способности к определенным предметам, в частности к математике. Такие факультативные занятия являются наиболее динамичной разновидностью дифференциации обучения.

Всесоюзный съезд работников народного образования (1988г.) стал точкой отсчета новой реформы образования, где была принята Концепция общего среднего образования. Гуманизация и демократизация были провозглашены основными направлениями развития школы. Одной из первоочередных задач была признана самая широкая дифференциация обучения, направленная на развитие индивидуальных, творческих запросов учащихся и реализацию всех природных задатков и склонностей личности.

В 1992г. был принят Закон Российской Федерации об образовании. В нем говорится о приоритете общечеловеческих ценностей, общедоступности, свободе и плюрализме в образовании и гуманистическом характере образования. В этом законе указывается, что система образования должна адаптироваться к уровням и особенностям развития обучающихся. Этим были открыты широкие возможности для внедрения различных форм дифференцированного обучения.

Схема 2 [39]

Современный этап дифференциации представлен на схеме 2 (см. выше).

Этот этап характеризуется появлением новых типов школ: лицеи, гимназии, школы, ориентированные на определенный вуз, школы с углубленным изучением отдельных предметов, частные школы. И.М.Смирнова подчеркивает, что определение дифференциации стало шире, чем простое разделение учебных программ [39]. Начался период комплексного изучения дифференцированного обучения. В употребление вошли два вида дифференциации: уровневая и профильная.

Рассмотрим концепцию школьного математического образования.

В основной школе (1-9кл.) осуществляется уровневая дифференциация: по одним и тем же программам и учебникам учащиеся достигают разных конечных целей, соответствующих их возможностям и склонностям. Заметим, что все учащиеся должны достичь установленного сверху обязательного уровня подготовки, а затем уже решать, обучаться дальше или остановиться на достигнутом.

В старшем звене средней школы индивидуализация обучения предполагает возможность получить образование в различных направлениях, по разным учебным планам и программам.. Таким образом профильная дифференциация осуществляется на базе фуркации , т.е. учебные планы старших классов средней общеобразовательной школы строятся по направлениям (гуманитарном, естественно-математическом и др.) с преимущественным вниманием к определенной группе учебных предметов).

Следует отметить, что при обучении учащихся по выбранным ими направлениям, учитывая возможности каждого подростка, предполагается обеспечить достижение каждым из них некоторого обязательного (базового) уровня знаний по тому или иному предмету.

Как подчеркивается в работе, уровневая и профильная дифференциации сосуществуют и взаимно дополняют друг друга на всех ступенях школьного математического образования, однако в разном удельном весе. В основной школе ведущим направлением дифференциации является уровневая, хотя она не теряет своего значения и в старших классах. На старшей ступени школы приоритет отдается разнообразным формам профильного изучения предметов. Вместе с тем дифференциация по содержанию может проявляться уже и в основной школе, где она осуществляется через систему кружковых занятий (во всех классах) и факультативных курсов (в 8-9кл.). Эти формы предназначены для школьников, проявляющих повышенный интерес к математике, имеющих желание и возможность работать больше отводимого расписанием времени.

Факультативные занятия как компонент дифференциации обучения актуальны как в 8-9 классах, так и в старшей школе, давая учащимся возможность расширить и углубить свои знания в интересующей их области.

§ 2. История развития факультативных занятий по математике, их роль в системе школьного образования

В 1965 году под председательством видного математика, вице-президента АПН СССР А.И. Маркушевича и под руководством выдающегося математика современности академика А.Н. Колмогорова была образована комиссия по определению содержания среднего математического образования.

Введение факультативных занятий в средней общеобразовательной школе было предусмотрено в постановлении ЦК КПСС и Совета Министров СССР от 10 ноября 1966г. “О мерах дальнейшего улучшения работы средней общеобразовательной школы”. Цель введения факультативов - углубление знаний по физико-математическим, естественным и гуманитарным наукам, развитие разносторонних интересов и способностей учащихся.

В 1968г. была издана программа по математике для средней школы. Характерной особенностью этой программы стало создание существенно новой для нашей школы формы обучения - факультативных занятий по выбору учащихся. Эти занятия предполагались двух видов.

Первый вид - 'Дополнительные главы и вопросы математики'. Его цель - углубление программных вопросов; изучение вопросов, примыкающих к программным; изучение некоторых дополнительных вопросов, важных с образовательной точки зрения и раскрывающих приложения математики. Значительная часть времени отводилась на решение задач по обязательной программе. Кроме того, этот вид занятий должен был помочь учителям освоиться с новым содержанием обучения, идеями и методами, входящими постепенно в новые программы. При этом предполагалось, что программа факультативных курсов будет со временем меняться. Учитель в каждом классе с учетом конкретных возможностей и интересов учащихся мог выбрать из нескольких предложенных тем те, изучение которых представлялось ему наиболее целесообразным.

Второй вид занятий - 'Избранные вопросы математики' ( программирование, вычислительная математика, векторная алгебра, задачи линейного программирования и др.) рекомендовались, в основном, для учащихся старших классов, интересующихся математикой, и только в тех школах, где возможна, работа специалистов по этим вопросам.

Предполагалось, что факультативные занятия должны обеспечить индивидуальное развитие учащихся, основательную подготовку в вуз.

Программы факультативных занятий по математике были составлены так, что они являлись продолжением друг друга и образовывали некоторую теоретически законченную систему. Итак, факультативные курсы сыграли значительную роль в подготовке перехода на новое содержание образования. Они вводились в школу еще до перехода соответствующих классов на новые программы. Программы этих курсов включали такие темы, которые в дальнейшем должны были войти в обязательный курс (элементы теории множеств, функции и их графики, дополнительные вопросы арифметики, производная и ее применение, интеграл). В факультативные курсы вошли также элементы теории вероятностей, программирование, решение избранных задач. Изданные сборники материалов по факультативным курсам позволяли учителям еще до издания пробных учебников приобрести первый опыт в изложении некоторых впервые включенных в школьную программу вопросов. Структура курса “Дополнительные главы” обеспечила значительную вариативность материала обучения и возможность выбора начала занятий практически с любой темы, что является по существу необходимым условием факультативного обучения. Эти особенности были сохранены и в курсе “Избранные вопросы математики”. Программа курса для каждого класса состояла из ряда независимых тем. Среди них были выделены основные, содержание которых непосредственно примыкало к общему курсу математики. Эти темы изучались в первую очередь. Помимо них учитель мог выбрать по собственному усмотрению одну из дополнительных тем. Этот принцип соблюдался во всех классах, кроме 7-го. В 7-ом классе учитель выбирал для проведения занятий две из предложенных трех тем, а также тему “Решение задач повышенной трудности”.

Существенное место в работе с учащимися на факультативных занятиях отводилось решению задач, в том числе задач повышенной трудности. Различные темы были связаны между собой и образовывали своеобразные теоретические и прикладные линии, пронизывающие факультативный курс: алгебраическую, геометрическую, логическую, программирование на ЭВМ, вычислительной математики и т.п. Обучение любому разделу не предполагало изучение предыдущих, близких к нему тем.

Факультативный курс “Избранные вопросы математики” содержал самые разнообразные темы как теоретического, так и прикладного плана. Учителю предлагалось в процессе занятий показать историю возникновения и развития ряда изучаемых методов, концепций и идей, их значение для математики и для других наук и областей практической деятельности.

Каждая тема факультатива была связана с материалом общеобразовательного курса математики. Программа факультативного курса преследовала двоякую цель. Во-первых, довести изучаемый материал до того уровня завершенности, когда учащемуся становится ясным его математическая важность. Во-вторых, показать непосредственные связи школьной математики с наукой и ее приложениями.

Материал курса не дублировал вузовских программ, но позволял с более общих позиций взглянуть на школьную математику. Поэтому было важно не развивать при обучении те специальные методы и навыки, которым обучают в вузах, не адаптировать вузовские курсы, но показывать, как из материала школьного курса математики возникают общие концепции, обладающие теоретической и прикладной ценностью. А.Н. Колмогоров подчеркивал, что введение факультативных курсов по выбору в 7-10 классах является необходимым дополнением к общеобразовательному основному курсу математики в старших классах [22].

Известный математик С.Л.Соболев называл факультативные занятия резервом в учебном плане, позволяющим увеличить объем математики [40].

В программу факультативных занятий по мере перехода на новую программу общего курса вносились определенные изменения. Здесь А.Н. Колмогоров проявлял большую оперативность и заинтересованность. В дальнейшем издательство “Просвещение” начало выпуск специальных пособий по программе факультативных занятий.

Работа по совершенствованию содержания обучения в нашей стране происходит постоянно, следующий этап реформы - 80-е годы.

В 1980 г. была принята новая программа. В ней был полнее учтен уровень логического мышления школьников: отказались от обязательного единого теоретико-множественного подхода к построению курса и чрезмерной строгости в изложении материала. Это усилило прикладное содержание школьного курса математики и сделало его менее абстрактным и формализованным, хотя при этом потерялись некоторые достижения предыдущего этапа реформы. Соответственно изменилось и содержание факультативных курсов.

В 1985 г. силами АПН СССР и АН СССР была подготовлена учебная программа по математике, где попытались разгрузить содержание обучения и усилить его практическую направленность.

Началом следующего этапа реформы математического образования в нашей стране является 1989 год, когда была разработана новая концепция общего среднего образования, в частности, школьного математического образования. В ней характеризуется место математики в системе школьного образования, определяемое новыми социально-экономическими условиями в стране, и основное содержание общего математического образования на данном этапе. Ведущая идея - гуманизация математического образования; её основные направления, как отмечалось выше, - дифференциация обучения математике, гуманитарная направленность общеобразовательного курса математики, уровневая подготовка учащихся по математике, перестройка учебно-воспитательного процесса в направлении изменения отношения к ученику и создания возможностей для проявления индивидуальности как учащегося, так и учителя. В дополнение к этой концепции в 1995 г. РАО разработан документ “Стандарт среднего математического образования”.

И на этом этапе роль факультативных занятий по математике очень велика. Их цель - как можно полнее развить математические способности учащихся, увеличить объем и глубину их знаний, пробудить творческие возможности, привить математическую культуру и показать красоту этой удивительной науки.

Новые научные достижения, их развитие и внедрение в практику приводят к пересмотру школьного курса математики. Происходит идейное и прикладное обогащение общего курса, а, следовательно, и факультативов. С развитием математики и ее приложений возрастает число разделов, ждущих своего включения в школьный курс математики. Однако возможности общего среднего образования ограничены как сроком обучения, так и пределами разумной учебной нагрузки учащихся. Хотя ясно, что в курсе средней школы важно иметь элементы теории вероятности, статистики, математического моделирования, что важно строить школьный курс так, чтобы учащиеся были подготовлены к восприятию новых аспектов прикладной математики, для практической реализации эти назревшие вопросы оказались весьма сложными. Обсуждаются возможные формы включения ряда новых разделов в обязательный курс математики средней школы. Предполагается установить более тесную взаимосвязь теоретического содержания математического образования с практикой применения учащимися приобретаемых математических знаний. Пока все эти и ряд других, важных в своем прикладном значении разделов математики изучаются в школьных факультативах на внеклассных занятиях.

Государственные органы разрабатывают единые стандартные учебные планы. Закон РФ об образовании (1992 г.) дает школам право составлять индивидуальные учебные планы при том условии, что они отвечают государственным образовательным стандартам. Это означает наличие обязательных для всех школ учебных предметов и право на углубленное изучение ряда предметов, выражающее некоторую специализацию по направлениям: естественно-математическое, гуманитарное и пр. Имеется и набор предметов по выбору - факультативов.

Заметим, что в Базисном учебном плане, утвержденном Министерством общего и профессионального образования 9 февраля 1998 г. выделяются инвариантная часть (ядро), обеспечивающая приобщение учащихся к общекультурным и национально значимым ценностям и формирование личностных качеств школьников, и вариативная часть, обеспечивающая индивидуальный характер развития учащихся. Она учитывает их личностные особенности.

Как отмечается в учебном пособии по педагогике [21], обе части не являются полностью независимыми. Они пересекаются. В результате этого в учебном плане любого общеобразовательного заведения выделяются три основных вида учебных занятий:

- обязательные занятия, составляющие базовое ядро общего среднего образования;

- обязательные занятия по выбору;

- факультативные занятия.

Как известно, в учебном плане имеются федеральный, национально-региональный и школьный компоненты. Факультативные занятия входят в школьный компонент учебного плана. Этот компонент отражает специфику конкретного образовательного учреждения и позволяет ему самостоятельно разрабатывать и реализовывать образовательные программы

и учебные планы, что в соответствии со ст.32, п.2 Закона “Об образовании” является исключительно прерогативой образовательного учреждения.

В школах, особенно в профилированных на те или иные предметы, введение факультативов получило массовое распространение в последние годы. Факультативные занятия можно распределить по трем категориям.

Первая категория -- компенсация урезания часов на преподавание естественных наук. На основном уроке приходится давать сжатый материал, который можно раскрыть подробнее на факультативных занятиях. Даваемый на этих факультативах материал нужен для поступления в вуз, поэтому их посещает большинство школьников -- они фактически являются продолжением обычных уроков. Такому факультативу иногда дают название «Избранные главы...» и далее следует название предмета или его какого-то раздела.

Вторая категория факультативов посвящена решению всевозможных задач. Эти факультативы близки по характеру кружковым занятиям. В отличие от кружков им свойственна большая систематизация тем и приемов, а также большая целенаправленность (подготовка к олимпиадам высших уровней, подготовка к поступлению в вуз). Широкое распространение получили факультативы по решению «нестандартных задач», которые требуют более глубокого проникновения в суть тех или иных законов, явлений, процессов.

Третья категория -- внепрограммные спецкурсы. Хотя их материал не надо сдавать ни в школе, ни при поступлении в ВУЗ, посещаемость таких факультативов обычно высока.

Отметим еще один аспект значимости факультативных занятий. Как известно, комплектование классов с углубленным изучением математики, как правило, основывается на отборе учащихся. При этом основной контингент такого класса целесообразно набирать из числа учащихся, посещавших занятия соответствующих факультативов, что говорит о серьезности интереса, проявляемого к математике.

§ 3. Психологические особенности старшеклассников и развитие их математических способностей

Учебная деятельность старшеклассников значительно отличается по своему характеру и содержанию от учебной деятельности более младших школьников. Во-первых, углубляется содержание обучения и вводятся новые учебные разделы. Во-вторых, что является главным отличием, учебная деятельность старшеклассников предъявляет гораздо более высокие требования к их активности, самостоятельности и развитию теоретического мышления. Движущей силой умственного развития старших школьников является противоречие между уровнем учебной деятельности, сложившемся за время обучения в средних классах школы, и требованиями, которые предъявляет учебная деятельность в старших классах. Это противоречие разрешается по мере перехода на новый, более высокий уровень учебной деятельности, который связан с развитием теоретического мышления и навыков самообучения.

Изменяется отношение к учению и самих старших школьников. Растет их сознательное отношение к учению и потребность в знаниях.

Именно в этом возрасте у школьников определяется специфический устойчивый интерес к той или иной науке, отрасли знаний, области деятельности. Этот интерес стимулирует стремление к расширению и углублению знаний в определенной области. Старшеклассник, заинтересовавшись предметом, охотно знакомится с нужной литературой и занимается в соответствующих кружках, факультативах . Познавательные интересы в старшем школьном возрасте приобретают более широкий, устойчивый и действенный характер.

Оптимальные возможности для развития способностей школьников дают кружки, специальные школы и классы, научные секции, факультативные курсы, олимпиады. Рост сознательного отношения к учению стимулируют дальнейшее развитие познавательных интересов и умения управлять ими. Уже в конце старшего школьного возраста учащиеся полностью овладевают своими познавательными процессами (восприятием, памятью, воображением, мышлением), а также вниманием и подчиняют их определенным задачам жизни и деятельности.

Мыслительная деятельность у старшеклассников характеризуется более высоким уровнем обобщения и абстрагирования. У них растет тенденция к причинному объяснению явлений, повышается умение аргументировать при доказательстве истинности или ложности отдельных положений, умение связывать изучаемое в систему и делать глубокие выводы. Им свойственна высокая критичность мышления.

Основная задача педагогов и психологов - обеспечить максимальное и всестороннее развитие способностей всех детей и при этом выявить школьников, которые обнаруживают глубокие интересы, склонности и способности в определенных областях, создать им все условия для дальнейшего развития. Эту задачу могут выполнить различные формы дифференцированного обучения. Имеются в виду различные типы специальных школ, факультативные курсы, школьные научные общества, познавательные кружки и т.п.

В.А. Крутецкий указывал, что под способностями понимается комплекс индивидуально-психологических особенностей человека, отвечающих требованиям данной деятельности и являющихся условием ее успешного выполнения [25].

Говоря о математических способностях как особенностях умственной деятельности, он подчеркивал, что следует прежде всего указать на несколько распространенных среди учителей заблуждений. Во-первых, неверно считать, что математические способности заключаются в способности к быстрому и точному вычислению (в частности, в уме). На самом деле вычислительные способности далеко не всегда связаны с формированием подлинно математических (творческих) способностей. Во-вторых, является заблуждением , что способные к математике школьники отличаются очень хорошей памятью на формулы, цифры, числа. Так, академик А.Н. Колмогоров был уверен, что успех в математике меньше всего основан на способности быстро и прочно запоминать большое количество фактов, цифр, чисел, формул. Еще одним заблуждением В.А. Крутецкий считал утверждение, что быстрота мыслительных процессов является одним из показателей математических способностей. Быстрый темп работы сам по себе не имеет отношения к математическим способностям. Ученик может работать медленно и неторопливо, но в то же время вдумчиво, творчески, успешно продвигаясь в усвоении математики.

В работе [26] В.А. Крутецкий также упомянул, что не являются обязательными в структуре математической одаренности и такие компоненты, как способность к пространственным представлениям и способность наглядно представить абстрактные математические отношения и зависимости.

Он показал, что способности к математике проявляются в характере восприятия математической задачи и выделил следующие компоненты математических способностей:

Формализованное восприятие математического материала

Обобщение математического материала

Свернутость математического мышления - тенденция мыслить в процессе математической деятельности сокращенными мыслительными структурами.

Гибкость мыслительного процесса

Стремление к своеобразной экономии умственных усилий - к изяществу решений.

Математическая память

На эти моменты необходимо обращать внимание учителю, ведущему факультативные занятия, для определения и развития математической одаренности старшеклассников.

Заметим, что на различных возрастных ступенях эти компоненты отличаются качественным своеобразием, специфической формой проявления, причем существуют закономерности количественных и качественных их изменений. Каждый новый этап подготовлен всем предыдущим ходом развития, возникает на основе его и является предпосылкой для перехода на новый, более высокий уровень развития.

Не все компоненты математических способностей начинают формироваться одновременно. Развитие способностей к математике начинается с формирования первичного компонента, именно, способности к обобщению математических объектов, отношений и действий. На более поздних этапах формируется способность к свертыванию процесса рассуждения, обобщенная память, стремление к экономности и рациональности решений.

Психологи указывают на существование определенных возрастных периодов, наиболее благоприятных для развития специальных способностей. Для различных способностей такие периоды неодинаковы. Например, математические способности обнаруживаются в среднем школьном возрасте, приблизительно к 14-15 годам, но могут проявиться немного раньше или позже. Поэтому математику, как и другие предметы, носящие общекультурный, развивающий характер, нельзя исключать из школьных программ любых направлений.

Для обучения одаренных детей, как говорится в работе [37], существуют различные стратегии, которые могут быть воплощены в разные формы. К основным стратегиям обучения детей с высоким умственным потенциалом относят ускорение и обогащение. Ускорение связано с изменением скорости обучения, что подразумевает такие организационные формы как раннее поступление в школу, “перепрыгивание” через класс и т.д. Стратегия обогащения появилась как прогрессивная альтернатива ускорению. Передовые педагоги были озабочены развитием ребенка как целостной личности и поэтому считали, что обогащение (при этом ускорение не является самоцелью) дает ребенку возможность созревать эмоционально в среде сверстников, развивая при этом свои интеллектуальные способности на соответствующем уровне. Такое представление об обогащении сохраняется у большинства современных специалистов.

Вертикальное обогащение предполагает более быстрое продвижение к высшим познавательным уровням в области избранного предмета и поэтому его иногда называют ускорением. Горизонтальное обогащение направлено на расширение изучаемой области знаний. Одаренный ребенок не продвигается быстрее, а получает дополнительный материал к традиционным курсам, большие возможности развития мышления, умений работать самостоятельно.

Программы обогащения ориентированы на дополнительный материал и более сложное содержание, поэтому они направлены на увеличение знаний в конкретной области и на развитие умственных операций. Примерами таких программ являются учебные миникурсы по темам, проблемам или отдельным навыкам. Обычно в школах это реализуется в форме кружков и факультативов.

Очень много внимания психологи уделяют процессу решения задач и проблемному обучению. Под решением задач подразумевают общий подход к развитию умений рассуждать, что включает следующие умения: выявить проблему; проанализировать различные варианты ее решения; оценить достоинства каждого варианта; обобщить все найденное и т.д.

Развитие этих умений связано как с исследовательскими умениями, так и с умениями критически мыслить.

Заметим, что многие теоретические и практические находки отечественной педагогической психологии и дидактики хорошо согласуются с потребностями и особенностями выдающихся в умственном отношении детей. Это проблемный подход к обучению (А.М. Матюшкин и др.); использование опорных схем и сигналов (В.Ф. Шаталов); использование укрупненных дидактических единиц (П.М. Эрдниев) и пр.

С учетом имеющегося опыта российской школы и возрастных особенностей учащихся была предложена следующая модель работы по развитию математических способностей школьников [24].

В 1-4 классах основная задача - пробуждение интереса к математике. Она решается в основном путем включения в учебники и уроки занимательных вопросов и задач, привлечения математических игр. Возможна и организация коротких кружковых занятий.

В 5-7 классах материала, изученного в основном курсе, еще недостаточно для работы над сколько-нибудь протяженными систематизированными фрагментами. Свойственный возрасту “порхающий интерес” является дополнительным основанием в пользу уже систематической работы математического кружка (массив подходящих для этой цели задач достаточно велик). Крайне желательно, чтобы всем учащимся 5-7 классов была предоставлена возможность работы в кружке: интерес, не нашедший продолжения в этом возрасте, угасает. В 8-9 классах при благоприятных условиях формируется уже устойчивый интерес, который находит свое выражение в стремлении к самостоятельной работе в области математики. Базовые курсы алгебры и геометрии дают основание для постановки широкого круга содержательных задач на разные темы. Основная форма работы - внеклассная: более систематические кружки, факультативные курсы, охватывающие уже довольно развернутые, законченные темы

В старших классах (10-11) эффективны школы и классы с углубленным изучением математики (в том числе при вузах), естественно, дополненные всем набором внеклассных форм занятий, среди которых факультативные занятия играют, пожалуй, главную роль.

§ 4. Требования к учителю, ведущему факультативные занятия

Факультативные занятия обычно посещают школьники, интересующиеся математикой, проявляющие способности к этой науке. Поэтому возрастают требования к профессионализму учителя, к его личностным и организаторским качествам. А.Н. Колмогоров писал, что от преподавателя математики требуется не только твердое знание преподаваемой им науки. Хорошо преподавать математику может только человек, который сам ею увлечен и воспринимает ее как живую, развивающуюся науку.

В книге [37] отмечается, что Бенджамин Блум определял три типа учителей, работа с которыми одинаково важна для развития одаренных учащихся:

1. учитель, вводящий ребенка в сферу учебного предмета и создающий атмосферу эмоциональной вовлеченности, возбуждающий интерес к предмету;

2. учитель, закладывающий основы мастерства, отрабатывающий с ребенком технику исполнения;

3. учитель, выводящий на высоко профессиональный уровень.

Сочетание в одном человеке всех этих особенностей маловероятно. Но каким бы ни был учитель, проводящий факультативные занятия, он должен быть прежде всего прекрасным учителем-предметником, глубоко знающим и любящим свой предмет. Его поведение в классе в процессе обучения и построения своей деятельности должно отвечать следующим характеристикам: он разрабатывает гибкие, индивидуальные программы; cоздает теплую, эмоционально безопасную атмосферу в классе; использует различные стратегии обучения; уважает личность, способствует формированию положительной самооценки ученика; уважает его ценности; поощряет творчество и работу воображения; стимулирует развитие умственных процессов высшего уровня; проявляет уважение к индивидуальности ученика. Важно, чтобы учитель был твердо убежден, что детей, интересующихся математикой, нужно систематически знакомить с ее ключевыми понятиями, приучать к чтению математической литературы, учить грамотно и ясно излагать свои мысли. Если этого не делать, велик риск воспитать людей с узким кругозором даже внутри математики, не умеющих его расширять и не понимающих, зачем это нужно.

§ 5. Факультативные занятия по математике и методика их проведения

Фундаментальной особенностью, которая самым существенным образом влияет на выбор методов обучения и разработку методик, применяемых на факультативных занятиях, является опора на устойчивый интерес и склонность ученика к математике. Активный интерес учащихся к математике непосредственно связан с сознательным отношением к учебе, с осознанным стремлением больше узнать. Любому учителю понятно, как могут преобразоваться занятия математикой, если учащиеся проявляют заведомый интерес к науке. Занятия происходят не по обязанности, поэтому для слушателей факультатива математика не может быть скучной. А это существенным образом расширяет методические возможности учителя.

Главная цель факультативных занятий по математике - углубить и расширить знания, повысить интерес учащихся к предмету, развить математические способности, привить школьникам вкус к самостоятельным занятиям математикой, воспитать и развить их инициативу и творчество.

Факультативные занятия по математике ведутся в школе с 8 класса ( 8 класс -1 час, 9 -11 классы - по 2 часа в неделю).

Программы основного курса математики и факультативных занятий составляют программу повышенного уровня по математике для учащихся данного класса средней школы.

Факультативные занятия по математике могут проводиться по двум направлениям:

а) изучение курсов по программе “Дополнительные главы и вопросы курса математики”;

б) изучение специальных математических курсов.

Для факультативных занятий по математике программа должна быть составлена так, чтобы все ее вопросы могли изучаться синхронно с изучением основного курса математики. В некоторых случаях изучение тем факультатива может проводиться независимо от основного курса программы (например, когда в данном классе основной курс математики и факультативный ведут разные учителя).

Для большей эффективности факультативных занятий их необходимо организовывать там, где есть высококвалифицированные учителя или другие специалисты, способные вести занятия на высоком научно-методическом уровне, и достаточное количество учащихся, желающих изучать данный факультативный курс.

Запись учащихся на факультативные занятия производится на добровольных началах в соответствий с их интересами. Не следует принуждать их обязательно изучать факультативные предметы.

По окончании факультативного курса учащиеся сдают зачет (с оценкой), о чем делается отметка в аттестате.

Для учащихся, интересующих математикой, должны практиковаться различные формы внеклассной работы (математические кружки, вечера, викторины, конкурсы, олимпиады и т. д.). Факультативные занятия не отрицают все эти формы работы, а дополняют их.

Факультативные занятия по математике, независимо от формы и методов их проведения, должны быть построены так, чтобы быть для учащихся интересными, увлекательными, а подчас и занимательными. Необходимо использовать естественную любознательность школьника для формирования устойчивого интереса к своему предмету. В процессе обучения учащиеся должны овладеть не только установленной системой научных знаний, умений, навыков, но и повысить свою познавательную активность, развить познавательные способности и творческие силы, овладеть наиболее совершенными методами самостоятельной работы.

Как подать тот или иной учебный материал, какой педагогический прием применить - это крайне важно для поддержания интереса у учащихся.

В настоящее время основными формами проведения факультативных занятий по математике являются: изложение узловых вопросов данного курса учителем (лекции), семинары, решение задач, собеседования (дискуссии), рефераты и доклады учащихся (как по теоретическим вопросам, так и по решению цикла задач), математические сочинения и т. д.

Отметим, что учителю нецелесообразно отдавать предпочтение какой-либо одной форме или методу изложения. Чем разнообразнее занятия, тем больше они способствуют развитию познавательного интереса учащихся.

Следует помнить, что существенным условием для развития интереса к предмету является предоставление разумной самостоятельности в выполнении определенной деятельности, требующей инициативы и творческой выдумки. Поэтому на факультативных занятиях по математике самостоятельная работа учащихся должна занять ведущее положение, следует чаще решать задачи, предлагать школьникам сделать рефераты, доклады, проводить семинары-дискуссии, практиковать чтение учебной и научно-популярной литературы и т. п.

Рассмотрим одну из возможных форм проведения факультативных занятий по математике. В работе [30] предлагается разделить каждое занятие на две части.

Первая часть посвящается изучению нового материала и самостоятельной работе учащихся по заданиям теоретического и практического характера. В конце этой части занятия школьникам предлагается домашнее задание по изучению теории и ее приложений. Вторая часть каждого занятия посвящена решению задач повышенной трудности и обсуждению решений особенно трудных или интересных задач.

Когда при обсуждении идеи решения задачи кто-либо из учащихся предлагает воспользоваться той или иной формулой, теоремой, учителю целесообразно добиваться, чтобы школьник обосновывал разумность своего предложения и хотя бы в общих чертах указывал, к чему оно приведет. Тем самым перед всеми слушателями факультатива раскрывается аналитико-синтетический ход рассуждений одного из учащихся, а остальные приучаются прогнозировать процесс поиска решения задачи. Я.И. Груденов подчеркивал, что умение прогнозировать, предвидеть события, получаемые результаты - один из важнейших компонентов мыслительной деятельности человека, который, в частности, можно формировать на занятиях по математике при поиске решения задач [9].

Эта форма проведения факультативных занятий содействует успешному переходу от форм и методов обучения в школе к формам и методам обучения в высших учебных заведениях.

При проведении факультативных занятий следует использовать различные методы изучения математики.

Желательно использовать проблемную форму обучения. Например, представить изучаемый факультативный курс в виде серии последовательно расположенных задач. В статье И.Д. Степанова [41] говорится, что, решая последовательно все задачи самостоятельно или при незначительной помощи преподавателя, школьники постепенно изучают курс при большом личном участии, проявляя активность и самостоятельность, овладевая техникой математического мышления. Он предлагает рассматривать теоремы в виде задач, разбивая большие или трудные теоремы на несколько задач так, что решение предыдущей помогает решить последующую. При этом необходимые определения учитель либо включает в текст задачи, либо сообщает особо. Учитель проводит предварительную беседу или делает обобщения, если считает это целесообразным. На каждом занятии всем ученикам выдаются задания на листочках.

На факультативных занятиях очень полезно рассматривать задачи проблемного характера, применяя, например, эвристический метод. Этот метод обучения в обычном классе громоздок и отнимает много времени и сил учителя. В то же время при наличии интереса и сознательного отношения учащихся к учебе , когда не нужно побуждать учеников к деятельности, а необходимо только направлять и контролировать эту деятельность, эвристический метод может стать определяющим на факультативных занятиях, т.к. развивает самостоятельность мышления и творческую активность школьников.

И.Ф. Шарыгин в своем факультативном курсе математики [49] указывает, что процесс обучения рекомендуется строить на ряде методических принципов:

Принцип регулярности. Основная работа происходит не на совместных занятиях в классе, а дома, индивидуально. Полноценная подготовка невозможна без достаточно большого количества часов, посвященных работе над задачей. При этом лучше заниматься понемногу, но часто, скажем, по часу ежедневно, чем раз в неделю, но помногу часов.

Принцип параллельности. Учитель должен постоянно держать в поле зрения несколько тем курса.

Принцип опережающей сложности. Учитель не должен загружать ученика большой по объему, но несложной работой, но не должен задавать и непосильные для него задачи. Этот принцип на практике можно реализовать, задавая на дом очередную недельную порцию задач (от 10 до 15), подобрав их так, чтобы 7-8 из них были доступны практически всем слушателям факультатива, 3-4 были бы по силам лишь некоторым, а 1-2, пусть не намного, но превышали бы возможности даже самых сильных учеников. Процесс усвоения новых идей будет эффективным, даже если трудная задача у школьника не получилась и он отложил ее, но потрудился над ее решением достаточно большое время, скажем, один час. Чем ближе друг к другу по уровню математического развития члены факультатива, тем сильнее будет действие принципа опережающей сложности. Этот принцип развивает такие полезные качества, как сознательность, внутренняя честность, научное честолюбие.

Принцип смены приоритетов. Приоритет идеи заключается в том, что в период накопления идей, а также при решении достаточно трудных задач главное - правильная идея решения, которая может быть доведена до числа за разумное время. Ученику прощаются небольшие и даже средние огрехи в решении задачи. Приоритет ответа состоит в том, что при отработке уже известных идей, а также при решении наиболее простых, стандартных задач главное - дать правильный ответ.

Принцип вариативности. Согласно этому принципу очень полезно рассмотреть различные приемы и методы решения на примере одной задачи, а затем сравнить и проанализировать получившиеся решения с различных точек зрения: стандартность и оригинальность, объем вычислительной и объяснительной работы, эстетическая и практическая ценность.

Принцип самоконтроля. Этот принцип предполагает, что непременным элементом самостоятельной работы должен быть регулярный и систематический анализ своих ошибок и неудач (а не подгонка под ответ).

Принцип быстрого повторения. По мере накопления числа решенных задач следует просматривать и некоторым образом раскладывать по полочкам образовавшийся задачный архив: эта задача легкая, эта труднее, но помню ее решение, а эту я не решил и не помню разобранное на занятии решение.

Принцип работы с текстом. При работе с учебными пособиями, где имеются трудные задачи, снабженные лишь краткими указаниями, нужно заполнять логические пробелы, выполнять промежуточные вычисления, рассматривать аналогичные варианты - это главное назначение таких задач.

Принцип моделирования ситуаций. Полезно моделировать критические ситуации, которые могут возникнуть на олимпиаде, конкурсе, экзамене и т.д., и отрабатывать стереотипы поведения.

На факультативных занятиях качество усвоения теории систематически проверяется в процессе решения задач и примеров. Учителю следует стараться предоставлять инициативу в оценке способов решения, в исправлении ошибок самим учащимся. В процессе этой работы достигается логическая точность в формулировках определений, теорем и свойств математических объектов. В конце каждого занятия учитель дает свою оценку работы учащихся. Регулярно проводится проверка домашних заданий, разбор вопросов, возникших у учащихся. Время от времени целесообразно проводить 15-20-минутные проверочные работы. По окончании факультативного курса проводится зачет.

Глава 2. Разработка факультативного курса “Методы решения нестандартных задач по алгебре”

§1. Программа факультативного курса “Методы решения нестандартных задач по алгебре”

Пояснительная записка

Целью обучения школьников по данному факультативному курсу является расширение их математического кругозора, более глубокое и осознанное усвоение материала школьной программы, отработка умения творчески применять полученные знания при решении нестандартных задач, развитие математического мышления.

К нестандартным обычно относят те задачи, где традиционные алгоритмы решения не проходят. Анализ таких задач, предлагаемых в различных учебниках, показывает, что, не расширяя теоретических знаний, не выходя за рамки программы по математике, можно дать на вооружение ученикам дополнительно некоторые методы решения определенных типов уравнений и неравенств.

Решение необычных задач развивает сообразительность, логику, интуицию, умение рассуждать, помогает воспринимать изученный материал не как набор несвязанных между собой тем школьного курса математики, а как единый математический аппарат.

В данном курсе из всего множества нестандартных методов рассматриваются методы, использующие свойства ограниченности и монотонности функций, а также векторно-координатный метод.

Данный факультативный курс рассчитан на учеников 11 класса (второе полугодие), т.к. его изучение предполагает знание практически всех разделов школьного курса математики. Каждое занятие проводится один раз в неделю и рассчитано на два урока. Курс предназначен учащимся, интересующимся математикой, стремящимся поступить в “серьезный” вуз, а также может быть использован для индивидуальной подготовки.

В материалах факультативного курса имеется множество разнообразных задач, из которых учитель может выбирать те, что соответствуют уровню подготовки учащихся.

Существенным условием правильной организации учебного процесса является выбор учителем рациональной системы методов и приемов обучения. Отметим, что некоторые методические рекомендации по рассматриваемому курсу даны в §2 этой главы.

Содержание курса

Использование свойства ограниченности функций, метод оценок при решении уравнений разного вида (рациональных, тригонометрических, показательных, логарифмических и смешанных) с одним переменным, с двумя переменными; при решении систем уравнений, где число уравнений меньше числа неизвестных; при решении неравенств.

Векторно-координатный метод. Использование понятия скалярного произведения и векторного неравенства Коши-Буняковского для доказательства неравенств; для решения задач на нахождение наибольших и наименьших значений функций; при решении уравнений и систем уравнений.

Метод обращения к монотонности функции при решении уравнений и неравенств разного вида.

Методы решения уравнений вида на базе свойства монотонности функции .

Учет свойств четности, нечетности и периодичности при решении уравнений вида .

Решение уравнений вида и его модификаций: ,

В Приложении даны решения задач для самостоятельной работы из заданий на дом, дополнительные задачи (которые учитель может использовать по своему выбору), варианты для проверочных работ и зачета.

§2. Методические рекомендации к занятиям

Как уже отмечалось, математические задачи являются очень эффективным и часто незаменимым средством усвоения учащимися школьного курса математики. В развитии мышления и в математическом воспитании учащихся особенно велика роль нестандартных задач, требующих от школьников дополнительных усилий. Поэтому крайне важна правильная методика обучения решению нестандартных математических задач. Часто при изучении школьного курса математики ученикам не даются необходимые знания о сущности задач и их решений, а поэтому они решают задачи, не осознавая должным образом свою собственную деятельность. Отсюда вытекает необходимое методическое требование - стимулировать постоянный анализ учащимися своей деятельности по решению задач , учить их выделять общие подходы и методы, теоретически осмысливать и обосновывать все шаги решения задачи. Когда начинают решать задачу, то прежде всего ищут ведущую идею (принцип), из которой следует исходить. После нахождения идеи дальнейшее решение есть ее конкретизация, воплощение. Следовательно, особенно важно обсуждение подхода к решению задачи, поиск решения. Учитель может рекомендовать учащимся литературу для самостоятельного изучения вопроса о методике решения задач (например, [18],[45] ).

Формы и методы проведения факультативных занятий должны быть выбраны учителем в зависимости от уровня подготовки учащихся, отбор задач может проводиться с учетом изученных тем школьного курса математики (в приложении даны дополнительные задачи на разные темы). Заметим, что в предложенном виде занятия рассчитаны на знание всех основных тем курса школьной алгебры и начал анализа.

Если уровень математического развития учащихся достаточно высок, то новый материал можно вводить с помощью поискового (исследовательского) или частично поискового метода. Например, на занятии 1 учитель может дать на обсуждение ученикам легкую задачу и предложить догадаться о методе ее решения, конечно, помогая вопросами, если необходимо. Таким образом , можно подвести учащихся к изучению новых методов, использующих свойства функций. Заметим, что решение нестандартных задач всегда включает элементы исследования. Такие исследования необходимо проводить при решении многих уравнений и неравенств (особенно тригонометрических, показательных и логарифмических).

После введения нового материала необходимо разобрать несколько нестандартных задач одного вида (фронтальное решение задач: у доски решает учитель или ученик под его руководством). Затем можно предложить учащимся задачи для самостоятельного письменного решения с дальнейшим разбором для всей группы. Это наиболее эффективная организация решения задач, когда ученики обучаются творчески думать, самостоятельно применять знания различных разделов математики.

Очень хорошо, если учитель, зная уровень способностей каждого ученика, даст индивидуальные задания, разные по степени сложности. Но всегда надо помнить, что нельзя давать школьнику как очень сложные, так и слишком легкие задания. Иначе в первом случае учащийся теряет веру в себя, а во втором -не развивает свои способности.

Весьма важно на занятиях решать задачи несколькими способами. Для этого можно сразу вызвать двух -трех учеников к доске для одновременного решения задачи разными способами. Однако следует иметь в виду, что в этом случае руководство решением задачи требует повышенного мастерства от учителя, т.к. требуется правильно распределить свое внимание между учащимися, которые решают задачу у доски, и остальными учениками группы.

Как установили психологи, решение одной задачи несколькими способами полезнее, чем решение подряд нескольких стереотипных задач. Рассмотрение учеником различных вариантов решения, выбор из них наиболее рационального, красивого развивает умение мыслить, рассуждать, проводить правильные умозаключения. Кроме того рассмотрение различные вариантов решения одной задачи требует от ученика применения всего арсенала его математических знаний. Решение задач двумя способами, например на занятиях 1,2,4, дает возможность увидеть преимущества нового метода.

При решении нестандартных задач целесообразно подчеркнуть важность применения метода сведения, наряду с такими методами решения задач как анализ и синтез. Суть его состоит в том, что данные задачи подвергаются последовательным преобразованиям, что приводит к более простой задаче. Например, при решении уравнения обычно составляют такую конечную последовательность уравнений, эквивалентных данному, что последним является уравнение с очевидным решением.

Заметим, что одной из дидактических целей нестандартных математических задач является повторение ранее изученного. При решении таких задач учащиеся применяют все имеющиеся знания, умения, навыки. Ведь особенность математики заключается в тесной взаимосвязи ее разделов. Поэтому учителю следует останавливать внимание учеников на формулировках тех понятий, теорем, формул, свойств объектов, которые применяются при решении задачи.

Учитель должен помогать учащимся приобретать опыт решения нестандартных задач, учить их решать эти задачи, но его помощь не должна быть чрезмерной. Если эта помощь будет слишком большой, то на долю ученика останется очень мало работы или вовсе не останется. Но плохо и если помощь учителя будет недостаточна. И в том и в другом случае ученик не научится решать задачи. Учитель должен помогать ученику советами, как решать задачу, или наводящими вопросами.

В конце занятия задаются упражнения для самостоятельной работы дома. Их содержание должно быть подготовлено предшествующей работой на факультативе. Для домашнего решения нельзя предлагать только задачи, аналогичные решенным на занятии. Это мало помогает усвоению математики. Цель задания на дом - не только повторение изученного на занятии, но и дальнейшее совершенствование математических знаний, умений и навыков. С учетом этого оно и должно быть составлено. Самостоятельное решение задач дома требует от ученика проявлять свою инициативу, смекалку и настойчивость, мобилизовывать для решения задач свои знания. Предлагаемые на данном факультативе задачи для самостоятельного решения дома имеют различную степень трудности (решения всех задач даны в Приложении). Каждый ученик может попробовать свои силы, “поломать голову” над сложной задачей, что очень важно для развития его мыслительных способностей и творческой инициативы.

В начале каждого занятия следует разбирать наиболее трудные задачи из заданных для самостоятельной работы на дом, которые никто не решил или решили один-два человека.

Постоянно должен проводиться контроль за усвоением полученных знаний. Можно сказать, что практически решение каждой задачи осуществляет текущий контроль. Так, когда задачи решаются фронтально с воспроизведением решения учащимися на доске, то выясняются затруднения учеников, пробелы в их знаниях, степень усвоения новых знаний, методов решения задач, прочность и гибкость приобретенных знаний, умений и навыков. Самостоятельно решаемые задачи имеют то же предназначение.

Тематический контроль осуществляется с помощью проверочных работ. В данном факультативном курсе предполагается провести несколько самостоятельных проверочных работ (на занятиях 3,6,10) примерно в течение одного урока. В качестве итогового контроля предлагается провести зачет по результатам домашней контрольной работы. Все варианты к проверочным работам и зачету даны в Приложении.

Важно приучать учащихся самостоятельно работать с литературой. Можно порекомендовать им некоторые задачники и книги по математике, наиболее полно освещающие тему данного факультативного курса ( например, [5], [13], [27], [31], [47], [50] ).

§ 3. Содержание факультативного курса “Методы решения нестандартных задач по алгебре”

Занятие 1. Решение уравнений с помощью оценок функций, основанных на свойстве ограниченности.

Цели: сформировать представление о нестандартных задачах и нестандартных методах решения; учить использовать свойство ограниченности функций и применять метод оценок при решении уравнений.

Довольно часто встречаются задачи, которые не решаются стандартными методами, с помощью привычных рассуждений. Некоторые из них внешне выглядят очень необычно. Другие замаскированы: с виду, например, это обычные уравнения, но стандартными приемами они не решаются. Эти задачи условно назовем нестандартными. Необычность вида уравнений является по существу подсказкой, направляющей наши мысли на поиски необычных методов. Более коварными являются задачи, имеющие обычный, стандартный вид, но на деле не поддающиеся обычным методам. При решении такого рода задач никогда не ясно, то ли просто избран неудачный путь, то ли действительно требуются какие-нибудь нестандартные рассуждения. Нестандартные задачи требуют для решения сообразительности, свободного владения знанием различных разделов математики и высокой логической культуры.

Когда встречаешься с незнакомой и хитроумной задачей, возникает вопрос: как искать решение задачи?

Один из первых организаторов математических олимпиад в нашей стране, известный математик, профессор В.А.Тартаковский, отвечая на этот вечный вопрос, сравнивал поиск решения такой задачи с задачей поймать мышь, прячущуюся в куче камней. Он рассказывал, что есть два способа поймать мышь в куче камней. Можно постепенно отбрасывать из этой кучи камень за камнем до тех пор, пока не покажется мышь. Тогда бросайтесь и ловите ее. Но можно и иначе. Надо ходить и ходить вокруг кучи и зорко смотреть, не покажется ли где-либо хвостик мыши. Как только заметите хвостик - хватайте и вытягивайте мышь из кучи [45].

Действительно, довольно часто поиск решения задачи напоминает эту операцию по поимке мыши в куче камней.

Невозможно указать все методы решения нестандартных задач. Зачастую очень выручает знание свойств функций, входящих в уравнения или неравенства. Во многих случаях решение нестандартных уравнений и неравенств осуществляется на “функциональном

уровне”, т.е. с помощью графиков или за счет сопоставления некоторых свойств функций.

В этом факультативном курсе будут рассмотрены некоторые методы, базирующиеся на свойстве ограниченности и свойстве монотонности функций. Заметим, что они часто упрощают и решение стандартных задач.

Многие уравнения и неравенства повышенной трудности могут быть успешно решены с помощью анализа областей определения левой и правой частей и посредством оценок их наибольших и наименьших значений с помощью использования свойства ограниченности функций. Признаком таких задач часто может быть наличие в них функций различной природы, например, тригонометрических и показательных, или количество неизвестных, превышающее количество уравнений (неравенств).

Применение метода оценок будет успешным, если уметь находить наибольшие и наименьшие значения элементарных функций или их композиций на заданном множестве, используя свойство ограниченности функций, а также зная некоторые “полезные” неравенства.

Напомним некоторые неравенства, которые широко используются при решении задач:

Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим положительных чисел , здесь i> 0, - натуральное число. В частности, при имеем . Равенство достигается при .

2. Модуль суммы двух чисел .

3. Сумма двух взаимно обратных чисел:

? 2 при > 0, равенство достигается при = 1;

? -2 при < 0, равенство достигается при = -1.

Рассмотрим метод использования свойства ограниченности функций. Он основан на следующих утверждениях:

1. [10] если функции и таковы, что для всех из некоторого множества М выполняются неравенства и , и дано уравнение , то оно на множестве М равносильно системе

2. [1] если на некотором множестве М наименьшее значение одной из функций совпадает с наибольшим значением другой функции (обозначим эти значения буквой ), то на этом множестве уравнение сводится к системе более простых уравнений

.

3. [31] если для всех из некоторого множества М справедливы неравенства > B и < B, где B - некоторое действительное число, то на множестве М уравнение и неравенство <решений не имеют. Заметим, что роль числа B часто играет 0, в этом случае говорят о сохранении знака функций ина множестве M.

Рассмотрим некоторые примеры применения свойства ограниченности функций для решения уравнений.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение.(используется утверждение 1). В левой части уравнения записана сумма косинусов, что при стандартном приеме решения предполагает представление ее в виде произведения. Однако этот путь нахождения корней уравнения довольно длинный, т.к. правая часть отлична от нуля. Проще сразу использовать свойство ограниченности тригонометрических функций. Действительно, , поэтому сумма косинусов может быть равна 2 только в том случае, когда оба слагаемых будут равны 1.

Иначе говоря,

Решение исходного уравнения находим как общее решение двух простейших тригонометрических уравнений : , где Ѓё?, т.е. , где Ѓё?.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. (используется утверждение 2).Заметим, что левая часть уравнения не превосходит 1, в то время как правая часть не меньше 1. Следовательно, исходное уравнение имеет решение, только если обе его части равны 1. Это возможно только при x=0.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. (используется утверждение 3). Попытки найти корни этого иррационального уравнения, возводя обе части в квадрат, обречены на неудачу. Заметим, что левая часть этого уравнения неотрицательна при всех значениях x из области определения, в то время как его правая часть меньше нуля при всех значениях x. Следовательно, данное уравнение не имеет решений.

=,

т.е. левая часть меньше правой. Уравнение не имеет решений.

Пример 6. Сколько корней на отрезке 0?имеет уравнение

?

Решение.1 способ (стандартный). Используются формулы разности синусов и двойного угла: перепишем уравнение в виде , отсюда , следовательно, . Рассматривая левую часть этого уравнения как квадратный трехчлен относительно , получаем, что его наибольшее значение будет равно 3 при , а с другой стороны, на 0? 0??1, так что ? 3 и равенство имеет место при =1.Таким образом, исходное уравнение удовлетворяется, если одновременно и=1, но это невозможно, т.е. уравнение не имеет решений.

2 способ (использование неравенств). Это решение самое короткое и проводится независимо от ограничений на .Переписав уравнение в виде , или

напишем следующую цепочку:

=

= .

Посколькупри любом Ѓё? (это легко доказать, раскрывая модули или возведением в квадрат), то левая часть последнего уравнения по абсолютной величине не превосходит и не может, следовательно, равняться 3. Уравнение не имеет решений.

Как правило, количество неизвестных в системе уравнений и количество уравнений совпадает. Но иногда бывают задачи, где число уравнений меньше числа неизвестных. В таких случаях обычно структура уравнения скрывает какие-либо ограничения на неизвестные. В следующей задаче по одному уравнению от двух неизвестных удается построить равносильную ей систему двух уравнений и найти все ее решения.

Пример 7. Найти все пары чисел (), удовлетворяющие уравнению

Решение

Пусть () удовлетворяет условию задачи, т.е.

.

Используя формулы: и , получим

Или

. (1)

Если , то = -1, что противоречит (1).

Следовательно, ? 0 и > 0. Если ? 1, то и .

Тем самым необычность данной системы полностью “снята” - мы имеем обыкновенную систему трех уравнений с тремя неизвестными, и притом чрезвычайно простую. В самом деле, из двух новых уравнений и второго данного мы сразу же получаем .

Решения данной системы имеют вид: , где Ѓё?.

Упражнения для самостоятельной работы дома даны в Приложении.

Занятие 2. Решение неравенств с использованием свойства ограниченности функций

Цели: проверить усвоение материала предыдущего занятия на основе разбора некоторых задач из домашнего задания; учить применять метод оценок при решении неравенств.

В начале занятия предлагается разобрать задачи 4,6,7 из домашнего задания.

Рассмотрим решение некоторых неравенств, проводя оценки входящих в них функций.

Пример 1. Решить неравенство > 1.

Решение. Область определения этого неравенства состоит из значений таких, что? 0

и ? 0. Кроме того, и , и, по свойству степеней, ? , ? . Складывая эти неравенства, получаем ?,т.е.

? 1, причем равенство достигается лишь в случае, когда одновременно выполняются равенства .

Легко установить, что эти уравнения удовлетворяются одновременно лишь при ,Ѓё?, и, таким образом, исходное неравенство выполняется для всех

из области определения, кроме только что указанных значений ( т.е. для всех таких, что > 0 и > 0). Общим решением этих двух неравенств, а значит, и исходного неравенства, будет < , Ѓё?.

Для сравнения приведем обычное, стандартное решение этого неравенства.

Область определения данного неравенства задается равенствами ? 0и ? 0. Обе части исходного неравенства положительны, и поэтому после возведения в квадрат получим следующее неравенство, равносильное в области определения исходному:

> 1 или >.

Т.к. , то, заменяя для краткости через, получим неравенство > . Область определения этого неравенства: > 1.

Поскольку левая часть последнего неравенства неотрицательна, то при > 1 оно удовлетворяется, т.е. все значения > 1 являются решениями.

Рассматривая далее значения ? -1, будем иметь неравенство с неотрицательными частями. Возводя его в квадрат, после преобразований получим равносильное неравенство > 0 , решения которого > 1 (можно решить методом интервалов). Мы рассматриваем случай ? -1, а потому надо оставить лишь неравенство .

Итак, неравенство > имеет решения > 1 (из первого случая) и

(из второго случая). Но =? -> -3 и поэтому остается решить неравенство > 1.

В области определения исходного неравенства ? 0, поэтому после возведения в квадрат обеих частей неравенства получим равносильное неравенство> 0, которое выполняется для всех из области определения, кроме тех, для которых , т.е. для из интервалов < , Ѓё?.

Как видим, первое решение гораздо короче и, кроме того, оно более универсально: в нем несущественно, например, что оба корня в неравенстве квадратные - они могли бы быть даже разных степеней. В то же время “стандартное” решение в этом случае столкнулось бы с непреодолимыми трудностями.

Пример 2. Решите неравенство ? 0.

Отметим прежде всего, что решить неравенство с двумя неизвестными и - значит, естественно, указать все пары чисел (), при подстановке которых в данное неравенство получается верное числовое неравенство.

Решение. Запишем неравенство в виде ? .Т.к. область определения функции есть отрезок Ѓё[-1;1] , то левая часть этого неравенства определена при условии ? 1 , откуда следует, что должно выполняться условие . Но при этом условии минимальное значение правой части неравенства равно при . Но, поскольку , то максимальное значение левой части неравенства тоже равно при . Следовательно, исходное неравенство имеет единственное решение ,. Ответ: (0;1).

Пример 3. Решить неравенство ? 1.

Решение. 1 способ. Перепишем неравенство в виде ? .

Теперь видно, что всякое решение должно удовлетворять условию ? 0, а при выполнении этого условия обе части неравенства неотрицательны (в области определения), и мы можем возвести их в квадрат, получив равносильное в области определения неравенство ?. Но в рассматриваемой области ?? 0, так что левая часть получившегося неравенства неположительна, а правая часть неотрицательна. Поэтому оно удовлетворяется в том и только том случае, когда обе части равны нулю: . Первое из этих уравнений означает, что либо , либо равен 0. Если, то из условия ? следует , а пара , не входит, очевидно, в область определения исходного неравенства. Следовательно, , и из второго уравнения получаем (с учетом

? 0 ), что .Подстановка в исходное неравенство показывает, что полученная пара , ему удовлетворяет.

2 способ. Переписав неравенство в виде ?, замечаем, что ? 1.

Теперь докажем, что ? 1.

Из второго уравнения находим , тогда первое уравнение принимает вид: , откуда находим . Ответ: (1;0)

Пример 4. Решить неравенство >

Решение. Область определения состоит из , удовлетворяющих условиям: > -2,

?,? 0.Следовательно, область определения: -2 <<, << 0, 0<<?. Рассмотрим неравенство на каждом промежутке отдельно.

-2< < . Тогда, учитывая, что < 0 на этом интервале, получаем, что исходное неравенство равносильно > (1)

Легко видеть, что на этом интервале справедливы неравенства < 1; > 2. Следовательно, неравенство (1), а также исходное неравенство не имеет решений на этом интервале.

2. < < 0. Следовательно, > >0. Отсюда правая часть исходного неравенства меньше 0. В то же время для любого из этого промежутка > 0.

Следовательно, для всех из этого интервала исходное неравенство справедливо.

3. > 0. Следовательно, < (2)

Очевидно, что на этом множестве справедливы неравенства < 2, 1<

Следовательно:

а) (2) не имеет решения на том множестве, где ? 2, т.е. при ? 2;

б) (2) не имеет решения там, где ? 1. Учитывая, что > 0, получаем, что (2) не

имеет решения на 0 <? 1.

в) Найдем решение (2) при 1<< 2. На этом интервале

< .

Покажем, что справедливо неравенство > (3)

Действительно, т.к.>, то . Следовательно, справедливо неравенство (3). Итак, на 1<< 2 имеем >> >. Следовательно, неравенство (3) не имеет решения на 1<< 2. Вывод: множество решений исходного неравенства есть интервал< < 0.

Пример 5. При каких значениях параметра система:

0?

имеет единственное решение?

Решение

Легко оценить правую и левую части первого неравенства системы. Квадратичная функция от , расположенная в левой части неравенства, достигает своего наименьшего значения при x= -p (, ?== 0 -критическая точка, при переходе через которую производная функции меняет знак с “-“ на “+”). При этом правая часть неравенства не превосходит , что можно проверить методом введения дополнительного аргумента.

Замечание. Любое выражение вида можно представить в виде :

= .

Т.к.

,

то точка с координатами лежит на единичной окружности, поэтому существует такое , что и . Обозначим .

Получаем

=

В нашем случае имеем:

? 5.

Таким образом исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда наименьшее значение левой части первого неравенства системы совпадает с наибольшим значением его правой части :

=5, откуда и .

Упражнения для самостоятельной работы дома даны в Приложении.

Занятие 3. Разбор наиболее трудных задач для самостоятельной работы и проверочная работа по материалу занятий 1 и 2

Цели: повторить в ходе решения некоторых задач из домашнего задания изученный материал; проверить усвоение учащимися метода оценок.

В начале занятия предлагается разобрать задачи 4,5,6 из домашнего задания и несколько задач на темы занятий 1 и 2 ( на усмотрение учителя). Во второй половине занятия дать проверочную работу. (Решения задач и варианты проверочной работы даны в Приложении)

Занятие 4. Векторно-координатный метод: доказательство неравенств и решение задач на наибольшее и наименьшее значение

Цели: познакомить с применением векторно-координатного метода к доказательству неравенств и решению задач на наибольшее и наименьшее значение; тренировать учащихся в решении задач по данной теме.

В начале занятия рекомендуется провести анализ проверочной работы предыдущего занятия. В школьном курсе геометрии изучались векторы, их свойства и действия над ними. Были даны понятия координат вектора, длины (модуля) вектора, расстояния и угла между векторами, понятие скалярного произведения векторов. Векторно-координатный метод базируется на этих понятиях. Геометрия и алгебра соединяются и взаимодействуют через этот метод. Он часто используется в алгебре для доказательства некоторых видов неравенств, решения уравнений и их систем, для нахождения наибольших и наименьших значений функции на промежутке и т.д. При этом часто решения существенно упрощаются по сравнению с решениями, выполненными традиционными методами.

Как известно, скалярным произведением двух ненулевых векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними

.

Т.к. , то (1)

(2)

Неравенство (1) называется векторным неравенством Коши-Буняковского, а неравенство (2) - его следствием. Заметим, что равенство достигается:

а) в неравенстве (1), если векторы и коллинеарны;

б) в неравенстве (2), если векторы и сонаправлены.

Запишем указанные выше формулы через координаты векторов, заданных в 3-хмерном пространстве (заметим, что аналогичные формулы имеют место, как известно, и для векторов, заданных на плоскости).

Если даны векторы и , то

и ,

Неравенства (1) и (2) можно записать в виде:

(3)

(4)

Из неравенств (1) и (2) в том случае, когда имеет место равенство, следует где ? 0, что равносильно системе:

(5)

Что должно натолкнуть на мысль, что надо использовать рассматриваемый метод?

Известно, что модуль вектора вычисляется по формуле . Но это равенство можно читать в обратном порядке: , откуда следует, что всякое выражение вида имеет ясный геометрический смысл; если говорить о векторах - это модуль некоторого вектора. Аналогичное соображение: скалярное произведение двух векторов и вычисляется по формуле . Прочитав это равенство справа налево, получим . Отсюда ясно, что выражение вида можно считать скалярным произведением векторов и .

Рассмотрим задачи, где векторно-координатный метод дает хорошие результаты.

1. Доказательство неравенств. Встречаются неравенства, которые трудно доказать традиционными методами. Применение данного метода позволяет значительно облегчить и ускорить их решение. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Доказать неравенство ? .

Решение. Для доказательства рассмотрим векторы . Тогда Данное неравенство свелось к векторному: , которое хорошо известно. Кроме того, сразу ясно, когда достигается знак равенства: при сонаправленности векторов и .

Пример 2. Доказать, что для произвольных чисел справедливо неравенство:

(6)

Решение

Введем векторы: и . Для них имеем:

=,

Отсюда на основании (2) следует требуемое неравенство.

Пример 3. Доказать, что если - неотрицательные числа, то имеет место неравенство ? .

Решение

Введем векторы и .Тогда .

На основании (2) имеем

Замечание. “Стандартный метод” - от противного: предположим противное, что существует набор неотрицательных значений , для которого исходное неравенство неверно, т.е. выполняется неравенство< . Т.к. обе части этого неравенства неотрицательны, то при возведении их в квадрат получим: , откуда , и далее

< . Но это противоречит неравенству Коши (среднее арифметическое больше среднего геометрического). Значит, наше предположение неверно, а потому справедливо исходное неравенство.

Пример 4. Доказать истинность неравенства

.

Доказательство

Рассмотрим векторы . Получим: , - левая часть исходного неравенства. Согласно неравенству (4), имеем =. (7)

Пусть теперь . Тогда = , скалярное произведение . Применим формулу (4) к правой части неравенства (7): =.

Пример 5. Доказать, что неравенство выполняется при всех значениях, при которых определена его левая часть.

Доказательство. Рассмотрим векторы . Из формулы (4) следует, что

=

Пример 6. Доказать, что неравенство

выполняется при всех значениях , при которых определена его левая часть.

Доказательство.Найдем числовой промежуток, на котором определена левая часть неравенства. Решив систему

?

?

,

получаем, что Ѓё.

Рассмотрим векторы . Из соотношения (4) следует, что =.

Заметим, что самое невероятное соотношение может стать верным неравенством или даже тождеством на достаточно узкой области его определения. Например, равенство , вообще говоря, неверно. Но стоит сузить область его определения и рассмотреть не все множество действительный чисел, а только одно подмножество, как это равенство становится верным. То же самое произошло и с заданным неравенством. Оно выполняется на весьма специфической области, в которую, например, не входит ни одно натуральное число, а целое встречается лишь единожды - это число 0.

Для того, чтобы расширить область применения метода скалярного произведения, можно привлечь так называемые условные неравенства, когда переменные, кроме того соотношения, которое требуется доказать, связаны дополнительным условием.

Покажем применение векторного неравенства Коши-Буняковского к доказательству условных неравенств.

Пример 7. Доказать, что если ? 2 , то ? 2.

Решение. Введем векторы: и . Тогда . На основании (1) , т.е.. Учитывая условие ? 2, имеем .

Пример 8. Доказать, что если,то

Доказательство

Обозначим координаты соответствующих векторов следующим образом . Согласно формуле (4) имеем:

=

= =.

Пример 10. Доказать, что если > 0, > 0, то для любых справедливо неравенство .

Решение. 1 способ (“стандартный”). По условию задачи обе части этого неравенства положительны, поэтому оно равносильно следующему:

?

.

Перенося все члены этого неравенства в правую часть, приведя в нем подобные члены и перегруппировав, запишем его в равносильной форме:

() + () + () ? 0.

Поскольку каждое выражение в скобках полный квадрат, то последнее неравенство очевидно, а, следовательно, справедливо равносильное ему исходное неравенство.

2 способ (векторно-координатный метод). Введем векторы

.

Тогда и скалярное произведение этих векторов . Согласно (2) , т.е. получаем неравенство .

2. Задачи на нахождение наибольших и наименьших значений функции.

Покажем применение неравенства Коши-Буняковского при отыскании наибольших и наименьших значений функции.

Пример 11. Найти наибольшее значение функции

Решение

Эта функция определена для -7 ? ? 11.

Рассмотрим векторы:

.

Тогда

.

На основании (2) имеем .

Отсюда следует, что .

[-7,11]

Это наибольшее значение достигается, если векторы коллинеарны, т.е. ? 1, ? 1. При этом , т.е. , откуда . Итак, Ymax= .

Пример 12. Найдем наибольшее значение выражения.

Пусть . Тогда данное выражение является скалярным произведением векторов . Согласно известному неравенству о скалярном произведении .

Но . Поэтому искомое наибольшее значение выражения равно 13. Достигается оно при условии равенства: , а оно имеет место в случае сонаправленности векторов , т.е. когда имеет место пропорция . Отсюда , т.е.. Отсюда, Ѓё?. Аналогично можно найти и наименьшее значение данного выражения.

В общем случае выражение из таких же соображений заключается в границы ??. Выражение есть не что иное, как скалярное произведение векторов .

Пример 13. Найти наибольшее значение функции

.

Решение

Эта функция определена при всех Ѓё?. Введем векторы:

Тогда

На основании (2) имеем

что реализуется при коллинеарности векторов , т.е.

? 1,

? 1,

при этом:

,, , ,откуда =±, где Ѓё?.

Пример 14. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

.

Решение

Рассмотрим векторы

.

Согласно неравенству

=.

Следовательно, ?7.

Пример 15. Найти наибольшее значение функции

.

Решение

Функцию представим в виде . Рассмотрим векторы: Эти векторы сонаправлены, если (согласно соотношениям (5) ). Отсюда находим, что и . Окончательно получаем , т.е. max =при .

Упражнения для самостоятельной работы дома даны в Приложении..

Занятие 5. Векторно-координатный метод: решение уравнений и систем уравнений

Цели: показать возможность использования векторно-координатного метода при решении уравнений и систем уравнений; выработать навык решения задач данным методом.

В начале занятия предлагается разобрать решения задач 4,6,7 из домашнего задания.

1. Решение уравнений.

Пример 1. Решить уравнение

.

Решение. Перепишем данное уравнение в виде

Рассмотрим векторы: Длины этих векторов соответственно равны

Их скалярное произведение: В соответствии с неравенством имеем:? > , т.е. >. Отсюда следует, что равенство не выполняется, т.е. исходное уравнение не имеет корней. Ответ: уравнение не имеет корней.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение

Преобразуем подкоренное выражение левой части уравнения:

=

Тогда данное уравнение примет вид

Область определения уравнения: ?0.

Введем векторы и найдем:

Из этих равенств следует, что исходное уравнение можно переписать в виде Это равенство выполняется только в том случае, когда векторы сонаправлены. Тогда их координаты пропорциональны, т.е. при можно записать:. Отсюда. Кроме того, при левая и правая части исходного уравнения равны, т.е.- корень уравнения. Итак, найдены два корня исходного уравненияДругих корней нет, т.к. исходное уравнение сводится к квадратному.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение

Рассмотрим векторы Тогда данное уравнение можно записать в виде Оно выполняется только в том случае, когда координаты векторов пропорциональны. Т.к. не является корнем уравнения, условие пропорциональности удобно записать в виде .

Отсюда , или , т.е. и , откуда = 1 и = (проверкой убеждаемся, что значение не подходит).

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Введем векторы, тогда

= и , так что . Координаты сонаправленных векторов пропорциональны, т.е. , , откуда , Ѓё?.

2. Решение систем уравнений векторно-координатным методом.

Пример 5. Решить систему уравнений

(1)

(2)

Решение

На первый взгляд может показаться, что система имеет бесконечное множество решений (три переменных и два уравнения). Однако такое мнение ошибочно. Как будет показано, система имеет единственное решение.

Рассмотрим векторы: . Тогда, учитывая (1): (3) Т.к. , то: (4)

Из (3) и (4) получаем , т.е. имеет место равенство в соотношении Следовательно, векторы сонаправлены, т.е. их координаты пропорциональны .Поэтому=, а с учетом (1) имеем, что ==.Ответ:

Объясним теперь геометрически, почему система (1)-(2) имеет единственное решение. Уравнение (1) - уравнение плоскости, пересекающей оси координат в точках : (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Уравнение (2) - уравнение сферы с центром в начале координат и радиусом.

Если рассматривать сферы, радиусы которых r < , то такие сферы не будут пересекаться с плоскостью (1). В этом случае система (1)-(2) не будет иметь решений.

При r= (что имеем в уравнении (2)) сфера будет касаться плоскости (1) - у сферы и плоскости будет одна общая точка, координаты которой будут решением данной системы.

При r> сфера будет пересекать плоскость по некоторой окружности, координаты точек которой будут решениями соответствующей системы. В этом случае система имеет бесконечное множество решений.

Пример 6. Решить систему уравнений

(5)

(6)

Решение

Эта система, аналогично предыдущей, на первый взгляд кажется неопределенной, но, в отличие от предыдущей, она не имеет решений.

Положим . Тогда очевидно, что (учитывая уравнение (5)), . Из (6) следует, что . Получается , что невозможно. Следовательно, система (5)-(6) решений не имеет.

Объясним геометрически, почему система (5)-(6) не имеет решений.

Введем новые переменные, положив , , . Тогда система (5)-(6) примет вид:

(5')

(6')

Рассуждениями, аналогичными приведенным в объяснении к решению системы (1)-(2), приходим к выводу, что сфера (5') и плоскость (6') не имеют общих точек и потому система (5')-(6'), а значит, и система (5)-(6) не имеют решений. Действительно, начало координат в системе Ouvw удалено от плоскости (6') на расстояние >1. Поэтому сфера (5') радиуса 1 не имеет общих точек с плоскостью (6'), а система (5)-(6) не имеет решений.

Рассмотрим системы трех уравнений с тремя переменными.

Пример 7. Решите систему уравнений

.

Решение. Так как не является решением системы, то, разделив обе части первого уравнения системы на , получим систему, равносильную данной:

.

Рассмотрим векторы:.Тогда .Таким образом, , что означает коллинеарность векторов и, значит, пропорциональность их координат : =: =:,

откуда и .Из второго уравнения исходной системы получим: , , =± и, следовательно, = ±, =±.

Установим, какие из значений являются решениями уравнения. Проверкой убеждаемся, что только две тройки являются решениями данной системы.

Пример 8. Решите систему уравнений

Решение

Рассмотрим векторы . Тогда и, значит, . Тогда имеем =, откуда =. Из первого уравнения системы получим: . Следовательно, , z =1 .Тройка чисел (1,1,1) является решением третьего уравнения системы и, следовательно, решением системы. Итак, (1;1;1) - решение исходной системы.

Подводя итоги, можно дать общую схему решения уравнения или системы уравнений с помощью векторов.

1. Введение векторов и .

2. Вычисление модулей векторов и их скалярного произведения.

3. Проверка возможности представления исходного уравнения ( или одного из уравнений системы) в виде соотношения или

4. Если это выполняется, то координаты векторов пропорциональны, что дает возможность найти решение исходного уравнения или системы уравнений.

Проверка и запись ответа.

Упражнения для самостоятельной работы дома даны в Приложении.

Занятие 6. Разбор наиболее трудных задач для самостоятельной работы и проверочная работа по материалу занятий 4 и 5

Цели: повторить в ходе решения некоторых задач из домашнего задания изученный материал; проверить усвоение применения векторно-координатного метода для решения алгебраических задач.

В начале занятия предлагается разобрать задачи 6,7,8 из домашнего задания и несколько задач на темы занятий 4 и 5( на усмотрение учителя). Во второй половине занятия дать проверочную работу. (Решения задач и варианты проверочной работы даны в Приложении).

Занятие 7. Метод обращения к монотонности функции при решении уравнений и неравенств

Цели: познакомить с задачами, которые решаются с помощью использования свойства монотонности функции; учить решать уравнения и неравенства методом обращения к монотонности функции.

В начале занятия рекомендуется провести анализ проверочной работы предыдущего занятия.

Решение уравнений и неравенств с использованием свойства монотонности основывается на следующих утверждениях.

1. Пусть непрерывная и строго монотонная функция на промежутке ?, тогда уравнение , где - данная константа, может иметь не более одного решения на промежутке ?.

2. Пусть и -непрерывные на промежутке ? функции, строго возрастает, а строго убывает на этом промежутке, тогда уравнение = может иметь не более одного решения на промежутке ?, причем если - решение этого уравнения, то при будет>, а при будет<.Отметим, что в качестве промежутка могут быть: [31]

Идею метода обращения к монотонности при решении неравенств хорошо иллюстрирует решение следующего простого неравенства:

Пример 1. Решить неравенство ? .

Решение

Есть два стандартных пути: возведение в квадрат ( при условии > 0, если же < 0, неравенство выполняется) и замена неизвестного ().

Рассмотрим еще один способ - нестандартный, использующий монотонность функций

Функция, расположенная в левой части, монотонно возрастает, в правой части убывает. По утверждению 2 уравнение имеет не более одного решения, причем если - решение этого уравнения, то при будет , а решением данного неравенства будет . Значение ? легко подбирается: . Ответ: ? 1.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Корень легко найти подбором. Других корней быть не может, т. к. левая часть уравнения представляет собой возрастающую функцию, поскольку является суммой двух возрастающих функций и , а правая - константу. Ответ:

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Найдем область допустимых значений переменной . Она определяется

системой:

? 0

? -1,

т.е. ? 0. Функция возрастающая, поэтому > . Тогда левая часть уравнения отрицательна, а правая - положительна. Решения нет. Ответ: корней нет.

Пример 4. Решить уравнение .

Решение

Легко установить, что - корень уравнения. Однако его единственность пока не очевидна, т.к. в обеих частях уравнения имеем возрастающие функции. Применим следующий прием: разделим обе части уравнения на , заметив, что ? 0 . Получим .Теперь в левой части уравнения записана убывающая функция ( она является суммой двух убывающих функций), а в правой - постоянная. Такое уравнение не может иметь более одного корня. Итак, - единственный корень. Ответ: .

Замечание: можно было разделить обе части уравнения на , ? 0.

Пример 5. Решить уравнение

Решение

Область определения данного уравнения есть промежуток ? 18. На области определения функции = и =непрерывны и строго убывают, следовательно, непрерывна и убывает функция =. Поэтому каждое свое значение функция принимает только в одной точке. Т.к. , то является единственным корнем исходного уравнения. Ответ: .

Пример 6. Решить неравенство >

Решение

Область определения данного неравенства - множество . Запишем неравенство в виде > 0. Т.к. функция - убывающая, а - возрастающая, то - убывающая функция. Функция также убывающая, и, следовательно, функция - убывающая как сумма двух убывающих функций. Поэтому при > , а при 0<. Ответ:

Пример 7. Решить уравнение .

Решение

Положим , тогда , и заданное уравнение можно переписать в виде: , откуда . Это уравнение имеет очевидный корень , но утверждать, что это единственный корень уравнения мы не можем, ибо как левая, так и правая часть уравнения - возрастающая функция. Но если обе части уравнения разделить почленно на , то получим: . Теперь левая часть уравнения, т.е. показательная функция , убывает (основание , а правая часть уравнения, т.е. показательная функция , возрастает (основание > 1).

Значит,- единственный корень уравнения. Поскольку , то из уравнения находим - единственный корень заданного уравнения.

Пример 8. Решить неравенство .

Решение

Каждая из функций непрерывная и строго возрастающая на всей оси. Значит, и исходная функция является непрерывной и строго возрастающей. Легко видеть, что при функция принимает значение 3. В силу непрерывности и строгой монотонности этой функции при> 0 имеем > 3, при имеем < 3. Следовательно, решениями исходного неравенства являются все . Ответ: (-?;0)

Упражнения для самостоятельной работы дома даны в Приложении..

Занятие 8. Решение уравнений вида : основные утверждения

Цели: познакомить с утверждениями, помогающими решать уравнения данного вида, основанными на свойстве монотонности функции ; учить решать уравнения вида .

В начале занятия предлагается разобрать задачи 4,5,7 из домашнего задания.

Мы рассмотрели некоторые нестандартные методы решения алгебраических задач, основанные на свойстве монотонности функций. На этом же свойстве базируется решение специального класса уравнений вида: , (1) где - некоторые функции.

Заметим, что если или , а - квадратичные или линейные функции, то уравнения вида (1) являются традиционными для учащихся, они часто встречаются в школьном курсе, причем решение такого уравнения сводится к решению уравнения .

Мы рассмотрим этот вид уравнений в более широком плане и дадим теоретическое обоснование решения. Методы решения уравнений вида (1) основываются на трех утверждениях [35].

Случай 1. Функция строго монотонна на ?, причем ? - множество всех действительных чисел - является областью определения данной функции. В этом случае области значений функций и всегда принадлежат области определения функции .

Утверждение 1. Пусть функциястрого монотонна (строго возрастает или убывает) на?.

Тогда уравнение равносильно уравнению .

Случай 2. Функция строго монотонна на всей области ее определения, которой является промежуток J. Значения функцийи , как аргументов функции , принадлежат промежутку J.

Утверждение 2. Пусть функция имеет область существования - промежуток J , и пусть она строго монотонна на J . Тогда уравнение равносильно системе

ЃёJ

ЃёJ.

Отметим, что в системе можно опустить одно из двух условий: илиЃёJ, или ЃёJ (что мы и будем иногда делать в дальнейшем). Действительно, если для некоторого числа справедливо равенство и одно из условий, например ЃёJ , то тогда справедливо и второе условие ЃёJ , т.к. .

Общий случай. Область значений функций и , играющих роль аргументов функции, принадлежат промежутку J. Функция строго монотонна на этом промежутке J, который либо принадлежит области определения функции , либо совпадает с ней.

Очевидно, что случаи 1 и 2 являются частными случаями утверждения 3, поэтому докажем только утверждение 3.

Доказательство утверждения 3. Пусть число является решением системы

ЃёJ

ЃёJ . (A)

Это означает, что имеют смысл числовые выражения , каждое из них принадлежит промежутку J и . Покажем, что отсюда следует: .

Пусть функция строго возрастает на промежутке J . Тогда если , то ; если же , то , что противоречит условию . Следовательно, действительно , а т.к. ЃёJ, ЃёJ, то число является решением системы

ЃёJ

ЃёJ. (Б)

Аналогично можно показать, что если функция строго убывает на промежутке J, то число; - решение системы (А) - является решением системы (Б). Сказанное выше означает, что любое решение системы (А) является решением системы (Б).

Если число является решением системы (Б), то это означает, что имеют смысл и принадлежат промежутку J числовые выражения и . Но тогда . Следовательно, получим, что ЃёJ, ЃёJ и , а это означает, что число является решением системы (А). Отсюда следует, что любое решение системы (Б) является решением системы (А).

Таким образом, показано, что системы (А) и (Б) равносильны в случае, если известно, что хотя бы одна из них имеет решение.

Покажем, что если система (А) не имеет решения, то и система (Б) не имеет решения. Предположим противное, т.е. предположим, что система (Б) имеет решение. Но тогда по доказанному выше и система (А) имеет решение, что противоречит условию, что система (А) не имеет решения. Следовательно, наше предположение неверно, а это означает, что система (Б) не имеет решения.

Аналогично можно показать, что если система (Б) не имеет решения, то и система (А) не имеет решения. Следовательно, если не имеет решений хотя бы одна из систем (А) и (Б), то эти системы равносильны. Таким образом, утверждение 3 доказано полностью.

Приведем примеры, использующие утверждение 1.

Пример 1. Решить уравнение (1)

Имеем , .Т.к. функция строго возрастает на ?, то на основании утверждения 1 уравнение (1) равносильно уравнению . (2)

Т.к. функция строго убывает на ?, то на основании утверждения 1 уравнение (2) равносильно уравнению , (3), имеющему два корня =1 и =2003. Уравнение (1), равносильное уравнению (3), имеет те же два корня. Ответ: 1; 2003.

Пример 2. Решить уравнение (4)

Решение. Имеем , и .Область определения функции есть множество ?, функция строго возрастает на ? (как сумма строго возрастающих функций). Поэтому на основании утверждения 1 уравнение (4) равносильно уравнению , (5) имеющему две серии решений =,Ѓё?, и =,Ѓё?. Уравнение (4), равносильное уравнению (5) имеет те же решения

Ответ: =,Ѓё?, и =,Ѓё?.

Рассмотрим примеры на применение утверждения 2.

Пример 3. Решить уравнение (6)

Решение. Имеем . Область определения функции это промежуток [-1,1]. На нем функция строго убывает. Поэтому на основании утверждения 2 уравнение (6) равносильна системе

?1 (7)

Уравнение системы имеет два решения и . Из них двойному неравенству этой системы удовлетворяет только число . Следовательно, система (7) и равносильное ей уравнение (6) имеют то же решение. Ответ: 3.

Разберем пример на применение утверждения 3.

Пример 4. Решить уравнение (8)

Решение. Имеем . Область определения функции есть ?, на ? функция не является строго монотонной. Однако если заметить, что для любого Ѓё? ?0 и ?0, (9) то получим, что уравнение (8) равносильно системе:

(10)

На промежутке J=[0,+ ?) функция строго убывает. Поэтому по утверждению3 система (10) равносильна системе

(11)

Учитывая условия (9), получаем, что система (11) равносильна уравнению , т.е. уравнению , которое имеет серию решений =,Ѓё?.

Следовательно, исходное уравнение (8) имеет те же решения.

Ответ: =,Ѓё?.

Пример 5.

Решить уравнение (12)

Перепишем уравнение (12) в виде (13)

Т.к. для любого Ѓё? и , (14)

то, обозначив , получим, что уравнение (13) равносильно системе (15)

Т.к. область определения функции есть промежуток (0, + ?) и ?= >0 для >1, то функция строго возрастает на промежутке J=[1,+ ?).Поэтому по утверждению3 система (15) равносильна системе

Учитывая, что неравенства (14) выполняются для любого Ѓё?, последняя система равносильна уравнению , имеющему единственный корень =2 . Следовательно, уравнение (12) также имеет единственный корень . Ответ: 2.

Упражнения для самостоятельной работы дома даны в Приложении.

Занятие 9. Решение уравнений вида : следствия из основных утверждений

Цели: рассмотреть следствия из основных утверждений из занятия 8, использующие свойства четности и периодичности функции; закрепить изученный метод в ходе решения уравнений данного вида.

В начале занятия предлагается разобрать примеры 2,5,8,9 из домашнего задания.

Рассмотрим следствия из основных утверждений, доказанных на предыдущем занятии.

Следствие 1. Если функция четная и строго монотонная при > 0, то уравнение

равносильно совокупности уравнений

Замечание. Это утверждение справедливо и в случае, если функция четная и строго монотонная как при положительных значениях функций и ,так и при отрицательных значениях этих функций.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Уравнение имеет вид , причем ,, .Легко заметить, что функция четная. Т.к. ?()=> 0 и > при >0 , то функция является возрастающей при >0. Отсюда следует, что уравнение равносильно совокупности двух уравнений и .

Решим первое уравнение . Т.к. , действительных решений нет.

Решим второе уравнение . Получим = , =. Отсюда имеем, что исходное уравнение имеет два корня = и =.

Следствие 2. Если функция нечетная, то решение уравнения вида сводится к решению уравнения .

Пример 2. Решить уравнение.

Решение. Легко заметить, что уравнение имеет вид , причем , . Очевидно, что функция нечетная. Убедимся, что она строго возрастающая на ?. Пусть . Если , то ясно, что . Если , то . Если же , то и, значит, . Учитывая нечетность функции , получаем, что. Теперь ясно, что по утверждению 1 уравнение эквивалентно уравнению , и, следовательно, уравнение имеет единственное решение .

Следствие 3. Если функция периодическая периода Т и строго монотонная на промежутке длины Т, то уравнение (1) равносильно совокупности уравнений , (2) где Ѓё ?, на области определения функции .

Докажем это утверждение. Пусть - решение уравнения и функция строго монотонна на промежутке с концами и . Подберем целые числа и так, чтобы числа и принадлежали этому промежутку. Поскольку функция строго монотонна на промежутке и , то . Следовательно, - решение совокупности уравнений (2). Учитывая очевидное утверждение, что если - решение совокупности уравнений (2), то - решение уравнения (1), получаем, что совокупность уравнений (2) и уравнение (1) равносильны.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Заметим, что, Рассмотрим функцию, ее область определения ?, где Ѓё ? . Положим, , тогда исходное уравнение запишется в виде . Ясно, что функция нечетная и периодическая с периодом .

Поскольку ?()=( ) ?=> 0, то функция возрастающая на интервале () . Отсюда следует, что уравнение равносильно бесконечной совокупности уравнений , где - произвольное целое число. Выясним, какие из чисел ( решений совокупности) являются решениями исходного уравнения.

Пусть , тогда если =, то. Отсюда .

Пусть , тогда если =, то. Отсюда ,что невозможно.

Следовательно, решениями исходного уравнения являются , где -произвольное целое число, неравное при целом .

Упражнения для самостоятельной работы дома даны в Приложении.

Занятие 10. Разбор наиболее трудных задач для самостоятельной работы и проверочная работа по материалу занятий 7,8 и 9.

Цели: повторить в ходе решения некоторых задач из домашнего задания изученный материал; проверить усвоение применения метода обращения к монотонности функции и метода решения уравнений вида .

В начале занятия предлагается разобрать задачи 4,6 из домашнего задания и несколько задач на темы занятий 7 и 8( на усмотрение учителя). Во второй половине занятия дать проверочную работу. (Решения задач и варианты проверочной работы даны в Приложении).

Занятие 11. Решение уравнения вида и его модификаций

Цели: рассмотреть способы решения уравнений вида , , ; подготовка к зачету.

В начале занятия рекомендуется провести анализ проверочной работы предыдущего занятия.

1. Класс уравнений вида удобен для отработки нестандартных приемов решений. Уравнения такого вида давно присутствуют среди олимпиадных задач. Они интересны тем, что при решении некоторых уравнений данного класса можно воспользоваться свойством непрерывности функции . При решении уравнений указанного вида используется следующее утверждение.

Теорема 1: Если - монотонно возрастающая функция, то уравнения (1) и (2) эквивалентны.

Доказательство То, что уравнение (1) является следствием уравнения (2), очевидно: любой корень (2) удовлетворяет (1). (Если , то ). Докажем, что любой корень уравнения (1) удовлетворяет уравнению (2). Пусть такое, что . Предположим, что , и для определенности . Тогда , что противоречит предположению . Теорема доказана

Пример 1. Решить уравнение

.

Решение. Т.к. , то исходное уравнение принимает вид . Прибавив к обеим частям уравнения , получим, что уравнение равносильно уравнению вида , причем

Функция непрерывна на ?. По теореме исходное уравнение равносильно уравнению , т.е. уравнению илиили . Это квадратное уравнение не имеет решений (D<0), поэтому и исходное уравнение не имеет действительных корней.

2. Обобщением класса уравнений можно считать уравнения вида , где , - некоторые функции. При ?1 данное уравнение примет вид . Для этого класса уравнений справедливо следующее утверждение.

Теорема 2. Если функция возрастающая и , или функция убывающая и на области допустимых значений уравнения , (3)

то уравнения и равносильны на области допустимых значений уравнения (3).

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Область допустимых значений уравнения: ?0. Положив , замечаем, что уравнение имеет вид .

Т.к. функция убывающая на ? (?=) и на области допустимых значений уравнения, то, в силу данной выше теоремы, исходное уравнение равносильно уравнению, т.е. уравнению или . Следовательно, исходное уравнение имеет одно решение .

3. С уравнением тесно связано уравнение вида (4)

где , - некоторые функции и - функция, обратная к функции . Т.к. (?№()) ? , то решения уравнений (4) являются корнями уравнения .

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Область допустимых значений уравнения есть ?.

Перепишем уравнение в виде: (5) и положим . Отсюда легко заметить, что .

Следовательно, в правой части уравнения (5) стоит функция, обратная к функции и, значит, уравнение (5) имеет вид . Поскольку функция возрастающая, то уравнение (5) равносильно уравнению и, значит, уравнению , т.е. уравнению . Т.к. , то исходное уравнение имеет три корня .

4. В заключение изучения уравнений, составленных из функций, являющихся суперпозициями более простых функций, остановимся на уравнениях вида

, (6)

, (7)

где - некоторая функция, - функция, обратная к функции и левая часть уравнений (6) и (7) есть результат действия раз на (- кратная суперпозиция ). Для уравнения (6) справедлива теорема для уравнения . Примеры решения уравнений вида (6) встречаются часто. Ясно, что решение уравнений (7) сводится к решению уравнений вида (6) [48].

Пример 4. Решить уравнение , где возведение в куб

в левой части уравнения повторяется раз.

Решение. Нетрудно заметить, что уравнение имеет вид (…(())…) = ?№(), причем (если , то ). Поскольку функция возрастающая, то уравнение равносильно уравнению и, следовательно, эквивалентно уравнению, т.е. уравнению , т.е. уравнению , т.е. . Легко заметить, что корень этого уравнения, тогда , причем . Отсюда следует, что исходное уравнение имеет одно решение .

Пример 5. Решить систему уравнений:

Решение

Рассмотрим функцию .

Поскольку ?=> 0 при всех Ѓё?, то возрастает. Система имеет вид , т.е. . Согласно теореме удовлетворяет уравнению или .

Ответ: (0,0,0); (-1,-1,-1).

В конце урока можно разобрать несколько задач из разных тем курса (по усмотрению учителя) для повторения пройденного материала. На следующее занятие (зачетное) задается домашняя контрольная работа.

Упражнения для самостоятельной работы дома и варианты контрольной работы даны в Приложении.

Заключение

В дипломной работе разработан факультативный курс по теме “Методы решения нестандартных задач по алгебре” и рассмотрена методика его проведения, что являлось первоначально поставленной целью работы.

В результате анализа большого количества методической, педагогической и психологической литературы дана достаточно полная картина возникновения, становления и развития факультативов по математике. Показано, что появление факультативов обусловлено как потребностью опробования новых разделов школьного курса математики и углубления математических знаний учащихся, так и психологическими особенностями старших подростков, их растущими познавательными интересами. Большое внимание уделено связи изучения математики, и особенно решения задач, с развитием мышления школьников. В работе дается характеристика математических способностей и подчеркнута важность их выявления.

В разработанном факультативном курсе рассмотрены методы решения нестандартных задач, связанные со свойствами функций. На занятиях, посвященных применению векторно-координатного метода для решения алгебраических задач, показана связь алгебры с геометрией. Методы, основанные на использовании свойств ограниченности и монотонности, дают возможность решать множество уравнений, неравенств, систем уравнений необычного вида или требующих нестандартного алгоритма решения.

Приведенные в факультативном курсе приемы решения нестандартных задач базируются на школьном курсе математики, но расширяют возможности школьников , как бы превращая нестандартные приемы в привычные, часто используемые. Факультативный курс рассчитан на учащихся, достаточно хорошо знающих школьный курс и стремящихся к углубленному изучению математики. Разбираемые на занятиях задачи в основном имеют повышенный уровень сложности.

Существенное место занимает описание методики проведения факультативных занятий. Подчеркнута возможность применять на занятиях поисковый и частично поисковый методы организации работы, которые помогают наиболее полному раскрытию математических способностей школьников. Учителю рекомендуется уделять больше внимания самостоятельной работе учащихся, развивая их творческую инициативу.

В помощь учителю в Приложении дипломной работы дано много задач, что позволяет варьировать задания с учетом уровня математической подготовки участников факультатива.

На основании сказанного выше, можно заключить, что разработанный факультативный курс может помочь ученикам углубить свои знания по математике и подготовиться к поступлению в вуз.

Библиография

1. Азиев, И.К. Решение алгебраических задач с помощью скалярного произведения // Математика в школе.-- 2007.-- № 4.-- C. 6-8.

2. Азиев, И.К. Решение систем уравнений с тремя переменными с помощью скалярного произведения // Математика в школе.-- 2006.-- № 6.-- C. 34-37.

3. Башмаков, М.И. и др. Задачи по математике. Алгебра и анализ / М.И. Башмаков, Б.М. Беккер, В.М.Гольховой; Под ред. Д.К. Фадеева. -- М.: Наука, 1982.-- 192 с.

4. Баргунова, Ф.М., Денищева, Л.О. Применение свойств функций к решению уравнений // Математика в школе. -- 1992. -- № 6. -- C. 11.

5. Гайштут, А.Г., Ушаков, Р.П. Сборник задач по математике с примерами решений. -- Киев: А.С.К., 2007. -- 592 с.

6. Гальперин, И.М., Габович, И.Г. Использование векторного неравенства Коши-Буняковского при решении задач по алгебре // Математика в школе.--2010.-- № 2.-- С. 54-57.

7. Гладкий,А.В. Как работать с одаренными детьми // Математика в школе. -- 1993. --№ 2. --C. 9-11.

8. Говоров, В.М. и др. Сборник конкурсных задач по математике. В.М. Говоров, П.Т. Дыбов, Н.В. Мирошин, Смирнова.-- М.: Наука, 1983.-- 384 с.

9. Груденов Я.И. Психолого-дидактические основы методики обучения математике. -- М.: Педагогика,1987. -- 160 с.

10. Гусева, Н.Б., Сычева, Г.В. О чем молчит учебник: Решение уравнений и систем уравнений // Математика в школе.-- 2008. -- № 3. -- C. 20-22.

11. Дорофеев, Г.В. и др. Дифференциация в обучении математике/ Г.В.Дорофеев, Л.В.Кузнецова , С.Б.Суворова С.Б. и др. // Математика в школе. -- 1990. -- № 4. -- С.15-21.

12. Дорофеев, Г.В. и др. Математика. 11кл. Подготовка к письменному экзамену за курс средней школы. Решение задач с методическими комментариями. Г.В. Дорофеев , Г.К. Муравин, Е.А. Седова . -- М.:Дрофа, 2007.-- 352 с.

13. Дорофеев, Г.В. и др. Пособие по математике для поступающих в вузы: избранные вопросы элементарной математики. Г.В. Дорофеев, М.К. Потапов, Н.Х. Розов. -- М.: Наука, 1973. -- 528 с.

14. Егерев, В.К., Мордкович, А.Г. 100 x 4 задач: Серия: 100 задач для поступающих в вузы. -- М: LINKA . PRESS, 1993.-- 262 с.

15. Егоров, А., Раббот, Ж. Иррациональные уравнения // Квант. -- 2007. -- № 5. --С.42-45.

16. Егоров, А., Раббот, Ж. Иррациональные неравенства // Квант.-- 2007.-- № 6.-- С.39-41 17. Егоров, А., Раббот, Ж. Монотонные функции в конкурсных задачах // Квант.-- 2008. -- № 6. -- С. 34-40.

Епишева, О.Б., Крупич, В.И. Учить школьников учиться математике: Кн. для учителя.

М.: Просвещение, 2010. -- 128 с.

19. Задачи повышенной трудности: Учеб. Пособие для 10-11 кл. средней шк./Б.М.Ивлев,

А.М. Абрамов, Ю.П.Дудницын, С.И.Шварцбурд. -- М.: Просвещение, 1990. -- 48 с.

20. Из недавней истории реформы школьного образования // Математика в школе. --1991. --.№ 2 -- C.11.

Колмогоров, А.Н. Математика - наука и профессия / Г.А.Гальперин. --М.:Наука,

1988. -- 228 с.

22. Колмогоров А.Н. Новые программы и вопросы усовершенствования курса математики в средней школе //Математика в школе. --1967. --№ 2. -- C. 12-14.

Колягин,Ю.М.и др. Профильная дифференциация обучения математике/Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова. // Математика в школе. -- 2010. -- № 4. -- С.26-27.

24. Концепция развития школьного математического образования/подготовлена группой математического образования ВНИК “Школьное Гособразование СССР” //Математика в школе. --1990.-- № 1. -- C. 2-13.

25. Крутецкий, В.А. Психология обучения и воспитания школьников. -- М.: Просвещение, 1976. -- 303 с.

26. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. Серия “Психологи отечества”.-- М: изд-во “Институт практической психологии”; Воронеж: изд-во НПО “МОДЭК”,2008. -- 416 с.

27. Литвиненко, В.Н., Мордкович, А.Г. Практикум по элементарной математике; Алгебра. Тригонометрия: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. специальностей пед. институтов. -- М.:Просвещение, 1991.-- 352 с.

28. Маркушевич, А.И. и др. О развитии школьного математического образования в СССР за 60 лет / А.И.Маркушевич, Г.Г.Маслова, Р.С.Черкасов. // Математика в школе. --1977. -- № 5. -- С. 7-12.

29. Методика преподавания математики в школе: Общая методика: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. факультетов пед. институтов / В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, В.Я. Саннинский. --М.:Просвещение, 1980. -- 368 с.

30. О факультативных занятиях в 8-летней школе: обзор статей / И.Б. Юдина. // Математика в школе. --1971. --№ 1. -- С.61-63.

31. Олехник, С.Н. и др. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения: Справочник./ С.Н.Олехник, М.К.Потапов, П.И.Пасиченко. -- М., изд-во Факториал, 2007. --217 с.

32. Панчишкин, А.А., Шавгулидзе, Е.Т. Тригонометрические функции в задачах. -- М.:Наука, 1986. -- 160 с.

33. Педагогика: Учеб. пособие для студентов педвузов и пед. колледжей; Под ред. П.И. Пидкасистого. -- М.: Педагогическое общество России,2007. -- 640 с.

34. Пойа,Д. Обучение через задачи. //В кн.: На путях обновления школьного курса математики /А.И. Маркушевич, Г.Г. Маслова, Р.С. Черкасов.-- М.: Просвещение, 1978. --303 с. -- С. 220-226.

35. Потапов, М.К., Шевкин, А.В. О решении уравнений вида ѓ(б(x))=ѓ(в(x)) // Математика в школе.-- 2007.-- № 8.-- C. 40-43.

36. Потапов, М.К.и др. Конкурсные задачи по математике: Справочное пособие. М.К. Потапов, С.Н. Олехник, Ю.В. Нестеренко Ю.В. --М.: СТОЛЕТИЕ, 2005.-- 594 с.

Психология одаренности детей и подростков: Учеб. пособие для вузов /Ю.Д.Бабаева, Н.С.Лейтес, Т.М. Марютина и др.; Под ред. Н.С.Лейтеса. -- М.:Academia,2006. -- 408 c.

Рыжик, В.И. 25000 уроков математики: Книга для учителя. -- М.: Просвещение, 1993. --240 с.

39. Смирнова, И.М. Профильная модель обучения математике //Математика в школе.-- 1997. -- № 1. -- C. 32-34.

Соболев, С.Л. Преподавание математики в Советском Союзе. // В кн.: На путях обновления школьного курса математики: Пособие для учителей./ А.Н. Маркушевич, Г.Г. Маслова, Р.С.Черкасов.-- М.: Просвещение,1978. -- 303 с. -- С. 100-104.

41. Степанов, И.Д. О методике проведения факультативных занятий //Математика в школе. -- 1969. -- № 5. -- С. 59-60.

42. Факультативный курс “Избранные вопросы математики”:Примерные программы факультативных курсов. //Математика в школе. --1977. -- № 6. -- C. 15-21.

43. Фирсов, В.В., Шварцбурд, С.И. Методы обучения на факультативных занятиях по математике./В кн.:О совершенствовании методов обучения математике: Пособие для учителей./ В.С. Крамор. -- М.:Просвещение,1978. -- 160 с.

44. Фирстова, Н.И. Решение некоторых видов уравнений при помощи неравенств // Математика в школе. --2008. -- № 1. -- C. 29-33.

45. Фридман, Л.М, Турецкий, Е.Н. Как научиться решать задачи: Кн. для учащихся старших классов средней шк. -- М.: Просвещение, 1989. -- 192 с.

46. Халиков, А. Примеры применения скалярного произведения векторов //Математика в школе. -- 1991. -- № 2. -- C. 59-60.

47. Черкасов, O.Ю., Якушев, А.Г. Математика для поступающих в серьезные вузы. -- М.: Московский лицей, 1998, -- 400 с.

48. Чучаев, И.И., Мещерякова, С.И. Уравнения вида f (g(x))=f (h(x)) и нестандартные методы решения. // Математика в школе.-- 2005.-- № 3.-- C. 48-54.

49. Шарыгин, И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач: учеб. пособие для 10 кл. сред. шк. -- М.: Просвещение, 1989. -- 252 с.

50. Шарыгин, И.Ф., Голубев, В.И. Решение задач: Учеб. пособие для 11 кл. общеобразовательных учреждений.-- М., Просвещение,2005. -- 384 с.

http://fmi.asf.ru/library/mpm/index.html

http://www.edu.ru

Приложение

Часть I. Упражнения для самостоятельной работы дома с решениями.

Занятие 1

1. Решить уравнение .

Решение

Метод возведения в квадрат при решении этого уравнения приводит к громоздкому рациональному уравнению 4-ой степени, корни которого найти нелегко.

Заметим, что ?, в то время, как . Следовательно, левая часть исходного уравнения может быть равна правой части, только если обе части одновременно равняются 3. Отсюда находим единственное решение исходного уравнения . Ответ: .

2. Решить уравнение

Решение

Т.к. и , то и ,

отсюда = 1. Левая часть не превосходит 1 и равна 1 только в том случае, когда:

Первое уравнение системы удовлетворяется при и , но при таких второе уравнение также удовлетворяется: если , то , а если , то . Поэтому решениями системы, а вместе с ней и исходного уравнения, будут

или , где Ѓё?.

3. Решить уравнение .

Решение

Раскроем скобки, используя формулу синуса суммы, перепишем исходное уравнение в виде

, отсюда .

Т.к. функции и имеют наибольшее значение, равное 1, то сумма их равна 2, если = 1 и = 1 одновременно, т.е.

Т.к. Ѓё?., то , Ѓё? , и тогда ,Ѓё?. Ответ: ,Ѓё?.

4. Решить уравнение .

Решение. Имеем =; т.к. 0<?,

то 0<=(мы использовали возрастание функции на промежутке (0; ]. С другой стороны, известно, что ? 2, если >0, причем =2 лишь при =1. Это значит, что ? 2, тогда правая часть заданного уравнения больше или равна ? 2=. Итак, левая часть уравнения не превосходит , а правая - не меньше, чем . Мы приходим к системе уравнений:

Из второго уравнения получаем , т.е. . Отсюда имеем . Первое значение не удовлетворяет первому уравнению системы, второе - удовлетворяет. Ответ: .

5. Решить уравнение .

Решение. Положив , рассмотрим заданное уравнение как квадратное относительно : . Решив это уравнение, получим ?,?= ±. Поскольку ? 1, то дискриминант уравнения отрицателен (что нас не устраивает) или равен 0, если = 1 и = 0. Но = 0 при , тогда , что верно при , т.е. ,Ѓё?.. Тогда =±1.Значит, либо , либо , либо

, либо . Из первого равенства находим ; из второго:, что неверно ни при каком целом значении. Итак, = 0, y=2. Ответ: (0;2).

6. Решить уравнение.

Решение. Заметив, что , а , перепишем исходное уравнение в виде . (1)

Нетрудно показать, что ? 2. Для этого достаточно переписать это неравенство в виде ? 2 и воспользоваться известным неравенством ? 2, если > 0.

В то же время . В самом деле, ?, а тогда, в силу убывания функции , ?.

Итак, левая часть уравнения (1) не меньше чем 2, а правая - не больше чем 2, значит, каждая из них равна 2, т.е. приходим к системе уравнений

Из второго уравнения системы получаем . Тогда первое уравнение принимает вид , откуда , Ѓё?. Ответ: , Ѓё?;

7. Решить уравнение .

Решение. Выполним некоторые преобразования (используя формулы двойного угла):

(2).

Положим . Тогда и уравнение (2) принимает вид:

и далее , где 0<.

Т.к. ? 2, а ? 2, то получаем систему:

Решив эту систему, получим решения заданного уравнения: , , Ѓё?

8. Решить уравнение .

Решение. Т.к. > 0 (как область определения логарифмической функции), то ? 2 как сумма взаимообратных положительных чисел и, следовательно, () ? 1. Однако при ? 0 существует тогда и только тогда, когда () ? 1. Поэтому уравнение может иметь решение только при () = 1, но и уравнение примет вид: ? =, отсюда , т.е. . Проверка показывает, что удовлетворяет исходному уравнению. Ответ: 1.

9. Решить уравнение .

Решение. Очевидно, что при всех допустимых значениях имеем

? (использовали формулу ? ).

Оценивая левую часть уравнения. заметим, что она не превосходит 2. Следовательно, если данное уравнение имеет решение, то лишь при тех значениях , когда одновременно имеют решение два уравнения:

= 2

= 1

Из первого уравнения получаем , Ѓё?, но эти значения не удовлетворяют второму уравнению. Следовательно, исходное уравнение не имеет решения.

Занятие 2

1. Решить неравенство ? 1.

Решение. Из неравенства > 0 (область определения логарифмической функции) находим , тогда -1 ?? 1, т.е. 0 ? ? 1.

Наконец, = 1. Кроме того, по смыслу заданного неравенства > 0, иначе левая часть будет отрицательной, что нас не устраивает. Итак, в левой части неравенства - произведение двух неотрицательных выражений, каждое из которых не превосходит 1, но произведение должно быть ? 1. Это возможно лишь в одном случае, когда каждый из множителей равен 1:

=1

,

что выполняется только при . Ответ:

2. Решить неравенство .

Решение. Область определения данного неравенства есть множество всех действительных , кроме = -1. Разобьем область определения на три множества: - ?< < -1,

-1< ? 0, 0<<+? и рассмотрим заданное неравенство на каждом из этих промежутков.

Пусть - ?< < -1. Для каждого из этих имеем < 0, а > 0.

Следовательно, все эти являются решениями неравенства.

Пусть -1< ? 0. Для каждого из этих имеем? 1, а ? 1. Следовательно, ни одно из этих не является решением заданного неравенства.

Пусть 0<<+?. Для каждого из этих имеем < 1, > 1. Следовательно, все эти являются решениями исходного неравенства. Ответ: (-? ; -1) Ѓѕ (0; + ? ) .

3. Решите неравенство > .

Решение. Область определения ? 1. После возведения неравенства в квадрат получаем > , отсюда >. Дальнейшее возведение в степень оказывается нецелесообразным, поэтому попытаемся применить метод оценок. Очевидно, что < при ? 1. Нетрудно также показать, что ? при ? 1 . Таким образом, исходное неравенство не имеет решений, т.к. на всей области допустимых значений выполнено неравенство <. Ответ: решений нет.

4. Решить неравенство ? -2.

Решение. Преобразуем второй сомножитель в левой части неравенства по формуле косинуса двойного угла, получим . Т.к. ? 0 , то ? 2 . Рассмотрим первый сомножитель, выделим полный квадрат ? -1. Оценки, полученные для сомножителей, позволяют заключить, что для их произведения справедливо неравенство ? -2. Это означает, что данное в условии задачи нестрогое неравенство может быть истинным только в том случае, когда оно обращается в равенство,т.е. когда выполнено=-2 или . Вновь пользуясь полученными выше оценками, заключаем, что это равенство равносильно системе двух равенств

Эта система, и, следовательно, исходное неравенство, имеет единственное решение . Ответ: .

5. Решить неравенство: ? .

Решение. Функция определена на отрезке -1? ? 1, учитывая, что > -1 (по свойству логарифмической функции), получаем , ? 0. Но, если

-1 <, то , а функция по определению принимает значения из отрезка [-, ], т.е.. Итак, и.

Значит, левая часть заданного неравенства не превосходит , а потому исходное

неравенство может быть справедливо лишь при условии, что левая часть обращается в . А это, в свою очередь, возможно лишь при одновременном выполнении условий:

.

Из уравнения находим . Тогда из второго уравнения: . Ответ: (0;0).

6. Решить неравенство .

Решение. Т.к. функция определена лишь для Ѓё[-1;1], то ? 1, т.е. ? . Т.к. ? 1, то из предыдущего двойного неравенства следует, что ? 1. На промежутке (-2;1] функция возрастает, значит,

наиб = = 1, т.е. на этом промежутке ? 1, а значит,? 0. В то же время функция по определению принимает значения из отрезка [0; ], т.е. ? 0. Итак, в левой части исходного неравенства содержится сумма двух неотрицательных выражений и . Значит, исходное неравенство может выполняться лишь в случае, когда каждое из указанных выражений обращается в 0:

= 0.

Решая эту систему, получаем:

, Ѓё?

(А).

Последнее уравнение имеет решения лишь при (при других целочисленных значениях правая часть уравнения будет по модулю больше 1). Значит, систему (А) можно переписать в виде:

откуда находим и , Ѓё?.

Ответ: и , Ѓё?.

Занятие 4.

1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

Решение

Рассмотрим два вектора: . Согласно неравенству

имеем, где .

Тогда: .

2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции .

Решение. Перепишем функцию в виде . Рассмотрим векторы . Следовательно,.

Т.к. , то ?13.

3. Доказать, что если , то .

Доказательство. К векторам применим отношение : =

= .

4. Докажем, что ?, если .

И здесь можно распознать скалярное произведение. В самом деле, =?1+?1. Поэтому можем ввести векторы . Далее . И по неравенству Коши-Буняковского имеем 1= =?1+?1?, отсюда?.

5. Доказать, что если , то ? 1.

Решение. Введем векторы. Тогда .

На основании неравенства Коши-Буняковского имеем .Учитывая условие , получаем, что? 1.

6. Найти наибольшее значение функции .

Решение. Рассмотрим векторы: . Имеем . Ясно, что . Согласно неравенству получаем, что . Выясним, достигает ли функция значения 5, т.е. могут ли данные векторы быть сонаправлеными: или . Отсюда . Итак, при векторы сонаправлены и . Следовательно, . Ответ:

Занятие 5.

1. Решить уравнение .

Решение. Перепишем данное уравнение в виде .Рассмотрим векторы , тогда . Скалярное произведение .

В соответствии с неравенством Коши-Буняковского заключаем, что ??. Ответ: уравнение не имеет корней.

2. Решить систему уравнений

Решение

Т.к. решением первых двух уравнений данной системы является только тройка (см. пример 5 занятия 5), то достаточно установить, является ли эта тройка решением третьего уравнения. Проверкой убеждаемся, что эта тройка удовлетворяет и последнему уравнению. Ответ: .

3. Решить систему уравнений

.

Решение

На первый взгляд кажется, что эта система неопределенная ( имеет бесконечное множество решений). В действительности система не имеет решений.

Рассмотрим векторы: .

Тогда и исходная система равносильна системе

С другой стороны, <=, т.е., а это противоречит второму уравнению системы. Ответ: нет решений.

4. Решить систему уравнений

Решение

Рассмотрим векторы . Тогда

. Исходная система равносильна следующей

откуда, учитывая условие , имеем, что = и, значит, .

Подставляя значения и в первое уравнение, получим: или =

При этом =, =. Ответ: , , .

5. Решить систему уравнений

Решение. Перепишем данную систему в виде

.

Введем векторы , тогда .

Если , то . Если же , то векторы коллинеарны и, следовательно, . Два значения для дают две возможности решения системы.

Первая возможность: . Тогда можем записать

- любое.

Значения находим из первого или второго уравнения преобразованной системы, подставив в нее значения . Например, .

Вторая возможность: . Составленные в соответствии с этим условием уравнения не дают решения исходной системы. Итак, получены два решения:

Ответ:

6. Решить систему уравнений

(1)

(2)

(3)

Решение. Нетрудно убедиться, что данная система не имеет решений, в которых хотя бы одна переменная была бы равна нулю. Поэтому, разделив обе части уравнения на , мы получаем систему, равносильную данной.

(1а)

(2)

(3)

Рассмотрим векторы: . Тогда . Из (1а) и (2) следует, что . Таким образом, . На основании соотношения , вытекающего из неравенства Коши-Буняковского, следует, что и, откуда и. Тогда из уравнения (2) имеем: откуда x= ±. При этом .

Из полученных значений составим восемь троек чисел:

Каждая из приведенных троек является решением уравнения (1) и (2) данной системы. Далее нужно установить, какая из них является решением уравнения (3). Проверкой убеждаемся, что только две тройки

удовлетворяют уравнению (3) и потому являются решениями системы. Ответ: .

7. Решить систему уравнений

Решение

Рассмотрим векторы: , . Тогда и , т.е.

Из полученного равенства следует, что векторы сонаправлены, и, учитывая условие , получим , т.е. . Далее легко получаем, что

единственным решением системы является тройка чисел (1,1,1). Ответ: (1,1,1).

8. Решить систему

Решение

Используя формулу , преобразуем первое уравнение системы:

, , , .

Второе уравнение системы оставим без изменения и, наконец, упростим третье уравнение:

,,

, .

Таким образом, получим систему уравнений

,

которая является частным случаем системы из примера 7 (n=1), переменные - , , ). Значит, == 1, откуда , , , Ѓё?. Итак, , гдеЃё?.

Ответ: (),Ѓё?.

Занятие 7.

1. Решить уравнение .

Решение. Функция - возрастающая, а функция - убывающая. Следовательно, уравнение имеет только один корень, который легко найти подбором: , т.е. . Ответ:

2. Решить уравнение .

Решение. Данное уравнение имеет очевидное решение =1. Докажем, что других решений нет. Поделим обе части на , получим . Левая часть представляет собой монотонно убывающую функцию. Следовательно, каждое свое значение она принимает один раз, т.е. данное уравнение имеет единственное решение. Ответ: =1.

3. Решить уравнение .

Решение. Число 1 является корнем данного уравнения. Т.к. в левой части уравнения стоит возрастающая функция, а в правой - убывающая, то других корней оно не имеет. Ответ: 1.

4. Решить уравнение

Решение. Выполнив преобразования, получим . Замечаем, что это уравнение имеет корень . Докажем, что других корней нет. Функция

убывает. Если окажется, что функция возрастает в области определения заданного уравнения, т.е. на луче [5.3;+ ?), то можно сделать вывод о том, что - единственный корень исходного уравнения. Найдем производную функции y:

?=. Если ? 5.3, то ?> 0, т.е. функция возрастает на луче [5.3;+ ?), что и требовалось установить. Итак, - единственный корень исходного уравнения. Ответ: 7.

5. Решить уравнение .

Решение. Замечаем, что - корень уравнения. Но утверждать, что это единственный корень уравнения мы пока не можем, поскольку и функция , и функция

= возрастают в области определения уравнения, т.е. на луче [0.5; ?). Найдем производные функций и и вычислим их в точке

(точке пересечения их графиков). Имеем ? 2=;

Далее Т.к. то графики функций и имеют общую касательную в точке (1;1). Но т.к. функция выпукла вниз, а функция выпукла вверх, то их графики расположены по разные стороны от общей касательной, а потому уравнение = имеет только один корень. Итак, - единственный корень уравнения. Ответ: 1.

6. Решить уравнение

Решение. Очевидно, что не может являться решением данного уравнения.

Для > 0 функция непрерывна и строго возрастает, как произведение двух непрерывных положительных строго возрастающих для этих функций . Значит, в области > 0 функция принимает каждое свое значение ровно в одной точке. Легко видеть, чтоявляется решением исходного уравнения, следовательно, это единственное решение, т.к. в правой части уравнения стоит константа. Ответ: .

7. Решить неравенство .

Решение. Область определения данного неравенства есть всеиз промежутка .

Все из промежутка ??0 являются решениями исходного неравенства, т.к. для каждого такого имеем, что функция = неотрицательна, а функция

= отрицательна.

Рассмотрим исходное неравенство на промежутке (]. Поскольку функция

непрерывна и строго возрастает на этом промежутке, а функция непрерывна и строго убывает, то если уравнение = имеет корень на этом промежутке, то он единственный. Легко видеть, что таким корнем является число .

Для каждого из промежутка (0;1) имеем, что функция = > 1, а

=< 1. Поэтому все из этого промежутка являются решениями исходного неравенства. Для каждого из промежутка (] имеем = < 1 , а

=> 1. Поэтому такие не удовлетворяют данному неравенству. Итак, решениями исходного неравенства являются все из промежутка [).Ответ: [).

8. Решить уравнение .

Решение. Легко проверить, что является корнем данного уравнения. Т.к. функция возрастает на всей своей области определения, а функция убывает, то исходное уравнение других корней не имеет, т.е. - единственное решение исходного уравнения. Ответ: 2.

9. Решить неравенство

Решение. Область определения данного неравенства есть промежуток 0 ?. На области определения функция =является непрерывной и строго возрастающей. Т.к. , то все значения из множества [0;1) удовлетворяют исходному неравенству. Ответ: 0?

10. Решить уравнение .

Решение. Обозначим . Следовательно, исходное уравнение принимает вид . Решая данное уравнение как квадратное относительно

найдем . Возвращаясь к подстановке, получаем два уравнения: и . Второе уравнение легко решается: =. Для решения первого уравнения достаточно заметить, что удовлетворяет уравнению, и т.к. функция, находящаяся в левой части возрастает при > 0, а функция, находящаяся в правой части - убывает, то первое уравнение имеет единственный корень. Ответ: 3,

11. Решить уравнение

Решение. Перепишем данное уравнение в виде Рассмотрим функции и . Функция убывает на промежутке (-?;1] и возрастает на промежутке [1;+?). Функция убывает на промежутке [1;+?) и возрастает на промежутке (-?;1]. Т.к. на промежутке [1;+?) функция возрастает, а функция убывает, то на этом промежутке уравнение=может иметь не более одного корня. Легко проверить, что таким корнем является число = 2. Т.к. на промежутке (-?;1] функция убывает, а функция возрастает, то на этом промежутке уравнение также может =иметь не более одного корня. Итак, исходное уравнение имеет два корня . Ответ: 0; 2.

Занятие 8

1. Решить уравнение (1)

Решение. Имеем , ? ,? .

Т.к. функция строго убывает на ?, то на основании утверждения 1 уравнение (1) равносильно уравнению

= (2)

Имеем =, . Т.к. функция= строго

возрастает на ?, то на основании утверждения 1 уравнение (2) равносильно уравнению

, (3)

имеющему два корня . Уравнение (1), равносильное уравнению (3), имеет те же два корня. Ответ: -2;1.

2. Решить систему уравнений

(4)

Решение. Система (4) равносильна системе

(5)

Имеем,,. Функция имеет область определения ?. Т.к. f ?()=>0 для любого Ѓё?, то функция строго возрастает на ?. Поэтому по утв.1 второе уравнение системы (5) равносильно решению уравнения , имеющему единственный корень . Тогда система (5) имеет единственное решение (3,3). Система (4), равносильная системе (5), имеет то же самое единственное решение. Ответ (3,3).

3. Решить уравнение (6)

Решение. Перепишем уравнение (6) в виде

(7)

Имеем ,,. Функция имеет область определения ?. Т.к. >0 для любого Ѓё?, то функция

строго возрастает на ?.Значит, по утверждению 1 уравнение (7) равносильно уравнению

, (8)

имеющему единственный корень . Уравнение (6), равносильное уравнению (8), имеет тот же корень. Ответ: -0,2.

4. Решить уравнение

(9)

Решение. Имеем = , , .

Область определения функции есть промежуток J=[0, + ). Функция строго возрастает на этом промежутке. Поэтому на основании утверждения 2 уравнение (9) равносильно системе

? 0 (10)

Уравнение системы (10) имеет два решения = -5 и = 1. Из них неравенству системы (10) удовлетворяет только число . Следовательно, система (10) и равносильное ей уравнение (9) имеют единственное решение . Ответ: -5.

5. Решить систему уравнений

(11)

Решение. Система (11) равносильна системе

(12)

Имеем ,, .Функция строго возрастает на своей области существования - промежутке J=(0,+ ?) (как сумма строго возрастающих функций). Поэтому на основании утверждения 2 второе уравнение системы (12) равносильно системе

>0 (13)

Уравнение системы (13) имеет два решения =3, = -4. Из них неравенству системы (13) удовлетворяет лишь . Следовательно, второе уравнение системы (12) имеет единственное решение , но тогда система (12) и равносильная ей система (11) имеют единственное решение (3,3). Ответ: (3,3).

6. Решить уравнение .

Решение. Пусть , , . Тогда уравнение имеет вид . Область определения функции есть ?, но на всем ? эта функция не монотонна. Однако, т.к. f ? => 0 при > -1, то функция возрастает при

> -1 . При этом ?-1, ?0 >-1 при ?0 (область определения уравнения ?0).

Отсюда получаем: функция возрастает на множестве значений и , если из области допустимых значений уравнения, и, значит исходное уравнение эквивалентно уравнению . Полученное уравнение и, следовательно, исходное уравнение имеет одно решение . Ответ: .

7. Решить уравнение .

Решение. Уравнение имеет вид , где ,? 1, , причем -1?? 1.Поскольку f ?()= на отрезке [-1,1], то функция убывает на [-1,1] и, значит, на множестве значений функций и . Отсюда следует, что по утверждению 3 исходное уравнение равносильно уравнению . Решим это уравнение: , отсюда , т.е. , находим =±.Отсюда получаем, что решениями исходного уравнения будут =± , где Ѓё ? . Ответ: ± , где Ѓё ?

8. Решить уравнение .

Решение. Положим , ,, тогда уравнение имеет вид . Область определения функции есть ?, но на всей области определения функция не является строго монотонной. Заметим, что > 1 (?=,min = , отсюда min= > 1 ) при всех Ѓё?, а > 1. Выясним, является ли функция строго монотонной на области значений функций , т.е. при > 1. Т.к. из следует, что , то функция является возрастающей на множестве значений . Поэтому согласно утверждению 3 исходное уравнение равносильно уравнению и, следовательно, имеет два решения =, =. Ответ: ,

9. Решить уравнение .

Решение

Преобразуем уравнение:

,

.

Положим , > 1, > 1 (учитывая область определения уравнения). Докажем, что при > 1 эта функция монотонно убывает . Это можно сделать, например, стандартным образом: найти производную f ?() (, f?()=) и доказать, что при > 1 ?()< 0. Покажем другой способ: = . Получившаяся функция, очевидно, является убывающей (основание растет, под знаком логарифма функция убывает).

Наше уравнение имеет вид: , значит по утверждению 3, . Слева функция возрастающая, справа убывающая, следовательно, решение единственно, оно легко находится подбором: . Ответ: 4.

Занятие 9

1. Решить уравнение .

Решение. Уравнение имеет вид и , , . Ясно, что функция четная на ? и , при всех

Ѓё ? . Легко заметить, что функция строго возрастающая на отрезке [-1,0] и строго убывающая на отрезке [0,1]. Поэтому уравнение равносильно совокупности двух уравнений

,

.

Нетрудно видеть, что если - решение первого уравнения совокупности, то - - корень второго уравнения. Верно и обратное. Поэтому, решим только первое уравнение: , отсюда , т.е. , находим и . Следовательно, получим, что решениями исходного уравнения будут , =± , где Ѓё ?. Ответ: , =± , где Ѓё ?.

2. Решить уравнение .

Решение. Уравнение имеет вид , где , , . Ясно, что функция нечетная. Легко заметить, что , <1 при всех Ѓё ?. Поскольку функция является строго возрастающей на отрезке , то уравнение равносильно уравнению .

После упрощения этого уравнения получим . Решим его: , , , , >0. Отсюда следует, что исходное уравнение имеет один корень . Ответ: -1.

3. Решить уравнение .

Решение. Переписав уравнение в виде , видим, что оно имеет вид , причем , , .

Нетрудно заметить, что функция нечетная и строго возрастающая на ?: f ?() > 0. Поэтому уравнение эквивалентно уравнению . Решив его, получим, что исходное уравнение имеет два решения Ответ:

4. Решить уравнение, где - это дробная часть числа.

Решение. Уравнение имеет вид и , , . Ясно, что является периодической функцией периода 1 и строго возрастающей на полуинтервале [0,1). Поэтому уравнение равносильно совокупности уравнений , где Ѓё ? . Имеем . Положим . Тогда решениями уравнения будут ±, где - произвольное целое число не больше 4. Ответ: ±, где - произвольное целое число не больше 4.

5. Решить уравнение .

Решение. Уравнение имеет вид , причем , , . Область определения функции есть ?,Ѓё ?. Т.к. функция нечетная, периодическая и строго возрастающая на интервале () , то уравнение равносильно совокупности уравнений, , где

Ѓё ? . Решениями этой совокупности, а, следовательно, и исходного уравнения, будут , где Ѓё ?, попадающие в область допустимых значений уравнения.

Ответ: , где Ѓё ?.

6. Решить уравнение .

Решение. Поскольку =, =, то положив , , , уравнение примет вид . Область определения функции есть ?, где Ѓё ? . Ясно, что функция четная и периодическая .

Т.к. f ?()=()?=, то f ?()? 0 как на промежутке [) , так и на промежутке (]. Отсюда следует, что функция на этих промежутках строго возрастает, причем на промежутке [) от 0 до +?, и на (]. от -? до 0 .Из предыдущего следует, что на периоде тогда и только тогда, когда либо = ±, либо = и =, где .

Поэтому исходное уравнение равносильно совокупности уравнений:

= ± ()+,Ѓё ?, (1)

и совокупности систем:

, где Ѓё ? (2)

Решениями совокупности уравнений (1) являются

=1

, =,

где Ѓё ? . Совокупность систем уравнений (2) решений не имеет. Действительно, подставив во второе уравнение системы, и, сократив полученное на ,имеем . Ясно, что это соотношение невозможно при целых и . Убедившись, что решения совокупности уравнений входят в область допустимых значений исходного уравнения, получим, что решениями исходного уравнения являются

=, =,

где Ѓё ? .

7. Решите уравнение .

Решение

Введем в рассмотрение функцию . Тогда исходное уравнение можно представить в виде . Функция является нечетной и монотонно возрастает на всей своей области определения

? (f ? => 0).

Поэтому, согласно следствию 2, исходное уравнение равносильно уравнению , откуда. находим корень исходного уравнения. Ответ:

Занятие 11

1. Решите уравнение .

Решение. Область определения уравнения есть ? 1. Перепишем уравнение в виде .Рассмотрим функцию . Тогда полученное уравнение имеет вид . Введенная функция монотонно возрастает при ? 1. В соответствии с приведенной теоремой переходим к равносильному уравнению ,т.е.

.Решим уравнение:,, = и = < 1. Ответ: .

2. Решить уравнение .

Решение. Уравнение имеет вид , причем . Функция непрерывна на ?. Легко заметить, что уравнение , т.е. уравнение не имеет действительных решений (D<0). Следовательно, по теореме, исходное уравнение не имеет решений. Ответ: решений нет.

3. Решить уравнение (1+ (1+ … +… )І= , где возведение в квадрат левой части уравнения повторяется раз.

Решение. Уравнение имеет вид (13) и . (Если , то ) Поэтому его решение сводится к решению уравнения . Поскольку функция непрерывная и уравнение =, т.е. уравнение не имеет решений, то уравнение и, значит, исходное уравнение не имеет корней. Ответ: корней нет.

Часть 2. Дополнительные упражнения

К занятиям 1 и 2.

1. Решить уравнение . Ответ: 0.

2. Решить уравнение. Ответ: нет решений.

3. Решите уравнение . Ответ:

4. Решить уравнение . Ответ:

5. Решить уравнение . Ответ: нет решений.

6. Решить уравнение . Ответ: 1,5.

7. Решить уравнение . Ответ: 1; -1.

8. Решить уравнение . Ответ: нет решений.

9. Решить уравнение . нет решений.

10. Решить уравнение . Ответ:

11. Решить уравнение: . Ответ: 0.

12. Решить уравнение . Ответ: 2.

13. Решите уравнение . Ответ: .

14. Решить уравнение . Ответ: 0.

15. Решить уравнение . Ответ: 1.

16. Решить уравнение . Ответ: , Ѓё?, .

17. Решить уравнение . Ответ: , где Ѓё?.

18. Решить уравнение . Ответ: , Ѓё?.

19. Решить уравнение . Ответ: ,,,Ѓё?.

20. Решите уравнение. . Ответ: .

21. Найти все пары чисел , удовлетворяющие уравнению

22. Решить уравнение . Ответ: , Ѓё?.

23. Решить уравнение . Ответ: , Ѓё?.

24. Решить уравнение . Ответ: -2.

25. Решить уравнение . Ответ: нет решений.

26. Решить уравнение . Ответ: , Ѓё?.

27. Решить неравенство . Ответ: нет решений.

28. Решить неравенство ?. Ответ: 0.

29. Решить неравенство Ответ:

30. Решить неравенство Ответ:

31. Решить неравенство . Ответ:

32. Решить неравенство Ответ:

33. Решить неравенство Ответ:

Решить неравенство Ответ: .

К занятиям 4 и 5.

1. Для любых действительных доказать неравенство .

2. Для любых действительных доказать неравенство ?.

3. Для любых действительных доказать неравенство? .

4. Доказать, что , если .

5. Доказать, что , если .

6. Доказать неравенство > .

7. Найти наибольшее значение функции . Ответ: .

8. Найти наибольшее значение функции . Ответ: .

Доказать, что если , то .

10. Доказать, что при ? 0.

11. Доказать, что

12. Доказать, что при ? 0.

13. Доказать, что , где - действительные числа.

14. Показать, что неравенство выполняется при любых действительных значениях .

15. Доказать неравенство .

20. Решить систему уравнений:

. Ответ: нет решений.

21. Решить систему уравнений

Ответ: (0,0,0),(1,1,1).

22.Решите систему уравнений

Ответ: и .

К занятию 7.

Решить уравнение Ответ: 1.

Решить уравнение Ответ: 7.

Решить уравнение Ответ: 4 .

Решить неравенство . Ответ:

Решить неравенство Ответ:

Решить уравнение Ответ: 2.

Решить неравенство Ответ:

Решить неравенство Ответ:

Решить неравенство Ответ:

Решить уравнение Ответ: 1.

Решить уравнение Ответ: 10.

Решить уравнение Ответ: 3.

Решить неравенство Ответ: .

Решить уравнение Ответ: 1.

Решить уравнение Ответ: 4.

К занятиям 8, 9,11.

1. Решить уравнение . Ответ: ,Ѓё? .

2. Решить уравнение . Ответ: ,.

3. Решить уравнение . Ответ: ,.

4. Решить уравнение . Ответ: , .

5. Решить уравнение Ответ:

6. Решить уравнение

Ответ:

7. Решить уравнение

Ответ:

8. Решить уравнение Ответ:

9. Решить уравнение Ответ: 9

10. Решить уравнение

Ответ: ; .

11. Решить уравнение Ответ:

12. Решить уравнение Ответ:

Часть 3. Варианты проверочных и зачетной работ.

К занятию 3. Проверочная работа № 1.

Вариант 1.

1. Решить уравнение . Ответ: 1,5.

2. Решить уравнение . Ответ: 0.

3. Решить неравенство . Ответ: .

Вариант 2.

1. Решить уравнение . Ответ: нет решений.

2. Решить уравнение . Ответ: 1.

3. Решить неравенство Ответ: .

К занятию 6. Проверочная работа № 2.

Вариант 1.

1. Доказать, что , если .

2. Найти наибольшее значение функции . Ответ: .

3. Решить систему уравнений

Ответ: нет решений.

Вариант 2

1. Доказать, что если , то .

2. Найти наибольшее значение функции . Ответ: .

3. Решить систему уравнений:

. Ответ: нет решений.

К занятию 10. Проверочная работа № 3.

Вариант 1.

1. Решить уравнение Ответ: 7.

2. Решить уравнение . Ответ: , .

3. Решить уравнение . Ответ:

Вариант 2.

1. Решить уравнение Ответ: 1.

2. Решить уравнение Ответ:

3. Решить уравнение Ответ:

Домашняя контрольная работа.

Вариант 1.

1. Решить неравенство Ответ:

2. Доказать неравенство > .

3. Решить систему уравнений

Ответ: (2;2;2).

4. Решить неравенство Ответ:

5. Решить уравнение . Ответ: , .

6. Решить систему уравнений Ответ:

Вариант 2.

1. Решить неравенство Ответ: .

2. Доказать неравенство .

3. Решить систему уравнений

Ответ: (0,0,0),(1,1,1).

4. Решить неравенство Ответ:

5. Решить уравнение Ответ: 9

6. Решить систему уравнений . Ответ: