Методика проведения занятий кружка на тему "Шифры и шифрование" для учащихся 5-6 классов

Методика проведения занятий кружка на тему «Шифры и шифрование» для учащихся 5-6 классов

Оглавление

Введение

Глава 1. Психолого-педагогические основы организации внеклассной работы по математике с учащимися 5-6 классов

§1. История и основные формы внеклассной работы по математике

§2. Возрастные особенности учащихся 5-6 классов

§3. Организация занятий кружка при обучении математике

§4. Развитие познавательного интереса к обучению на занятиях математических кружков

Выводы к первой главе

Глава 2. Проведение занятий кружка на тему «Шифры и шифрование» для учащихся 5-6 классов

§1. Пояснительная записка и программа кружка на тему «Шифры и шифрование»

§2. Содержание занятий кружка на тему «Шифры и шифрование»

§3. Опытная проверка

Выводы ко второй главе

Заключение

Библиографический список

Введение

Актуальность исследования. В настоящее время в документах Министерства образования и науки Российской Федерации, касающихся общеобразовательной школы, задан курс на повышение математической грамотности учащихся. Ведь высокий уровень естественно-научного образования, и математического, в частности, является одним из важных факторов научно-технического прогресса и социально-экономического развития страны. Эта позиция нашла отражение в Концепции развития математического образования в РФ [24]. Основной задачей этой концепции является вывод российского математического образования на лидирующие позиции в мире. Основы успешности выполнения этой сложной задачи закладываются в школе. В частности, и среди школьников 5-6 классов, так как именно в этом возрасте формируются основы научных знаний, которые необходимы учащимся для успешной жизни в современном обществе. По мнению авторов концепции, математическое образование должно обеспечивать каждого учащегося развивающей интеллектуальной деятельностью на доступном уровне, используя присущую математике красоту и увлекательность. Общие требования к математическому образованию школьников, сформулированные в концепции, также реализованы и в требованиях ФГОС ООО [51].

Согласно ФГОС ООО [51], основная образовательная программа реализуется образовательным учреждением как на уроках, так и во внеурочное время. Внеурочная деятельность организуется в различных формах. В последнее время снова становится востребованной и такая форма, как кружки.

В соответствии с действующим федеральным законом «Об образовании в Российской Федерации» [52], в настоящее время учащимся должен предоставляться выбор факультативных учебных предметов, курсов, дисциплин (модулей), содержание которых не только расширяет и углубляет базовые дисциплины, но и повышает интерес к наукам. В частности, это могут быть и занятия кружка.

Система дополнительного образования, включающая математические кружки, является важнейшей частью российской традиции математического образования. Такие занятия служат не только для углубления и расширения знаний учащихся, но, в первую очередь, для повышения мотивации школьников к изучению математики.

Для учащихся кружки представляют особый интерес, так как они помогают получить новые знания об окружающем мире, определиться с выбором будущей профессии. Тематика занятий также может способствовать пониманию и математики, и смежных наук (информатика, литература и др.). С большим интересом учащиеся относятся к кружкам по криптографии, так как эта тема отражена в художественной литературе и имеет практическое применение в жизни.

В последние годы было разработано значительное количество кружков по криптографии для школьников, в высших учебных заведениях изучается и такой предмет. Многие из них разработаны для школьников 8-9-х или 10-11- х классов. Есть кружки по этой тематике и для учащихся 5-6 классов. Представляется интересным для школьников, только начинающим изучать математику в основной школе, продемонстрировать ее возможности и поддержать познавательный интерес. Поэтому актуальным является проведение подобного кружка именно для учащихся 5-6-х классов, который будет содержать базовые знания по криптографии и будет направлен на поддержание интереса к математике, развитие познавательных способностей. Важный вклад в развитие школьного математического образования сделали Н.Я. Виленкин [34, 33], И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович [31, 32], Н.Б.

Истомина [36, 35], Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон [15, 16, 17] являющиеся авторами учебников математики для 5-6-х классов, а также А.Ю. Зубов [21], В.В. Ященко [11], М.Е. Козина [23], разработавшие содержания обучающих курсов, которые послужили основой для разработки занятий кружка. В работах И.М. Смирновой [42] представлены методические и учебные материалы для организации внеурочной деятельности школьников.

В данной работе представлены занятия кружка на тему «Шифры и шифрование» для учащихся 5-6 классов, направленные на повышение интереса к математике у школьников.

Проблема исследования состоит в разработке методики проведения занятий кружка на тему «Шифры и шифрование» для учащихся 5-6 классов.

Объектом исследования является процесс обучения математике учащихся 5-6 классов.

Предметом исследования является процесс обучения математике учащихся 5-6 классов на занятиях кружка.

Целью исследования является разработка занятий кружка на тему

«Шифры и шифрование» для учащихся 5-6 классов, способствующих повышению интереса к математике.

Гипотеза исследования заключается в том, что занятия кружка будут способствовать углублению и расширению знаний базового курса математики 5-6 классов.

Реализация поставленной цели потребовала решения ряда задач:

1. Рассмотреть требования к содержанию и разработке внеклассных занятий (кружков) для учащихся 5-6 классов.

2. Изучить возрастные особенности школьников в 5-6 классах.

3. Изучить психолого-педагогические особенности школьников и методические особенности преподавания математики в 5-6 классах.

4. Проанализировать развитие познавательного интереса к обучению на занятиях математического кружка.

5. Разработать содержание кружка на тему «Шифры и шифрование» для учащихся 5-6 классов.

6. Разработать методические рекомендации по организации и проведению кружка на тему «Шифры и шифрование» для учащихся 5-6 классов.

7. Провести опытную проверку разработанных учебных материалов.

Решение поставленных задач потребовало привлечения следующих

методов исследования:

1. Анализ нормативных документов, относящихся к основному общему образованию.

2. Анализ психолого-педагогической, математической и методической литературы.

3. Наблюдение за работой учителей, учебной деятельностью учащихся, беседа с ними.

4. Опытное преподавание.

Практическая значимость данного исследования заключается в том, что в нем отобраны и апробированы учебные материалы кружка на тему

«Шифры и шифрование» для учащихся 5-6 классов, представлены занятия этого кружка.

Выпускная квалификационная работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы.

Во введении обоснована актуальность исследования, даны его основные характеристики.

В главе I «Психолого-педагогические основы организации внеклассной работы по математике с учащимися 5-6 классов» рассмотрена история и основные формы внеклассной работы по математике, проведен анализ нормативных документов, относящихся к основному общему образованию, изучены методические требования, предъявляемые к организации кружка, рассмотрены возрастные особенности учащихся 5-6 классов, проанализирована методическая литература по формированию познавательного интереса к обучению на занятиях математических кружков, а также методы обучения и формы проведения занятий кружка.

В главе II «Проведение занятий кружка на тему «Шифры и шифрование» для учащихся 5-6 классов» приведен анализ учебников по математике 5-6 классов; представлены тематическое планирование, пояснительная записка и методические рекомендации к проведению кружка на тему «Шифры и шифрование» для учащихся 5-6 классов, подобраны практические материалы для занятий, описаны результаты опытной проверки.

В заключении приведены основные результаты проведенного исследования, сделаны выводы.

Библиографический список содержит 56 наименований.

Глава 1. Психолого-педагогические основы организации внеклассной работы по математике с учащимися 5-6 классов

§1. История и основные формы внеклассной работы по математике

В Концепции развития математического образования в РФ говорится, что «система дополнительного образования, включающая математические кружки и соревнования, является важнейшей частью российской традиции математического образования и должна быть обеспечена государственной поддержкой». [6, ч. 4, п. 5]

В работе Фаркова А.В. внеклассная работа по математике определена как необязательные систематические занятия учащихся с учителем во внеурочное время. Внеклассная работа играет значительную роль в учебно- воспитательном процессе, который осуществляется школой и учителем. [22, с. 5]

В теории и методике обучения математике отличают следующие типы внеурочной деятельности в школе. [49, с. 5]

1. Внеклассная работа с учащимися, которые не полностью усвоили материал программы (дополнительные занятия после урочного времени). Главная цель такой работы - это вовремя искоренить (и предварить) пробелы в знаниях и умениях школьников по курсу математики.

2. Дополнительная работа с наиболее способными к математике учащимися, а также проявляющими к ней повышенный интерес. Второй тип и есть традиционное понимание термина внеклассной работы.

Внеклассная работа осуществляется в различных видах и формах.

Условно выделяют три основных вида внеклассной работы. [49, с. 7]

1. Индивидуальная работа - работа с учащимися с целью руководства внеклассным чтением по математике, подготовкой докладов, рефератов, математических сочинений, изготовлением моделей; подготовка некоторых учащихся к участию в городской (районной) или областной олимпиаде.

2. Групповая работа - систематическая работа, проводимая с достаточно постоянным коллективом учащихся. К ней можно отнести факультативы, кружки, спецкурсы, курсы по выбору.

3. Массовая работа - эпизодическая работа, проводимая с большим детским коллективом. К данному виду относятся математические вечера, научно-практические конференции, недели математики, олимпиады, конкурсы, соревнования и т. п. [49, с. 7-8]

Выделяют следующие наиболее важные задачи внеклассной деятельности на современном этапе развития школы:

· формирование интереса учащихся к приложениям математики и самой науки в целом;

· развитие у школьников знаний по программному материалу как с точки зрения их глубины, так и с точки зрения их распространенности;

· выявление у учащихся способностей к математике и особого математического склада ума;

· обучение школьников самостоятельно работать с учебной и научно-популярной литературой;

· формирование наиболее деятельной части коллектива, которая будет помогать учителю математики эффективно организовывать процесс обучения всего класса;

· формирование знаний учащихся о практическом значении математики в технике, экономике;

· внедрение индивидуализации и дифференциации обучения;

· всестороннее развитие личности школьника. [50, с. 30]

Выделяют три основных уровня взаимодействия урочных и внеурочных занятий: низкий, средний и высокий. Для низкого уровня взаимодействия урочных и внеурочных занятий характерно отсутствие целенаправленной связи, она существует самопроизвольно. И ученик, и учитель используют результаты разных видов деятельности. Например, учащиеся используют на внеурочных занятиях знания, умения и навыки, полученные на урочных занятиях. В то же время на урочных занятиях учитель использует дополнительный материал, изученный учащимися на внеурочных. Для среднего уровня характерна односторонняя направленность связи или урочных и внеурочных, или внеурочных и урочных, например, изготовление наглядных пособий для последующего использования на уроках. Для высокого уровня характерно целенаправленное двустороннее взаимодействие урочных и внеурочных занятий, при этом осуществляется эффективное комплексное использование всех видов связей: информационных, вещественных, связей развития личности. [22, с. 17]

Рассмотрим основные формы проведения внеклассной работы, которые были реализованы в разные периоды развития школьного математического образования.

Факультативы . Слово «факультативный» означает «необязательный», предоставленный собственному выбору. [49, с. 12]

Факультативные занятия -- одна из форм дифференцированного обучения школьников. 10 ноября 1966 г. было опубликовано правительственное постановление «О мерах дальнейшего улучшения работы средней общеобразовательной школы», в котором было выявлено несоответствие школьного уровня учебно-воспитательной работы от требований практики. В результате были спланированы меры по устранению этого несоответствия, среди которых были конструктивно новые и важные для образования формы обучения. Одной из них явились факультативы. В постановлении говорилось, что они создаются «для углубления знаний по физико-математическим, естественным и гуманитарным наукам, а также для развития разносторонних интересов и способностей учащихся». Строго говоря, факультативы были характеризованы, как форма дифференциации обучения, учитывающей индивидуальные особенности учащихся. [42, с. 84]

Еще в XIX в. П. Ф. Каптерев в своей книге «О разнообразии и единстве общеобразовательных курсов» в 1893 г. использовал термин «факультативные предметы» для того, чтобы назвать углубленные учебные курсы, читаемые в старших классах. [42, с. 84]

Однако к моменту публикации постановления, отечественной школой уже была проделана немаловажная работа по внедрению таких форм дифференцированного обучения, как классы с углубленным изучением различных предметов и специализированные школы. Из-за своей доступности и массовости факультативные занятия прекрасно дополняли обозначенные выше формы обучения и могли вводиться практически в каждой школе. Учитывая интересы учеников и опираясь на примерные программы факультативных курсов, учитель мог создать свой собственный курс. [42, с. 85]

В то же время, не смотря на принципиальные отличия факультативных и урочных занятий, они все же имеют общие черты: постоянное расписание и неизменный состав учащихся; утвержденная программа и учебные пособия. Тем не менее отличительными особенностями факультативов являются необязательность оценивания, свобода выбора учеником занятия и возможности выхода из него в конце полугодия, если школьник потерял интерес, добровольность в выполнении домашних заданий и др. Более того, в факультативные группы записываются ученики, проявляющие наибольший интерес к математике, желающие обладать более глубокими знаниями по предмету. [43, с. 50]

Математические кружки . В начале XX века в передовых учебных заведениях начинает появляться такая форма дополнительного математического образования как математический кружок. [29, с. 17-18]

Математический кружок - это самодеятельное объединение учащихся под руководством педагога, в рамках которого проводятся систематические занятия с учащимися во внеурочное время. [50, с. 37]

Одними из первых математический кружок в 1905 году организовали преподаватели и ученики Оренбургского реального училища. Педагоги ставили перед кружком следующие методические цели: пробуждение интереса в учениках к физико-математическим и естественным наукам, развитие любознательности и желания вести научно-исследовательскую деятельность. На занятиях кружка учащиеся делали сообщения по отдельным темам, готовили рефераты, решали задачи. В дополнение с 1906 по 1913 гг., кружковцами издавался ученический журнал «Записки математического кружка при Оренбургском реальном училище. [29, с. 18]

За изменением в государственном устройстве в начале ХХ века последовали изменения системы образования. 16 октября 1918 г. было опубликовано «Положение о единой трудовой школе РСФСР», которое предусматривало:

· ликвидацию классно-урочной системы;

· отказ от стабильных программ и учебников;

· отмену всех экзаменов и обязательных домашних заданий;

· исключение наказаний учащихся;

· создание школ-коммун с усиленным общественным воспитанием. [29, с. 18]

Такие опрометчивые нововведения в школьное образование оказали негативное воздействие на математическую подготовку выпускников. [29, с. 19] И только в 30-е годы, осознав ошибки в реформировании системы образования, ЦК ВКП(б) публикует постановление «О начальной и средней школе», в котором говорится о восстановлении предметного преподавания основ наук и введении стабильных программ по предметам (в том числе и по математике) и др. И именно это время является расцветом дополнительного математического образования в школе. [29, с. 19]

Основой кружковой работы являлся, как и сейчас, принцип добровольности. Организация кружков происходит как для преуспевающих учащихся, так и для всех желающих. Так кружки могут делиться на секции (если много желающих заниматься математикой вне уроков); на уровни: для более сильных учащихся и для остальных учащихся. В кружок могут объединиться как учащиеся одного класса, так и параллельных классов, либо учащиеся двух-трех классов (5 - 6 или 7 - 9). [50, с. 37-38]

Математические экскурсии . Математические экскурсии - исключительно интересная, но сравнительно редко применяемая форма внеурочных занятий. Наиболее частой темой экскурсии является ознакомление с геодезическими работами на местности. Есть экскурсии, затрагивающие и другие практические приложения математики. Они помогают ученикам понять, как математика, изученная в школе, применяется на практике. Во время проведения подобных мероприятий учащиеся узнают, например, как известные им формулы площадей, объемов, длин и других геометрических величин используются в жизни. Если экскурсия подготовлена хорошо, то ученики понимают, что математика просто необходима для понимания мироустройства и преобразования окружающего пространства. А это в свою очередь способствует повышению у школьников значимости математических знаний, а значит, и интереса к изучению математики. [15, с. 80]

Олимпиады. Школьные математические олимпиады являются массовыми соревнованиями, которые организуются несколько раз в год и имеют целью повышение интереса к математике у учащихся, расширение их кругозора, а также выявление наиболее способных школьников. Кроме того, олимпиады являются своеобразным подведением итогов работы математических кружков или других внеурочных занятий, помогают повысить общий уровень преподавания математики в средних и старших классах. [54, с. 156]

Еще с 1886 года начинают проводиться первые конкурсы по решению задач в России. А регулярные математические олимпиады организуются ежегодно в Москве и в Ленинграде начиная с 30-х годов ХХ века (за исключением военных лет). Самым первым подобным соревнованием сначала всероссийского масштаба, а позже и всесоюзного стала Первая Всероссийская (в 1961, а с 1967 г. Всесоюзная) олимпиада. На этой основе появлялись и становились очень популярными школьные, районные и городские олимпиады. Главными целями олимпиад были: заинтересованность школьников в занятиях математикой, выявления среди них наиболее способных и раскрытие основных проблем математической науки того времени. [29, с. 27]

Для того, чтобы олимпиада прошла успешно, должны быть выполнены следующие условия: 1) регулярное проведение внеклассной работы по математике; 2) планомерная организация олимпиад; 3) серьезная, конструктивная подготовительная работа перед проведением всякой олимпиады; 4) хорошая организация проведения соревнований; 5) занимательное математическое содержание олимпиад. [8, с. 6]

Предметные недели (Недели математики) . Тематические предметные недели способствуют развитию личностных качеств учащихся, сближают учителя и ученика. В рамках недели математики подготавливаются, организуются и проводятся следующие мероприятия: интеллектуальные игры, эстафеты, соревнования, викторины, выпускаются стенгазеты, учащиеся готовят творческие задания и др. [9, с.5]

Курсы по выбору. Курсы по выбору считаются преемниками факультативных курсов. Ранее, в период реализации концепции профильного обучения. [10, с 1] существовали элективные курсы - это необязательные курсы по выбору учащегося. Такие курсы опробованы в современной образовательной практике в рамках профильного обучения в 10-11-х классах. Курсы по выбору реализовывались в предпрофильной подготовке учащихся в 9-х классах. В настоящее время такие дополнительные занятия носят единое название - курсы по выбору. [10, с. 1]

Большинство авторов выделяет три основных типа курсов по выбору: предметные, межпредметные и ориентационные. Предметные курсы построены на материале одного учебного предмета, межпредметные - на учебном содержании 2-3 предметов, ориентационные призваны сориентировать ученика в мире профессий, помочь ему ответить на вопросы:

«Какой я? Что я хочу? Что я могу?». [10, с 5]

Математические вечер а . Математический вечер - одна из наиболее массовых форм внеклассной работы. [13, с. 34]

Программа вечера должна быть построена так, чтобы все участники вечера были вовлечены в активную познавательную деятельность. Проведение вечера с некоторой долей торжественности и праздничности поможет привлечь на него, а также пробудить интерес, даже самых неактивных учащихся, усиливая таким образом «математическую атмосферу» в школе. [13, с. 34]

В работе Л. Федоровича выделены два вида проведения математических вечеров в школе: 1) вечера занимательной математики, 2) тематические вечера, посвященные великим математикам. [53, с. 49]

Иногда вечер организует специально выделенная группа учащихся, но, как правило, этим занимается математический кружок. Все участники вечера заблаговременно получают индивидуальное задание. [53, с. 49]

При правильном проведении математические вечера становятся одной из самых интересных и любимых учениками форм работы. Однако данная форма работы должна быть еще и результативной, а для этого необходимо аккуратно выбирать тематики проведения вечеров и проводить подготовительную работу с учащимися. [19, с. 151]

Требования к тематике математических вечеров:

1. Тема должна побуждать познавательный интерес учащихся, вызывая необходимость знакомства с занимательной, научно-популярной и дополнительной учебной литературой, повышать осознание учащимися прикладной и научно-практической направленности математики.

2. Материал, изложенный во время вечера должен быть доступен, нагляден и излагаться популярно. Также учебный материал должен восприниматься учащимися легко и не требовать дополнительных знаний, выходящих за рамками программы.

3. Тема должна быть перспективной. Это означает, что учащиеся должны увидеть ее применение на практике или при изучении математики на уроке. Можно организовывать и цикл математических вечеров по одной теме. [19, с. 151]

Основная функция внеклассной работы -- углубление и расширение знаний учащихся по математике, повышение интереса к предмету. Выше представлены формы внеклассной работы: факультативы, математические кружки, математические экскурсии, олимпиады, предметные недели, курсы по выбору, математические вечера. На данный момент наиболее популярными среди учителей формами являются математические кружки, олимпиады, предметные недели и курсы по выбору.

§2. Возрастные особенности учащихся 5-6 классов

Учитель в своей профессиональной деятельности должен учитывать возрастные особенности учащихся. Выделяют периоды школьного возраста. Это младший школьный возраст или возраст начальной школы (7--10, 11 лет), средний школьный возраст или подростковый (10, 11 лет-- 15 лет, возраст IV--VIII классов), старший школьный возраст, или возраст ранней юности (15--17 лет, возраст IХ--Х классов). [24, с. 38]

Вслед за А.Г. Асмоловым рассмотрим особенности подросткового периода, который имеет особое место в цикле детского развития. [23, с. 12] Именно на эту возрастную группу школьников ориентированы занятия предлагаемого нами кружка.

Как правило, подростковый возраст определяется границами от 11 до 14- 15 лет. Но в зависимости от того, насколько быстро развивается ребенок, эти границы могут расшириться. [23, с. 12] Возраст подростка характеризуется как переходный, трудный или критический. Эти особенности проявляются в постановке элементов взрослости в физическом, социальном, умственном, эмоционально-личностном развитии подростка. [23, с. 12]

Действительно, на подростковый период приходятся сложные физиологические и психические процессы: перестройка организма, развитие самосознания, переход к новому виду отношений со взрослыми и сверстниками, расширение круга интересов, умственное развитие и становление морально-этических инстанций, за которыми следуют изменения в поведении, деятельности и взаимоотношениях. [23, с. 12]

Данный период, как переходный, проявляется в одновременном существовании признаков детскости и взрослости. Определение подросткового периода как трудного, критического обусловлена активным и неравномерным характером развития, появлением у подростка значительных субъективных трудностей и переживаний, а у взрослых - трудностей в его воспитании (непослушание, сопротивление, протест, упрямство, грубость, замкнутость, скрытность). [23, с. 12 -- 13]

Половое созревание влияет на возникновение чувства взрослости лишь косвенно: если подросток не придает особого значения этому чувству, то оно становится менее выраженным. Исследователи выделяют следующие характерные черты взрослости у подростков:

· социоморальная взрослость - участие в заботе о семье, близость и дружеские отношения со взрослым, автономия и готовность к отстаиванию своих морально-этических убеждений и принципов, поступков и взглядов;

· взрослость в интеллектуальной деятельности - элементы самообразования, интеллектуальные увлечения и ценности;

· внешняя взрослость - романтические отношения со сверстниками, характер развлечений, взрослость во внешнем облике и манере поведения. [23, с. 15]

Чувствуя себя более взрослым, подросток предъявляет требования к старшему поколению - хочет, чтобы к нему относились как к равному. Он стремится к самостоятельности и автономии, имеет свои особенности поведения. [23, с. 15]

Претензии подростка на новые права прежде всего распространяются на сферу его взаимоотношений с близкими взрослыми. У подростка появляется обостренное чувство собственного достоинства: он осознает себя человеком, которого нельзя подавлять, унижать. Он претендует на уважение своей личности и равноправие со взрослыми. [23, с. 16]

Взаимоотношения подростков - как личные, так и межгрупповые - в основном возникают независимо от отношений со взрослыми и даже вопреки их желанию и влиянию. Если в младших классах положение в коллективе зависит в основном от успеваемости и поведения, то для подростков наиболее важными становятся другие достоинства - личные качества друга, сообразительность, смелость, оригинальность и др. [23, с. 18]

Средний школьный возраст характеризуется объективными изменениями условий жизни ребенка: увеличивается число учебных предметов, которые усваивает ученик; появляется несколько учителей, предъявляющих порой разные требования к учебной деятельности школьников; усложняется материал школьных программ, требующий новых уровней учебной деятельности; расширяются виды внеклассных и внешкольных занятий; ученик включается в новые социальные контакты как внутри класса, так и вне школы. [24, с. 44]

В основной школе учащиеся начинают овладевать высшими формами мыслительной деятельности - теоретическим, формальным, рефлексивными мышлением. Выражается это в появлении у подростка способности рассуждать гипотетико-дедуктивным способом, т.е. на основе общих посылок, абстрактно-логически. Основой данного рассуждения становятся высказывания, а процесс решения интеллектуальных задач опирается на предварительное мысленное построение различных предположений и их последующую проверку. [23, с. 20]

Другая отличительная особенность этого уровня мышления - рефлексия - способность делать предметом внимания, анализа и оценки собственные интеллектуальные операции. Подросток осознает интеллектуальные операции, проводимые им, и управляет ими. Контролируемыми и подвластными ему изменениям становятся речь, внимание и память. [23, с. 20 - 21]

С точки зрения математики, память подростков по-разному проявляется по отношению к различным элементам математических систем (решению математических задач). Она носит обобщенный и «срочный» характер. Быстро запоминаются и прочно сохраняются типы задач и обобщенные способы их решения, схемы рассуждений, доказательств. Конкретные данные запоминаются хорошо, но в основном лишь на срок решения задач, после чего быстро забываются. Лишние, ненужные данные запоминаются плохо. Запоминается не вся математическая информация, а преимущественно та, которая «очищена» от конкретных значений. [25, с. 373]

Интеллектуализация затрагивает такой процесс, как восприятие: нахождение и выделение значимых, существенных связей и причинно- следственных зависимостей при работе с наглядным материалом. [23, с. 21]

Для подростков также характерно обобщение. У наиболее способных учащихся среднего школьного возраста обобщение наступает сразу путем анализа одного отдельно взятого явления в ряду сходных явлений, как способность усмотреть еще неизвестное общее в единичном. Также способным подросткам присуще обобщенное решение задач (тенденция решать каждую конкретную задачу в общей форме). Такие ученики без затруднений переходят к решению задач в буквенной форме. [25, с. 366 - 367]

В целом усвоение научных понятий в школе само по себе создает объективные условия для формирования у учащихся теоретического мышления. [23, с. 21] Подростковый период принимает особое место в цикле детского развития. Он обуславливается изменениями в мышлении, во внешнем виде, в отношениях со взрослыми и сверстниками, что не может не оказывать влияния на учебную деятельность.

§3. Организация занятий кружка при обучении математике

Место кружков в подготовке учащихся по математике

Математический кружок является хорошо изученной и довольно распространенной формой внеклассной работы. Под математическим кружком традиционно понимается самодеятельное объединение учащихся под руководством педагога, в рамках которого проводятся регулярные занятия во внеурочное время, направленные на углубление и расширение математических знаний учащихся, формирование интереса к математике и развитие математических способностей и склонностей. Математические кружки создаются для учеников разных возрастов. [29, с. 6]

Кружок создается на добровольных началах. Любой ученик, который захотел посещать кружок, может стать его членом, на зависимо от успеваемости. Многие учащиеся со средней успеваемостью, после активной работы в кружке начинают лучше учиться. [16, с.5]

Основными задачами проведения кружковых занятий являются:

· развитие интереса к математике у школьников;

· углубление и расширение знаний учащихся по математике;

· развитие математического кругозора, мышления, способностей, исследовательских умений;

· воспитание настойчивости, инициативы.

Отчасти эти задачи выполняются на уроке, но полностью они реализуются во время внеклассных занятий и, в частности, во время проведения кружков. [49, с. 26]

Для того чтобы курс занятий кружка был полным, а занятия доступными для понимания школьников и соответствующими образовательным, воспитательным и развивающим целям обучения математике, при составлении содержания необходимо пользоваться критериями отбора.

Критерии отбора содержания для курсов по выбору, являющихся также внеклассными занятиями с учащимися, описанные Смирновой И.М.[10], считаем возможным использовать и при отборе содержания кружка. Перечислим их.

I. Критерий научной и практической значимости.

II. Критерий соответствия содержания воспитательным и развивающим целям обучения.

III. Критерий соответствия содержания уровню и профилю обучения.

IV. Критерий соответствия содержания возрастным особенностям учащихся.

V. Критерий соответствия содержания индивидуальным особенностям школьников.

VI. Критерий соответствия содержания учебно-методическому обеспечению.

VII. Критерий соответствия содержания имеющемуся времени. Остановимся более подробно на каждом из них.

I. Критерий научной и пр актической значимости.

Этот критерий предполагает, что учебный курс отражает одно из важных направлений развития теории и практики. В школьном преподавании этот вопрос рассматривается в недостаточной степени. Это не означает, что ученикам недоступно понимание научной и практической значимости изучаемого или что в рассматриваемом материале нет такой значимости. Нужно не только сообщение учащимся достоверных фактов, но и объяснение их сущности, раскрытие внутренних связей. [10, с. 205]

Категории - наука и учебный предмет имеют тесные связи. Наука состоит из приведенных в систему законов внешнего мира и духовной деятельности людей, а также из процессов добывания, накопления и передачи практического использования знаний. [10, с. 205]

Для решения вопроса о научной и практической значимости и учебного предмета необходимо включать следующее содержание [10, с. 205]:

1. Историю возникновения и постановки той или иной проблемы.

2. Поиски решения, трудности на пути решения проблемы.

3. Сведения об ученых, занимавшихся решением проблемы.

4. Значимость решения проблемы для развития науки.

5. Применение полученного результата к решению прикладных Одним из путей реализации критерия научной и практической значимости содержания является раскрытие межпредметных связей изучаемого материала, а также демонстрация прикладных аспектов курса. Рассмотрение задач межпредметного и прикладного характера приводит к естественной взаимосвязи теории и практики, способствует глубокому, неформальному изучению основ наук. [10, с. 206]

II. Критерий соответствия содержания воспитательным и развивающим целям об учения.

Не любое содержание способствует достижению целей воспитания и развития учащихся. Необходимо специальным образом конструировать содержание учебного курса, включая в него элементы истории, современности, занимательности, красоты математики. [10, с. 206]

Включение элементов истории в содержание выполняет следующие важные дидактические функции [10, с. 206]:

1. Использование исторического материала позволяет проникнуть в мировоззренческий смысл науки, в процесс формирования ее основных идей, эволюцию методов.

2. Использование исторических сведений является одним из критериев интересности содержания учебного материала, служит для развития познавательного интереса учащихся к математике.

3. Исторические сведения служат для развития творческих способностей учащихся.

4. Сведения из истории служат средством нравственного воспитания учащихся.

Знакомство с основными направлениями современной науки необходимо теперь каждому выпускнику школы для ориентации в современном мире, правильному представлению о процессах, происходящих в природе и обществе, осознание собственной роли в обществе, в движении вперед. [10, с. 206 -- 207]

III. Критерий соответствия содержания уровню и профилю обучения. При уровневой дифференциации учащиеся учатся в одном классе, по

одной программе, по одному учебнику. Различие состоит в уровне усвоения предлагаемого учебного материала. В качестве базового берется уровень обязательных результатов. Кроме того, предусматриваются уровень коррекции и продвинутый уровень, соответствующие слабо и отлично успевающим учащимся. [10, с. 208]

Выбор предмета для углубленного изучения зависит в большой степени от выбора будущей специальности, от того, какое место будет занимать в ней математика. Для классов с углубленным изучением математики должны создаваться специальные курсы по предмету. [10, с. 208]

IV. Критерий соответствия содержания возрастным особенностям учащи х ся.

Этот критерий предполагает не только доступность изучаемого материала, соответствие уровня трудности изучаемого материала уровню развития школьников, но и включение в содержание такого материала, который, в силу возрастных особенностей школьников, вызывает у них интерес, стимулирует творческую деятельность. [10, с. 212]

V. Критерий соответствия содержания индивидуальным особенностям шко льни ко в.

В психологических исследованиях представлены индивидуальные различия пространственного мышления школьников. Это выражается, во- первых, в том, что индивидуальные различия в пространственном мышлении ярко обнаруживаются в процессе восприятия пространственных свойств и отношений. Во-вторых, индивидуальные различия ярко проявляются при создании пространственных образов на наглядной основе и оперировании ими. В-третьих, индивидуальные различия наблюдаются в способах чувственного обобщения. [10, с. 213]

Учитель, работая в конкретном классе и изучив индивидуальные особенности пространственного воображения своих учеников, должен включать в содержание в том или ином объеме соответствующий наглядный материал, в котором выделяют элементы [10, с. 214]:

- чертежи, рисунки;

- модели (изготовленные из различного материала и в разной технике, в том числе и компьютерные);

- конструирование различных ситуаций (в том числе с помощью компьютерных программ).

Также важными индивидуальными особенностями учащихся, которые обязательно нужно учитывать учителю и отражать в содержании занятий, является неоднородность интереса учащихся к математике. [10, с. 214]

Даже у школьников, которые называют математику любимым или одним из любимых предметов, интерес к ней дифференцирован. [10, с. 214]

VI. Критерий соответствия содержания учебно-методическому обеспечению.

Этот критерий предполагает, что содержание курса и в основной школе, и в старших классах должно охватываться учебными пособиями, научно-популярной литературой, наглядными пособиями и техническими средствами обучения в объеме, достаточном для успешного решения поставленных задач обучения. [10, с. 217]

VII. Критерий соответствия содержания имеющемуся времени.

Этот критерий предполагает планирование содержания курса по занятиям, соответствие объема учебного материала каждого занятия времени, углубленным изучением определенного предмета времени, отведенному на его изучение. [10, с. 217]

Место кружко в в образовательном процессе. В соответствие с ФГОС ООО [7, ч. 2, ст. 8 -- 10, 11.3] при подборе темы и разработке кружковых занятий необходимо учитывать, что занятия кружка должны способствовать достижению образовательных результатов, направленных на формирование универсальных учебных действий.

Также кружковая деятельность направлена на:

· реализацию индивидуальных потребностей учащихся путем предоставления широкого спектра знаний и форм деятельности;

· социализацию обучающихся, развитие творческих способностей школьников во внеурочное время;

· усвоение теоретических знаний и способов деятельности в процессе решения учебных задач.

В результате работы кружка происходит интеграция возможностей общего и дополнительного образования.

Изучив особенности математических кружков, их цели и задачи, а также опираясь на критерии отбора содержания внеурочных занятий со школьниками, можно сделать вывод о том, что важным элементом кружка является реализация индивидуальных потребностей учащихся, а также углубление и расширение знаний, развитие математических, творческих способностей.

Методы обучения и формы проведения занятий кружка

Существуют различные формы проведения кружковых занятий: творческие задания, творческая мастерская и деловая игра, дидактически игры, комбинированное тематическое занятие, «урок -- внеклассное мероприятие». Рассмотрим их подробнее:

Творческие задания: самостоятельное составление учащимися задач с противоречиями, фокусов и т.д. [19, с. 138]

Творческая мастерская и деловая игра. Организация деловой игры на занятиях кружка с использованием элементов ручного труда позволит в непринужденной форме развивать способность выполнять такие логические операции, как анализ и синтез, способность прогнозировать результат, выполнять его оценку и проверку его правильности. Такие занятия стимулируют формирование и развитие пространственного компонента, способствуют повышению мотивированного интереса к предмету и прикладной значимости математических знаний. Также они представляют широкое поле для проявления творчества и богатой фантазии как педагога, так и каждого учащегося. [19, с. 142 -- 143]

Дидактические игры. В процессе игры можно осуществлять развитие многих компонентов математических способностей, в частности, по приему и переработке математической информации, математическую память, активный интерес к изучаемому предмету. [19, с. 146]

Комбинированное тематическое занятие. Основную часть такого занятия составляет решение членами кружка ряда задач на одну и ту же тему. Учитель заранее подбирает и продумывает список задач и вопросов для занятия, располагает их в определенной последовательности. Задачи решают сами учащиеся, каждый в отдельности, здесь же, в классе. К следующей задаче не переходят до тех пор, пока предыдущая не разобрана кем-то из учащихся. Решая задачи, отвечая на поставленные учителем вопросы, учащиеся постепенно, как бы заново, самостоятельно раскрывают рассматриваемую тему. По ходу занятия делаются обобщения, иногда дополнения, учитель вместе с учащимися формулирует выводы. [15, с. 11 -- 12]

«Урок -- внеклассное мероприятие» - форма обучения математике, являющаяся композицией урока и кружка, позволяет продолжить изучение материала, начатое на уроке, на занятиях математического кружка. Использование пары «урок -- внеклассное мероприятие» позволяет включать каждого ученика в учебную деятельность в соответствии с его психологическими особенностями, математическими способностями и желаниями. [9, с. 214]

Также в известной книге авторов Балк М.Б., Балк Г.Д., вышедшей в 1971 году, [15] описаны следующие формы учебной работы на занятии кружка, которые актуальны и сегодня:

«Десятиминутка» - небольшое сообщение (или рассказ) учителя или ученика по одному какому-нибудь сравнительно узкому вопросу. Длится оно обычно 8 - 15 минут. Темой десятиминутки может быть: 1) краткая биография какого-либо выдающегося математика; 2) интересный вопрос или факт из истории математики; 3) приемы счета; 4) сообщение о какой-нибудь математической книге, статье, обзор журнала; 5) краткое изложение какого-либо математического вопроса.

Решение задач, не связанных с основной темой данного заседания. Сюда относятся задачи, подготавливающие учащихся к предстоящим занятиям; задачи, подобные рассмотренным на предыдущих заседаниях; задачи, подготавливающие членов кружка к предстоящей олимпиаде или конкурсу, а также занимательные задачи, в том числе исторические и логические.

Решение математических софизмов, разгадывание фокусов, задач- шуток, геометрических иллюзий, участие в играх и всякого рода развлечениях, не связанные с основной темой заседания.

Разбор задач, предложенных членам кружка на дом на прошлых занятиях. Доклады и беседы на математические или историко- математические темы. Моделирование: изготовление наглядных пособий по математике. Обсуждение математических книг и статей. Сообщение члена кружка о результате, который им самим получен, о задаче, которую он сам придумал и решил, о выполнении определенной работы математического характера. Чтение отрывков из художественных произведений, связанных с математикой. Просмотр видеофильма по математике.

Успех в обучении зависит как от правильного определения его целей и содержания, так и от способов достижения целей, т.е. методов обучения. [4, с. 146] И.Я. Лернер и М.Н. Скаткин [4, с. 146 -- 184] выделяют пять методов обучения: объяснительно-иллюстративный; репродуктивный; проблемное изложение; частично поисковый, или эвристический; исследовательский.

На кружках целесообразно использовать последние три метода, а именно:

1. Проблемное изложение

Суть проблемного изложения в том, что учитель ставит проблему, сам ее решает, но при этом показывает путь решения в его подлинных, но доступных учащимся противоречиях, вскрывает ходы мысли при движении по пути решения. Назначение этого метода в том, что учитель показывает образцы научного познания, научного решения проблемы, а учащиеся контролируют убедительность этого движения, мысленно следят за его логикой, усваивая этапы решения целостных проблем. [4, с. 162]

2. Частично -поисковый, или эвристический, метод

В целях постепенного приближения учащихся к самостоятельному решению проблем необходимо предварительно обучать выполнению отдельных шагов решения, отдельных этапов исследования, формируя их умения постепенно. В одном случае обучают видению проблем, предлагая ставить вопросы к картине, документу, изложенному содержанию; в другом случае от них требуют построить самостоятельно найденное доказательство; в третьем -- сделать выводы из представленных фактов; в четвертом -- высказать предположение; в пятом -- построить план его проверки и т.д. [4, с. 164]

Другим вариантом обучения является расчленение сложной задачи на серию доступных подзадач, каждая из которых облегчает приближение к решению основной задачи. [4, с. 165]

Третьим вариантом служит построение эвристической беседы, состоящей из серии взаимосвязанных вопросов, каждый из которых является шагом на пути к решению проблемы и большинство которых требуют от учащихся не только воспроизведения своих знаний, но осуществления небольшого поиска. [4, с. 165]

3. Исследо вательский метод

Для полноценного усвоения опыта творческой деятельности и одновременно усвоения знаний и умений на третьем уровне необходим давно применяющийся в педагогической практике исследовательский метод. Значение этого метода состоит в том, чтобы ученик научился приобретать знания, исследовать предмет или явление, делать выводы, уметь применять в жизни добытые знания и навыки. [4, с. 167 -- 168]

Во время урочных занятий такие методы применяются реже, так как не всегда есть соответствующий учебный материал, и часто учителю не хватает отведенных на тему часов.

Многообразие форм обучения позволяет учителю выбрать наиболее подходящие к содержанию кружка. Разнообразие учебной деятельности на занятиях способствует поддержанию интереса школьников, стимулирует их к регулярному посещению занятий.

§4. Развитие познавательного интереса к обучению на занятиях математических кружков

внеклассный школьник шифрование математический

Интерес - это стремление к познанию объекта или явления, к овладению тем или иным видом деятельности. Интерес носит избирательный характер, выступает одним из наиболее существенных стимулов приобретения знаний, расширения кругозора, служит важным условием подлинно творческого отношения к работе. При наличии интереса знания усваиваются основательно, прочно; при его отсутствии учебный материал усваивается с трудом, часто формально. [38 с. 372]

Познавательный интерес - это внутреннее избирательное побуждение личности, направленное на осознанное эмоционально-волевое отношение к знаниям, процессу познания и развитию своего интеллекта. [46, с. 10]

Познавательная деятельность человека представляет собой сложный процесс взаимодействия внешних и внутренних условий. Внешние воздействия являются определяющими в развитии познавательной активности личности, но по мере развития сознания человека, утверждения направленности его личности все большую роль в его деятельности приобретают внутренние условия: опыт, мировоззрение, интересы и потребности. [39, с. 94]

Познавательная деятельность личности всегда связана с каким-либо объектом, задачей. Она всегда направленна, в первую очередь, на те объекты и явления, которые имеют жизненное значение и интересны для личности. [39, с. 94]

Разная степень заинтересованности личности в объекте или явлении порождает разное отношение к деятельности, а, следовательно, и разный уровень познавательной активности и самостоятельности. В процессе целенаправленной познавательной деятельности человек проявляет свое отношение к объектам окружающего мира, которые имеют не только познавательное, но и регулярное значение: они помогают усваивать новые знания и оказывают плодотворное влияние на формирование отношений к самой познавательной деятельности. [39, с. 94]

Возникновение познавательного интереса зависит, с одной стороны, от уровня развития ребенка, его опыта, знаний, той почвы, которая питает интерес, а с другой стороны, от способа подачи материала. [39, с. 94]

Процесс формирования познавательного интереса происходит во время деятельности, структура которой (ее задачи, содержание, способы и мотивы) составляет объективную основу развития познавательного интереса. Главный вид этой деятельности -- учение, в процессе которого происходит систематическое овладение знаниями в предметных различных областях, приобретение и совершенствование способностей познавательной деятельности. [39, с. 94]

Перед учителем математики стоит задача -- так управлять учебной деятельностью, чтобы помочь учащимся как можно лучше проявить свои способности, развить самостоятельность, инициативу, творческий потенциал. И успешная реализация этой задачи в немалой степени зависит от того, как сформированы у учащихся познавательные интересы. [39, с. 94]

Весь многовековой опыт прошлого дает основание утверждать, что интерес в обучении представляет собой важный и благоприятный фактор его построения. [55, с. 96]

Ян Амос Коменский, совершивший революцию в дидактике, рассматривая новую школу как источник радости, света и знания, считал интерес одним из главных путей создания этой светлой и радостной обстановки обучения. Ж.-Ж. Руссо, опираясь на непосредственный интерес воспитанника к окружающим его предметам и явлениям, пытался строить доступное и приятное ребенку обучение. К.Д. Ушинский в интересе видел основой внутренний механизм успешного учения. Он показал, что внешний механизм принуждения не достигает нужного результата. Даже И.Ф. Гербарт, признавая интерес имманентным свойством, призывал учителя не быть скучным, а основывать обучение на интересах, присущих ребенку. [55, с. 96]

К.Д. Ушинский писал, что учение, лишенное всякого интереса и взятое только силой принуждения, хотя бы оно черпалось из лучшего источника - из любви к воспитателю, убивает в учении охоту учиться, без которой оно далеко не уйдет. Он считал, что нужно сделать учебную работу как можно более интересной, и, не превращать этой работы в забаву. [48, с. 29]

Педагогическая направленность повышения интереса должна состоять в том, чтобы:

· обнажать в педагогическом процессе объективные возможности интересных сторон, явлений окружающей жизни;

· возбуждать и постоянно поддерживать у детей состояние активной заинтересованности (а не равнодушия) окружающими явлениями, моральными, эстетическими, научными ценностями;

· всей системой обучения и воспитания целенаправленно формировать интерес как ценное свойство личности, содействующее ее творческой активности, ее целостному развитию. [55, с. 64]

Исследования психологов показывают, что формирование интереса - не замкнутый в себе автономный процесс. [8, с. 2]

Оно обусловлено социальным окружением, сферой и характером деятельности не только самого человека, но и окружающих его людей, процессами обучения и воспитания, которые располагают особыми стимулами возбуждения интереса, коллективом, активностью самой личности, ее позицией и ее ролью в деятельности коллектива. [8, с. 2 - 3]

Современная дидактика, опираясь на новейшие достижения педагогики и психологии, видит в интересе еще большие возможности и для обучения, и для развития, и для формирования личности ученика в целом. [55, с. 96]

В обучении фигурирует особый вид интереса - интерес к познанию - познавательный интерес. Его область - познавательная деятельность, в процессе которой происходит овладение содержанием учебных предметов и необходимыми способами или умениями и навыками, при помощи которых ученик получает образование. [55, с. 96]

Общеизвестно, что учить приятней и радостней того, кто хочет учиться, кто испытывает удовлетворение от своего учебного труда, кто проявляет интерес к знаниям. И, наоборот, трудно и тягостно учить тех, кто не испытывает желания узнавать новое, кто смотрит на учение, на школу как на тяжелое бремя и кто подчас сопротивляется каждому начинанию учителя, каждому, даже разумному воздействию со стороны. [55, с. 96 - 97]

Анализ психологической структуры познавательного интереса привел психологов (С. Л. Рубинштейн, Л.А. Гордон, А.П. Леонтьев) к заключению, что это сугубо личностное образование, сопряженное с потребностями, в котором в слитом, органическом единстве представлены все важные для личности процессы: интеллектуальные, эмоциональные, волевые. [55, с. 102- 103]

За внешними проявлениями интересов школьников учителю надо стремиться искать, находить более глубокие отношения смысла учения, его мотивов, целей, эмоций и всех других побуждений данного ребенка. [30, с. 50]

Для школьников присуща неудержимая любознательность, которую следует поддерживать и направлять. Организация кружков - это средство, содействующее удовлетворению детской любознательности. Но это только одна из причин, обосновывающих необходимость организации кружков. Математический кружок в процессе своей работы помогает расширению кругозора учащихся в различных областях математики. Кружковая работа содействует развитию у детей математического образа мышления: краткости речи, умелому использованию символики, правильному применению математической терминологии, умению отвлекаться от всех качественных сторон предметов и явлений, сосредотачивая внимание только на количественных, умению делать доступные выводы и обобщения, обосновывать свои мысли. [47, с. 65]

Участие детей в работе кружка способствует воспитанию их общественной активности, которая выражается в помощи учителю при изготовлении наглядных пособий, в организации и проведении экскурсий, в организации и оформлении математической газеты или уголка в газете, в создании математического уголка в классе и пр. Работа кружка оказывает серьезное влияние на повышение интереса к математике у его участников. [47, с. 65]

Выводы к первой главе

Основная функция внеклассной работы по математике -- углубление и расширение знаний учащихся, повышение интереса к предмету. Формы внеклассной работы: факультативы, математические кружки, математические экскурсии, олимпиады, предметные недели, курсы по выбору, математические вечера. На данный момент наиболее распространенными формами внеклассной работы в школе являются математические кружки, олимпиады, предметные недели и курсы по выбору.

Подростковый период занимает особое место в цикле детского развития. Он обуславливается изменениями в мышлении, во внешнем виде, в отношениях со взрослыми и сверстниками, что не может не оказывать влияния на учебную деятельность.

Изучив цели, задачи и особенности работы математических кружков, а также критерии отбора содержания внеклассных занятий, можно сделать вывод о том, что важным элементом кружка является реализация индивидуальных познавательных потребностей учащихся, а также углубление и расширение знаний, развитие математических способностей.

Многообразие форм обучения, которые возможно использовать на занятиях кружка, позволяет учителю выбрать наиболее подходящие к содержанию кружка. Разнообразие учебной деятельности на занятиях способствует поддержанию интереса школьников, стимулирует их к регулярному посещению занятий.

Математический кружок способствует повышению интереса к математике у его участников, расширению их кругозора, развитию математического образа мышления, а также воспитывает общественную активность школьников.

Глава 2. Проведение занятий кружка на тему «Шифры и шифрование» для учащихся 5-6 классов

§1. Пояснительная записка и программа кружка на тему «Шифры и шифрование»

Пояснительная записка. В настоящее время одним из важнейших пунктов программы развития математического образования является повышение математической компетенции общества. Это означает, что уже в школе дети должны приобретать знания и умения, которые в дальнейшем помогут им осуществлять профессиональную деятельность. А для того, чтобы школьники получали подобные знания, необходимо организовывать кружки и секции, направленные на углубление и расширение математических знаний, и повышение интереса к математике как к науке.

Рассматриваемый кружок посвящен изучению шифрования. Материал кружка выходит за рамки школьной программы по математике и направлен на развитие интереса к математике, а также на знакомство учащихся с основами криптографии и древними шифрами. Кружок рассчитан на учащихся 5-6 классов, имеющих различные уровни математической подготовки. При разработке содержания программы кружка был проведен отбор теоретического и практического материала.

Разработанный кружок на тему «Шифры и шифрование» направлен на знакомство учащихся с древними шифрами и основами криптографии, получение теоретических знаний по вопросам шифрования, развитие и отработку навыков шифрования и дешифрования сообщений различными способами, развитие интереса к криптографии как к части математической науки.

Анализ учебников школьного курса математики на предмет содержания в них необходимого материала для изучения материала кружка. Для посещения кружка на тему «Шифры и шифрование» учащиеся должны иметь базовые вычислительные навыки, уметь пользоваться простейшими измерительными и чертежными инструментами (циркулем, линейкой, транспортиром), обладать умением рассуждать, делать выводы. Занятия кружка, как и обучение математике в целом, направлены на развитие способности к анализу, синтезу, проведению аналогии. Такие мыслительные действия - основа изучения математики и они должны быть заложены именно в 5-6 классе.

Задания по криптографии в небольшом количестве встречаются в учебниках по математике для 5-6 классов. Проанализируем содержание задачного материала ряда школьных учебников на наличие задач по шифрованию.

В учебнике по математике для 5 класса авторов И.И. Зубаревой и А.Г. Мордковича [31] представлены задания на дешифровку слов. Например:

№520.

Вычислите, выберите правильный ответ и заполните таблицу. Зашифрованное слово - название инструмента для измерения углов. [31, с. 143]

Однажды на досуге Иа-Иа и пятачок решили попробовать зашифровать Цифры буквами. Иа-Иа удалось записать некоторое трехзначное число, затем сумму его цифр, а затем сумму цифр этой суммы. Вот что у него получилось: [31, с. 46]

А Пятачок сделал то же самое с другим трехзначным числом. У него получилось так: [31, с. 46]

Постарайтесь разгадать, какое число записал Иа-Иа, а какое - Пятачок. [31, с. 46]

Запишите, пользуясь римской нумерацией, числа 111, 222, 333, 444, 555. [31, с. 6]

В учебнике по математике для 6 класса авторов И.И. Зубаревой и А.Г. Мордковича [32] существуют задания на дешифровку математических терминов. Например:

№16.

Слово «симметрия», как и многие другие математические термины, пришло к нам из Древней Греции. Выполните вычисления и заполните таблицу. Зашифрованное слово - перевод слова «симметрия» на русский язык. [32, с. 11]

Кроме того, в учебниках по математике для 5-6 классов авторов Г.В.

Дорофеева и Л.Г. Петерсон [15, 16, 17] часто встречаются задачи на дешифрование географических названий и имен выдающихся личностей. Например:

Задача №159.

Реши примеры и уравнения. Расшифруй имя английского писателя конца XIX века и название одного из самых известных его произведений. [16, с. 34]

В учебнике по математике для 5 класса автора Н.Б. Истоминой [35] встречаются задания на перевод из римской системы счисления в арабскую:

№158.

Прочитай числа и запиши их, используя арабские цифры: [35, с. 35] IC, CV, DXXVIII, MCMLXXXV, LXXIV, MMVI.

Кроме рассмотренных выше учебников, поиск заданий по криптографии проводился в учебниках по математике для 5 и 6 классов Н.Я.

Виленкина и др. [33, 34] и в учебнике по математике для 6 класса Н.Б. Истоминой [36], в которых задач по шифрованию и дешифрованию не найдено.

На некоторых занятиях кружка школьникам понадобятся навыки работы с инструментами: транспортиром, циркулем и линейкой. Подобные навыки развиваются у школьников в курсе математики 5-6 класса. Рассмотрим некоторые учебники математики для 5-6 классов на предмет развития навыков работы с перечисленными инструментами.

В учебнике по математике для 5 класса авторов Н.Я. Виленкина и др. [33] работа с циркулем объясняется учащимся в следующем виде:

«Установим ножку циркуля с иглой в точку ??, а ножку циркуля с грифелем будем вращать вокруг этой точки. Тогда грифель опишет замкнутую линию.

Ее называют окружностью. Окружность делит плоскость на две части. Ту часть плоскости, которая лежит внутри окружности (вместе с самой окружностью), называют кругом. Точку ?? называют центром круга и окружности. При построении окружности расстояние между концами ножек циркуля не изменяется. Поэтому все точки окружности одинаково удалены от ее центра. Отрезок ??? соединяет центр окружности с точкой ? это окружности. Его называют радиусом окружности (и круга). Все радиусы окружности равны друг другу. Отрезок ?? соединяет две точки окружности ? и ? и проходит через цент. Его называют диаметром окружности (и круга). Диаметр ?? состоит из двух радиусов: ??? и ??? . Поэтому диаметр окружности вдвое длиннее ее радиуса». [33, с. 133]

В этом же учебнике рассматривается такой инструмент для измерения углов, как транспортир, и вводится понятие градуса. Также проводятся разъяснения по тому, как с помощью транспортира строить угол: «Для измерения углов применяют транспортир. Шкала транспортира располагается на полуокружности. Центр этой полуокружности отмечен на транспортире черточкой. Штрихи шкалы транспортира делят полуокружности через эти штрихи, образуют 180 углов, каждый из которых равен 1 180 доле развернутого угла. Такие углы называют градусами». [33, с.249]

В учебнике по математике для 5 класса авторов И.И. Зубаревой и А.Г. Мордковича [31] предполагается, что ученики умеют пользоваться циркулем еще с начальной школы, как так его определение встречается лишь в заданиях на повторение понятий окружности и круга. Однако здесь же вводится понятие угла: «угол - это фигура, образованная двумя лучами, имеющими общее начало», и понятие градусной меры угла с помощью транспортира: «Чтобы получить деления транспортира, развернутый угол разделили на 180 равных частей - 180 равных углов. Величина одного такого угла принята за единицу (меру) измерения углов, которая называется градусом. 1 градус - это угол, величина которого равна 1 180 развернутого угла. Величину угла, выраженную в градусах, называют градусной мерой угла». [31, с. 144]

В учебнике по математике для 5 класса автора Н.Б. Истоминой [35] лишь в заданиях в начале учебника вспоминается, как использовать циркуль и линейку для построений и вычислений. Также в этом учебнике преподается определение транспортира и как с его помощью измерять углы: «Для измерения и построения углов используют прибор, который называется транспортир. Он похож на полуокружность, разделенную на 180 равных частей. Транспортир накладывается на угол так, чтобы вершина угла совпадала с центром транспортира, а одна из сторон угла прошла через начало отсчета. Тогда вторая сторона угла укажет его величину в градусах». [35, с. 50]

В учебниках по математике для 5-6 классов авторов Г.В. Дорофеева и Л.Г. Петерсон [15, 16, 17] не найдены теоретические основы работы с циркулем, линейкой и транспортиром. Однако там приведены задачи на поддержание навыков построений с помощью этих инструментов. Например:

№327.

Начерти два смежных угла. Построй с помощью транспортира биссектрисы этих углов и измерь величину угла, образованного биссектрисами. Повтори эксперимент еще два раза. Что ты замечаешь? Можно ли считать, что замеченная закономерность этим уже доказана? [15, с. 82]

№444

Построй данные фигуры на клетчатой бумаге с помощью циркуля и линейки, увеличив их размер в два раза. Раскрась получившиеся узоры. Придумай и нарисуй свои узоры из геометрических фигур. [15, с. 99]

№435.

Пользуясь циркулем, линейкой и транспортиром, посрой на листе без клеток правильный: а) шестиугольник; б) треугольник; в) четырехугольник; г) пятиугольник. [16, с. 88]

№240.

Измерь углы с помощью транспортира и расположи их меры в возрастающем порядке. Установи закономерность в полученном ряде чисел. Построй угол, равный половине угла, продолжающего эту закономерность. [17, с. 61]

Вывод: в ряде учебников для 5-6 классов [31, 32, 35, 15, 16, 17] представлены задания по криптографии, которые свидетельствуют о том, что учащиеся знакомы с этой темой и будут подготовлены к участию в кружке по теме «Шифры и шифрование». Кроме того, в ряде учебников [31, 33, 35, 15, 16, 17] развиваются навыки работы с транспортиром, линейкой и циркулем, которые понадобятся ученикам на занятиях кружка на тему «Шифры и шифрование».

Цели и задачи кружка

Целью кружка является развитие познавательного интереса школьников путем формирования у учащихся начальных представлений о криптографии.

Задачи кружка:

1. Познакомить учащихся с основами криптографии, ее историей.

2. Продемонстрировать учащимся наиболее популярные шифры древности и средневековья.

3. Научить шифровать и дешифровать текстовые сообщения.

Кружок рассчитан на 10 учебных часов. Предполагаемое время проведения - второе полугодие 5 класса или первое полугодие 6 класса. Предусмотрено проведение занятий в форме уроков.

Итоговый контроль усвоения учебного материала осуществляется с помощью проверочной работы.

Содержание кружка на тему «Шифры и шифрование» входит в образовательную область математика. Для посещения кружка на тему «Шифры и шифрование» учащиеся не должны иметь специальных знаний, однако задания кружка развивают способность к анализу, синтезу, проведению аналогии.

После окончаний занятий кружка на тему «Шифры и шифрование» учащимися должны быть достигнуты следующие образовательные результаты:

Знать:

1. Место криптографии в математики и области ее применения;

2. Наиболее популярные шифры древности и средневековья;

3. Основные понятия криптографии: шифр, криптография, шифрование, дешифрование, шифры перестановки, шифры замены, ключ, ключ-таблица, шифровальный круг, лозунговый шифр, лозунг, маршрутная перестановка, вертикальная перестановка, решетка Кардано.

4. Способы шифрования и дешифрования сообщений: ключ- таблица с цифрами, шифр «Цезаря», шифр «Атбаш», лозунговый шифр, замена букв символами, шифр «Сцитала», шифр маршрутной перестановки, шифр вертикальной перестановки, шифр «Поворотная решетка».

Уметь:

1. Применять теоретические знания на практике.

2. Зашифровывать и расшифровывать сообщения с помощью изученных способов шифрования.

Программа кружка состоит из восьми тем: ключ-таблица с цифрами, шифр «Цезаря» и шифр «Атбаш», лозунговый шифр, «Пляшущие человечки», шифр «Сцитала», шифр маршрутной перестановки, шифр вертикальной перестановки, шифр «Поворотная решетка».

Изучение в таком порядке предлагаемого материала по шифрованию, способствует повышению уровня осознанности и прочности получаемых учащимися знаний во время занятий кружка.

Важно во время работы кружка обучить учащихся навыкам индивидуальной и групповой деятельности по практическому применению полученных теоретических знаний.

Текущий контроль осуществляется по результатам выполнения учащимися домашних работ.

Итоговым контролем является проверочная работа.

В таблице 1 представлено тематическое планирование занятий кружка «Шифры и шифрование».

Таблица 1

Тематическое планирование занятий кружка

§2. Содержание занятий кружка на тему «Шифры и шифрование»

Представим содержание занятий кружка, состоящее из теоретического блока, а также блока задач и заданий.

Занятие 1. Вводное занятие.

Цель: познакомить и заинтересовать проблемами шифрования и дешифрования; поставить перед учащимися образовательные задачи.

Учитель: Наверняка каждый из вас по той или иной причине хотя бы раз пытался скрыть какую-либо информацию от посторонних глаз. Каким образом это возможно сделать? (Учащиеся пытаются найти ответ на этот вопрос.)

Чаще всего, для того, чтобы тайно передать сообщение, вы изобретали один из способов скрытой передачи информации, которым уже не одна тысяча лет. Давайте рассмотрим их:

1. Можно создать надежный и недоступный для других канал связи. Например, это может быть отдельная радиочастота. Но это недоступно обычному человеку из-за недостатка оборудования и знаний нужных технологий. Можно иметь пару почтовых голубей. Но это тоже неудобно.

2. Можно использовать общий канал связи, то есть передавать информацию в известном всем виде и известным способом, но скрыть сам факт передачи. Есть разные способы, как технические, так и нет, но тут информация не шифруется.

Так делали еще в древности: голову раба брили, на коже головы писали или татуировали сообщение и после отрастания волос раба посылали к адресату. Либо способ, который большинство из вас видели в приключенческих фильмах -- на исписанном листе бумаги между строк писали молоком или различными химическими реактивами так, что не видно передаваемого сообщения. А после разогревали этот лист, или же обрабатывали лимонным соком, или опять же разными химическими составами, и надпись начинала появляться. Но такой способ опять же требует дополнительного оборудования и может быть труден в осуществлении.

3. Наконец, можно использовать общий канал связи и не скрывать факт передачи сообщения, но сделать так, что никто, кроме адресата, не смог это сообщение прочитать. Этот способ и есть тот, которым мы займемся в курсе кружка. Он называется шифрованием, а наука, которая занимается разработкой методов шифрования информации называется криптографией. [26, с. 8]

Дадим определения главных понятий:

Шифрование -- процесс применения шифра к защищаемой информации, то есть преобразование той информации, которую нужно защитить в шифрованное сообщение с помощью определенных правил.

Дешифрование -- процесс, обратный шифрованию, то есть преобразование зашифрованного сообщения в информацию, которая уже была защищена, с помощью определенных правил.

Ребята, а кто скажет, чем шифрование отличается от кодирования, ведь многие путают эти два понятия? (Дети приводят свои варианты ответов)

Как мы поняли из определения, для шифрования надо знать шифр и способ его расшифровки. При кодировании же нет ничего секретного. Оно создано лишь для того, чтобы передавать информацию в более удобном виде. Долгое время криптография была засекречена и применялась в основном для защиты государственных и военных секретов. Но сейчас она используется также для обеспечения информационной безопасности частных

лиц и организаций.

На занятиях кружка мы рассмотрим два больших класса шифров: шифры перестановки и шифры замены.

Шифры перестановки -- шифры, которые основаны только на изменении порядка следования символов исходного сообщения. [27, с. 7]

Шифры замены -- шифры, которые основаны на замене каждого символа исходного сообщения другими символами. [27, с. 8]

Начнем с шифров замены. Многие способы такой шифровки дал алфавит русского языка. Например, если исключить из него букву «Й», а гласные буквы произвольным образом распределить по парам; сделать то же самое с согласными буквами; заменить в тексте сообщения одну букву другой -- парной ей, то получится шифрованный текст. Например, попробуйте прочитать изречение английского писателя Оскара Уайльда:

«Хяниэ перъжыэ цякятгы слямыд ф хэпэ де, щде ни фытын, я мэ де, щде хглиде ед мяжыс кряц».

«Самые большие загадки хранит в себе то, что мы видим, а не то, что скрыто от наших глаз».

Буквы заменены так, как показано в таблице 2:

Таблица 2

Пример шифра замены

Теперь рассмотрим другой способ шифровки.

Рис. 1. Телефон.

На рис. 1. вы видите панель телефона. С помощью цифр зашифровано слово. Чтобы расшифровать его, нужно вместо каждой цифры написать одну из букв соответствующей клавиши. Например, 314241 расшифровывается словом «замена».

Пользуясь этим шифром расшифруйте афоризмы:

1. 6235269 25415 42 23166. (Сингапурское изречение)

2. 468810 61341 61, 5 3565553 43365 42 34126. (Автор: Венедикт

Немов)

3. 162 1283 751406 1 6212 3111233. (Автор: Эрнст Симон Блох) Ответы:

1. Секреты долго не живут. (Сингапурское изречение)

2. Лучшая тайна та, о которой никто не знает. (Автор: Венедикт Немов)

3. Все вещи хранят в себе загадки. (Автор: Эрнст Симон Блох)

Подвед ем итоги занятия:

· Какая наука занимается изучением шифров?

· Как называется процесс обратный, шифрованию?

· Чем шифрование отличается от кодирования?

Занятие 2. Ключ -таблица с цифр ами.

Цель: Познакомить учащихся с ключ-таблицей с цифрами, которая используется для зашифровки и расшифровки сообщений.

Учитель: Ребята, в прошлый раз мы с вами начали изучать один из двух больших разделов шифрования -- шифры замены. Сегодня мы познакомимся со способом шифрования и дешифрования сообщений с помощью ключа- таблицы с цифрами.

Давайте разберемся, что для нас является ключом? (Учащиеся строят свои предположения). Ключом является правило шифрования сообщения. [27, с. 7] И с его помощью впоследствии мы можем зашифрованное сообщение расшифровать.

Сегодня для нас ключом будет являться таблица 3. Рассмотрим пример:

Таблица 3

Ключ-таблица с одним набором цифр

Здесь каждой букве русского алфавита соответствует набор из двух цифр. Давайте попробуем расшифровать следующее сообщение:

26 16 09 26 12 13 16 15 28 08 48 35 09 87 16 15 08 15 67 44 01 67 56 35

51 16 26 67 44 48 39 26 49 15 08 15 56 67 35 73 94 12 01 35 44 67 73 93

28 67 48 35 30 67 01 12 87 44 12 09 87 16 15 08 16 15 28 08

Ответом является цитата из книги Роберта Льюиса Стивенсона «Остров сокровищ» [28, с. 43]:

«Не знаю, есть ли здесь сокровище, но клянусь своим париком, лихорадка здесь есть».

А теперь пусть каждый из вас таким же образом зашифрует фразу размером в четыре -- пять слов, но не показывая ее при этом соседу.

Теперь обменяйтесь шифровками, и пусть ваш сосед расшифрует ваше исходное сообщение.

В таких ключ-таблицах каждой букве могут присваиваться несколько наборов цифр. Например, три.

Таблица 4

Ключ-таблица с тремя наборами цифр

Давайте расшифруем немецкого историка Освальда Шпенглера с помощью таблицы 4:

82 65 01 45 40 64 42 10 15 71 67 80 07 51 14 19 28 86 69 16 75 78 45 40

52 61 03 26 02 94 67 88 53 16 45 71 60 91 26 10 55

Цифры здесь повторяются реже, поэтому и расшифровка стала более сложной и потребует больше времени.

Ответ: «Мир не просто существует, он еще и наполнен тайной». Теперь давайте расшифруем еще пару сообщений:

1. 73 41 04 67 35 05 15 39 28 78 92 10 93 16 99 67 26 14 94 78

45 65 82 12 40 05

Ответ: «Мы боимся того, чего не понимаем...» - фраза из книги Дэна Брауна «Код да Винчи». [18, с. 24]

2. 82 72 70 10 03 73 19 25 75 78 18 67 62 40 99 10 53 16 64 67

26 03 05 02 16 73

Ответом так же является эта фраза. Это значит, что чем больше строк, тем большим количеством вариантов можно зашифровать сообщение.

Учитель: Ребята, а как считаете, до каких пор можно увеличивать количество строк с цифрами?

Ответ: До тех пор, пока не закончатся двузначные комбинации цифр. Учитель: А сколько должно быть таких комбинаций?

Ответ: 100 (включая 00).

Учитель: А что делать дальше, когда закончатся эти комбинации? Ответ: Составлять трехзначные комбинации.

Учитель: Но это слишком громоздко, и шифровальщики вместо этого пытаются добавить больше действий в ключ-таблицы, нежели увеличивать их. А этим мы с вами займемся на следующем занятии.

Домашнее задание: Найти интересную фразу или цитату и зашифровать ее с помощью ключ-таблицы из трех строк. Желательно знать автора.

Принести на следующее занятие: два листа цветного картона, циркуль, ножницы, транспортир, болт и гайку.

Занятие 3. Шифр Цезаря и шифр Атбаш.

Цель: Познакомить учащихся с шифром Цезаря и Шифром Атбаш.

Смастерить из картона шифровальные круги с шифрами Цезаря и Атбаш.

Проверка домашнего задания.

Учитель: Темой сегодняшнего занятия являются два шифра -- шифр Цезаря и шифр Атбаш.

Начнем с шифра Цезаря. Он так называется, потому что во времена Древнеримской Империи император Гай Юлий Цезарь использовал этот способ шифрования при переписке со своими генералами для защиты военных сообщений. Сутью данного шифра является замена одной буквы другой, находящейся на некоторое постоянное число позиций левее или правее от нее в алфавите. Приведем пример:

Таблица 5

Г-шифр

Вторая строка в таблице 5 является последовательностью, записанной в алфавитном порядке, но начинающейся не с буквы «а», а с буквы «г». В данном случае шифр называется шифром «Г». И название будет зависеть от того, какая буква стоит первой во второй строке и на какую заменяется буква

«а» в исходном алфавите.

Давайте для примера зашифруем следующее слово: Шифрование -- Ылчусегрлз

А теперь давайте расшифруем сообщение: Лфхлрг сфхгихфв лфхлрсм жов ефзш.

Ответ: «Истина остается истиной для всех» -- Жюль Верн «20 тысяч лье под водой». [19, с. 167]

Теперь поговорим о шифре Атбаш. Он похож на шифр Цезаря, но в нем заменяют букву «а» не на одну из следующих, а на последнюю, то есть на «я». Буквы «б» на «ю», «в» на «э» и так далее. Рассмотрим таблицу 6:

Таблица 6

Шифр «Атбаш»

Для примера зашифруем следующее слово: Алфавит -- Яукяэцм

И расшифруем фразу:

А сяжщу, прмртл змр цнфяу.

Ответ: «Я нашел, потому что искал» -- Артур Конан Дойл «Пестрая лента». [4, с. 152]

А теперь приступим к творческому заданию. В прошлый раз я просила вас на сегодня принести два листа цветного картона, ножницы, транспортир, циркуль и болтик с гайкой. Сейчас мы с вами сделаем шифровальные круги для шифров Цезаря и Атбаш.

Возьмем листы картона и циркуль и проведем три окружности, из которых одна большая, а две другие меньших и примерно одинаковых радиусов. После этого вырежем круги, получившиеся внутри окружностей. Разделим обе стороны кругов с помощью транспортира и карандаша на 33 части с углами примерно в 11о. Напишем в каждой части большого круга с обеих сторон буквы русского алфавита по порядку, на одной стороне первого маленького круга также напишем буквы русского алфавита по порядку, а на стороне второго маленького круга буквы русского алфавита, но в обратном порядке. Соединим конструкцию с обеих сторон так, как на рис. 2.

Рис. 2. Пример шифровального круга.

Таким образом у нас получился шифровальный круг с шифром Цезаря с одной стороны и шифром Атбаш другой. Воспользуемся им:

Задание:

1. С помощью шифровального круга зашифруйте слово «подозрение» двумя способами.

Ответ: А) Шифром Цезаря, например в шифре «Г»: тсжскузрлз Б) Шифром Атбаш: прырчоъсцъ

2. Расшифруйте с помощью шифра Атбаш следующую фразу: Съм сцзъьр юруъъ рютясзцэрьр, зът рзъэцысдх кяфт.

Ответ: «Нет ничего более обманчивого, чем очевидный факт» -- Артур Конан Дойл «Записки о Шерлоке Холмсе». [3, с. 284]

3. Расшифруйте с помощью шифра Цезаря (при этом алфавит шифрования неизвестен и его тоже нужно найти) изречение великого полководца:

Бущу дкдзгд чъефз здви, мъви ьъбхуз чъеузс.

Ответ: В шифре «Х»: «Люди охотно верят тому, чему желают верить»

-- Гай Юлий Цезарь.

Домашнее задание:

С помощью шифровального круга зашифровать фразу или цитату и дать соседу по парте расшифровать.

Занятие 4. Лозунго вый шифр.

Цели: Познакомить учащихся с лозунговым шифром.

Проверка домашнего задания.

Учитель: Сегодня вы познакомитесь с шифром, который называется лозунговым, или шифром с использованием кодового слова. Его смысл заключается в том, что ключевой последовательностью букв является лозунг

— легко запоминающееся слово. Например, выберем слово-лозунг «шифр» и заполним вторую строку таблицы 7 так, чтобы сначала было записано слово- лозунг, а потом все остальные буквы алфавита по порядку, за исключением букв, используемых в лозунге. [27, с. 12]

Таблица 7

Шифр с ключом «шифр»

Давайте зашифруем слово «таинственность» с помощью лозунгового шифра с ключом «шифр»:

Таинственность -- Пшекопфбкклуфь

А теперь расшифруйте сообщение с помощью тех же шифра и ключа: Я фобраш мнеабнгефшзоя йкбкея, цпл йбзлце осщбопфбккбб фобрл.

Ответ: «Я всегда придерживался мнения, что мелочи существеннее всего» -- Артур Конан Дойл «Архив Шерлока Холмса». [1, с. 195]

Давайте теперь каждый самостоятельно составит свой лозунговый шифр со своим ключом. Но помните, что буквы в ключе не должны повторяться, иначе в зашифрованном сообщении двум буквам шифрованного алфавита будет соответствовать одна буква исходного.

Теперь у каждого из вас на парте есть листочек с фразой. У всех фразы разные. Зашифруйте свою фразу и отдайте соседу на расшифровку.

А сейчас самая сложная часть занятия -- вам нужно будет расшифровать фразу, не зная слова-лозунга:

Йгнкрслющгг взгйк

Для этого: внимательно посмотрите на фразу; найдите повторяющиеся буквы, если такие есть. Если повторяющиеся буквы стоят в конце слова, то какие они скорее всего? Далее учитывайте, что в таком шифре очень вероятно, что последние буквы зашифрованного и исходного алфавитов схожи. Также будьте внимательны, ведь некоторые буквы алфавита повторяются чаще других.

Ответ: Недостающее звено Слово-лозунг -- лозунг:

Таблица 8

Шифр с ключом «лозунг»

Домашнее задание:

Расшифруйте фразу и найдите слово-лозунг:

Хья кнйшь кньпрскжьтгь рьз рнсчиьь чйейкмрыпя чй гпргиъ. Ответ:

«Чем проще преступление, тем труднее докопаться до истины» - Артур Конан Дойл «Пестрая лента». [4, с 78]

Слово-лозунг: мелочь

Таблица 9

Шифр с ключом «мелочь»

Занятие 5. «Пляшущие ч еловечки».

Цели: Познакомить учащихся с шифром, использованным в рассказе А.К. Дойла «Пляшущие человечки», с масонским шифром. А также с подобными шифрами.

Проверка домашнего задания.

Учитель: Артур Конан Дойл написал рассказ «Пляшущие человечки» в 1903 году. В нем он представил шифр, каждый символ алфавита которого являлся изображением пляшущего человечка (рис.3). Шерлоку Холмсу удалось разгадать этот шифр. А как он это сделал вы можете узнать, прочитав рассказ.

Рис. 3. Алфавит шифра «Пляшущие человечки»

Также ему удалось выяснить, что начало и конец слова обозначаются флажком, как показано на рис. 4:

Рис. 4. Обозначение начала и конца слов.

Давайте попробуем, используя такой алфавит разгадать слово, изображенное на рис.5:

Рис. 5. Зашифрованное слово.

Ответ: «Никогда».

Именно это слово было в одном из посланий, которые расшифровал Шерлок Холмс.

Теперь каждый зашифруйте короткое предложение с помощью «пляшущих» человечков и передайте соседу на расшифровку.

Дальше рассмотрим шифр, который в средние века использовался в тайном обществе «Братства Франкмасонов» или «Вольных каменщиков», или, как сейчас их часто называют, масонов.

Выглядит этот шифр так:

Рис. 6. Масонский шифр.

Откуда алфавит выглядит следующим образом:

Рис. 7. Алфавит масонского шифра.

Пользуясь такой системой, мы с вами можем «перевести» данный шифр на русский язык.

Рис. 8. Переведенный масонский шифр.

Из-за разного количества букв в латинском и русском алфавитах, у нас остались две пустые клетки. Используем их для обозначения знаков препинания.

Пользуясь им, зашифруйте предложение и дайте вашему соседу на расшифровку.

Таким образом, мы можем придумать любые обозначения для букв русского алфавита, то есть создать собственный шифр. Давайте и займемся этим коллективно. Сейчас вам нужно разделиться на команды и придумать собственный шифр. Потом, используя этот шифр, зашифруйте фразу и передайте зашифрованное сообщение другим командам вместе с зашифрованным алфавитом.

Домашнее задание: Придумать собственный шифр, подобный

«Пляшущим человечкам», зашифровать предложение или цитату, и отдать мне на расшифровку.

Занятие 6. Маршрут ная перестановка.

Цели: Познакомить учащихся с общими понятиями шифров перестановки; познакомить учащихся с шифром маршрутной перестановки.

Проверка домашнего задания.

Учитель: Ребята, на прошлом занятии мы с вами закончили первый раздел нашего курса - шифры замены. Сегодня мы начинаем новый раздел - шифры перестановки.

Шифром перестановки называется шифр, преобразования из которого изменяют только порядок следования символов исходного текста, но не изменяют их самих. [21, с. 22]

С помощью перестановки можно как зашифровать сообщение, так и расшифровать.

Рассмотрим пример:

Возьмем такую перестановку:

( )

Зашифруем с ее помощью слово ПЕРВЫЙ. В данном случае первая

буква идет на место четвертой, а четвертая на место первой; вторая остается на месте; третья идет на метро пятой; пятая на место шестой; а шестая на место третьей. И в итоге у нас получается такой набор букв: ВЕЫПЙР.

Обращаю ваше внимание, что с помощью такой перестановки можно зашифровать и расшифровать слова, состоящие только из шести букв. Но если длина перестановки другая, то и слова должны иметь другое количество букв.

Теперь попробуем с помощью той же самой перестановки расшифровать сообщение ВИОСЛМ.

Ответ: СИМВОЛ.

Учитель: Теперь, когда мы уже поняли, что такое шифр перестановки, поговорим о более интересных его разновидностях. Например, широкое распространение получили шифры, использующие некоторую геометрическую фигуру. В фигуру исходный текст записывается по одному

«маршруту», а затем по другому «маршруту» текст выписывается из нее. Такой шифр называют маршрутной перестановкой. [21, с. 23]

Рассмотрим пример:

Впишем исходное сообщение СЕГОДНЯСОЛНЕЧНЫЙДЕНЬ в прямоугольную таблицу размером 5 Ч 4 , выбрав такой маршрут: по вертикали, начиная с верхнего левого угла, записываем буквы поочередно сверху вниз и снизу вверх:

Таблица 10

Пример маршрутной перестановки

Однако выписывать сообщение мы будем по другому маршруту: по горизонтали, начиная с правого нижнего угла и двигаясь справа налево и слева направо.

В итоге, зашифрованное сообщение выглядит так: ЬЧЕДОГННННЕЫЛЯЕССОЙД.

Используя разные маршруты, можно зашифровать одно и то же сообщение различными способами.

Теперь используем в качестве фигуры, в которую записываются буквы по маршруту, треугольник, в котором с каждой стороны будут по пять букв.

Задание 1.

Зная, что сообщение шифровалось по следующему маршруту: сверху по диагонали вниз право, а затем влево вверх и так далее, расшифруйте сообщение ККРНЫЕЕЕОДСЧАЫЗ

Ответ:

К

О К

Д Е Р

Ы С Е Н

З А Ч Е Ы

КОДЫ ЗАСЕКРЕЧЕНЫ.

Задание 2.

Дано засекреченное сообщение:

АВОТКБТЕБОКОИЛАРШЬФИОШЗЯЯАЕБ

Расшифруйте его, зная, что исходный текст был записан в

прямоугольнике размером 7 Ч 4, начиная с левого верхнего угла, двигаясь сначала слева направо, а потом справа налево. А зашифровано оно было по маршруту, начиная с левого нижнего угла, двигаясь вверх по каждому столбцу.

Ответ:

Таблица 11

Ответ к заданию 2

«Теория без фактов - большая ошибка» - Артур Конан Дойл «Второе пятно». [2, с. 158]

Подведем итоги занятия:

1. Что называется шифром перестановки?

2. Что такое маршрутная перестановка?

Домашнее задание: Зашифровать любую фразу с помощью прямоугольника. Обратите внимание, что количество клеток в вашей прямоугольной таблице должно быть равно количеству букв во всей фразе. После зашифровки, отдать соседу на расшифровку. На следующее занятие принести лист картона, ножницы и клей, а так же лист бумаги.

Занятие 7. Шифр «Сцитала».

Цели: Познакомить учащихся с шифром «Сцитала», смастерить сциталу и зашифровать сообщение с ее помощью.

Проверка домашнего задания.

Учитель: Ребята, сегодня я расскажу вам о шифре «Сцитала». Этот

Спарты против Афин в V веке до н.э. А кто знает, в каком государстве находились эти два города?

Ученики: Древняя Греция.

Учитель: Правильно. Секрет шифра в том, что для его реализации использовалась сцитала - жезл, имеющий форму трубы. На сциталу наматывалась тонкая папирусная лента без просветов и нахлестов, а затем на этой ленте вдоль одной линии на каждом витке записывался открытый текст. Лента разматывалась и получалось (для непосвященных), что поперек ленты в беспорядке написаны какие-то буквы. Затем лента отправлялась адресату. Адресат брал такую же сциталу, таким же образом наматывал на нее полученную ленту и читал сообщение вдоль сциталы. [11, с. 11]

Выглядело это так, как на рисунке 9:

Рис. 9. Сцитала.

Для сегодняшнего занятия я просила вас принести ножницы, клей, картон и бумагу. Сегодня мы с вами сделаем сциталу. Для этого нам нужно взять лист картона и свернуть его в трубочку. Пусть она у вас всех будет разных размеров. Приклеим край картона к трубочке. Вот и получилась сцитала. Теперь нам понадобится современная интерпретация папируса. Кто знает, для чего использовался папирус?

Ученики: Для письма.

Учитель: Да, правильно. А сегодня мы для письма используем бумагу. Нам для зашифровки сообщения понадобится тонкая лента, поэтому мы берем ножницы и отрезаем от края бумаги с большей длиной полосу с шириной 1-2 см. Это и есть наш современный «папирус».

Для того чтобы зашифровать сообщение, нужно намотать полосу на сциталу и в строчку записать нужное сообщение. Например, давайте зашифруем фразу: ОТГАДАЙ, ЕСЛИ СМОЖЕШЬ.

Теперь у каждого из вас есть лента с зашифрованным сообщением. Передайте ее соседу. Так как у каждого из вас сцитала с разными радиусами окружностей по ее бокам, то и прочесть зашифрованное сообщение вашему соседу уже не удастся.

А сейчас для закрепления, мы с вами посмотрим видео «Галилео.

Эксперимент. Криптография (Часть 2)».

Учитель: Далее мы с вами снова сделаем сциталу, но картон я уже раздам каждому из вас. На каждом листе картона есть пометка - место, где его надо склеить. Также каждому из вас дана фраза для зашифровки. Ваша задача: зашифровать фразу и найти среди членов кружка того, у кого сцитала с таким же диаметром. После этот человек должен расшифровать ваше сообщение, а вы его сообщение.

Домашнее задание: Сделать дома сциталу, зашифровать сообщение с ее помощью. Принести зашифрованное сообщение и сциталу на следующее занятие. Также на следующее занятие принести листы в клетку, ножницы и линейку.

Занятие 8. Шифр «Поворотная реш етка».

Цели: Познакомить учащихся с шифром «Поворотная решетка», или решеткой Кардано, изготовить такую решетку, зашифровать и расшифровать сообщение с ее помощью.

Проверка домашнего задания.

Учитель: Ребята, сегодня мы с вами познакомимся с шифром

«Поворотная решетка», или, как еще его называют, решетка Кардано. Джероламо Кардано - это итальянский математик XVI века. Именно он и предложил использовать такой способ шифрования. В чем же заключается смысл этого шифра? Давайте рассмотрим таблицу:

Таблица 12

Поворотная решетка

Кто-нибудь может прочитать то, что здесь написано? Ученики: Нет.

Учитель: То есть получается перед нами сейчас зашифрованное сообщение. Давайте попробуем его расшифровать. У каждого из вас на столах лежат решетки из бумаги с прорезями. Если накладывать решетку на таблицу, поворачивая ее на 90°по часовой стрелке, мы увидим, что на самом деле сообщение несет смысл. Такой шифр является частным случаем шифра маршрутной перестановки.

Рис. 10. Решетка.

Рис. 11. Наложение решетки на таблицу 12.

Рис. 12. Первый поворот решетки.

Рис. 13. Второй поворот решетки.

Рис. 14. Третий поворот решетки

Ответ: «Мы овладели способом разработки тайнописи. Будем пользоваться ею разумно!» [23, с. 18]

Учитель: давайте теперь каждый из вас зашифрует свое сообщение с помощью имеющейся у всех решетки. Как это сделать?

Нужно прикладывать решетку к таблице и заполнять клетки таблицы, которые видны через ячейки решетки. Потом перевернуть решетку на 90° и повторить предыдущие действия, потом опять перевернуть решетку на 90° и опять повторить предыдущие действия. После того, как вы заполнили все возможные клетки таблицы с помощью решетки, заполните пустующие клетки таблицы произвольными буквами или знаками. Теперь, пусть каждый из вас отдаст свое сообщение соседу на расшифровку, и мы прочитаем ваши фразы.

Учитель: Теперь назревает вопрос: «Как же составить такую решетку?». На него нам ответит видеофрагмент: Галилео. Эксперимент. Криптография (Часть 1).

Задание: Составить свою решетку, вырезать ее, зашифровать с ее помощью сообщение и отдать на расшифровку соседу.

Занятие 9. «Шифр вертикальной перестановки».

Цели: Познакомить учащихся с «шифром вертикальной перестановки», зашифровать и расшифровать данное сообщение с его помощью, зашифровать собственное сообщение с его помощью.

Учитель: Ребята, сегодня мы с вами познакомимся с «шифром вертикальной перестановки» (ШВП). Он является разновидностью шифра маршрутной перестановки. А кто мне скажет, в чем заключается идея шифра маршрутной перестановки?

Ученики: В фигуру исходный текст записывается по одному «маршруту», а затем по другому «маршруту» текст выписывается из нее. [21, с. 23]

Учитель: Правильно. Так и в «шифре вертикальной перестановки» мы используем фигуру, а именно прямоугольник, в который сообщение записывается обычным способом, то есть по строкам слева направо. Выписываются буквы по вертикали, а столбцы при этом берутся в порядке, определяемом ключом. Пусть, например, этот ключ таков: (5,4,1,7,2,6,3), и с его помощью надо зашифровать сообщение: [21, с. 26]

ВОТПРИМЕРШИФРАВЕРТИКАЛЬНОЙПЕРЕСТАНОВКИ

Выпишем сообщение в прямоугольник, столбцы которого пронумерованы в соответствии с ключом: [21, с. 26]

Таблица 13

Пример ШВП

Теперь, выбирая столбцы в порядке, заданном ключом, и выписывая последовательно буквы каждого из них сверху вниз, получаем такую криптограмму: [21, с. 23]

ОРЕЬЕКРФИЙА-МААЕО-ТШРНСИВЕВЛРВИРКПН-ПИТОТ-.

Задание 1.

А теперь давайте зашифруем подобным способом фразу из книги Жюля Верна «Двадцать тысяч лье под водой» - «Природа ничего не создает без цели» [19, с. 20] - с помощью ключа (3726154):

Таблица 14

Шифровка к заданию 1

Ответ: ОГДЦ-ИЧОЕ-ПНЕТИАНЕЛ-ДОАЕ-РЕЗЗ-РИСБ-

Задание 2.

Зашифровывать с помощью ШВП мы научились, теперь давайте расшифруем сообщение: КЯССТТ-АРАОС- -ЫСБРКТ-ОМ-ВКЙ-ГАЯОАА- ТТЕТЬО-ВИНЕАН-ФОЗАЕЯА с помощью ключа (8,2,1,6,3,5,4,7). Как это сделать? У кого есть предположения?

Ответ: Нужно в таблицу записывать части сообщения сверху вниз по столбцам, начиная с номера 1.

Таблица 15

Ответ к заданию 2

В итоге получилась фраза: «Факты говорят сами за себя - на острове есть какая-то тайна» - Жюль Верн «Таинственный остров» [20, с. 350].

Учитель: Давайте теперь рассмотрим случай, когда ключ не рекомендуется записывать. Здесь мы будем использовать какое-либо слово или предложение, которое легко запомнить. Например, пусть ключом будет слово ИСТИНА. Тогда присутствующая в нем буква А имеет номер 1. Если какая-то буква входит в слово несколько раз, то ее появления нумеруются последовательно слева направо. Так первая буква И имеет номер 2, а вторая - номер 3. Далее буква Н имеет номер 4, С - 5, Т - 6. [21, с. 26 - 27]

Таблица 16

Ключ 1

Вот и получился засекреченный ключ (2,5,6,3,4,1) Задание 3.

Какой ключ получится из слова ПЕРЕСТАНОВКА? Ответ: (9,4,10,5,11,12,1,7,8,3,6,2).

Домашнее задание: Извлечь из слова МАРШРУТ ключ, зашифровать с его помощью фразу или цитату и передать соседу на расшифровку.

Занятие 10. Итоговое занятие.

Цель: Проверить, насколько хорошо участники кружка усвоили материал с помощью проверочной работы, подвести итоги.

Проверка домашнего задания.

Учитель: Ребята, сегодня у нас итоговое занятие кружка и, подводя черту, мы проведем проверочную работу, которая покажет, насколько хорошо вами усвоен материал. Но проходить эта проверочная будет не индивидуально, а по командам и в виде викторины. Всего будут две команды, для каждой из которых будут свои варианты заданий. Та команда, которая быстрее выполнит свое задание, получает баллы. Победителем будет считаться та команды, у которой будет большее количество баллов.

Итак, первое задание :

С помощью ключ-таблицы с цифрами расшифруйте сообщение. А)

Таблица 17

Задание 1А

32 06 78 19 05 68 07 94 10 86 87 74 99 91 10 75 69 56 72 75 44 15 37 86

Б)

Таблица 18

Задание 1Б

62 31 76 55 51 60 93 00 95 27 87 62 06 30 95 48 86 92 08 55 22 10 94 27

Ответ: Кто не прятался, я не виноват.

Задание 2.

С помощью шифра Цезаря зашифруйте фразу: у всех свои скелеты в шкафу.

А) У-шифр

Ответ: Ж хеши ехвь, еюшяео х люузж. Б) Ф-шифр

Ответ: З цещй ецгэ, еящащжп ц мяфиз.

Задание 3.

С помощью шифра Атбаш расшифруйте четверостишья: А)

А пртсб злысръ тьсрэъсгъ: Пъоъыр тсрх аэцуянг мд, Фяф мхмрущмсръ эцыъсгъ, Фяф ьъсцх зцнмрх фоянрмд… Ответ:

Я помню чудное мгновенье: Передо мной явилась ты, Как мимолетное виденье, Как гений чистой красоты… (А.С. Пушкин)

Б)

Трорч ц нрусиъ; ыъсг злыънсдх!

Ъещ мд ыоътуъжг, ыоль пръуънмсдх - Проя, фояняэия, порнсцнг:

Рмфорх нртфслмд съьрх эчроы… Ответ:

Мороз и солнце; день чудесный!

Еще ты дремлешь, друг прелестный - Пора, красавица, проснись:

Открой сомкнуты негой взоры… (А.С. Пушкин)

Задание 4.

Таблица 19

Задание 4

С помощью лозунгового шифра с лозунгом ФОНАРЬ зашифруйте фразу:

А) Нет ничего более обманчивого, чем очевидный факт. Ответ: Иьп идцьай ойжьь йозфицднйай, цьз йцьндриъе тфеп. Б) Отбросьте все невозможное. Оставшееся будет ответом.

Ответ: Йполймыпь нмб иьнйгзйвийь. Ймпфнчььмя осрьп йпньпйз.

Задание 5.

С помощью шифра маршрутной перестановки в прямоугольнике 5 Ч 4

расшифруйте сообщение:

А) зная, что оно выписывалось по маршруту, начиная с верхнего левого угла, сверху вниз и снизу вверх и так далее.

СГТАМИОУМХТЕКИВНОАНА

Б) зная, что оно выписывалось по маршруту, начиная с верхнего левого угла, сверху вниз.

СГТАУОИММХТЕНВИКОАНА

Ответ:

Таблица 20

Ответ к заданию 5

С умного хватит и намека.

Задание 6.

С помощью шифра вертикальной перестановки расшифруйте сообщение:

А) с ключом (1,6,2,4,3,5)

УДОИВ-ХОЧКТВУЛ-ЭОРЕАОНЖО-МУЕЕЕ

-ХОЧКУДОИВТВУЛ-ОНЖО-ЭОРЕАМУЕЕЕ

Таблица 21

Ответ к заданию 6

«Ум - это духовное оружие человека» - Белинский В. Г.

Учитель: Итак, ребята, наши занятия подошли к концу и время для подведения итогов.

После окончания викторины учитель подводит итоги, отмечает работу каждого участника кружка в течение всех занятий, выставляет оценки.

§3. Опытная проверка

Опытная проверка учебных материалов кружка проводилась в 6 «А» классе на базе ГБОУ города Москвы «Школа с углубленным изучением английского языка №1359 имени авиаконструктора М.Л. Миля».

Опытная проверка состояла из трех этапов:

1. Констатирующий. На данном этапе проводилось анкетирование учащихся с целью выявления имеющихся знаний по данной теме.

2. Обучающий. На данном этапе были проведены занятия кружка на тему «Шифры и шифрование».

3. Контролирующий. На данном этапе проводилась проверочная работа с целью выявления результатов обучения.

Анкета.

1. Знаете ли Вы, что изучает криптография?

2. Знаете ли Вы какие-либо шифры? Если да, то какие?

3. Как Вы думаете, для чего используются шифры?

4. Что такое шифр?

5. Слышали ли Вы о шифре Цезаря?

6. Чем отличается шифрование от кодирования?

По результатам анкетирования было выявлено, что учащиеся обладают лишь интуитивными представлениями о шифровании и криптографии. Результаты анкетирования представлены в таблице 22.

Таблица 22

Результаты анкетирования

В ходе второго этапа особое внимание уделялось:

· поддержанию интереса учащихся к содержанию кружка;

· созданию проблемной ситуации на уроке;

· проявлению учащимися активности и самостоятельности.

Также на данном этапе решались следующие задачи:

1. Проверка доступности отобранного материала и качества его усвоения.

2. Установление влияния отобранного материала кружка на уровень развития интеллектуальных способностей учащихся.

В рамках опытной проверки были проведено три занятия кружка, содержание которых представлено в данной работе в главе 2 §2 (1, 3, 8).

По итогам занятий была проведена проверочная работа с целью выявления результатов обучения, предусмотренная в третьем этапе опытной проверки. Задания для проверочной работы были взяты из занятия 10 в главе 2 §2 (№2 и №5).

Так как проверочная работа проходила в форме викторины и ученики были распределены по командам, то за правильные ответы и дополнения участникам кружка выдавались медали. По итогу занятия подсчитывалось общее количество медалей в сумме по командам и у каждого ученика в отдельности. Тот, у кого больше всего медалей, считался победителем.

После анализа проведенной проверочной работы, были сделаны выводы, что большая часть учащихся (86%) умеют пользоваться шифрами, разобранными на занятиях. А значит, материалы разработанного кружка являются доступными для понимания и изучения.

Вывод проведенной опытной проверки: отобранные теоретические и практические материалы доступны для учащихся, а разработанная программа кружка способствует развитию интереса к математике.

Выводы ко второй главе

В результате анализа учебников по математики для 5-6 классов [31, 33, 35, 32, 15, 16, 17] выявлено, что для проведения занятий кружка по теме

«Шифры и шифрование» ученики обладают достаточными знаниями к концу 5 класса - началу 6 класса.

Составлены программа и содержание занятий кружка на тему «Шифры и шифрование», который направлен на знакомство учащихся с древними шифрами и основами криптографии, получение теоретических знаний по вопросам шифрования, развитие и отработку навыков шифрования и дешифрования сообщений различными способами, развитие интереса к криптографии как к части математической науки.

На основании программы и содержания кружка по теме «Шифры и шифрование» была проведена опытная проверка, в результате которой было выявлено, что отобранные теоретические и практические материалы доступны для учащихся, а разработанная программа кружка способствует развитию интереса к математике.

Заключение

В ходе проведенного теоретического и опытного исследования, были получены следующие результаты:

1) Изучены требования к кружкам по математике, в том числе и для учащихся 5-6 классов.

2) Изучены возрастные особенности школьников 5-6- классов.

3) Выявлены психологические и методические особенности обучения учащихся 5-6 классов, отбора учебного материала для проведения занятий кружка по математике.

4) Проанализировано развитие познавательного интереса к обучению на занятиях математического кружка.

5) Разработана программа кружка на тему «Шифры и шифрование» для учащихся 5-6 классов, материал которого доступен для учащихся, способствует развитию интереса к математике.

6) Разработаны методические рекомендации по организации и проведению кружка на тему «Шифры и шифрование» для учащихся 5-6 классов.

7) Проведена опытная проверка разработанных учебных материалов.

Таким образом, задачи, поставленные в выпускной квалификационной работе, полностью выполнены. Эффективность и доступность разработанной программы кружка подтверждены проведенной опытной проверкой.

Библиографический список

1. Артур Конан Дойл. Архив Шерлока Холмса. - М.: Правда, 1966.- 819 с.

2. Артур Конан Дойл. Возвращение Шерлока Холмса. - М.: Альфа- Книга, 2015. - 170 с.

3. Артур Конан Дойл. Записки о Шерлоке Холмсе. - М.: Детская литература, 1978. - 623с.

4. Артур Конан Дойл. Приключения Шерлока Холмса. - М.: Молодая гвардия, 1988. - 446 с.

5. Асмолов А.Г. Формирование универсальных учебных действий в основной школе: от действия к мысли. Система заданий: пособие для учителя / [А.Г. Асмолов, Г.В. Бурменская, И.А. Володарская и др.]; под ред. А.Г. Асмолова. -- 2-е изд. -- М.: Просвещение, 2011. -- 159 с.

6. Бабанский Ю.К. Избранные педагогические труды. - М.: Педагогика, 1989. - С. 453-459.

7. Балк М.Б., Балк Г.Д. Математика после уроков. Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1971. - 462 с.

8. Баскаков А.М. Интерес учащихся общеобразовательных школ у педагогической профессии и основные условия его формирования.

9. Бизяева Л.Н. Внеклассная работа по математике: методическая разработка - Новосибирск: Изд-во НИПКиПРО, 2015 - 52 с.

10. Будаева Л.Н. История развития факультативных и элективных курсов. - URL: http://nsportal.ru/shkola/materialy-metodicheskikh- obedinenii/library/istoriya-razvitiya-elektivnyh-kursov (дата обращения 04.02.2016)

11. Введение в криптографию / Под общ. ред. В.В. Ященко. -- М.: МЦНМО, «ЧеРо», 1998. -- 272 с.

12. Гельфанд М.Б., Павлович В.С. Внеклассная работа по математике в восьмилетней школе. М.: Просвещение, 1965. - 208 с.

13. Германович П.Ю. Внеклассная работа по математике в V - VII классах школы. // Математика в школе. - 1951. - № 4. с. 22

14. Дидактика средней школы / Под ред. М.Н. Скаткина, И.Я. Лернера. - М., 1975. - 371 с.

15. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 5 класс. Часть 1. - Изд. 2-е, перераб./ Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон. - М.: Издательство «Ювента», 2011. - 176 с.: ил.

16. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 5 класс. Часть 2. - Изд. 2-е, перераб./ Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон. - М.: Издательство «Ювента», 2011. - 240 с.: ил.

17. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс. Часть 1. - Изд. 2-е, перераб./ Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон. - М.: Издательство «Ювента», 2010. - 112 с.: ил.

18. Дэн Браун. Код да Винчи. - М.: АСТ, 2003. - 560 с.

19. Жюль Верн. Двадцать тысяч лье под водой. - М.: Государственное издательство художественной литературы, 1956. - 229 с.

20. Жюль Верн. Таинственный остров. - СПб.: Азбука, 2016. - 480 с.

21. Зубов А.Ю. Олимпиады по криптографии и математике для школьников / А.Ю. Зубов, А.В. Зязин, В.Н. Овчинников, С.М. Рамоданов. -- М.: МЦНМО, 2006. -- 136 с.

22. Казаренков В.И. Внеурочные занятия школьников по учебным предметам: Учебное пособие. - Ростов-на-Дону: Изд. РПУ, 1994. - 169 с.

23. Козина М.Е. Математика. 8-9 классы: сборник элективных курсов. Вып. 2 / авт.-сост. М. Е. Козина. - Волгоград: Учитель, 2007. - 137 с.

24. Концепция развития математического образования в Российской Федерации: утверждена распоряжением Правительства Российской Федерации от 24 декабря 2013 г. № 2506-р - URL: http://минобрнауки.рф/3894

25. Криволапова Н.А. Учимся учиться: программа развития познавательных способностей учащихся младших классов / Н.А. Криволапова, И.Ю. Цибаева. - Курган: Ин-т повыш. квалиф. и переподготовки раб-ов образования, 2005. - 34 с. - (Серия «Умники и умницы»).

26. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников / Под редакцией Н.И. Чуприковой. -- М.: Издательство «Институт практической психологии»; Воронеж: Издательство НПО

«МОДЭК», 1998. -- 416 с.

27. Линьков Г.И. Внеклассная работа по математике. М.: Учпедгиз, 1954. - 64 с.

28. Магомедбеков П.К. Внеклассная работа по математике. Махачкала: ДАГУЧПЕДГИЗ, 1958. - 179 с.

29. Мардахаева Е.Л. Математический кружок в системе дополнительного математического образования учащихся 5-7-х классов основной школы: диссертация … кандидата педагогических наук :13.00.02. 242 с.

30. Маркова А.К. Формирование мотивации учения в школьном возрасте. Пособие для учителя. -- М.: Просвещение, 1983. -- 96 с.

31. Математика. 5 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. - 7-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2007. - 270 с.

32. Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович. - 6-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2007. - 264 с.

33. Математика: учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. - 21-е изд., стер.- М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.

34. Математика: учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. - 20-е изд., стер.- М.: Мнемозина, 2007. - 288 с.

35. Математика: Учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений / Н.Б. Истомина. - 4-е изд., испр. и доп. - Смоленск.: «Ассоциация XXI век», 2007. - 240 с.

36. Математика: Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений / Н.Б. Истомина. - 4-е изд., испр. и доп. - Смоленск.: «Ассоциация XXI век», 2007. - 208 с.

37. Петраков И.С. Математические олимпиады школьников: Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1982. - 96 с.

38. Петровский А.В. Российская педагогическая энциклопедия в двух томах / гл. ред. Давыдов В.В. // Том I - М., 1993.

39. Пустовалова Е. В., Шалимова О. А. Приемы развития познавательных интересов на уроках математики [Текст] // Актуальные вопросы современной педагогики: материалы IV междунар. науч. конф. (г. Уфа, ноябрь 2013 г.). -- Уфа: Лето, 2013. -- С. 94-97.

40. Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе: Учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов / Г.И. Саранцев. -- М.: Просвещение, 2002. -- 224 с.

41. Серебровская Е.К. Опыт внеклассной работы по математике. Иркутск: Иркутское областное государственное издательство, 1952. - 120 с.

42. Смирнова В.И. Педагогика геометрии. - М.: Дрофа, 2014. - 267 с.

43. Степанов В.Д. Активизация внеурочной работы по математике в средней школе: Кн. для учителя: Из опыта работы. - М.: Просвещение, 1991. - 80 с.

44. Стивенсон Р.Л. Остров сокровищ -- Киев: РПО «Полиграфика», 1992. -- 103 с.

45. Стратилатов П.В. Из опыта преподавания математики в V - VII классах средней школы. М.: Государственное учебно-педагогическое издательство министерства РСФСР, 1954. - 292 с.

46. Трофимова Л. В. Формирование познавательного интереса старших подростков при переходе школы к предпрофильной подготовке: автореф. дис. канд. пед. наук: 13.00.01 / Трофимова Людмила Викторовна. Кемерово, 2006. - 21 с

47. Труднев В.П. Внеклассная работа по математике в начальной школе. Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1975. - 176 с.

48. Ушинский К.Д. Предисловие к 1-му изд. «Детского мира». -- Собр. соч., т. 5. -- М.; Л., 1949, с. 17--38. Л

49. Фарков А.В. Внеклассная работа по математике. 5-11 классы. М.: Айрис-пресс, 2009. - 288 с.

50. Фарков А.В. Математические олимпиады: методика подготовки. 5-8 классы. - М.: ВАКО, 2014. - 176 с. - (Мастерская учителя математики).

51. Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования. -- URL: http://минобрнауки.рф/документы/938

52. Федеральный закон от 29 декабря 2012 г. № 273-ФЗ 'Об образовании в Российской Федерации'. - URL: http://минобрнауки.рф/1249

53. Федорович Л. Внеклассная работа по математике. // Математика в школе. - 1940. - № 4. с. 45

54. Фотина И.В. Математика. 5 - 9 классы. Развитие математического мышления: олимпиады, конкурсы / авт.-сост. И.В. Фотина. - Волгоград : Учитель , 2010. - 202 с.

55. Щукина Г.И. Активизация познавательной деятельности учащихся в учебном процессе. М., Просвещение, 1979. - 160 с.

56. Щукина Г.И. Проблема познавательного интереса в педагогике. - М., 1972