Исследование НДС аналитической и численной модели МКЭ

Работа из раздела: «Строительство и архитектура»

https://

Санкт - Петербург

2015

1. Исходные данные для вариантов заданий

Рис.1 Основные геометрические размеры оболочки

Таблица 1.

Исходные данные
R, м	R₁, м	R₂, м	g, кН/м³	d, м	p, kH/м	f₀,	f_к,	n_r	n_h
8,5	6,8	0,95	77,0	0,006	6,0	0,112	0,933	12	24

где - угол, направленный в центр k-го элемента из точки, являющейся центром образующей

1.1 Основные допущения аналитической модели

1) Сечения нормальные к срединной плоскости остаются нормальными и после приложения к ним силы

2) Рассматриваются только нормальные напряжения

3) Геометрическая нелинейность не учитывается

4) Напряжение по толщине оболочки распределяется равномерно

5) Не учитывается пуассоновская деформация

6) Толщина оболочки много меньше двух других геометрических размеров

Формулы напряжений

Линейные усилия :

Напряжения :

;

Формулы для графической модели SCAD:

Решение

Расчётная схема SCAD

Рис.2 Приложенная нагрузка 6кН/м

Связи установлены по Z,X,Y

Рис.3 Нагрузка от собственного веса, кН

Рис.4 Поля напряжений от сочетания нагрузок N_x,

Рис.5 Поля напряжений от сочетания нагрузок N_y,

Рис.6 Перемещения в узлах по оси Z, мм

2.2 Сравнительный анализ аналитического и компьютерного МКЭ расчёта

Таблица 2

n_h=24, n_r=12
Номер участка (Scad)	Номер участка	?_i, рад	Результаты аналитического расчета	Результаты расчета по SCAD	Относительная погрешность, %
			N'_x, кН/м²	N'_у, кН/м²	N_x, кН/м²	N_у, кН/м²	?N_x/N'_x	?N_у /N'_у
286	1	0,129	6175	-6824	-17724	-5559	-387%	-19%
274	2	0,163	3756	-4402	4124	-4696	10%	7%
262	3	0,198	2484	-3126	3207	-3048	29%	-2%
250	4	0,232	1735	-2372	1688	-2317	-3%	-2%
238	5	0,266	1260	-1891	1208	-1851	-4%	-2%
226	6	0,300	941	-1566	910	-1532	-3%	-2%
214	7	0,334	718	-1336	698	-1307	-3%	-2%
202	8	0,369	557	-1168	545	-1143	-2%	-2%
190	9	0,403	439	-1041	432	-1019	-2%	-2%
178	10	0,437	351	-944	349	-924	-1%	-2%
166	11	0,471	285	-868	285	-850	0%	-2%
154	12	0,505	236	-808	238	-791	1%	-2%
142	13	0,540	199	-760	202	-744	2%	-2%
130	14	0,574	171	-721	176	-705	3%	-2%
118	15	0,608	152	-689	157	-674	3%	-2%
106	16	0,642	139	-663	142	-649	2%	-2%
94	17	0,677	132	-642	131	-628	-1%	-2%
82	18	0,711	129	-625	121	-611	-6%	-2%
70	19	0,745	130	-611	110	-598	-15%	-2%
58	20	0,779	135	-600	96	-587	-29%	-2%
46	21	0,813	142	-592	73	-579	-49%	-2%
34	22	0,848	152	-585	36	-573	-76%	-2%
22	23	0,882	165	-581	-25	-568	-115%	-2%
10	24	0,916	179	-578	-117	-567	-165%	-2%

Вывод: аналитическая и численная модели имеют хорошую сходимость для напряжений в промежуточных пластинах по оси Y (2%). По оси X сходимость в краевых точках (как вверху, где приложена нагрузка, так и у закреплений) имеет существенные отклонения ввиду того, что метод МКЭ учитывает пуассоновское расширение пластин, на которые мы разбили оболочку, в аналитическом же методе такого учёта нет. Можно предположить, что, увеличив разбиение оболочки в SCAD по горизонтали, например, n(горизонтальное)=24, значения напряжений будут сходиться лучше. Проверим последнее и сведём полученные результаты в таблицу 3.

Таблица 3

n_h=24, n_r=24
Номер участка (Scad)	Номер участка	?_i, рад	Результаты аналитического расчета	Результаты расчета по SCAD	Относительная погрешность, %
			N'_x, кН/м²	N'_у, кН/м²	N_x, кН/м²	N_у, кН/м²	?N_x/N'_x	?N_у /N'_у
562	1	0,129	6175	-6824	-20799	-4800	-437%	-30%
538	2	0,163	3756	-4402	6617	-5028	76%	14%
514	3	0,198	2484	-3126	3872	-3156	56%	1%
490	4	0,232	1735	-2372	1468	-2351	-15%	-1%
466	5	0,266	1260	-1891	1179	-1894	-6%	0,16%
442	6	0,300	941	-1566	946	-1568	1%	0,15%
418	7	0,334	718	-1336	717	-1337	0%	0,10%
394	8	0,369	557	-1168	557	-1169	0%	0,11%
370	9	0,403	439	-1041	441	-1043	0%	0,11%
346	10	0,437	351	-944	354	-945	1%	0,12%
322	11	0,471	285	-868	289	-870	1%	0,13%
298	12	0,505	236	-808	240	-809	2%	0,14%
274	13	0,540	199	-760	204	-761	3%	0,15%
250	14	0,574	171	-721	177	-722	3%	0,17%
226	15	0,608	152	-689	158	-691	4%	0,18%
202	16	0,642	139	-663	145	-665	4%	0,20%
178	17	0,677	132	-642	138	-644	4%	0,22%
154	18	0,711	129	-625	135	-627	4%	0,24%
130	19	0,745	130	-611	135	-613	3%	0,27%
106	20	0,779	135	-600	136	-602	1%	0,29%
82	21	0,813	142	-592	133	-594	-7%	0,32%
58	22	0,848	152	-585	117	-588	-23%	0,37%
34	23	0,882	165	-581	57	-583	-65%	0,36%
10	24	0,916	179	-578	-84	-582	-147%	1%

Предположение о лучшей сходимости по , при увеличении разбиения, подтверждено.

2. Результаты SCAD при малых разбиениях

Таблица 4

n_h=8, n_r=12
Номер участка (Scad)	Номер участка	?_i, рад	Результаты аналитического расчета	Результаты расчета по SCAD	Относительная погрешность, %
			N'_x, кН/м²	N'_у, кН/м²	N_x, кН/м²	N_у, кН/м²	?N_x/N'_x	?N_у /N'_у
94	1	0,138	5398	-6046	-2172	-3570	-140%	-41%
82	2	0,189	2738	-3381	2206	-1964	-19%	-42%
70	3	0,240	1597	-2233	381	-1144	-76%	-49%
58	4	0,292	1010	-1637	283	-853	-72%	-48%
46	5	0,343	673	-1289	172	-707	-74%	-45%
34	6	0,394	466	-1070	132	-630	-72%	-41%
22	7	0,446	333	-924	77	-587	-77%	-36%
10	8	0,497	247	-822	-75	-573	-130%	-30%

Таблица 5

n_h=16, n_r=12
Номер участка (Scad)	Номер участка	?_i, рад	Результаты аналитического расчета	Результаты расчета по SCAD	Относительная погрешность, %
			N'_x, кН/м²	N'_у, кН/м²	N_x, кН/м²	N_у, кН/м²	?N_x/N'_x	?N_у /N'_у
190	1	0,138	5398	-6046	-9648	-4942	-279%	-18%
178	2	0,189	2738	-3381	4364	-3497	59%	3%
166	3	0,240	1597	-2233	1604	-2173	0%	-3%
154	4	0,292	1010	-1637	922	-1608	-9%	-2%
142	5	0,343	673	-1289	653	-1263	-3%	-2%
130	6	0,394	466	-1070	453	-1048	-3%	-2%
118	7	0,446	333	-924	329	-905	-1%	-2%
106	8	0,497	247	-822	247	-805	0%	-2%
94	9	0,548	191	-749	194	-734	2%	-2%
82	10	0,600	156	-697	160	-682	3%	-2%
70	11	0,651	137	-658	139	-644	1%	-2%
58	12	0,702	130	-629	123	-616	-5%	-2%
46	13	0,754	131	-608	106	-595	-19%	-2%
34	14	0,805	140	-594	77	-581	-45%	-2%
22	15	0,856	155	-584	16	-571	-90%	-2%
10	16	0,908	176	-578	-101	-568	-158%	-2%

3. Определение чувствительности по нагрузке (p)

Чувствительность [] определяется по формулам:

Чувствительности аналитической модели и модели SCAD

Таблица 6

Вывод

строительный аналитический компьютерный модель

Обе модели верны и дают достаточно точные результаты. SCAD в отличии от аналитической модели чувствителен к размеру элемента, как по вертикали, так и по горизонтали, также существует краевой эффект вблизи приложения нагрузки, что даёт «отскок» в результате по отношению к реальному НДС в конструкции. Чувствительность аналитической модели ниже, чем модели, полученной в SCAD. Разбивка n_h=24, n_r=24 является достаточной.

Список использованной литературы

1. В.В. Севастьянов. Метод. указания по выполнению курс. раб. для студентов магистрантов по направлению «Строительство» /СПб гос. архит.-строит. ун-т; СПб, 2016г.-16 с.

2. Тимошенко С.П., Войновский - Кригер С. Пластинки и оболочки. -М.: Наука, 1966г.-636с.

Приложение