Испытание стержней на устойчивость

• Министерство образования Российской Федерации
• Государственное образовательное учреждение
• высшего профессионального образования
• Череповецкий Государственный Университет
• Кафедра Сопротивление материалов
• Лабораторная работа № 1
• «Испытание стержней на устойчивость»
• Выполнил студент
• группы 5 ЭН - 22
• Малинин М.С.
• Проверил профессор
• Титов В.А.
• г. Череповец
• 2007 г
• Цель работы
• Определение критической силы для центрального сжатого стержня и пределов применения расчетных формул
• Задачи работы
• · Определить предельную гибкость
• · Определить фактическую гибкость для двух типов закрепления концов стержня
• · Сделать вывод о выборе формулы для определения критической силы
• · Определить критическую силу для двух типов закрепления концов стержня.
• Основные теоретические положения
• При осевом сжатии стержней, поперечные размеры которых малы по сравнению с длиной, может произойти потеря устойчивости стержня, т.е. стержень будет искривляться в плоскости наименьшей жесткости.
• Наименьшее значение нагрузки, при которой прямолинейная форма равновесия стержня становится неустойчивой, называется критической силой.
• В случае, когда потеря устойчивости происходит при напряжениях, не превосходящих предела пропорциональности, критическая сила Pкр определяется по формуле Эйлера: Pкр = ?2 · E · Уmin / (? · l) 2
• E - модуль продольной упругости материала стержня;
• Уmin - минимальный осевой момент инерции поперечного сечения стержня;
• ? - коэффициент приведения длины, который зависит от способа закрепления концов стержня;
• l - длина стержня.
• Если потеря устойчивости происходит при напряжениях, превосходящих предел пропорциональности, критическую силу вычисляют через критические напряжения ?кр, которые определяют по формуле Ясинского:
• ?кр = a - b · ?
• где a и b - коэффициенты, зависящие от материала стержня
• (для стали a = 310 МПа, b = 1,4 МПа)
• ? - гибкость стержня.
• Практически применимость той или другой формулы для вычисления критической силы устанавливают сравнением гибкости стержня ? с предельной гибкостью для материала стержня ?пред, которые определяются по формулам:
• ? = ? · l / ?min ?пред = v ?2 · E / ?пц
• где ?пц - предел пропорциональности материала стержня
• ?min - минимальный радиус инерции площади F поперечного сечения стержня, определяемый по формуле: ?min = v Уmin / F
• Схема установки
• a) схема установки
• b) график нагрузка - прогиб
• c) определение критической нагрузки
• Состав установки
• 1. Верхняя траверса
• 2. Верхний зажим для закрепления стержня
• 3. Четыре стойки
• 4. Нижний зажим для закрепления стержня
• 5. Нижняя траверса
• 6. Индикатор
• 7. Динамометр
• 8. Силовой механизм
• 9. Стержень
• 10. Индикатор для измерения прогибов стержня
• Данные о стержне при ? = 1 : l = 87 см, h = 5,1 мм, b = 4,05 см
• Данные о стержне при ? = 0,7 : l = 84,25 см, h = 5,1 мм, b = 4,05 см
• Результат измерений

? = 1
Нагрузка P	мм	0	42	85	130	172
	Н	0	200	400	600	800
Прогиб fg, мм · 10 -2	92	111	145	191	354
? = 0,7
Нагрузка P	мм	90	172	200	346	432
	Н	400	800	1200	1600	2000
Прогиб fg, мм · 10 -2	9	21	50	99	338

• ? = 1 ? = 0,7
• Вычисление теоретического значения Pкр
• Для ? = 1
• Уmin = b · h3 / 12 = 4,05 · 0,513 / 12 = 44,76 · 10-11 м4
• F = b · h = 0,002 м2
• ?2 = Уmin / F = 44,76 · 10-11 / 0,002 = 2,24 · 10-6 м2
• ? min = 1,49 · 10-3 м
• ? = ? · l / ?min = 1 · 0,87 / 1,49 · 10-3 = 584
• ?пред = v ?2 · E / ?пц = v10 · 2 · 1011 / 2 · 108 = 100
• Т.к. ? > ?пред то Pкр= ?2 · E · Уmin / (? · l) 2 =
• = 10 · 2 · 1011 · 44,76 · 10-11 / (1 · 0,87)2 = 1182,7 H
• Для ? = 0,7
• Уmin = b · h3 / 12 = 4,05 · 0,513 / 12 = 44,76 · 10-11 м4
• F = b · h = 0,002 м2
• ?2 = Уmin / F = 44,76 · 10-11 / 0,002 = 2,24 · 10-6 м2
• ? min = 1,49 · 10-3 м
• ? = ? · l / ?min = 0,7 · 0,8425 / 1,49 · 10-3 = 395
• ?пред = v ?2 · E / ?пц = v10 · 2 · 1011 / 2 · 108 = 100
• Т.к. ? > ?пред то Pкр= ?2 · E · Уmin / (? · l) 2 =
• = 10 · 2 · 1011 · 44,76 · 10-11 / (0,7 · 0,8425)2 = 2560 H
• Расчет погрешности измерений
• ?1 = Pкртеор - Pкропыт / Pкртеор = 1182,7 - 1045 / 1182,7 = 11,6 %
• ?2 = Pкртеор - Pкропыт / Pкртеор = 2560 - 2240 / 2560 = 12,5 %
• Результаты определения критической силы

Схема закрепления	Значение Pкр, H	Расхождение, %
	опытное	теоретическое
? = 1	1045	1182,7	11,6
? = 0,7	2240	2560	12,5

• Вывод
• В ходе лабораторной работы мы определили критическую силу Pкр для центрального сжатого стержня и пределов применения расчетных формул. В процессе вычислений было выяснено, что для нахождения критической силы нужно использовать формулу Эйлера. Расчеты показали следующие значения: при ? = 1 Pкртеор = 1182,7 Н, при ? = 0,7 Pкртеор = 2560 Н; по графику видно, что при ? = 1 Pкропыт = 1045 Н, при ? = 0,7 Pкропыт = 2240 Н. Полученная ошибка (11,6% и 12,5%) объясняется погрешностью лабораторной установки, снятием показаний приборов и неточностью расчетов.