Геометрия Лобачевского
Работа из раздела: «
Математика»
Реферат
З геометрії
На тему:
'Геомтрія Лобачевського'
Виконав
Учень 10-А класу
Середньої школи № 96
Коркуна Дмитро
Львів 2000
Нехай тепер АОВ – деякий гострий кут. (рис1) В геометрії Лобачевського
можна вибрати таку точку М на стороні ОВ, що перпендикуляр MQ до сторони ОВ
не перетинається з другою стороною кута. Цей факт як раз підтверджує, що не
виконується п'яте правило: сума кутів ( і ( є менше розгорнутого кута, але
прямі ОА і MQ не перетинаються. Якщо почати зближувати точку М до О, то
найдеться така 'критична' точка М0, що перпендикуляр M0Q0 до сторони OB
поки що не перетинається зі стороною ОА, але для любої точки М`, яка
лежить між О і М0, відповідаючий перпендикуляр М`Q` перетинається зі
стороною ОА. Прямі ОА і M0Q0 все більше приближаються одна до одної, але
спільних точок не мають. На рис.2 ці прямі зображено окремо; а саме такі
необмежено наближаються одна до одної прямі Лобачевський в своїй геометрії
називає паралельними. А два перпендикуляра до одної прямої, які необмежено
віддаляються один від одного, як на рисунку Лобачевський називає прямими,
які розходяться. Виявляється, що цим і обмежуються всі можливості
розміщення двох прямих на площині Лобачевського: дві неспівпадаючі прямі,
які або перетинаються в одній точці, або паралельні , або можуть бути
такими, що розходяться (в цьому випадку вони мають єдиний спільний
перпендикуляр)
На рис. 3 перпендикуляр МQ до сторони ОВ кута АОВ не перетинається зі
стороною ОА, а прямі ОВ` , М`Q` симетричні прямим ОВ і MQ відносно ОА.
Дальше |ОА| = |MB|, так як MQ – перпендикуляр до відрізка ОВ` в його
середині і аналогічно M`Q` – перпендикуляр до відрізка ОВ` в його середині.
Ці перпендикуляри не перетинаються, тому не існує точки, одинаково
віддаленої від точок О,В,В`, отже трикутник ОВВ` не має описаного кола.
На рис. 4 зображено цікавий варіант розташування трьох прямих на
площині Лобачевського: кожні дві із них паралельні, тільки в різних
напрямках. А на рис. 5 всі прямі паралельні одна одній в одному напрямку
(пучок паралельних прямих). Лінія позначена пунктиром на рис.5
'перпендикулярна' всім проведеним прямим (тобто дотична до цієї лінії в
любій її точці М перпендикулярна прямій, яка проходить через М.). Ця лінія
називається граничною кола, або орициклом. Прямі розглянутого пучка ніби
являються її 'радіусами', а центр граничної кола лежить в нескінченності,
оскільки 'радіуси' паралельні. В той же час гранична кола не являється
прямою лінією, вона 'викривлена'. І інші властивості, які в евклідовій
геометрії має пряма, в геометрії Лобачевського виявляються властивими
другим лініям. Наприклад, з множини точок, які знаходяться на одній
стороні від даної прямої на даній відстані від неї, в геометрії
Лобачевського являють собою криву лінію, яка називається єквидистантою.
Ми коротко торкнулися деяких факторів геометрії Лобачевського, не
згадуючи багатьох інших цікавих і змістовних теорем (наприклад, довжина
кола і площа круга тут зростає в залежності від радіуса по показниковому
закону). Виникає переконання, що ця теорія багата дуже цікавими і
змістовними фактам, насправді не суперечлива. Але це переконання (яке було
у всіх трьох творців неєвклідової геометрії) не замінює доведення
несуперечливості.
Щоб дістати таке доведення , треба побудувати модель. І Лобачевський це
добре розумів і намагався її знайти.
Але сам Лобачевський вже не зміг цього зробити. Побудова такої моделі
(доведення несупечливості геометрії Лобачевського) випало на долю
математиків наступного покоління.
В 1868 р. італійській математик Є. Бельтрамі дослідив зігнуту
поверхність, яка називалась псевдосферою, і довів, що на цій поверховості
діє геометрія Лобачевського! Якщо на цій лінії намалювати найкоротші лінії
('геодезичні') і вимірювати по цим лініям відстані, складати з дуг цих
ліній трикутники тощо, то вияявляється, що в точності реалізуються всі
формули геометрії Лобачевського (зокрема сума кутів будь-якого трикутника
дорівнює менше 1800). Правда, на псевдосфері реалізується не вся площина
Лобачевського.
Клейн бере деякий круг К и розглядає такі проективні перетворення
площини, які відображають круг К на себе. 'Площину' Клейн називає
внутрішність круга К, а вказані проективні перетворення вважає 'рухом' цієї
'площини'. Дальше кожну хорду круга К (без кінців оскільки беруться тільки
внутрішні точки круга) Клейн вважає 'прямою'. Оскільки, 'рух' являє собою
проективні перетворення, 'прямі' при цих рухах переходять в 'прямі'. Тепер
в цій 'площині' можна роздивлятися відрізки, трикутники тощо. Дві фігури
називаються рівними, якщо кожна з них може бути перетворена в іншу деяким
'рухом'. Так само введені всі поняття, які згадуються в аксіомах в цій
моделі. Наприклад, очевидно, що через будь-які дві точки А, В проходить
єдина пряма. Також , можна прослідкувати, що через точку А, яка не лежить
на прямій (, проходить нескінченно багато прямих , які не перетинають (.
Пізніша перевірка показує, що в моделі Клейна виконуються и всі інші
аксіоми геометрії Лобачевського. Частково для будь-якої прямої l існує
'рух'., перетворюючи її в другу пряму l` з віміченою точкою А`. Це дозволяє
перевірити виконання всіх аксіом геометрії Лобачевського.
-----------------------
[pic]
[pic]
