Численные методы решения дифференциальных уравнений

/

/

КУРСОВАЯ РАБОТА

Численные методы решения дифференциальных уравнений

Введение

При решении научных и инженерно-технических задач часто бывает необходимо математически описать какую-либо динамическую систему. Лучше всего это делать в виде дифференциальных уравнений (ДУ) или системы дифференциальных уравнений. Наиболее часто такая задача возникает при решении проблем, связанных с моделированием кинетики химических реакций и различных явлений переноса (тепла, массы, импульса) - теплообмена, перемешивания, сушки, адсорбции, при описании движения макро- и микрочастиц.

Известные методы точного интегрирования дифференциальных уравнений позволяют найти решение в виде аналитической функции, однако эти методы применимы для очень ограниченного класса функций. Большинство уравнений, встречающихся при решении практических задач нельзя проинтегрировать с помощью этих методов.

В таких случаях используются численные методы решения, которые представляют решение дифференциального уравнения не в виде аналитической функции, а в виде таблиц значений искомой функции в зависимости от значения переменной.

Существует несколько методов численного интегрирования дифференциальных уравнений, которые отличаются друг от друга по сложности вычислений и точности результата.

Рассмотрим три основных метода приближенного решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка: Метод ломанных (Эйлера), метод последовательных приближений (Пикара) и метод разложения решения в степенной ряд.

1. Постановка задачи

Простейшим обыкновенным дифференциальным уравнением (сокращенно ОДУ) является уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной:

(1)

Основная задача, связанная с этим уравнением, известна как задача Коши: найти решение уравнения (1) в виде функции , удовлетворяющей начальному условию

(2)

Существование и единственность решения задачи Коши для уравнения (1) обеспечивается следующей теоремой.

Теорема Пикара. Если функция определена и непрерывна в некоторой плоской области G, определяемой неравенствами

(3)

И удовлетворяет в этой области условию Липшица по y: существует такое положительное число М, что для любых точек и

, (4)

То на некотором отрезке существует, и притом только одно, решение y=y(x) уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию (2).

Несмотря на внешнюю простоту уравнения (1), решить его аналитически, т.е. найти общее решение с тем, чтобы затем выделить из него интегральную кривую , проходящую через заданную точку. Поэтому, как и в родственной, для (1) - (2) задаче вычисления интегралов, приходится делать ставку на приближенные способы решения начальных задач для ОДУ, которые можно разделить на три группы:

1) аналитические методы (применение которых дает приближенное решение дифференциального уравнения в виде формулы)

2) графические методы (дают приближенное решение в виде графика)

3) численные методы (искомая функция получается в виде таблицы).

2. Метод Эйлера

погрешность эйлер пикар решение

Метод ломаных Эйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х).

Метод Эйлера играет важную роль в теории численных методов решения ОДУ, хотя и не часто используется в практических расчетах из-за невысокой точности.

Пусть дано дифференциальное уравнение

(5)

с начальным условием

(6)

Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей и получим последовательность

,

пусть - приближенное решение в точке .

Вначале найдем простейшим способом приближенное значение решения в некоторой точке , где достаточно малый шаг. Заметим, что уравнение (5) совместно с начальным условием (6) задают направление касательной к искомой интегральной кривой в точке . Двигаясь вдоль этой касательной, получим приближенное значение решения в точке :

(7)

Располагая приближенным решением в точке , можно повторить описанную выше процедуру: построить прямую, проходящую через эту точку под углом, определяемым условием , и по ней найти приближенное значение решения в точке (заметим, что в отличие от ситуации изображенной на рисунке, эта прямая не есть касательная к реальной интегральной кривой). Если h достаточно мало, то получаемые приближения будут близки к точным значениям решения.

Продолжая эту идею, построим систему равноотстоящих точек . Получение таблицы значений искомой функции у(х) по методу Эйлера заключается в циклическом применении формулы:

(8)

Вместо интегральной кривой в реальности получается совокупность прямых (так называемая ломаная Эйлера).

Методы численного интегрирования дифференциальных уравнений, в которых решение получается от одного узла к другому, называются пошаговыми. Метод Эйлера - простейший представитель пошаговых методов.

3. Погрешность метода Эйлера

На каждом шаге метода Эйлера допускается локальная погрешность по отношению к точному решению, график которого проходит через крайнюю левую точку отрезка. Кроме того, на каждом шаге, начиная со второго, накапливается глобальная погрешность представляющая собой разность межу численным решением и точным решением исходной начальной задачи (а не локальной).

Локальная ошибка на каждом шаге выражается соотношением

,

где

Глобальная погрешность метода Эйлера в окрестности ведет себя как линейная функция, и, следовательно, метод Эйлера имеет первый порядок точности относительно шага h.

4. Примеры решения задачи в Excel

Задача №1: Методом Эйлера найти значение , где - решение дифференциального уравнения: удовлетворяющее начальному условию , на отрезке , приняв шаг .

Дано: - дифференциальное уравнение

- начальное условие

- интервал

- шаг

Найти: значение

Решение:

Используя формулу Эйлера (8) для приближенного решения ДУ, найдем решение ДУ:

В приведенной таблице и это начальные условия ДУ, (т.е. подставляем начальные условия в данное дифференциальное уравнение), по формуле Эйлера получаем и т.д.

Значение при x=0.5:

Задача №2: Методом Эйлера найти приближенное решение дифференциального уравнения при , удовлетворяющее начальному условию .

Дано: - дифференциальное уравнение

- начальное условие

Найти: значение

Решение:

Будем находить приближенное решения данного ДУ на отрезке [0, 1] с шагом (выбрали произвольно).

Используя формулу Эйлера (8) для приближенного решения ДУ, найдем решение данного ДУ, аналогично, как и для предыдущего примера:

Приближенное решение данного ДУ при :

Сравним полученный приближенный результат с точным решением ДУ, для этого решим данное ДУ:

, подставим начальные условия:

Найдем абсолютную и относительную погрешности вычислений, результаты представим в форме таблицы:

По данным таблицы видно, что на каждом последующем шаге погрешность систематически возрастает.

5. Метод разложения решения в степенной ряд

Рассмотрим сначала дифференциальное уравнение первого порядка (1) с начальным условием (2)

Пусть правая часть уравнения (1) является аналитической функцией в начальной точке , т.е. в некоторой окрестности этой точки может быть разложена в степенной ряд вида

где - целые неотрицательные числа и - постоянные коэффициенты. Тогда существует единственное решение дифференциального уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию (2), причем это решение является аналитическим в точке и, следовательно, может быть представлено в виде ряда Тейлора

(13)

Где

(p=0,1,2…)

и h - некоторое положительное число.

Коэффициент разложения (13) определяется непосредственно из начального условия (2):

;

следующий коэффициент находится на основании дифференциального уравнения (1):

Что касается остальных коэффициентов (p>1) ряда (13), то они могут быть шаг за шагом найдены путем последовательного дифференцирования данного дифференциального уравнения (1). Например, дифференцируя по х обе части уравнения (1) и используя правило дифференцирования сложной функции, будем иметь

Отсюда

где число уже известно.

Далее находим

Аналогично могут быть определены коэффициенты и т.д. и, следовательно, формально построено аналитическое решение у(х).

Метод разложения решения дифференциального уравнения в степенные ряды часто используется как элемент более практичных методов приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. В частности, для некоторых численных методов интегрирования дифференциальных уравнений требуется определить значения искомых функций в нескольких точках. Эти значения при соблюдении известных условий гладкости данного уравнения могут быть с любой степенью точности подсчитаны с помощью степенных рядов.

6. Примеры решения задачи в Maple

Задача №1: Методом разложения в степенной ряд найти значение , где - решение дифференциального уравнения: удовлетворяющее начальному условию , на отрезке , приняв шаг

Дано: - дифференциальное уравнение

- начальное условие

- интервал

- шаг

Найти: значение

Решение:

Полагая и

(),

будем иметь

,

Дифференцируя данное уравнение , получим:

> diff (x+y(x)^2, x);

Отсюда

.

Дифференцируя еще раз, будем иметь

> diff (diff(x+y(x)^2, x), x);

/

/

Поэтому

Аналогично находим остальные производные:

, , .

Таким образом,

Отсюда имеем

Задача №2: Методом разложения в степенной ряд найти приближенное решение дифференциального уравнения при , удовлетворяющее начальному условию .

Дано: - дифференциальное уравнение

- начальное условие

Найти: значение

Решение:

Будем находить приближенное решения данного ДУ на отрезке [0, 1] с шагом (выбрали произвольно).

Имеем: , подставляя начальные условия, получим:

Затем находим вторую производную:

> diff (x*y(x), x);

Подставляя начальные условия, получим:

Находим третью производную:

> diff (diff(x*y(x), x), x);

Подставляем начальные условия:

Далее, находим четвертую производную:

> diff (diff (diff(x*y(x), x), x), x);

Подставляем начальные условия:

и т.д.

Таким образом, используя формулу (13), получаем разложение в степенной ряд:

Подставив в полученное выражение , получим

Сравним полученный приближенный результат с точным решением ДУ:

По результатам таблицы, видно, что погрешность вычислений очень мала.

7. Метод Пикара Пикар Шарль Эмиль (1856-1941) -- французский математик.

Этот метод позволяет получить приближенное решение дифференциального уравнения (1) в виде функции, представленной аналитически.

Пусть в условиях теоремы существования требуется найти решение уравнения (1) с начальным условием (2). Проинтегрируем левую и правую части уравнения (1) в границах от до :

,

или

(9)

Решение интегрального уравнения (9) будет удовлетворять дифференциальному уравнению (1) и начальному условию (2). Действительно, при , получим:

Вместе с тем, интегральное уравнение (9) позволяет применить метод последовательных приближений. Будем рассматривать правую часть формулы (9) как оператор, отображающий всякую функцию (из того класса функций, для которых интеграл, входящий в (9), существует) в другую функцию того же класса:

Если этот оператор является сжимающим (что следует из условия теоремы Пикара), то можно строить последовательность приближений, сходящуюся к точному решению. В качестве начального приближения принимается , и находится первое приближение

Интеграл в правой части содержит только переменную x; после нахождения этого интеграла будет получено аналитическое выражение приближения как функции переменной x. Далее заменим в правой части уравнения (9) y найденным значением и получим второе приближение

и т.д. В общем случае итерационная формула имеет вид

(n=1, 2…) (10)

Циклическое применение формулы (10) дает последовательность функций

(11)

сходящуюся к решению интегрального уравнения (9) (а, следовательно, и дифференциального уравнения (1) с начальными условиями (2)). Это так же обозначает, что k-й член последовательности (11) является приближением к точному решению уравнения (1) с определенной контролируемой степенью точности.

Заметим, что при пользовании методом последовательных приближений аналитичность правой части дифференциального уравнения не обязательна, поэтому метод этот можно применять и в тех случаях, когда разложение решения дифференциального уравнения в степенной ряд невозможно.

8. Погрешность метода Пикара

Оценка погрешности k-го приближения дается формулой

(12)

где y(x) - точное решение, , - константа Липшица из неравенства (4).

На практике метод Пикара используется очень редко. Одна из причин - та, что интегралы, которые необходимо вычислять при построении очередных приближений, чаще всего аналитически не находятся, а применение их для вычисления численных методов так усложняет решение, что становится гораздо удобнее непосредственно применять другие методы, которые изначально являются численными.

9. Примеры решения задачи в Maple

Задача №1: Методом последовательных приближений найти значение , где - решение дифференциального уравнения: удовлетворяющее начальному условию , на отрезке , приняв шаг (расчет вести до второго приближения).

Дано: - дифференциальное уравнение

- начальное условие

- интервал

- шаг

Найти: значение

Решение:

Запишем для данного случая формулу вида (10)

Начальным приближением будем считать функцию

Имеем

> y1:=simplify (1+int (x+1, x=0…x));

Далее получаем

> y2:= simplify (1+int (x+simplify (1+int (x+1, x=0…x))^2, x=0…x));

и т.д.

Найдем значение при x=0,5:

Задача №2: Методом последовательных приближений найти приближенное решение дифференциального уравнения при , удовлетворяющее начальному условию .

Дано: - дифференциальное уравнение

- начальное условие

Найти: значение

Решение:

Будем находить приближенное решение данного ДУ на отрезке [0, 1] с шагом (выбрали произвольно).

Запишем для данного случая формулу вида (10)

Начальным приближением будем считать функцию

Имеем

> y1:=simplify (1+int (x*1, x=0…x));

Далее находим второе приближение:

>y2:=simplify (1+int (x*simplify (1+int (x*1, x=0…x)), x=0…x));

Аналогично находим третье приближение:

>y3:=simplify (1+int (x*simplify (1+int (x*simplify (1+int (x*1, x=0…x)), x=0…x)), x=0…x));

и т.д.

Найдем приближенное решение данного ДУ при , для этого в третье приближение вместо x, подставим и получим:

Сравним полученный приближенный результат с точным решением ДУ:

По результатам таблицы, видно, что погрешность вычислений очень мала.

Заключение

В данной курсовой работе были рассмотрены основных метода приближенного решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка: Метод ломанных (Эйлера), метод разложения решения в степенной ряд и метод последовательных приближений (Пикара).

С помощью каждого метода было найдено приближенное решение дифференциального уравнения. Сравним полученные результаты по каждому методу с точным решением дифференциального уравнения:

По результатам таблицы, видно, что наиболее точным из трех рассмотренных методов, является метод последовательных приближений Пикара, относительная погрешность =0,002, менее точен метод Эйлера (=0,115).

В завершении работы, хочется отметить ряд особенностей применения рассмотренных выше методов. Каждый способ приближённого решения дифференциального уравнения имеет свои преимущества и недостатки, в зависимости от поставленной задачи следует использовать конкретные методы.

Список используемой литературы

1. Лапчик М.П., Рагулина М.И., Хеннер Е.К. Численные методы. - М.: Академия, 2005. - 384 с.

2. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. - М.: Наука, 1967. - 368 с.

3. Ортега Дж., Пул У. Ведение в численные методы решения дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1986. - 288 с.

4. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Мир, 1970. - 720 с.

5. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1974. - 331 с.

6. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. - М.: Высшая школа, 2001. - 382 с.