Математический анализ

/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Уральский государственный экономический университет

Кафедра экономической теории

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По Математическому анализу

Исполнитель:

студент гр. ЭТр-11 КЧ.

Казанцева В.В.

Екатеринбург

2012

Тема 1. Пределы функций

а)

в)

г)

Тема 2. Исследование функций

Исследовать функцию и построить её график

1 Функция определена на всей числовой оси x(-;+)

2 Изменение функции при x, стремящихся к концам промежутков области существования

3 Точки экстремума ,промежутки возрастания и убывания функции

Исследуем знак первой производной

x(-;-1/2) y'(0)<0 функция убывает

x(-1/2;?) y'(4)>0 функция возрастает

x=-1/2 - точка min

4 Интервалы выпуклости вогнутости функции (интервалы монотонности)

исследуем знак второй производной

x(-;-1/2) y'(-2)>0 функция вогнута вверх

x(-1/2;) y'(4)>0 функция вогнута вверх

5 Точки пересечения графика функции с осями координат.

x=0 y=0

(0;0) (-1;0)

6 Ассимтот нет

Сведём данные в одну таблицу

7 График функции

Тема 4. Неопределённый интеграл

A

Б

В

Тема 5. Определённый интеграл

а)

с) Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми. Сделать чертёж.

Тогда площадь искомой фигуры равна:

(кв.ед)

Тема 6. Несобственный интеграл

Вычислить интеграл или установить его расходимость

а)

б)

Тема 7. Ряды

Числовые ряды. Исследовать ряд на сходимость.

Используем признак сравнения Даламбера

Пусть дан ряд с положительными членами и существует предел

Если q<1 - ряд сходится

Если q>1 - ряд расходится

Найдём

0,8<0 из этого следует, что ряд сходится

Степенные ряды. Определить область сходимости степенного ряда.

Составим ряд из модулей проверим на абсолютную сходимость

По признаку Даламбера находим

экстремум функция дифференциальный уравнение

-9<x<-1 - область сходимости данного степенного ряда

Исследуем на сходимость степенной ряд на концах интервала

X=-9

это знакочередующийся ряд

расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости.

X=-1

расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости.

Ответ: область сходимости степенного ряда при

Тема 8. Функции нескольких переменных

Исследовать функцию на экстремум.

1) x может принимать любые значения, y не равно 2

2) найдем первые производные по x и y

Обе производные существуют, найдём точки, где обе производные равны нулю

решая систему получаем две точки

- точки, подозрительные на экстремум

3) Проверим выполнение достаточных условий экстремума. Найдём частные производные второго порядка

Сосчитаем

ничего определённого сказать нельзя.

Тема 9. Решение дифференциальных уравнений

Найти общее и частное решение дифференциального уравнения

Найдём частное решение, удовлетворяющее начальным условиям

Найти общее решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям y(0)=1, y'(0)=1

Составим характеристическое уравнение соответствующее однородному дифференциальному уравнению

Общее решение линейного однородного уравнения имеет вид

Найдём частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям y(0)=1

удовлетворяющее заданным начальным условиям y(0)=1, y'(0)=1