Уравнение Бернулли. Методы нахождения общего решения. Особое решение

/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

Камчатский государственный университет им. Витуса Беринга

Кафедра математики и физики

Дисциплина Дифференциальные уравнения

Курсовая работа

Уравнение Бернулли. Методы нахождения общего решения. Особое решение

Выполнила:

студентка 4 курса

физико-математического факультета

очного отделения специальности

«Прикладная математика и информатика»

Цой Алина Дмитриевна

Научный руководитель:

доцент кафедры математики и физики

Гудима Владимир Николаевич

Петропавловск-Камчатский, 2011

Оглавление

Введение

1. Уравнение Бернулли

2. Методы построения общего решения уравнения Бернулли

3. Особое решение уравнения Бернулли

4. Примеры решения задач с помощью уравнения Бернулли

Заключение

Библиографический список

Введение

В данной курсовой работе рассматривается один из важных вопросов курса дифференциальных уравнений - уравнение Бернулли. Оно является оптимальным и практичным методом решения обыкновенных линейных дифференциальных уравнений.

Цель курсовой работы:

- Рассмотреть уравнение Бернулли;

- Изучить методы построения общего решения уравнения Бернулли;

- Рассмотреть особое решение уравнения Бернулли как особый случай;

- Рассмотреть применение данного уравнения на практических задачах.

Курсовая работа состоит из введения, четырех параграфов, заключения и списка использованной литературы.

Во введении дается краткое обоснование поставленных задач.

Первый параграф содержит общие понятия понятие дифференциального уравнения, неоднородного, линейного дифференциального уравнения; определяется понятие уравнения Бернулли.

Второй параграф рассматривает общие методы построения общего решения уравнения Бернулли.

Третий параграф акцентирует внимание на особом решении уравнения Бернулли, рассматривает его особенность.

В четвертом параграфе рассматривается применение метода Бернулли на примерах различных задач.

В заключении делается вывод о значении уравнения Бернулли в различных областях математики и физики, его применении в данных областях.

1. Понятие дифференциального уравнения. Уравнение Бернулли

Многие процессы в природе можно описать с помощью функции. Дифференциальное исчисление позволяет по данной функции исследовать ее свойства. Не менее важна и обратная задача: по данным свойствам функции найти эту функцию. Иными словами, исследуя процесс, найти функцию, которая его описывает.

В алгебре для нахождения неизвестных величин пользуются уравнениями: по условию задачи составляют соотношение, связывающее неизвестную величину с данными и, решая его, находят неизвестную. Аналогично в анализе для нахождения неизвестной функции по данным ее свойствам составляют уравнение, связывающее неизвестную величину с величинами, задающими ее свойство. Поскольку свойства выражаются через производные или дифференциалы того или иного порядка, приходят к соотношению, связывающему функцию, ее производные или дифференциалы. Это соотношение называется дифференциальным уравнением, решая его, находят искомую функцию.

Определение. Дифференциальное уравнение -- уравнение, связывающее значение некоторой неизвестной функции в некоторой точке и значение её производных различных порядков в той же точке. ДУ содержит в своей записи неизвестную функцию, ее производные и независимые переменные.

Одним из видов обыкновенного дифференциального уравнения является линейное дифференциальное уравнение.

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если его можно записать в виде:

где p(x) и g(x)- заданные функции, в частном случае - постоянные.

Уравнение Бернулли всегда может быть сведено к ЛДУ.

Определение. Дифференциальное уравнение вида:

называется уравнением Бернулли. Названо в честь Якоба Бернулли, опубликовавшего это уравнение в 1695 году. Метод решения с помощью замены, сводящей это уравнение к линейному, нашёл его брат Иоганн Бернулли в 1697 году.

Будем считать, что отлично от 0 и 1, ибо в этих случаях уравнение Бернулли вырождается в линейное. Относительно функций и будем предполагать, что они непрерывны в интервале .

2. Методы построения общего решения уравнения Бернулли

Первый способ. Преобразуем сначала правую часть уравнения Бернулли к виду правой части линейного уравнения. Для этого разделим обе части уравнения на уравнение бернулли дифференциальный математика

Введем теперь новую неизвестную функцию , положив

Тогда

Поэтому умножая обе части уравнения (2) на и выполняя подстановку (3), приходим к линейному уравнению

. (5)

Интегрируя это уравнения и возвращаясь к переменной , получим общее решение уравнения Бернулли в виде

. (6)

Второй способ. Произведем замену: . Тогда . Подставляя замененные переменные, получаем:

Подберем , так чтобы было

Для этого достаточно решить уравнение с разделяющими переменными первого порядка. После этого для определения получаем уравнение

- уравнение с разделяющимися переменными.

3. Особое решение уравнения Бернулли

Деля уравнение на , мы могли потерять решение Очевидно, что это могло случиться лишь при (так как при функция не является решением уравнения Бернулли). Далее, если , то решение содержится в формуле (6) при . Оно является частным решением, потому что через точки оси не проходит ни одна интегральная кривая, кроме самой оси , так что во всякой точки оси решение существует и единственно.

Если же , то решение не содержится в формуле общего решения (6) и является особым, так как в каждой точке этого решения нарушается единственность решения задачи Коши. Решение может быть получено из формулы (6) при .

4. Примеры решения задач с помощью уравнения Бернулли

Рассмотрим некоторые примеры решения дифференциальных уравнений с помощью уравнения Бернулли.

Пример 1.

Уравнение

разделим на , получаем:

Замена переменных дает:

Умножаем на

Результат:

.

Пример 2.

Уравнение

.

Произведем замену:

Получим:

Разделим правую и левую части на (-2), получаем:

Замена:

Отсюда получим:

Таким образом,

Заключение

Уравнение Бернулли широко используется в различных математических и физических областях наук.

Основное применение данное уравнение нашло в физике. С помощью него можно вывести уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости, в общем случае уравнение Бернулли является специальным выражением основного физического закона сохранения энергии. С помощью уравнения Бернулли описывается переходный процесс в электрической цепи, скольжение веревки.

Уравнение Бернулли применяется в различных задачах геометрии.

Уравнение Бернулли является важным вопросом в изучении курса дифференциальных уравнений, он непрерывно связан с последующими изучаемыми темами и разделами данного курса.

Библиографический список

1. В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1966.

2. Л. Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969.

3. Э. Камке. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976.

4. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений (3-е изд.). Мн.: Наука и техника, 1979.

5. Р.С. Гутер, А.Р. Янпольский. Дифференциальные уравнения. -- М.: Физматгиз, 1962.