Дискретная теория поля

Оглавление

• Введение
• 1. Понятие поверхностного интеграла
• 2. Свойства поверхностного интеграла
• 3. Поток векторного поля через поверхность
• Заключение
• Список литературы

Введение

Данная работа посвящена дискретной теории поля.

Цель данной работы рассмотреть дискретную теорию поля.

Задачи:

- Определить понятие поверхностного интеграла.

- Рассмотреть основные свойства поверхностных интегралов.

- Рассмотреть примеры вычисления поверхностных интегралов.

- Рассмотреть поток векторного поля через поверхность, как механический смысл поверхностного интеграла.

Методологической и теоретической основой при написании работы послужила учебная литература и труды отечественных и зарубежных авторов.

1. Понятие поверхностного интеграла

Рассмотрим некоторую поверхность S, ограниченную контуром L, и разобьем ее на части S₁, S₂,…, S_n (при этом площадь каждой части тоже обозначим S_n). Пусть в каждой точке этой поверхности задано значение функции f(x, y, z) (Рис. 1).

Выберем в каждой части S_i точку M_i (x_i, y_i, z_i) и составим интегральную сумму

.

Если существует конечный предел при этой интегральной суммы, не зависящий от способа разбиения поверхности на части и выбора точек M_i, то он называется поверхностным интегралом первого рода от функции f(M) = f(x, y, z) по поверхности S и обозначается

.

Разобьем поверхность S на части S₁, S₂,…, S_n, выберем в каждой части S_i точку M_i(x_i, y_i, z_i), и умножим f(M_i) на площадь D_i проекции части S_i на плоскость Оху. Если существует конечный предел суммы

,

не зависящий от способа разбиения поверхности и выбора точек на ней, то он называется поверхностным интегралом второго рода от функции f(M) по выбранной стороне поверхности S и обозначается

Подобным образом можно проектировать части поверхности на координатные плоскости Оxz и Оyz. Получим два других поверхностных интеграла 2-го рода:

и .

Рассмотрев сумму таких интегралов по одной и той же поверхности соответственно от функций P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z), получим поверхностный интеграл второго рода общего вида:

Свойства поверхностного интеграла.

Рассмотрим свойства поверхностных интегралов первого рода:

1. , где S - площадь поверхности.

2. , k=const

3.

4. Если поверхность разделена на части S₁ и S₂, то

5. Если , то

6.

7. Теорема о среднем.

Если функция F(x, y, z) непрерывна в любой точке поверхности S, то существует точка (a, b, g) такая, что

S - площадь поверхности.

Какова бы ни была функция f(x, у, z), определенная в точках поверхности (S) и ограниченная:

,

имеет место равенство

в предположении существования одного из этих интегралов (что влечет за собой и существование другого).

Таким образом, для сведения поверхностного интеграла первого типа к обыкновенному двойному нужно лишь заменить координаты х, у, z их выражениями через параметры, а элемент площади dS -- его выражением в криволинейных координатах.

Рассмотрим несколько примеров вычисления поверхностных интегралов.

Пример 1. Вычислить интеграл по верхней стороне полусферы

Решение.

Преобразуем уравнение поверхности к виду:

Заданная поверхность проецируется на плоскость XOY в круг, уравнение которого:

Для вычисления двойного интеграла перейдем к полярным координатам:

Пример 2. Вычислить поверхностный интеграл распространенный на поверхность (S) эллипсоида:

.

Решение.

Если воспользоваться представлением эллипсоида:

, , ,

то элемент поверхности представиться в виде

.

С другой стороны, подынтегральная функция

.

По соображениям симметрии вычисление приводится к первому октану, так что

Поток векторного поля через поверхность.

По определению

.

Каждое слагаемое суммы

(*)

может быть истолковано механически следующим образом: это произведение равно объему цилиндра с основанием ,и высотой . Если вектор F есть скорость жидкости, протекающей через поверхность а, то произведение (*) равно количеству жидкости, протекающей через площадку _; за единицу времени в направлении вектора (Рис. 3).

Выражение дает общее количество жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность в положительном направлении, если под вектором F подразумевать вектор скорости течения жидкости в данной точке. Поэтому поверхностный интеграл называется потоком векторного поля F через поверхность .

Из определения поверхностного интеграла следует, что если поверхность разбить на части , , ..., , то

Выразим единичный вектор я через его проекции на оси координат:

.

Подставляя в интеграл выражения векторов F и n через их проекции, получим:

Произведение есть проекция площадки на плоскость Оху; аналогичное утверждение справедливо и для произведений:

где , ,

проекции площадки на соответствующие координатные плоскости.

На основании этого интеграл записывают также в другой форме:

Пример.

Найти поток векторного поля через часть плоскости ограниченную координатными плоскостями (нормаль к плоскости образует острый угол с осью Oz).

Решение.

Проекцией данной поверхности на координатную плоскость Оху является треугольник с вершинами в точках А(0;0), В(0;1), С(?; 0). Найдем координаты единичной нормали к плоскости:

Вычислим соответствующий поверхностный интеграл:

Заключение

В данной работе была рассмотрена дискретная теория поля. Вначале было введено понятие поверхностного интеграла. Поверхностный интеграл первого рода от функции f(M) = f(x, y, z) по поверхности S обозначается

.

Поверхностный интеграл второго рода общего вида:

Далее рассматриваются свойства поверхностного интеграла первого рода. Поверхностный интеграл первого типа сводиться к обыкновенному двойному. Рассмотрены примеры вычисления поверхностных интегралов.

Рассмотрен механический смысл интеграла, откуда следует, что поверхностный интеграл есть поток векторного поля F через поверхность . Приведен пример вычисления потока векторного поля через часть плоскости.

Список литературы

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. М.: 'Наука', 1976. - 544 с.

2. Титаренко В.И., Выск Н.Д. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Теория поля. М.: МАТИ, 2006. - 410 с.

3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3. М.: 'Наука', 1969. - 656 с.

4. http://matclub.ru/lec3/lec42.htm

5. http://ftoe.ru/list8/du43.htm