Случайные величины
Работа из раздела: «
Математика»
/
Привести два примера пространства элементарных событий.
Записать совместные и несовместные события.
Доказать, что если независимы события А и B, то независимы события В и B.
По плотности распределения вероятностей системы двух случайных величин о и з найти:
- коэффициент А;
- функцию распределения F (x, y) системы случайных величин;
- функции распределения и плотности распределения отдельных составляющих системы случайных величин: F1(x), F2(y), f1(x), f2(y);
- условные плотности распределения f (x/y), f (y/x);
- числовые характеристики системы: математическое ожидание Mо и Mз и дисперсию системы Dо и Dз:
функция распределение плотность случайный
По выборке Х оценить закон генеральной совокупности и оценить его параметры:
X = {1.4, 1.2, 1.0, 0.6, 0.8, 1.2, 1.2, 1.0, 1.0, 0.4, 0.6, 1.0, 0.8, 1.6, 1.4}.
По выборке Х построить доверительный интервал для параметра «a» - математическое ожидание при уровне значимости б = 0.01.
По выборке Х построить эмпирическую функцию распределения.
5. Задана случайная функция:
Y = X? -t + 5,
где Х случайная величина с МХ = 5, DX = 1.3. Найти числовые характеристики MV, DV, K V (t 1, t 2) случайной функции
V =
6. Задан случайный процесс
Z = X COS(t) + Y e-3t
c MX = 3.2, DX = 2.4, MY = 4, DY = 3.1, r xy = 0.6.
Найти MZ, DZ, K Z (t1, t2).
Решение
1. Монету подбрасывают один раз.
Элементарными несовместными событиями в данном случае будут
щ1 - выпадение цифры;
щ2 - выпадение герба.
Щ={щ1,щ2},
где Щ - пространство элементарных событий.
Вероятности того, что выпадет цифра или герб равны
P(щ1)= P(щ2)=0.5
2. Условие независимости двух событий: если А и В независимы, то
P (A/B)=P(A).
В данном случае P (B/A)=P(B). Доказательство:
P (B/A)=P (B? A)/P(A)=P (B(1-A))/P(A)=P (B-B*A)/ P(A)=P(B) P (1-A)/ P(A)=P(B)* P(A)/ P(A)=P(B)
3.1).Найдем коэффициент А:
=1
a=1/3;
3.2) F (x, y)= 0<x1, 1<y2
F (x, y)=
0<x1
1<y2
0<x1
1<y2
0<x1
1<y2
;
;
Вариационный ряд состоит из семи различных чисел. Так как X - дискретная случайная величина, то составляем таблицу ряда
|
x
|
0.4
|
0.6
|
0.8
|
1.0
|
1.2
|
1.4
|
1.6
|
|
|
ni
|
1
|
2
|
2
|
4
|
3
|
2
|
1
|
|
|
Строим эмпирическую функцию:
-?<x?0.4 Fn(x)=0
0.4<x?0.6 Fn(x)=2/15
0.6<x?0.8 Fn(x)=2/15
0.8<x?1.0 Fn(x)=4/15
1.0<x?1.2 Fn(x)=3/15
1.2<x?1.4 Fn(x)=2/15
1.4<x?1.6 Fn(x)=1/15
1.6<x<? Fn(x)=1
Fn(x)=
Построим полигон частот и эмпирическую функцию распределения:
В качестве оценки для математического ожидания принимают эмпирическое среднее, т.е. среднее арифметическое всех полученных значений величины X.
xср=1/n* xi
xср=1/15 (0.4+2*0.6+2*0.8+4*1.0+3*1.2+2*1.4+1.6)=1.013;
Выборочная дисперсия находится по формуле:
о2 =1/n*(xi-xср)2 -это смещенная оценка дисперсии генеральной совокупности.
о2 =1/15*((0.4-1.013)2+2*(0.6-1.013)2+2*(0.8-1.013)2+4*(1-1.013)2+
3*(1.2-1.013)2+2*(1.4-1.013)2+(1.6-1.013)2)=0.0781;
S2=1/(n-1)*(xi-xср)2 -это несмещенная оценка дисперсии.
S2 =1/14*((0.4-1.013)2+2*(0.6-1.013)2+2*(0.8-1.013)2+4*(1-1.013)2+
3*(1.2-1.013)2+2*(1.4-1.013)2+(1.6-1.013)2)=0.1109;
S2=0.1109;
Среднеквадратичное отклонение:
о =v1/n*(xi-xср)2=0,3222; S=v1/(n-1)*(xi-xср)2=0,2794;
Доверительный интервал определяем по формулам:
Aн=xср-ес*S/vn;
Aв=xср+ес*S/vn;
xср - выборочное среднее
S - выборочное среднеквадратичное отклонение несмещенной оценки
ес - определяется по таблицам распределения Стьюдента, по уровню значимости б и числу степеней свободы:
p=1 - б;
Из таблицы:
ес=1,76;
Y(t) = X еxp (-t+5), MX=5, DX =1.3;
;
Проверка:
;
MX(t)=M [Xcost+Ye-3t]=costMX+e-3tMY=3.2*cost+4e-3t
DZ=D [Xcost+Ye-3t]=cos2tDX+ e-9tDY=2.4*cos2t+3.1e-4t
Kz(t1, t2)=MЇ(t1)*Ї(t2)
Ї(t1)=Xcos t1+Ye-3 t1-3.2 cos t1-4e-3 t1= cos t1 (X-3.2)+ e-3 t1 (Y-4)= sin t1X+ e-3 t1 Y
Аналогично:
Ї(t2)= sin t2X+ e-2 t2 Y
Kz(t1, t2)=M[(cos t1X+ e-3 t1 Y)*(sin t2X+ e-3 t2 Y)]=M [cos t1 cos t2 X2+ e-3 t1 cos t2X Y+ e-3 t2 cos t1X Y+ e-3(t1+t2) Y2]= cos t1 cos t2 MX2+ e-3 t1 cos t2MX Y+ e-3 t2 cos t1MX Y+ e-3(t1+t2) MY2= cos t1 cos t2 DX+ e-3 t1 cos t2KXY+ e-3 t2 cos t1KXY+ e-3(t1+t2) DY=2.4 cos t1 coa t2 +1.92 e-3 t1 cos t2+1.92 e-3 t2 cos t1+3 e-3(t1+t2);
rxy= KXY /vDX*DY;
KXY = rxy*vDX*DY=1.63.
