Метод Гаусса, Холецкого, Жордана

/

1. В соответствии с вариантом задания решить систему линейных уравнений по методу определителей

,

где

= 0

= 0,6

Разделили 1-ю строку на 2.1

Умножили 1-ю строку на 3

Вычли 1-ю строку из 2-й и восстановили ее

Умножили 1-ю строку на -6

Вычли 1-ю строку из 3-ей и восстановили ее

Восстановили 1-ю строку до первоначального вида. Разделили 2-ю строку на 8.92857142

Умножили 2-ю строку на -9.357142857

Вычли 2-ю строку из 3-ей и восстановили ее

Восстановили 2-ю строку до первоначального вида

Умножили числа главной диагонали

2.1*(-8.92857142)*7.15714285=80.3699999

2. В соответствии с вариантом задания решить систему методом исключения (методом Гаусса)

Преобразуем второе уравнение системы

Для этого введем множители

А⁽⁰⁾=

В⁽⁰⁾=

Преобразуем третье уравнение системы

Для этого введем множитель

А⁽¹⁾=

В⁽¹⁾=

Находим х₃

Находим х₂

Находим х₁

3. В соответствии с вариантом задания решить систему по методу Жордана

Умножим уравнение (строку) 1-ую на 1,42857142

Прибавим получившееся уравнение к 2-му уравнению. Уравнение 1 не изменится в исходной системе

Умножим коэффициенты уравнения 1 на 2.85714285

Прибавим получившееся уравнение к уравнению 3. Уравнение 1 не изменится в исходной системе

Умножаем коэффициенты уравнения 2 на 1.048

Прибавим получившееся уравнение к 3 уравнению

Обратный ход

Коэффициент уравнения 3 разделим на 4.2864

Умножим коэффициент уравнения 3 на 2. Прибавим получившееся уравнение к 1 уравнению

Умножим коэффициенты 3 уравнения на -7.15714285

Прибавим получившееся уравнение к уравнению 2

Коэффициенты уравнения 2 разделим на 8.92857142

Умножим коэффициенты уравнения 2 на 4.5, прибавим получившееся уравнение к уравнению 1

Коэффициенты уравнения 1 разделим на 2.1

х₁=1.43765086

х₂=-4.55979843

х₃=2.53407988.

4. Решить систему по методу Холецкого

А=

Представим матрицу в виде произведения нижней треугольной матрицы и верхней треугольной матрицы с единичной диагональю, то есть

b₁₁=a₁₁=2.1

b₂₁=a₂₁=3.0

b₃₁=a₃₁=-6.0

C₁₂=

C₁₃=

b₂₂=a₂₂-b₂₁C₁₂=2.5 - (-2.14285714)*3.0=8.92857142

b₃₂=a₃₂-b₃₁C₁₂=3.5 - (-6)*(-2.14285714)=-9.35714284

C₂₃==

b₃₃=a₃₃-b₃₁C₁₃-

b₃₂C₂₃=

Находим у₁

2,1y₁=18.47

y₁=8.79523809

Находим y₂

3.0y₁+8.92857142y₂=3,81

y₂=-2,52848000

Находим y₃

-6,0y₁+(-9.35714284y₂)+4.2863999y₃=-18.25

4.2863999y₃=10.86208002

y₃=2.53407988

x₃=y₃=2.53407988

x₂=y₂ - C₂₃x₃=-4.55979843

x₁=1.43765086.

Выводы

система уравнение жордан холецкий

По проделанной работе, можно определить недостатки и достоинство методов. Метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений, он идеально подходит для решения систем, содержащих больше трех линейных уравнений. Существенным недостатком метода Гаусса является невозможность сформулировать условия совместности и определенности системы в зависимости от коэффициентов и от свободных членов. Достоинством является - менее трудоёмкий по сравнению с другими методами. Метод определителя является самым простым способом, но существуют так же и недостатки, например, как чувствительность к ошибкам округления.