Критерий сходимости Коши

Введение

сравнение ряд критерий математический

В данной работе рассмотрены следующие источники:

Архипов Г. И. Лекции по математическому анализу. - М.: Высш. шк., 1999, 347-366с.

Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального исчисления. Том 2. - М.: Лань,2002 ,11-32c.

Запорожец Г. И. Руководство к решению задач по математическому анализу. - М.: Высш. шк. 1966. 342с.

Харди Г. Х. Курс чистой математики. - М.: Гос. изд. иностр. лит.1949. 341 с.

Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Том 2. - М.: Высш. шк.,1988.25-27с.

В первом источнике подробно расписана вся тема, но нет определения знакопеременных рядов и геометрического смысла интегрального признака. Во втором источнике можно найти основные теоремы и определения, а также определение знакопеременного ряда и геометрический смысл интегрального признака, которые и представлены в работе. Геометрический смысл можно найти в пятом источнике, но в нем скудно раскрыты аспекты рассматриваемой темы. Третий источник дает лишь поверхностное представление о числовых рядах, рассматривая основные определения и теоремы. В четвертом источнике очень мало можно найти нужной информации, но можно рассмотреть признак сравнения рядов.

Исходя из анализа представленной литературы, основой для написания работы я посчитала целесообразнее использовать материал из первого источника, так как в нем более подробно и удобнее изложен материал.

Сходимость и сумма числового ряда

Определение 1. Пусть {} - произвольная числовая последовательность. Числовым рядом или просто рядом называется формальная бесконечная сумма S вида

.

Обычно используется следующая сокращенная запись:

,

Или просто .

Рассмотрим новую последовательность {}, задаваемое равенством

.

Определение 2. Последовательность {} называется последовательностью частичных (или частных) сумм ряда , а ее n-й член называется n-й частичной суммой этого ряда.

Определение 3. Если последовательностью {} частичных сумм ряда сходится к числу , т.е. если , то ряд называется сходящимися (к ), а число - его суммой. В это случае пишут

.

Если же последовательность {} не имеет предела, то говорят, что ряд расходиться.

В основном нас будут интересовать сходящиеся ряды.

Определение 4. Если ряд сходится к числу , то последовательность называется остаточным членом или остатком ряда.

Заметим, что так как при , то при .

Несколько модифицируем введенные определения и обозначения. Если в числовой последовательности {} отбросить несколько начальных членов, например, в количестве , то оставшиеся члены в совокупности можно снова рассматривать как некую новую последовательность {}, задаваемую равенством .

Рассматривая {} как общий член ряда для его частичных сумм получим равенство

.

Кроме того, ряд как формальную бесконечную сумму можно записать в виде

.

Таким образом, бесконечную сумму тоже можно рассматривать как ряд [1], [2], [3], [5].

Далее будем рассматривать также формальные ряды вида , где n_s - какая-либо последовательность натуральных чисел, и исследовать их на сходимость.

Утверждение 1. Остаточный член r_n ряда можно представить в виде ряда в том смысле, что:

1. его сумма равна r_n , когда исходный ряд сходится

2. это представление принимается как формальное равенство, когда оба равенства расходятся;

3. другие случаи не имеют места.

Доказательство начнем с п.3. При для частичных сумм ряда и s_k+n ряда имеет место равенство .

Ясно, что при фиксированном n сходимость и расходимость последовательностей {} и {s_k+n } имеют место одновременно, что и означает справедливость утверждения п.3.

В случае 1, т.е. когда оба ряда сходятся, можно перейти к пределу при в равенстве . Тогда получим

;

тем самым утверждение п. 1 доказано [1].

Относительно утверждения п. 2 следует заметить, что формальное равенство

Можно рассматривать как определение одной из возможных операций над формальными числовыми рядами. Приведении подобных операций необходимо только требовать, чтобы правые и левые части равенств переходили бы в равенство между числами в случае наличия сходимости хотя бы для одной из частей равенства, что действительно имеет место в нашем случае. Доказательство закончено.

Утверждение 2. Отбрасывание любого конечного числа членов в бесконечной сумме или прибавление к ней любого конечного числа новых слагаемых не влияет на сходимость ряда.

Доказательство. Рассмотрим случай отбрасывания слагаемых, так как второй случай разбирается аналогично. Итак, пусть мы отбросили члены ряда с номерами . Оставшиеся слагаемые переномеруем в порядке возрастания их прежних номеров. Общий член получившейся таким образом последовательности обозначим . Тогда при любом имеем

.

Отсюда следует, что последовательности частичных сумм этих рядов и сходятся и расходятся одновременно. Утверждение доказано.[1].

Утверждение 3. Если и , то

Утверждение 4. Если и , то .

Доказательство утверждений 3 и 4 есть прямое следствие определения суммы ряда и арифметических свойств сходящихся последовательностей {} и {} как частичных сумм рядов и . Доказательство закончено.

Утверждение 5. (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд сходится, то при . Другими словами, {} есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Имеем . Отсюда при получим , что и требовалось доказать.[1], [2], [5].

Примеры.

1. Ряд сходится, и его сумма равна 1.

Действительно, имеем

при , т.е. .[1].

2. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии вида

, при .

В случае имеем , и ряд расходится. При справедливо равенство

.

Известно, что при и {} расходится при .

Таким образом, указанный ряд сходится к сумме при и расходится при , .[1].

3.Гармонический ряд расходится, а ряд сходится при .

Применим теорему 2. При всех и имеем

.

Таким образом условия теоремы 2 будут выполнены, если положить и при любом в качестве и взять числа . Тем самым расходимость ряда установлена. Для доказательства сходимости ряда по теореме Вейерштрасса достаточно доказать ограниченность его частичных сумм , поскольку они монотонно возрастают. Рассмотрим какое-либо с условием . Тогда справедлива следующая оценка

Таким образом, частичные суммы {} ограничены в совокупности, что и означает сходимость искомого ряда.[1].

Критерий Коши

Теорема 1 (критерий Коши). Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы для любого существовал номер такой, что при всяком натуральном и всех имело место равенство

.

Доказательство. Утверждение теоремы равносильно критерию Коши для сходимости {} частичных сумм ряда, что согласно определению и есть сходимость его самого. Теорема доказана.[1], [2], [5].

Теорему 1 можно переформулировать таким образом, чтобы иметь критерий расходимости ряда в прямом виде.

Теорема 2 (критерий Коши для расходимости ряда). Для расходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы существовало хотя бы одно с условием, что для любого номер найдутся натуральные и , для которых справедливо равенство

.[1].

Знакопостоянные ряды

Определение 5. Всякое выражение вида называется отрезком ряда.[1].

Определение 6. Знакопеременными называются ряды, члены которых имеют то положительный, то отрицательный знаки[2].

Определение 7. Ряд называется рядом с неотрицательными членами, если при всех n имеем .[1], [2].

Теорема 2. Для сходимости ряда , где при всех n, необходима и достаточна ограниченность последовательности его частичных сумм.

Доказательство. Пусть - n-я частичная сумма ряда . Поскольку , имеем, что {} не убывает. Теперь требуемый результат вытекает из критерия Вейерштрасса для сходимости монотонной последовательности. Доказательство закончено.[1].

Пример. Пусть и не убывает и положительна. Тогда ряд расходится, а ряд сходится.

Действительно, для частичных сумм и этих рядов имеем

[1].

Сравнение рядов

Теорема 3 (признак сравнения). Пусть и - два ряда с неотрицательными членами и пусть, начиная с некоторого , для всех имеем . Тогда:

1. сходимость ряда влечет за собой сходимость ряда ;

2. из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Доказательство. Без нарушения сходимости можно отбросить первые членов каждого ряда. При всех полагаем

.

Тогда для любого имеем . В случае 1. последовательность {} ограничена, следовательно, и {} тоже ограничена и ряд сходится. В случае 2. последовательность , поэтому , т. е. ряд расходится. Теорема доказана.[1], [4], [5].

Замечание. Говорят, что ряд мажорирует ряд , а последний, в свою очередь, его минорирует.

Теорема 4 (обобщенный признак сравнения). Если в условии теоремы 3 неравенство заменить неравенством , то ее утверждение также будет иметь место.

Доказательств. Поскольку отбрасывание нескольких первых членов ряда не влияет на его сходимость, с самого начала можно считать, что . Перемножая все неравенства из условия теоремы до номера включительно, приходим к неравенствам вида

, .

Применяя теорему 3, получаем требуемый результат относительно рядов и , а так как умножение всех членов ряда на одно и то же число, отличное от нуля, не влияет на сходимость, теорема доказана.[1].

Признаки сходимости Даламбера, Коши, интегральный признак сходимости

Теорема 5 (признак Даламбера). Пусть для членов ряда ,начиная с некоторого номера , выполнены условия:

1. ;

2. , где .

Тогда ряд сходится. Если же при всех вместо неравенства 2 имеем , то ряд расходится.

Доказательство. Сравним ряд со сходящимся рядом , где . При имеем

.

Поэтому первое утверждение теоремы 5 вытекает из теоремы 4.

Во втором случае надо положить для всех . Тогда ввиду расходимости ряда и неравенств

из той же теоремы 4 следует расходимость ряда . Теорема доказана.[1], [2], [5].

Теорема 6 (признак Даламбера в предельной форме). Рассмотрим ряд с условием для всех . Положим

, .

Тогда при всех ряд сходится, а при - расходится.

Доказательство. Рассмотрим сначала первый случай. Положим . Тогда . Поскольку , при некотором имеем

.

Следовательно, ряд сходится в силу первого утверждения теоремы 5.

Рассмотрим теперь второй случай. Положим . Тогда имеем . Поскольку , при некотором имеем оценку

.

Тем самым ряд расходится по второму утверждению теоремы 5. Теорема доказана. [1].

Замечание. При вопрос о сходимости ряда в теоремах 5 и 6 остается открытым. Для примера можно указать на ряды и , один из которых сходится, а другой - расходится, но в обоих случаях имеем . Для исследования сходимости подобных рядов требуются более «тонкие» признаки, которые будут рассмотрены позже.

Несколько тонкий признак дает следующая теорема.

Теорема 7 (признак Коши). Если для членов ряда с условием , начиная с некоторого номера , имеет место неравенство , где число и фиксировано, то ряд сходится.

Если же для бесконечно многих имеем , то этот ряд расходится.

Доказательство. Рассмотрим сначала первый случай. Последовательно имеем , , и так как , то ряд сходится по признаку сравнения вместе с рядом .

Во втором случае для бесконечного количества значений имеем , . Это значит, что и ряд расходится, поскольку условие необходимого признака сходимости ряда ( при ) не выполняется. Теорема доказана.[1], [2], [5].

Теорема 8 (признак Коши в предельной форме). Пусть

,

где при всех .

Тогда при ряд сходится, а при - расходится.

Доказательство. Положим сначала и допустим, что . Тогда при некотором имеем

.

Поэтому по первому случаю признака Коши ряд сходится.

Если же , то при всех имеем оценку

.

Это означает существование бесконечного множества значений , для которых справедливо неравенство . Следовательно, ряд расходится по второму случаю признака Коши. Теорема доказана.[1].

Признак Коши, как и признак Даламбера, является довольно грубым. Он, например, тоже не позволят решить вопрос о сходимости рядов и .

Теорема 9 (интегральный признак Коши - Маклорена). Пусть функция определена на промежутке и убывает на нем. Тогда:

1. если при всех и несобственный интеграл сходится, то ряд тоже сходится;

2. если при всех и несобственный интеграл расходится, то расходится и ряд .

Доказательство. Как и выше, без ограничения общности будем считать, что . Далее, поскольку монотонно убывает, при всяком натуральном и имеем

.

Интегрируя это неравенство по указанному промежутку, получим

.

При всяком просуммируем эти неравенства по от 1 до . Получим

.

Далее каждый из двух случаев будем рассматривать отдельно.

1. В этом случае интеграл сходится, поэтому при всех для частичных сумм ряда имеет место единообразная оценка вида , и поскольку для всех натуральных , ряд сходится, а вместе с ним сходится и мажорируемый им ряд , что и требовалось доказать.

2. Поскольку в этом случае интеграл расходится, при . Но так как

,

то и при . А это означает, что ряд расходится вместе с рядом , для которого первый ряд по условию является минорантой. Теорема доказана.[1], [2].

Геометрическая интерпретация интегрального признака

Рис.

Интегральный признак допускает простое геометрическое истолкование. Если изобразить функцию кривой (рис. 1), то интеграл выражать площадь фигуры, ограниченной этой кривой, осью и двумя ординатами; интеграл же , в некотором смысле, можно рассматривать для площади всей бесконечно простирающейся направо фигуры под кривой. С другой же стороны, члены ряда выражают величины ординат в точках или, что то же, площади прямоугольников с основаниями 1 и с высотами, равными упомянутым ординатам.

Таким образом, сумма ряда есть не что иное, как сумма площадей, выходящих прямоугольников, и лишь первым членом отличается от суммы площадей входящих прямоугольников. Это делает наглядным установленный выше результат: если площадь криволинейной фигуры конечна, то и подавно конечна площадь заключенной в ней ступенчатой фигуры. И предположенный ряд сходится; если же площадь криволинейной фигуры бесконечна, то бесконечна и площадь содержащей ее ступенчатой фигуры, так что в этом случае ряд расходится [2], [5].

Литература

1.Архипов Г. И. Лекции по математическому анализу. - М.: Высш. шк., 1999, 347-366с.

2.Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального исчисления. Том 2. - М.: Лань,2002 ,11-32c.

3.Запорожец Г. И. Руководство к решению задач по математическому анализу. - М.: Высш. шк. 1966. 342с.

4.Харди Г. Х. Курс чистой математики. - М.: Гос. изд. иностр. лит.1949. 341 с.

5.Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Том 2. - М.: Высш. шк.,1988.25-27с.