Кривые второго порядка
Работа из раздела: «
Математика»
/
Международный университет природы, общества и человека 'Дубна'
Кафедра высшей математики
Курсовая работа
по линейной алгебре и аналитической геометрии на тему:
'Кривые второго порядка'
Выполнил студент 1 курса группы 1082
Иванов Иван Иванович
Руководители:
доцент Арбузова Е.В.
ассистент Павлов А.С.
Дубна, 2005
Оглавление
- 1. Цель курсовой работы
- 2. Задача
- 3. Исходные данные
- 4. Анализ кривой второго порядка
- 1. Определение зависимости типа данной кривой (1.1) от параметра с помощью инвариантов
- 2. Переход уравнения кривой при = 0 к каноническому виду с помощью параллельного переноса и поворота координатных осей
- 3. Нахождение фокусов, директрис, эксцентриситетов и данной кривой второго порядка ()
- 4. Построение кривой в канонической и общей системе координат
- 5. Вывод для данной кривой
- 6. Анализ поверхности второго порядка
- 1. Переход уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду
- 2. Исследование формы поверхности методом сечений и построение полученных сечений
- 3. Эллиптический цилиндр в канонической системе координат
- 7. Вывод
- Список литературы
1. Цель курсовой работы
Целью курсовой работы является закрепление и углубление студентом полученных теоретических знаний и технических навыков по изучению и анализу свойств кривых второго порядка.
2. Задача
Для данного уравнения кривой второго порядка с параметром :
1. Определить зависимость типа кривой от параметра с помощью инвариантов.
2. Привести уравнение кривой при параметре равном нулю к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.
3. Найти фокусы, директрисы, эксцентриситеты и асимптоты (если они есть) данной кривой второго порядка при параметре равном нулю.
4. Построить кривую в канонической и общей системах координат.
3. Исходные данные
Кривая:
(1.1)
4. Анализ кривой второго порядка
1. Определение зависимости типа данной кривой (1.1) от параметра с помощью инвариантов
Пусть кривая Г задана в декартовой прямоугольной системе координат уравнением:
Если хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, то кривую Г называют кривой второго порядка.
Найдем коэффициенты общего уравнения кривой второго порядка (1.1):
Вычислим инварианты кривой (1.1) по формулам:
,
,
Далее, в зависимости от значений инвариантов, определим тип кривой (1.1) и рассмотрим по отдельности кривые различных типов, определяемые этим уравнением кривой второго порядка с параметром , пользуясь классификацией кривых второго порядка.
В зависимости от значения инварианта принята следующая классификация кривых второго порядка.
Если - кривая второго порядка Г называется кривой эллиптического типа.
Если - кривая второго порядка Г называется кривой параболического типа.
Если - кривая второго порядка Г называется кривой гиперболического типа.
Кривая второго порядка Г называется центральной, если .
Кривые эллиптического и гиперболического типа являются центральными кривыми.
Классификация кривых второго порядка с помощью инвариантов:
1) эллипс;
2) мнимый эллипс;
3) вырожденный эллипс;
4) две мнимые пересекающиеся прямые (точка) ;
5) гипербола;
6) две пересекающиеся прямые;
7) парабола.
В соответствии с классификацией кривых второго порядка имеем:
1. Если , то есть, то уравнение (1.1) определяет кривую параболического типа. При этом I3 = 0, следовательно, если , то уравнение (1.1) определяет параболу.
кривая второй порядок поверхность
Если , то кривая второго порядка - центральная. Следовательно, при данная кривая (1.1) - центральная.
2. Если , то есть при данная кривая (1.1) определяет кривую эллиптического типа. При этом если ещё и , то есть если , то уравнение (1.1) определяет эллипс.
3. Для вырожденного эллипса
4. Для мнимого эллипса :
5. Если и , то уравнение (1.1) определяет две пересекающиеся прямые. Получим:
=> =>
Следовательно, двух пересекающихся прямых не существует для данного уравнения.
6. Если и , то уравнение (1.1) определяет две мнимые пересекающиеся прямые. Получим:
=>
Следовательно, если , то уравнение определяет две мнимые пересекающихся прямые (точку).
Если I2 < 0, то уравнение определяет кривую гиперболического типа. Следовательно, если , то уравнение (1.1) определяет кривую гиперболического типа.
7. Если и , то данная кривая - гипербола. Но при всех . Следовательно, если , то уравнение (1.1) определяет гиперболу.
Используя полученные результаты, построим таблицу:
|
Значение параметра
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тип кривой
|
Мнимый эллипс
|
Вырожденный эллипс
|
Две мнимые пересекающиеся прямые (точка)
|
Эллипс
|
Парабола
|
Гипербола
|
|
|
2. Переход уравнения кривой при = 0 к каноническому виду с помощью параллельного переноса и поворота координатных осей
При = 0 уравнение (1.1) имеет вид:
(1.2)
а) Определим тип кривой (1.2) с помощью инвариантов:
Так как , то исходное уравнение представляет собой уравнение эллиптического типа, а именно эллипс, так как .
б) Приведём данное уравнение (1.2) к каноническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворота координатных осей.
Пусть декартовая прямоугольная система координат получена поворотом системы на угол . Старые и новые координаты точки связаны соотношениями:
(1.3)
Подставим выражение (1.3) в (1.2), получим уравнение (1.2) в системе . Это уравнение имеет вид:
(1.4)
Упрощая полученное уравнение и приводя подобные слагаемые, получаем:
(1.5)
Выберем такой угол , что в уравнении (1.5) коэффициент при = 0:
Примем , тогда найдем значения и , которые выражаются через по формулам: , . Отсюда , а . Возьмём значения , а .
Тогда уравнение (1.5) имеет вид:
Дополним до полных квадратов:
Примем за новое начало точку . Применим формулы преобразования координат:
Получим:
или
То есть получили уравнение эллипса в каноническом виде.
3. Нахождение фокусов, директрис, эксцентриситетов и данной кривой второго порядка ()
Для данного уравнения кривой второго порядка найдём фокусы, директрисы, эксцентриситет.
(1.6)
Общее уравнение эллипса имеет вид:
Из канонического уравнения (1.6) находим и большую и малую полуоси эллипса соответственно:
Для любой точки Мгиперболе, абсолютная величи7а разности фокальных радиусов () есть величина постоянная и равная 2.
Выберем начало координат в середине отрезка равного , тогда в выбранной системе координат точки и имеют координаты исоответственно. Обозначим через постоянную, о которой говорится в определении гиперболы. Очевидно, что , то есть .
Находим значение по формуле :
Отсюда фокусы и имеют следующие координаты:
,
Эксцентриситетом гиперболы называется величина , то есть имеем:
Директрисой гиперболы, называются две прямые перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные ассиметрично относительно центра гиперболы на расстоянии от него.
Уравнения директрис гиперболы имеют вид:
. Отсюда ;
Асимптотами называются диагонали прямоугольника, к которым стремятся ветви гиперболы. Уравнения асимптот находятся по следующим формулам:
,
то есть и
4. Построение кривой в канонической и общей системе координат
Рис.1. Эллипс в общей системе координат:
Рис.2. Эллипс в канонической системе координат
5. Вывод для данной кривой
второго порядка после определения зависимости типа кривой от параметра с помощью инвариантов мы определили, что при данное уравнение - гипербола. После преобразования уравнения кривой при с помощью параллельного переноса и поворота координатных осей, было получено каноническое уравнение эллипса. С помощью этого уравнения мы нашли фокусы, директрисы, эксцентриситет и асимптоты данной гиперболы.
6. Анализ поверхности второго порядка
1. Переход уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду
Поверхностью второго порядка S называется геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида:
(2.2)
где по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля. Уравнение (1.1) называют общим уравнением поверхности второго порядка , а систему координат называют общей системой координат. Нам дано общее уравнение поверхности второго порядка
(2.1)
Приведём данное уравнение (2.1) к каноническому виду.
(2.2)
То есть получили уравнение эллиптического цилиндра в каноническом виде.
2. Исследование формы поверхности методом сечений и построение полученных сечений
Данное каноническое уравнение поверхности (2.2) задает эллиптический цилиндр.
1. Рассмотрим линии , полученные в сечениях эллиптического цилиндра плоскостью . Эти линии определяются системой уравнений:
Следовательно, уравнение проекций линий на плоскость имеет вид:
(2.3)
Уравнение (2.3) - уравнение эллипса с центром в точке (0,0,0), мнимыми осями в точках и (см. рис 1).
2. Рассмотрим линии , полученные в сечениях эллиптического цилиндра плоскостями . Эти линии определяются системой уравнений:
Следовательно, уравнение проекций линий на плоскость имеет вид:
: (2.4)
Запишем уравнение (2.4) в виде:
: (2.5)
Уравнение (2.5) - это уравнение прямых в плоскостях ( - любое действительное число). При различных значениях получим семейство соответствующих прямых (см. рис.2):
(сечений нет)
(прямая)
(две параллельные прямые)
Рассмотрим линии , полученные в сечениях эллиптического цилиндра плоскостью . Эти линии определяются системой уравнений:
Следовательно, уравнения проекций линий на плоскость имеют вид:
: (2.6)
Запишем уравнение (2.6) в виде:
: (2.7)
Уравнение (2.7) - это уравнение прямых в плоскостях ( - любое действительное число),
При различных значениях получим семейство соответствующих прямых (см. рис.3):
(сечений нет)
,
.
Построение сечений:
Рис.1. Эллипс (Z=const).
Рис.2. Семейство прямых (X=h (h=const)).
Рис.3. Семейство прямых (Y=h (h=const)).
3. Эллиптический цилиндр в канонической системе координат
Рис.4. Эллиптический цилиндр в канонической системе координат.
7. Вывод
Итак, мы привели общее уравнение поверхности второго порядка к каноническому виду, то есть максимально его упростили. Далее, для того, чтобы иметь представление о форме данной поверхности, мы исследовали её методом сечений плоскостями , , , параллельными координатным плоскостям. В ходе исследования мы получили эллиптический цилиндр.
Список литературы
1. Копылова Т.В. 'Аналитическая геометрия'. - Дубна, 1996.
2. Ефимов А.В., Демидович Б.П. 'Сборник по математике' (для ВТУЗов) (в четырех частях). - М.: Наука, 1993.
3. Мазный Г.Л., Мурадян А.В. 'Офисные информационные технологии' - Дубна: Международный университет природы, общества и человека 'Дубна', 1999.
