Криволінійні інтеграли

/

ТЕМА

КРИВОЛІНІЙНІ ІНТЕГРАЛИ

Поняття криволінійного інтеграла першого роду (по довжині дуги)

/

Нехай у площині задано гладку чи кусково-гладку криву (рис. 1) і на цій кривій визначено обмежену функцію .

(Неперервна крива називається гладкою на відрізку , якщо функції та мають на цьому відрізку неперервні похідні та , які одночасного не дорівнюють нулю. Якщо неперервна крива складається із скінченного числа гладких кривих, її називають кусково-гладкою.) Розіб'ємо криву точками на довільних частин, на кожній окремій дузі виберемо будь-яку точку і складемо суму

, (1)

де - довжина дуги . Сума (1) називається інтегральною сумою для функції по кривій . Нехай - найбільша з довжин окремих дуг .

Якщо при інтегральні суми (1) мають скінченну границю, яка не залежить від розбиття кривої і вибору точок , то цю границю називають криволінійним інтегралом першого роду (або криволінійним інтегралом по довжині дуги) від функції по кривій і позначають

Таким чином, за означенням

. (2)

Якщо границя (2) існує, то функція називається інтегровною на кривій , сама крива - контуром інтегрування, - початковою, а - кінцевою точками інтегрування.

Зведемо криволінійний інтеграл першого роду до визначеного інтеграла. Для цього на кривій приймемо за параметр довжину дуги , яка відраховується від точки до довільної точки кривої . Тоді рівняння кривої можна записати у параметричній формі: , де - довжина кривої . При цьому функція визначена на кривій , перетворюється у складену функцію однієї змінної - параметра :

Позначимо через значення параметра , яке відповідає точці а через - яке відповідає точці , тоді сума (1) матиме вигляд

криволінійний інтеграл координата довжина дуга

, (3)

де . Сума (3) є інтегральною сумою для визначеного інтеграла від функції на відрізку . Оскільки суми (1) і (3) рівні між собою, то рівні і відповідні їм інтеграли:

. (4)

Формула (4) не тільки зводить криволінійний інтеграл до звичайного, але й доводить існування криволінійного інтеграла для функції , яка неперервна на кривій . Крім того, з формули (4) випливає, що властивості криволінійного інтеграла першого роду аналогічні властивостям визначеного інтеграла, тому ми їх навіть не формулюватимемо. Зауважимо лише, що за означенням криволінійного інтеграла - довжина дуги, тому завжди . У визначеному ж інтегралі

(5)

величина може бути як додатною, так і від'ємною. У зв'язку з цим

, але

тобто межі інтегрування в криволінійному інтегралі першого роду завжди необхідно брати від меншої до більшої.

Розглянемо фізичний зміст криволінійного інтеграла першого роду. Якщо вздовж неоднорідної матеріальної кривої розподілено масу з лінійною густиною , то

тобто з фізичної точки зору криволінійний інтеграл першого роду від невід'ємної функції вздовж деякої кривої дорівнює масі цієї кривої.

Криволінійний інтеграл першого роду має також і геометричний зміст.

Якщо визначений інтеграл (5) при визначає площу криволінійної трапеції, то криволінійний інтеграл (2) при чисельно дорівнює площі частини циліндричної поверхні, твірні якої мають довжину і паралельні осі , а напрямна збігається з кривою на площині (рис. 2).

Рисунок 2 - Геометричний зміст криволінійного інтеграла

Зокрема, якщо - не крива, а відрізок , що лежить на осі , то , і формула (2) перетворюється у формулу (5) - циліндрична поверхня «вирівнюється» і стає криволінійною трапецією, тобто криволінійний інтеграл першого роду стає звичайним визначеним інтегралом.

Якщо покласти , то площа циліндричної поверхні чисельно дорівнюватиме довжині дуги , тому довжину дуги можна знайти за формулою

2 Обчислення криволінійних інтегралів першого роду

Формула (4), яка зводить криволінійний інтеграл до звичайного, є не зовсім зручною для обчислення, бо не завжди можна легко знайти рівняння кривої у вигляді , де - довжина дуги. Спростимо цю формулу.

Нехай крива задана рівняннями , причому значення відповідає точці , а значення - точці . Вважатимемо, що функції і разом з похідними і неперервні на відрізку , а функція неперервна вздовж кривої . Для довільної точки довжину дуги кривої можна розглядати як функцію параметра :, тоді

Звідси, згідно з правилом диференціювання визначеного інтеграла по верхній межі, маємо

.

Виконуючи заміну змінної у правій частині формули (4), маємо

(6)

Зокрема, якщо крива в декартових координатах задана рівнянням , де функція неперервна разом із своєю похідною на відрізку , то формула (6) набирає вигляду

. (7)

Якщо крива задається рівнянням і функції і неперервні на відрізку , то

. (8)

Досі ми вважали, що криволінійний інтеграл першого роду розглядається для плоскої кривої . Знайдені результати легко перенести на випадок просторових кривих.

Нехай функція визначена та неперервна на просторовій кривій , яку задано рівняннями , де функції та неперервні на відрізку . Тоді існує криволінійний інтеграл і справджується формула

. (9)

Приклади

1. Обчислити криволінійний інтеграл

де - відрізок прямої від точки до точки .

Розв'язання

Скористаємося формулою (7). Оскільки

, а , , то

2. Обчислити криволінійний інтеграл першого роду

де - астроїда .

Розв'язання

Запишемо параметричні рівняння астроїди:

Оскільки , то

Зазначимо, що у точках , тобто астроїда є кусково-гладкою кривою.

Для обчислення криволінійного інтеграла застосовуємо формулу (6). Отримаємо

3 Застосування криволінійного інтеграла першого роду

1. Застосування в геометрїї. Нехай у площині задано кусково-гладку криву замкнену чи незамкнену і на цій кривій визначено неперервну функцію , тоді:

а) площу циліндричної поверхні, визначеної функцією , знаходять за формулою

; (10)

б) довжину кривої визначають за формулою

. (11)

2. Застосування у механіці. Нехай вздовж неоднорідної матеріальної кривої розподілено масу з лінійною густиною , тоді:

а) маса кривої обчислюється за формулою

; (12)

б) координати центра маси кривої знаходяться за формулами

, (13)

де - статичні моменти кривої відносно осей і ;

в) моменти інерції кривої відносно осей , і початку координат відповідно дорівнюють

. (14)

У випадку, коли крива однорідна, тобто має сталу густину , у формулах (12) - (14) слід вважати . Наприклад, необхідно знайти момент інерції відносно осі однорідної дуги кола , яка міститься у першій чверті.

Скориставшись першою з формул (14), матимемо

.

Формули (10), (11) випливають з геометричного змісту криволіній-ного інтеграла першого роду (п. 1).

Формули (12) - (14) можна довести тим самим методом, яким були знайдені відповідні формули для матеріальної пластини (п. 1.6).

Формули (11) - (14) можна записати і для випадку, коли підін-тегральна функція розглядається на просторовій кривій.

4 Поняття криволінійного інтеграла другого роду (по координатах). Фізичний зміст

Криволінійний інтеграл другого роду визначається майже так само, як інтеграл першого роду. Нехай у площині задано гладку чи кусково-гладку криву (рис. 3) і на цій кривій визначено обмежену функцію . На відміну від інтегралів першого роду вважатимемо криву напрямною лінією, у якої точки та є відповідно початковою та кінцевою точками. Розіб'ємо криву точками на довільних частин, на кожній частинній дузі виберемо точку і складемо суму

, (15)

де - проекція вектора на вісь .

Відмінність сум (1) і (15) очевидна.

Якщо при інтегральні суми (15) мають скінченну границю, яка не залежить ні від розбиття кривої , ні від вибору точок , то цю границю називають криволінійним інтегралом від функції по координаті вздовж кривої і позначають

Рисунок 3 - Крива

Таким чином,

. (16)

Аналогічно вводиться криволінійний інтеграл від функції по координаті :

, (17)

де - проекція вектора на вісь (рис. 3). Суму

називають криволінійним інтегралом по координатах або криволінійним інтегралом другого роду від функцій і по кривій і позначають символом

.

Функції і іноді позначатимемо через і , а криволінійний інтеграл записуватимемо у вигляді .

Для того щоб дати фізичну інтерпретацію криволінійного інтеграла другого роду, розглянемо задачу про роботу змінної сили на криволінійному шляху. Нехай матеріальна точка під дією змінної сили , де - проекції сили на осі та , рухається на площині вздовж кривої . Необхідно обчислити роботу сили при переміщенні точки з точки в точку (рис. 4).

Рисунок 4 - Робота сили при переміщенні

Розіб'ємо криву точками на частин і на кожній окремій дузі візьмемо довільну точку .

На цю точку діє сила . Роботу , яку виконує ця сила при переміщенні точки по вектору можна знайти за допомогою скалярного добутку

Ця робота наближено дорівнює роботі змінної сили при переміщенні матеріальної точки по дузі довжиною .

Робота сили вздовж усієї ламаної дорівнює

Цей вираз дає наближене значення шуканої роботи . Перейшовши до границі при , знайдемо точне її значення:

. (18)

Отже, з погляду фізики криволінійний інтеграл другого роду вздовж деякої кривої дорівнює роботі змінної сили при переміщенні матеріальної точки вздовж цієї кривої.