Функции нескольких переменных. Ряды. Обыкновенные дифференциальные и разностные уравнения
Работа из раздела: «
Математика»
1
Контрольная работа №3 (3 семестр)
Темы: Функции нескольких переменных. Ряды Обыкновенные дифференциальные и разностные уравнения
Задача 1.
Задана функция . Найти:
а) наименьшее и наибольшее значение функции в ограниченной области Д,
б) вектор - градиент функции в точке А. Область Д и вектор изобразить на чертеже.
13.10. ; а) Д: ; б) .
Решение
а) наименьшее и наибольшее значение функции в ограниченной области Д .
Построим область Д.
Найдем стационарные точки:
функция ряд интеграл дифференциальный
М(0; 0) - стационарная точка
? = АС - В2 = 2•2 - 02 = 4 > 0
В т. М(0; 0) минимум функции Z. Zmin = 02 + 02 + 4 = 4
Рассмотрим по отдельности три отрезка:
1) АВ: y = 2 + x, -4 ? x ? 0.
z = x2 + (2 + x)2 + 4 = 2x2 + 4x + 8
В т.x = -1 - min функции
z(-1) = 2•(-1)2 + 4(-1) + 8 = 6
2) ВС: y = 2 - 2x, 0 ? x ? 2.
z = x2 + (2 - 2x)2 + 4 = 5x2 - 8x + 8
В т.x = 0,8 - min функции
z(0,8) = 5•0,82 - 8•0,8 + 8 = 4,8
3) AC: y = -2, -4 ? x ? 2.
z = x2 + (-2)2 + 4 = x2 + 8
Данная точка уже исследовалась.
Найдем значения функции в граничных точках:
z(A) = z(-2; -4) = (-2)2 + (-4)2 + 4 = 24
z(B) = z(0; 2) = 0 + 22 + 4 = 8
z(C) = z(2; -2) = 22 + (-2)2 + 4 = 12
Таким образом, получим, что наименьшее значение функции z достигается в точке (0; 0) zнаим = 4, а наибольшее значения функции в точке А(-2; -4) zнаиб = 24.
б) вектор - градиент функции в точке А(1; -1).
Задача 2
Исследовать на сходимость данный ряд:
.
Решение
Воспользуемся интегральным признаком Коши:
Так как интеграл расходится, то и ряд тоже расходится.
Задача 3
Найти область сходимости данного ряда.
15.10. .
Решение
Общий член ряда
Для исследования ряда на абсолютную сходимость применим признак Даламбера.
Таким образом, при , то есть при -1 < x < 1 исходный ряд сходится абсолютно.
Выясним вопрос о сходимости ряда на концах интервала.
При х = -1 заданный ряд принимает вид:
Это числовой знакочередующийся ряд. Его общий член по абсолютной величине монотонно убывает и стремится к нулю при . Таким образом, оба условия признака Лейбница выполнены и ряд сходится.
При х = 1 заданный ряд принимает вид:
Ряд расходится как гармонический.
Область сходимости исходного степенного ряда: . Вне этого интервала ряд расходится.
Задача 4
Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения:
.
Решение
Полагаем y = uv, где u и v - неизвестные функции от х,
Подставим в исходное уравнение
Подберем функцию v = v(x) так, чтобы выражение, содержащееся в скобке было равно нулю.
Для определения функции u(x) имеем
Таким образом, общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид:
Задача 5.
Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
,,.
Решение
Находим общее решение Y однородного уравнения с теми же коэффициентами, что и в левой части заданного уравнения.
Составим характеристическое уравнение
k2 - 3k + 2 = 0
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Подбираем частное решение исходного неоднородного уравнения.
Подставим в исходное уравнение.
Общее решение заданного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид
Найдем частное решение дифференциального уравнения.
Подставляя начальные условия в общее решение и его производную, получим систему уравнений относительно С1 и С2.
Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:
