Функции Бесселя
Работа из раздела: «
Математика»
/
/
Федеральное государственное образовательное бюджетное
учреждение высшего профессионального образования
«Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации»
Кафедра «Прикладная математика»
Дисциплина «Дифференциальные уравнения»
Домашнее творческое задание
На тему «Функции Бесселя»
Выполнила:
Студенка гр. ПМ2-1
Голубева В.И.
Проверил:
Свирщевский Сергей Ростиславович
Москва - 2014
Оглавление
Введение
1. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах
2. Бесселевы функции первого рода
3. Общее решение уравнения Бесселя
4. Функции Бесселя полуцелого порядка
5. Некоторые дифференциальные уравнения, приводимые к уравнению Бесселя
6. Применения
Заключение
Список использованной литературы
Введение
Немецкий астроном и математик Фридрих Вильгельм Бессель (1784-1846) родился в небольшом городе Минден на северо-западе Германии в семье мелкого чиновника. Свой жизненный путь Бессель начал торговым служащим. В юности был астрономом-любителем. Серьезно занимался самообразованием. В 1804 самостоятельно вычислил орбиту кометы Галлея, чем заслужил похвалу Г.В. Ольберса. В 1806 стал ассистентом частной обсерватории И.И. Шрётера в Лилиентале. В 1810 был приглашен в Кёнигсберг для организации новой обсерватории, директором которой проработал до последних лет своей жизни. Бессель является одним из основоположников астрометрии Разработал теорию ошибок инструмента и последовательно проводил в жизнь идею о необходимости вносить соответствующие поправки в результаты наблюдений. При обработке результатов наблюдений широко применял различные математические методы, в частности использовал результаты теории вероятностей и метод наименьших квадратов. В честь немецкого математика и астронома было названо дифференциальное уравнение, Бессель подробно исследовал его и показал (в 1824 году), что решения уравнения выражаются через специальный класс функций, получивших название цилиндрических функций или функций Бесселя.
Функции Бесселя в математике -- семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя:
х2 у'' + ху' + (х2 - н2)у = 0
где н -- произвольное вещественное число, называемое порядком.
Наиболее часто используемые функции Бесселя -- функции целых порядков.
Хотя н и (-н) порождают одинаковые уравнения, обычно договариваются о том, чтобы им соответствовали разные функции (это делается, например, для того, чтобы функция Бесселя была гладкой по н). Функции Бесселя впервые были определены швейцарским математиком Даниилом Бернулли, а названы в честь Фридриха Бесселя.
1.
1. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах
Чтобы объяснить происхождение бесселевых функций, рассмотрим уравнение Лапласа в пространстве:
. (1)
Если перейти к цилиндрическим координатам по формулам:
, , ,
то уравнение (1) примет следующий вид:
. (2)
Поставим задачу: найти все такие решения уравнения, которые могут быть представлены в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента, то есть найти все решения вида:
,
где , , предполагаются дважды непрерывно дифференцируемыми.
Пусть есть решение упомянутого вида. Подставляя его в (2), получим:
,
откуда (после деления на )
.
Записав это в виде:
,
найдем, что левая часть не зависит от , правая не зависит от , ; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная . Отсюда:
; ;
; ;
.
В последнем равенстве левая часть не зависит от , правая не зависит от ; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная . Отсюда:
, ;
, .
Таким образом, , , должны удовлетворять линейным дифференциальным уравнениям второго порядка:
, (3)
, ,
из которых второе и третье есть простейшие линейные уравнения с постоянными коэффициентами, а первое является линейным уравнением с переменными коэффициентами нового вида.
Обратно, если , , удовлетворяют уравнениям (3), то есть решение уравнения (2). В самом деле, подставляя в левую часть (2) и деля затем на , получим:
.
Таким образом, общий вид всех трех решений уравнения (2), которые являются произведением трех функций, каждая из которых зависит от одного аргумента, есть , где , , - любые решения уравнений (3) при любом выборе чисел , .
Первое из уравнений (3) в случае , называется уравнением Бесселя. Полагая в этом случае , обозначая независимую переменную буквой (вместо ), а неизвестную функцию - буквой (вместо ), найдем, что уравнение Бесселя имеет вид:
. (4)
Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами играет большую роль в приложениях математики. Функции, ему удовлетворяющие, называются бесселевыми, или цилиндрическими, функциями.
2. Бесселевы функции первого рода
Будем искать решение уравнения Бесселя (4) в виде ряда ( по теореме о разложении в обобщённый степенной ряд):
.
Тогда
,
,
,
.
Следовательно, приходим к требованию
или к бесконечной системе уравнений
,
которая распадается на две системы:
Первая из них удовлетворится, если взять … Во второй системе можно взять произвольно; тогда … однозначно определяются (если не является целым отрицательным числом). Взяв , ( Г-гамма-функция Эйлера) найдем последовательно:
,
,
,
и в качестве решения уравнения (4) получим ряд:
Этот ряд, формально удовлетворяющий уравнению (4), сходится для всех положительных значений и, следовательно, является решением уравнения (4) в области (в случае целого в области ).
Функция
(5)
называется бесселевой функцией первого рода с индексом . Она является одним из решений уравнения Бесселя (4). В случае целого неотрицательного индекса получим:
, (5`)
*Г-функция является гомоморфным продолжением последовательности факториалов для любого натурального n: Г(n)=(n-1)! и, в частности,
. (5``)
3. Общее решение уравнения Бесселя
В случае нецелого индекса функции и являются решениями уравнения (4). Эти решения линейно независимы, так как начальные члены рядов, изображающих эти функции, имеют коэффициенты, отличные от нуля, и содержат разные степени . Таким образом, в случае нецелого индекса общее решение уравнения Бесселя есть:
. (6)
Если (целое отрицательное число), то функция, определяемая формулой (5) (учитывая, что равно нулю для …), принимает вид:
(5```)
или, после замены индекса суммирования на ,
, (7)
откуда видно, что удовлетворяет вместе с уравнению Бесселя
.
Но формула (6) в случае целого уже не дает общего решения уравнения (4).
Полагая
( - не целое) (8)
и дополняя это определение для (целое число) формулой:
, (8`)
получим функцию , удовлетворяющую уравнению Бесселя (4) и во всех случаях линейно независимую от (в случае , где - целое). Функция называется бесселевой функцией второго рода с индексом . Общее решение уравнения Бесселя (4) можно записать во всех случаях в виде:
. (9)
4. Функции Бесселя полуцелого порядка
Хотя в общем случае функции Бесселя не выражаются через элементарные функции, в частном случае полуцелого порядка это возможно:
, (10)
Остальные порядки могут быть получены с помощью рекуррентного соотношения:
. (11)
5. Некоторые дифференциальные уравнения, приводимые к уравнению Бесселя
1. Еще одним хорошо известным уравнением данного класса является модифицированное уравнение Бесселя, которое получается из регулярного уравнения Бесселя заменой x на ?ix. Это уравнение имеет вид:
22+v2) =0 (12)
Решение данного уравнения выражается через так называемые модифицированые функции Бесселя первого и второго рода:
(13)
где Iv(x) и Kv(x) обозначают модифицированные функции Бесселя, соответственно, первого и второго рода.
2. Дифференциальное уравнение Эйри, известное в астрономии и физике, записывается в виде:
(14)
Его также можно свести к уравнению Бесселя. Решение уравнения Эйри выражается через функции Бесселя дробного порядка :
(15)
3. Дифференциальное уравнение вида
(16)
отличается от уравнения Бесселя лишь множителем a2 перед x2 и имеет общее решение в следующем виде:
(17)
4. Похожее дифференциальное уравнение
(18)
также сводится к уравнению Бесселя
(19)
с помощью подстановки
(20)
Здесь параметр n2 обозначает
(21)
В результате, общее решение данного дифференциального уравнения определяется формулой
(22)
6. Применения
дифференциальный уравнение лаплас бессель
Уравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например:
· электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе;
· теплопроводность в цилиндрических объектах;
· формы колебания тонкой круглой мембраны
· распределение интенсивности света, дифрагированного на круглом отверстии.
· скорость частиц в цилиндре, заполненном жидкостью и вращающемся вокруг своей оси.
· волновые функции в сферически симметричном потенциальном ящике.
Функции Бесселя применяются и в решении других задач, например, при обработке сигналов.
Специальные функции Бесселя широко используются в решении задач математической физики, в случаях, когда объекты имеют цилиндрическую или сферическую симметрию.
Заключение
Сегодня в качестве математического аппарата во многих отраслях современной прикладной математики, математической физики и технических приложениях широко используются функции Бесселя и цилиндрические функции. Области приложения этих функций крайне разнообразны. Они обеспечивают очень быструю и корректную сходимость решений целого ряда прикладных задач, которые могут быть так или иначе сведены к уравнению Бесселя. Интерес математиков и инженеров к специальным функциям матфизики не угасает.
Список использованной литературы:
1. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление, Москва 2002
2. Балакин А.Б. Лекции по теории функции Бесселя, Казань 2009.
3. http://www.math24.ru/bessel-equation.html
4. http://ru.wikipedia.org/wiki/Функции_Бесселя
5. Курант Р. Гильберт Д. Методы математической физики т.1 http://page-book.ru/i46486
6. И.Г. Араманович, В.И. Левин. Уравнения математической физики. 1969.
