Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

/

/

Лабораторная работа

Решение алгебраических и трансцендентных уравнений

Задание. Для каждого уравнения отделить корни

а) табулированием;

б) графически.

2. Уточнить один корень одного из уравнений с точностью =0.01 методами половинного деления и простых итераций, а так же одним из следующих методов (по указанию преподавателя):

а) хорд

б) касательных

в) секущих

Решение: а) графически;

Чтобы отделить корни уравнения графическим методом, необходимо построить график функции и посмотреть, в каких точках график пересекает ось х. Эти точки будут являться корнями уравнения.

На графике видно, что корень уравнения находится на интервале (1; 2)

На этом графике видно что На графике видно, что корни уравнения находится на интервалах (-3; - 2), (-1; 0), (0; 1), (1; 2).

Для дальнейшего отделения корней необходимо воспользоваться методом табулирования.

Метод половинного деления

В этом методе вычисляется значение функции путём подстановки некоторого значения , смещающегося при каждой итерации на определённый шаг (не более ), в уравнение. В дальнейшем строится таблица, с помощью которой можно определить интервалы залегания корня.

/

/

По алгоритму представленному выше мы можем найти интервалы, на которых находятся корни уравнения.

Для функции

Из таблицы мы видим, что корень уравнения залегает на интервале [1,3; 1,4].

Для функции

Из этих таблиц видим что корни залегают на интервалах [-2,8; - 2,9], [-0,3; - 0,2], [0.3; 0,4], [1,4; - 1,5]. (Для уточнения взят интервал [-0,3; - 0,2])

Первый способ уточнения корня уравнения - метод половинного деления (дихотомии). Для этого следует разделить отрезок [a, b] пополам точкой . Возможны два случая: либо f(x) меняет знак на отрезке [a, c], либо на отрезке [c, b]. Выбирая в каждом случае тот отрезок, на котором функция меняет знак, и, продолжая процесс половинного деления дальше, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень уравнения. Воспользуемся методом половинного деления с помощью данного алгоритма:

/

/

С помощью метода половинного деления корень был уточнен для уравнения

до значения .

Метод итераций

Второй способ уточнения корня уравнения - метод простых итераций (ПИ).

Для этого метода необходимо выразить из начального уравнения генерирующее отношение вида . Для уравнения было получено генерирующие отношение вида .

Для того чтобы метод простых итераций выполнялся, генерирующее соотношение должно удовлетворять условию , где х принадлежит интервалу, на котором находится корень.

Продифференцируем выражение

Для проверки применимости метода возьмем значение х, которое находится посередине интервала [1,3; 1,4], т.е. х = 1.35.

-1.4

Так как условие не выполняется , то метод в данном случае не применим, но если бы он был бы применим то корень был бы уточнен с помощью этого варианта:

/

/

Для дальнейшего уточнения корня воспользуемся методом касательных.

Метод касательных

Для уточнения корней методом касательных необходимо взять начальное приближение вблизи предположительного корня, после чего построить касательную к исследуемой функции в точке приближения, для которой находится пересечение с осью абсцисс. Эту точку необходимо взять в качестве следующего приближения. И так далее, пока не будет достигнута требуемая точность.

В качестве выступает уравнение а в качестве - её производная . Реализация метода касательных представлена в следующем алгоритме:

/

/

корень уравнение итерация алгебраический

С помощью метода касательных корень был уточнен до значения при начальном приближении . Результат был достигнут за 1 шаг.