Регуляризация обратной задачи бигармонического уравнения
Работа из раздела: «
Математика»
/
Содержание:
- Аннотация
- 1. Постановка задачи
- 2. Сведение дифференциальной задачи к интегральному уравнению для бигармонического уравнения
3. Расчетные формулы
- 4. Корректно и некорректно поставленные задачи
- 5. Метод регуляризации Тихонова А.Н. для решения систем линейных алгебраических уравнений
- 6. Дискретная регуляризация для бигармонического уравнения
- 7. Оценка погрешности метода дискретной регуляризации для бигармонического уравнения
- Список литературы
- Приложение
-
Аннотация
В данной работе рассматривается применение метода дискретной регуляризации для нахождения приближённого решения в обратной задаче для однородного бигармонического уравнения в круге.
Такое уравнение возникает из задачи о колебаниях тонкой пластины с закрепленными краями, на которую действует внешняя сила, распределенная равномерно с плотностью f(x,y).
Для нахождения приближенного решения используется метод сведения к системе интегральных уравнений Фредгольма I рода (и, следовательно, некорректно поставленной задаче), к которой, после дискретизации посредством квадратурных формул, применяется метод регуляризации Тихонова А.Н. [2], [3].
В приложении приведены расчётные формулы; программа и результаты численного счета на ЭВМ.
1. Постановка задачи
Уравнение (1`) называется бигармоническим, а его решения, имеющие производные до 4-го порядка включительно, называются бигармоническими функциями.
Основная первая краевая задача для бигармонического уравнения ставится следующим образом [1]:
Найти функцию u(х,у), непрерывную вместе с первой производной в замкнутой области S+C, имеющую производные до 4-го порядка в S, удовлетворяющую уравнению (1) или (1`) внутри S и граничным условиям на С:
,
где и непрерывные функции.
Задан круг SR радиуса R с центром в начале координат и границей С. В этом круге SR рассматривается краевая задача для бигармонического уравнения:
(1)
где дифференциальный оператор
и int SR - внутренность круга.
Предполагая, что значения g и h неизвестны, но известно решение на простой замкнутой гладкой кривой L, лежащей внутри круга SR, т.е. известно значение функции u(х,у) и значение производной функции u(х,у) по внешней нормали на кривой L. Кривая L определена параметрически как x = x(t), y = y(t), t []. Функции x = x(t), y = y(t) - непрерывно дифференцируемы на [].
(1*)
где (t) и (t) непрерывные функции.
Требуется найти решение в круге SR.
Таким образом, имеем обратную краевую задачу о восстановлении решения по заданной информации внутри области.
2. Сведение обратной задачи к системе двух интегральных уравнений
Рассмотрим бигармоническое уравнение
внутри SR
и замкнутую гладкую кривую
с непрерывно дифференцируемыми x(t), y(t) и известными значениями решения u(x,y) на L:
при . Здесь функции g, h - предполагаются неизвестными.
Так как начало координат совпадает с центром окружности, то по [1] воспользуемся известным представлением решения задачи (1) для круга:
, (2.2)
где
;
, ( r, - полярные координаты)
Введём обозначения:
Тогда формула (2.2) запишется в виде:
Для определения функций h и g воспользуемся условиями (1.4), (1.5):
(2.3)
(2.4)
Введём вектора , X = (h,g)T и матрицу:
Запишем систему уравнений (2.3), (2.4) в виде одного векторно-матричного интегрального уравнения:
(2.5)
Тем самым получили интегральное уравнение Фредгольма I рода. Как известно решение такого уравнения является некорректной задачей.
Найдя вектор X из (2.5) и подставив в формулу (2.2) получим решение задачи (2.1) по формуле (2.2), описывающей решение внутри круга SR.
3. Расчетные формулы
Введем используемые обозначения:
Уравнения ядер будут выглядеть следующим образом:
используем:
и косинусы внешней нормали к кривой L:
получаем:
4. Корректно и некорректно поставленные задачи
Математической моделью многих практических задач является линейное уравнение Az = u (4.1), где z - искомый элемент и u - правая часть принадлежат соответствующим нормированным пространствам Z, U; А - линейный оператор, действующий из Z в U.
Среди задач (4.1) выделяется класс задач некорректно поставленных.
Они характеризуются тем, что сколь угодно малые изменения исходных данных могут приводить к произвольно большим изменениям решений.
Следуя Тихонову А.Н., задача (4.1) называется корректно поставленной, или просто корректной, если выполняются следующие условия:
решение задачи (4.1) существует для любого элемента u U;
решение определено однозначно по u;
решение задачи устойчиво, т.е. для любой точности > 0 можно указать такое () > 0, что если , то |||| < , где и решения (3.1), соответствующие правым частям и .
Если оператор А обратим и ограничен, т.е. существует оператор , то
z = Au и R=A. Условие 3) означает непрерывность оператора R. Если задача (4.1) не удовлетворяет хотя бы одному из условий 1), 2), 3), то она называется некорректной. в случае ограниченного оператора A имеем корректность по Адамару.
Уравнение Фредгольма I рода является некорректной задачей, так как решение задачи не устойчиво [2].
Уточним понятие решения для некорректно поставленных задач. Действительно, если выполняется условие 1), но не выполняется условие 2), то точных решений много. Если же не выполняется 1), то решений вообще нет. В таких случаях говорят о нормальных решениях.
Определение: элемент z называется нормальным решением уравнения Az=u, если ||z||=, где Z -множество всех решений , для уравнения Az=u.
5. Метод регуляризации Тихонова А.Н. для решения систем линейных алгебраических уравнений
Пусть в пространстве задана система линейных алгебраических уравнений Ах = b с матрицей А = () и вектором b = (), i,j = l,...,n. Эта система может быть однозначно разрешимой, вырожденной и неразрешимой. Введём в этих случаях понятие псевдорешения [2].
Определение: Псевдорешением системы Ах = b называют вектор х, минимизирующий невязку || Ах-b || = (x) на всём пространстве .
Очевидно, если у системы Ах = b есть решение , то оно же будет и псевдорешением. В этом случае невязка () = 0. Система может иметь не одно псевдорешение. Возникает вопрос о выделении среды псевдорешений какого-либо одного, обладающего определёнными свойствами. Введём понятие нормального решения.
Определение: Вектор называется нормальным решением системы Ах = b, если он имеет минимальную норму среди всех псевдорешений,
т.е. || хн || = inf || х || для всех x FA
(где FA - множество псевдорешений).
|| х || =
Нормальное решение для любой системы Ах = b существует и единственно [4]. Если система имеет единственное решение, то оно же будет и нормальным решением.
Задача нахождения нормального решения некорректна. Поэтому для получения его целесообразно применять регуляризирующий метод, в основе которого лежит идея регуляризирующего оператора [2], [3].
Есть точная система Ах = b и есть приближённая система
Ah х =b,
где || A-Ah || h , || b- b|| .
Требуется найти вектора ха, где , такие, что || ха-хн || = 0. Эти вектора ха называются приближениями к нормальному решению хн уравнения Ах = b. Их можно находить путём минимизации функции Тихонова А.Н.:
В [2] показывается, что для любых и матриц Ah: || A-Ah || h, чисел > 0 существует единственный вектор ха, минимизирующий функцию Тихонова А.Н. Та(х, b, Ah) на всём пространстве. При этом вектор ха удовлетворяет уравнению:
gradx Та(х, b, Ah) = 0 или
AhTAhxa + xa=AhTb (4.1)
Устанавливается также в [2], что для всех > 0 определён оператор
R(b, Ah,) = xa, который будет регуляризирующим. Именно существует зависимость , при которой вектора xa = R(b, Ah,) сходятся к нормальному решению системы Ах = b при h, --> 0. Эти ха находятся из системы (4.1) для заданного уровня погрешностей h, .
Определение: Оператор R(b, A,), зависящий от параметра , со значениями в Rn, называется регуляризирующим оператором для уравнения
Ах = b, если он обладает свойствами [2], [3]:
1)существует такая пара положительных чисел (), что оператор
R(b, Ah,) определён для всякого > 0 и любых и матриц Ah размера (nn): || b-b ||, || Ah-A ||;
2)существует такая функция , , что для любого > 0найдётся пара чисел , такая, что если
при || Ah-A || h h(),|| b-b ||, будет || ха-х0||,
где ха = R(b, Ah,) , х0 - точное решение системы Ах = b.
В этом определении не предполагается однозначность оператора
R(b, A,), отметим, что функция зависит от b и Ah .
Итак, в качестве приближённых решений уравнения Ahx = b можно брать значения регуляризирующего оператора: ха = R(b, Ah,), где пара-
метр регуляризации согласован с погрешностью исходных данных Ah, b. Полученные таким образом регуляризованные решения устойчивы к малым изменениям исходных данных.
Выбор параметра регуляризации по обобщенной невязке.
1) Введём функцию , называемую обобщённой невязкой:
где - мера несовместимости системы , для всех х . Очевидно, что если система Ahx = b имеет решение, то = 0.
Обобщенный принцип невязки для выбора параметра регуляризации :
а) пусть выполнено условие и для любого > 0 векторха определяется из системы (4.1). Тогда обобщённая невязка определена при всех > 0 и имеет положительный корень * > 0 или = 0. В этом случае приближённое решение уравнения Ах = b полагается ха*;
б) если же , то полагаем приближённое решение системы Ах = b равным нулю.
Показывается в [2] и [3], что для || Ah-A || h, || b-b || и , выбранному согласно принципу обобщённой невязки, будет при ,h 0.
2) Устанавливается, что обобщённая невязка - строго возрастающая функция. Поэтому для нахождения корня *: = 0 можно сделать следующее. Берётся конечный отрезок монотонной последовательности чисел , например, отрезок геометрической прогрессии
ak = aoqk, k= l,...,n; 0<q< 1 .
Для каждого значения ak находится вектор xak из решения уравнения (4.1) и вычисляется
p(ak) = || Ahxak-b||2 - (+ h||xak||)2 - .
За * берётся такое k*, для которого с требуемой точностью выполняется неравенство | (k*)| < . Тогда за приближённое решение системы Ах= b берём ха*к. Корень *, для которого = 0, можно находить, используя метод половинного деления.
Если система имеет решение, то = 0 и обобщённая невязка имеет вид: = || Ahxa-b||2 - (+ h||x||)2.
Замечание: В [3] устанавливается, что в принципе невязки можно не учитывать (т.е. положим = 0), поэтому можно записать:
= || Ahxa-b||2 - (+ h||x||)2
Для нашей задачи в системе уравнений Ах = b мы будем возмущать лишь правую часть (п.5), поэтому невязка запишется следующим образом:
(5.1)
6. Дискретная регуляризация для бигармонического уравнения
Ранее было установлено равенство:
, (2.2)
где g и h находятся из системы интегральных уравнений (2.2), (2.3).
К интегралу Пуассона (2.1) и к системе интегральных уравнений (2.2), (2.3) применим какую либо квадратурную формулу. В результате получим:
(6.1)
k= и A- квадратурные коэффициенты.
Так для формулы прямоугольников:
A= , j =, A=0
и , j =.
Для формулы трапеций:
, A=, j =
и , j =.
Полагая и осуществляя дискретизацию по t, получаем
- систему линейных алгебраических уравнений.
Запишем систему уравнений в векторном виде.
Введём обозначения блочной матрицы А и векторов х, b:
, , , где
,
Ax = b - система линейных алгебраических уравнений порядка (2m) относительно и .
Далее осуществляем возмущение правой части: b = b+, где = ()т, > 0 и применим метод регуляризации Тихонова А.Н. к возмущённой системе, описанный в пункте 4.
Для останова используем обобщённую невязку .
Далее найдя регуляризованное решение ха, где = - параметр регуляризации, который находится изложенным выше способом, подставляем в квадратурную формулу:
Здесь ua = ua(x,y) для любой точки, принадлежащей внутренности круга S.
Тем самым получили приближение ua к точному решению u(х,у).
7. Оценка погрешности метода дискретной регуляризации для бигармонического уравнения
Дадим оценку погрешности метода дискретной регуляризации для бигармонического уравнения:
Имеем точные интегральные уравнения:
А также приближённые:
Применим к системе приближённых уравнений метод дискретной регуляризации (ограничимся квадратурной формулой прямоугольников):
Заменяем:
;
Отбрасываем остаток, так как это маленькая величина, и получим:
Тогда получаем:
hh(s); gg(s)
Нам известна оценка остатка для квадратурной формулы прямоугольников |R| = o(h) Bh
Будем считать:
Ax = b - точной системой,
Ax = b + R - приближенной системой.
Погрешность правой части можно оценить:
|| b - (b + R)|| |||| + ||R||
Или ||x- x||
где = , ||R|| =
Шаг интегрирования в формуле прямоугольников h=2/m, то есть
m=2/h
Тогда формулу для оценки погрешности можно записать следующим образом:
дискретный регуляризация интегральный бигармонический
Список литературы
1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. «Уравнения математической физики». -Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», - М., 1966.
2. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. «Методы решения некорректных задач». - Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», - М., 1974.
3. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. «Численные методы решения некорректных задач». - М., Наука, 1990.
4. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. «Матрицы и вычисления». - М.: Наука, 1984г.
5. Вержбицкий В.М. «Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения». - М.: Высшая школа, 2001г.
6. Верлань А.Ф., Сизиков В.С. «Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы», - Киев, 1986
Приложение
Описание переменных в программе:
n - число точек деления.
K1, K2, К3, К4 - функция ядер.
F - правая часть.
UTkm - точное решение,
UR - регуляризованное решение.
DU - невязка.
Текст программы:
clear;clc;disp('INVERSE PROBLEM for BIGARMONIC EQUATION:');
disp('d^4U/dx^4+2d^4U/(dxdy)^2+d^4U/dy^4=0 for(x,y)in CR');
disp('U(x,y)=FI(t),dU/dn=PCI(t) on L in CR CALCULATE U(x,y)');
disp('SYSTEM 1D-FR1:intg{s0,s1;K(t,s)z(s)ds}=FP(t),t0<=t<=t1');
disp('K(t,s)=[K1(t,s) K2(t,s); K3(t,s) K4(t,s)]');
disp('FP(t)=[FI(t);PSI(t)]');
N=input('ENTER N-NUMBER of KNOTS for FR1');
delta=input('Enter delta-error for FI(t),PCI(t) on L');
eps=input('Enter eps(<0.0001)for nev<=eps');
disp('R-radius for CR');
R=input('Enter R(test R=4)');
disp ('(xp,yp)-center L as xp^2+yp^2<R^2');
xp=input ('Enter xp');
yp=input ('Enter yp');
RL2=(R-sqrt (xp^2+yp^2))^2
disp('Enter a1,b1-parameter for L as a1^2+b1^2<RL2');
a1=input('Enter a1-(test a1=3 for xp,yp=0)');
b1=input('Enter b1-(test b1=2 for xp,yp=0)');
s0=0; s1=2*%pi; t0=0; t1=2*%pi; N1=N-1;
//--------------------------------------------------------------
//disp('PRAM');hs=(s1-s0)/N;ht=(t1-t0)/N;for j=1:N;A(j)=hs;end;P=input('ENTER P={0;0.5;1}');
disp('TRAP');P=1;hs=(s1-s0)/N1;ht=(t1-t0)/N1;A(1)=hs/2;A(N)=hs/2;for j=2:N1;A(j)=hs;end
//---------------Кривая L в CR ---------------------------------
function z=xL(t), z=a1*cos(t)+xp, endfunction
function z=yL(t), z=b1*sin(t)+yp, endfunction
//Производные параметров кривой L по x,y
function z=dxL(t), z=-a1*sin(t), endfunction
function z=dyL(t), z=b1*cos(t), endfunction
//Косинус(alfa) внешней нормали к кривой L
function z=cosal(t),z=dyL(t)/sqrt((dxL(t))^2+(dyL(t))^2),
endfunction
//Косинус(beta) внешней нормали к кривой L
function z=cosbe(t),z=-dxL(t)/sqrt((dxL(t))^2+(dyL(t))^2),
endfunction
//Функции для расчётных формул(из теории)
function z=a(x,y), z=x^2+y^2-R^2,endfunction
function z=d(x,y,s),
z=(x-R*cos(s))^2+(y-R*sin(s))^2,
endfunction
function z=c1(x,s), z=x-R*cos(s), endfunction
function z=c2(y,s), z=y-R*sin(s),endfunction
function z=b2(x,y,s), z=R-x*cos(s)-y*sin(s), endfunction
function z=K1(x,y,s),
z=-a(x,y)^2/(4*%pi*R*d(x,y,s)),
endfunction
function z=K2(x,y,s),
z=a(x,y)^2*b2(x,y,s)/(2*%pi*R*d(x,y,s)^2),
endfunction
//Производная K1(x,y,s) по х
function z=DK1X(x,y,s),
z=-(2*x*d(x,y,s)*a(x,y)-c1(x,s)*a(x,y)^2)/(2*%pi*d(x,y,s)^2*R),
endfunction
//Производная K1(x,y,s) по у
function z=DK1Y(x,y,s),
z=-(2*y*d(x,y,s)*a(x,y)-c2(y,s)*a(x,y)^2)/(2*%pi*d(x,y,s)^2*R),
endfunction
//Производная K1(x,y,s) по внешней нормали L
function z=K3(x,y,s,t),
z=DK1X(x,y,s)*cosal(t)+DK1Y(x,y,s)*cosbe(t), endfunction
//Производная K2(x,y,s) по х
function z=DK2X(x,y,s),
z=2*(d(x,y,s)*cos(s)+2*b2(x,y,s)*c1(x,s))*K1(x,y,s)/d(x,y,s)^2-
2*(b2(x,y,s)*DK1X(x,y,s))/d(x,y,s),
endfunction
//Производная K2(x,y,s) по у
function z=DK2Y(x,y,s),
z=2*(d(x,y,s)*sin(s)+2*b2(x,y,s)*c2(y,s))*K1(x,y,s)/d(x,y,s)^2-
2*(b2(x,y,s)*DK1Y(x,y,s))/d(x,y,s),
endfunction
//Производная K2(x,y,s) по внешней нормали L
function z=K4(x,y,s,t),
z=DK2X(x,y,s)*cosal(t)+DK2Y(x,y,s)*cosbe(t),
endfunction
//Точное решение Бигармонического уравнения
function z=UT(x,y), z=(x^2+y^2)/2, endfunction
//FI(t)-значение решения UT(x,y) на L
function z=FI(t), z=UT(xL(t),yL(t)),
endfunction
//Производная UT(x,y) по х
function z=UTx(x,y), z=x, endfunction
//Производная UT(x,y) по у
function z=UTy(x,y), z=y, endfunction
//PSI(t)-производная UT(x,y)по внешней нормали к L
function z=PSI(t),
z=UTx(xL(t),yL(t))*cosal(t)+UTy(xL(t),yL(t))*cosbe(t),
endfunction
//Построение С.Л.А.У.(дискретизация системы FR)
for i=1:N
t(i)=t0+(i-P)*ht;
for j=1:N
s(j)=s0+(j-P)*hs;
M1(i,j)=K1(xL(t(i)),yL(t(i)),s(j))*A(j);
M2(i,j)=K2(xL(t(i)),yL(t(i)),s(j))*A(j);
M3(i,j)=K3(xL(t(i)),yL(t(i)),s(j),t(i))*A(j);
M4(i,j)=K4(xL(t(i)),yL(t(i)),s(j),t(i))*A(j);
F1(i)=FI(t(i))+delta*(2*rand(t(i))-1);
F2(i)=PSI(t(i))+delta*(2*rand(t(i))-1);
end; end;
F=[F1;F2]; M=[M1 M2;M3 M4];
//Регуляризация Тихонова А.Н. С.Л.А.У.
K=10; q=0.1;
zp=(M'*M+q^7*eye(2*N,2*N))M'*F;
mu=norm(M*zp-F)^2;
for n=1:K;
alfa=q^n;
z=(M'*M+alfa*eye(2*N,2*N))M'*F;
nev=abs(norm(M*z-F)^2-delta^2-mu);
if nev<=eps then break
else
end; end;
disp('Exit alfa,nev when nev<=eps');
alfa=alfa
nev=nev
S=6; x0=-2; x1=2; y0=-2; y1=2;
for i=1:S
for j=1:S
xk(i)=x0+(i-1)*(x1-x0)/(S-1);
yk(j)=y0+(j-1)*(y1-y0)/(S-1);
Ut(i,j)=UT(xk(i),yk(j));
us1=0; us2=0;
for k=1:N
us1=us1+A(k)*z(k)/d(xk(i),yk(j),s(k));
us2=us2+A(k)*z(k+N)*b2(xk(i),yk(j),s(k))/d(xk(i),yk(j),s(k))^2;
end;
//Приближённое решение UR(x,y) уравнения
UR(i,j)=a(xk(i),yk(j))^2/(2*%pi*R)*((-0.5)*us1+us2);
end; end; S=S
S1=input('Enter 1<=S1<=S for rezults'); m=1;
for i=1:S1
for j=1:S1
RES(m,1)=xk(i); RES(m,2)=yk(j);
RES(m,3)=Ut(i,j); RES(m,4)=UR(i,j);
RES(m,5)=UR(i,j)-Ut(i,j);
m=m+1; end; end; DUR=UR-Ut;
disp('EXIT REZULTS');
disp(' x y UT UR DUR ');
format('v',10); disp(RES); H=100;
//Графики(поверхности)
for j=1:H
tL(j)=t0+(j-1)*(t1-t0)/H;
XL(j)=xL(tL(j));
YL(j)=yL(tL(j));
CRx(j)=R*cos(tL(j));
CRy(j)=R*sin(tL(j));
end;
subplot(2,2,1)
plot3d(xk,yk,Ut)
xtitle('ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ')
subplot(2,2,2)
plot3d(xk,yk,UR)
xtitle('ПРИБЛИЖЁННОЕ РЕШЕНИЕ')
subplot(2,2,3)
plot3d(xk,yk,DUR)
xtitle('ПОГРЕШНОСТЬ')
subplot (2,2,4)
plot (XL,YL)
plot (CRx,CRy)
xtitle ('КРИВАЯ L в КРУГЕ CR')
Тестовый пример
В качестве замкнутой гладкой кривой L выберем
x = a*cos(t)
y = b*sin(t)
Рассмотрим однородную задачу:
Для иллюстрации результата выберем произвольные 9 точек.
u(х,у) =(x+y)/2.
Возьмем кривую с параметрами a=3, b=4; R=5; количество точек разбиения n=30:
