Расчет вероятности событий

/

/

Задание 1

Предположим, что 5% всех мужчин и 0.25% всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Какова вероятность, что это мужчина? (Считать, что мужчин и женщин одинаковое число).

Решение

Будем считать гипотезами Н₁ выбор мужчины, Н₂ выбор женщины. Так как по условию задачи все гипотезы равновозможные, то Условная вероятность А при реализации каждой гипотезы по условию задачи:

Р (А/Н₁) = 0,05; Р (А/Н₂) = 0,25.

По формуле полной вероятности:

Р(А) = р(Н₁)р (А/Н₁) + р(Н₂)р (А/Н₂).

Р(А) = 0,50,05 + 0,50,25 = 0,15

Вероятность того, что дальтоник мужчина вычислим по формуле Байеса.

0,167

Ответ: 0,167

Задание 2

Бросается две уравновешенные игральные кости. Какова вероятность, что на них выпадут различные числа?

Решение

Воспользуемся классической формулой для вычисления вероятности:

где m - число благоприятных событию А случаев;

n - число всех случаев.

Обозначим событие А - на костях выпадут различные числа, рассмотрим противоположное событие - выпадут одинаковые числа.

n = 66 = 36

m = 6

Ответ:

Задание 3

Пусть в каждом цикле обзора радиолокатора цель может быть обнаружена с вероятностью 0.5. И пусть обнаружение в каждом цикле происходит независимо от других циклов. Определить с какой вероятностью цель будет обнаружена за 3 цикла.

Решение

Обозначим событие А - цель будет обнаружена за 3 цикла, рассмотрим противоположное событие - цель будет не будет обнаружена за 3 цикла.

= (1 - 0,5)³ = 0,125

= 1 - 0,125 = 0,875

Ответ: 0,875

Задание 4

Пусть вероятность того, что денежный автомат при опускании одной монеты сработает правильно, равна 0,95. Оценить вероятность того, что при 2 000 опусканиях монет количество случаев правильной работы автомата будет заключено в границах от 1 860 до 1 940 (включительно).

Решение

Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:

Справедлива формула: P_n(k₁, k₂) Ф(х₂) - Ф(х₁).

где

n = 2000 р = 0,95 q = 0,05 k₁ = 1860 k₂ = 1940

=Ф (4,1) - Ф (-4,1) = Ф (4,1) + Ф (4,1) =2Ф (4,1) 20,5 = 1

Функция Лапласа является нечетной Ф(-х) = - Ф(х).

Ответ: 1

Задание 5

вероятность распределение функция гипотеза

Найти функцию распределения числа попаданий в цель, если стрелком произведено шесть выстрелов, а вероятность попадания при одном выстреле равна 0,2. Пользуясь этой функцией, вычислить вероятность того, что цель будет поражена не менее одного, но не меньше пяти раз.

Решение

Случайная величина Х - чи

сло попаданий в цель может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Формула Бернулли

n = 6 p=0,2 q= 0,8

10,262144 = 0,262144

0,20,32768 = 0,393216

0,040,4096 = 0,24576

0,0080,512 = 0,08192

0,00160,64 = 0,01536

0,000320,8 = 0,01536

0,0000640,1 = 0,000064

Проверка: 0,262144 + 0,393216 + 0,24576 + 0,08192 + 0,01536 + 0,01536 + 0,000064 = 1

Найдем функцию распределения F(x) по формуле

Пользуясь этой функцией, вычислить вероятность того, что цель будет поражена не менее одного, но не меньше пяти раз.

Наверное, имелось ввиду:

Пользуясь этой функцией, вычислить вероятность того, что цель будет поражена не менее одного, но не больше пяти раз.

Р ( Х < ) = F() - F()

Р (1 Х < 5) = F(5) - F(1) = 0,9984 - 0,262144 = 0,736256

Задание 6

Деталь проходит три операции обработки. Вероятность того, что она окажется бракованной после первой операции, равна 0,02; после второй - 0,03; после третьей - 0,02. Найти вероятность того, что деталь будет бракованной после трех операций, предполагая, что появление брака на отдельных операциях независимые события.

Решение

Обозначим событие А - деталь будет бракованной после трех операций, рассмотрим противоположное событие - деталь окажется годной, т.е. не бракованной после трех операций.

= (1 - 0,02)(1 - 0,03)(1 - 0,02) = 0,980,970,98 0,932

= 1 - 0,932 = 0,068

Ответ: 0,875

Задание 7

Какова вероятность того, что наудачу поставленная точка в данном круге (радиус 2 см) окажется внутри вписанного в него квадрата.

Решение

Пусть радиус круга равен R, сторона квадрата а, тогда по теореме Пифагора^

а² + а² = (2R)².

Площадь квадрата S_{квадрата} = а² = 2R².

Площадь круга S_круга = R².

Ответ:

Задание 8

Найти вероятность того, что из 500 посеянных семян не взойдет 130, если всхожесть оценивается вероятностью 0,75.

Решение

Не взойдет 130 семян означает, что взойдет 500 - 130 = 370 семян.

Справедлива формула:

P_k,n где

n = 500 р = 0,75 q = 0,25 k = 370

P_{370, 500}

Функция (х) - четная, т.е. (-х) = (х).

Ответ: 0,036

Задание 9

В классе имеется 12 компьютеров. Вероятность того, что компьютер будет занят студентами в течение дня, равна 0,8. Найти вероятность нормальной работы компьютерного класса в ближайший день, если для этого необходимо, чтобы были заняты хотя бы пять компьютеров.

Решение

Формула Бернулли

n = 12 k = от 5 до 12 p=0,8 q= 0,2

= 0,0033

= 0,0155

= 0,0532

= 0,1329

= 0,2362

= 0,2835

= 0,2062

= 0,0687

Р(А) = Р₁₂(5) + Р₁₂(6) + Р₁₂(7) + Р₁₂(8) + Р₁₂(9) + Р₁₂(10) + Р₁₂(11) + Р₁₂(12) = 0,0033 + 0,0155 + 0,0532 + 0,1329 + 0,2362 + 0,2835+ 0,2062+ 0,0687 = 0,9994

Ответ: 0,9994

Задание 10

Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна 1/7. Какова вероятность того, что лицо, имеющее шесть билетов, выиграет хотя бы по одному билету.

Решение

Обозначим событие А - выиграет хотя бы по одному билету, рассмотрим противоположное событие - не выиграет ни по одному билету

Ответ: 0,603

Литература

вероятность распределение функция гипотеза

1. Вентцель, Е.С. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. - М.: Высшая школа, 2001. - 382 с.

2. Ермаков, В.И. Общий курс высшей математики для экономистов: учебник / В.И. Ермаков. - М.: ИНФРА, 2007. - 656 с.

3. Ермаков, В.И. Сборник задач по высшей математике для экономистов: учебник / В.И. Ермаков. - М.: ИНФРА, 2007. - 575 с.^*

4. Кремер, Н.Ш. Исследование операций в экономике: учебное пособие для вузов / Н.Ш. Кремер. - М.: ЮРАЙТ, 2010. - 432 с.

5. Кремер, Н.Ш. Высшая математика для экономистов: учебное пособие для вузов / Н.Ш. Кремер. - М.:, ЮНИТИ-ДАНА 2007 - 479 с.

6. Миллер, Б.М. Теория случайных процессов в примерах и задачах / Б.М. Миллер, А.Р. Панков. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 320 с.