Производные и дифференциалы высших порядков
Работа из раздела: «
Математика»
https://
https://
7
Задание 1
Вычислить пределы функций:
а). , б). , в). , г). .
Решение
а). Для раскрытия неопределенности разложим знаменатель на множители и сократим дробь.
.
б). Для раскрытия неопределенности разделим числитель и знаменатель дроби почленно на
.
в). Для раскрытия неопределенности используем следствие из первого замечательного предела .
.
г). Для раскрытия неопределенность умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное с числителей и сократим дробь.
Задание 2
Найти производные заданных функций
а). ; б). ; в). .
Решение
а). Используем правила дифференцирования суммы функций и сложной функции.
б). Находим производную сложной функции.
.
в). Находим производную сложной функции.
Задание 3
Исследуйте функция и постройте ее график.
.
Решение
1. Найдем область определения функции:
2. Проверим, является ли функция четной или нечетной:
,
следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной.
3. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат.
С осьюОх: , тогда .
С осью Оу: , тогда .
4. Находим первую производную:
при .
Исследуем знаки производной при переходе через критические точки.
https://
https://
7
Функция возрастает при. Функция убывает при .. Получаем - точка максимума, - точка минимума.
5. Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости и точек перегиба найдем вторую производную:
Вторая производная равна нулю при.
Наносим на числовую прямую точку и исследуем знак второй производной на каждом из интервалов.
https://
https://
7
Рис. 1.
В интервале график функции - выпуклый, в интервале - вогнутый. . Получаем - точка перегиба.
6. Находим асимптоты.
Область определения функции - вся числовая прямая, поэтому вертикальных асимптот нет.
Наклонную асимптоту ищем в виде: .
Следовательно, наклонных асимптот нет.
7. Строим график функции (рис. 1):
Задание 4
Найти неопределенные интегралы.
а). ; б). .
Решение
а). Используем способ замены переменной.
.
б). Используем способ интегрирования по частям.
Задание 5
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями, используя определенный интеграл. Сделайте чертеж.
, .
Решение
Имеем параболу и прямую . Нужно найти площадь выделенной на рисунке 2 фигуры.
Рис. 2.
Найдем пределы интегрирования (точки пересечения графиков функций), решив систему уравнений:
Площадь фигуры равна:
Задание 6
Вычислите по формуле прямоугольников при определенный интеграл, определите погрешность вычислений:.
Решение
функция неопределенный интеграл решение
Формула средних прямоугольников имеет вид:
, где .
Согласно условию, , следовательно, .
Искомый интеграл равен:
.
Для оценки погрешности вычислим точное значение интеграла:
.
Так как полученные значения совпадают, погрешность равна нулю.
https://
