Понятие и способы вычисления первообразной
Работа из раздела: «
Математика»
Контрольная работа
по математике
Понятие и способы вычисления первообразной
Задание
I. Теоретическая часть: раскройте понятие первообразной
II. Практическая часть
Задание 1. Найти производные.
а) б)
в) г)
Задание 2. Записать уравнение касательной к графику функции f(x) в точке а
a=-2
Задание 3. Найти экстремумы функции
Задание 4. Найти координаты точек перегиба
Задание 5. Найти пределы функций
а) б) в)
I. Теоретическая часть
математический анализ первообразная интегрирование
В математическом анализе первообразной (первообразной) или примитивной функцией данной функции f называют такую F, производная которой равна f, то есть F? = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.
Для примера: F(x) = x? / 3 является первообразной f(x) = x?. Так как производная константы равна нулю, x? будет иметь бесконечное количество первообразных; таких как (x? / 3) + 0 или (x? / 3) + 7 или (x? / 3) ? 36 …и т. д.; таким образом семейство первообразных функции x? можно обозначить как F(x) = (x? / 3) + C, где C- любое число. Графики таких первообразных смещены вертикально друг относительно друга, и их положение зависит от значения C.
Первообразные важны тем, что позволяют вычислять интегралы. Если F - первообразная интегрируемой функции f, то:
Это соотношение называется формулой Ньютона-Лейбница.
Благодаря этой связи множество первообразных данной функции f иногда называют общим интегралом или неопределённым интегралом f и записывают в виде интеграла без указания пределов:
Если F - первообразная f, и функция f определена на каком-либо интервале, тогда каждая последующая первообразная G отличается от F на константу: всегда существует число C, такое что G(x) = F(x) + C для всех x. Число C называют постоянной интегрирования.
Каждая непрерывная функция f имеет первообразную F, которая представляется в виде интеграла от f с переменным верхним пределом:
Также существуют не непрерывные (разрывные) функции, которые имеют первообразную. Например, f(x) = 2x sin (1/x) - cos(1/x) с f(0) = 0 не непрерывна при x = 0, но имеет первообразную F(x) = x? sin(1/x) с F(0) = 0.
Некоторые первообразные, даже несмотря на то, что они существуют, не могут быть выражены через элементарные функции (такие как многочлены, экспоненциальные функции, логарифмы, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и их комбинации). Например:
Более развёрнутое изложение этих фактов можно отыскать в дифференциальной теории Галуа.
Свойства первообразной
§ Первообразная суммы равна сумме первообразных
§ Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции
§ Достаточным условием для существования первообразной у заданной на отрезке функции f является непрерывность f.
§ Необходимыми условиями являются принадлежность функции f первому классу Бэра и выполнение для неё свойства Дарбу.
§ У заданной на отрезке функции любые две первообразные отличаются на постоянную.
Техника интегрирования
Нахождение первообразных значительно сложнее, чем нахождение производных. Для этого в нашем распоряжении имеется насколько методов:
§ линейность интегрирования позволяет разбивать сложные интегралы на части,
§ интегрирование через подстановку, часто применяемое вместе с тригонометрическими тождествами или натуральным логарифмом,
§ интегрирование по частям для операций с произведениями функций,
§ метод обратной цепочки, особый случай интегрирования по частям
§ метод интегрирования рациональных дробей позволяет интегрировать любые рациональные функции (дроби с полиномами в числителе и знаменателе),
§ алгоритм Риша (Risch algorithm),
§ некоторые интегралы можно найти в таблице интегралов,
§ при многоуровневом интегрировании можно использовать дополнительную технику, для примера см.двойной интеграл и полярные координаты, Якобиан и теорема Стокса,
§ вычислительные пакеты помогают автоматизировать некоторые или все вышеприведённые символические операции, что очень удобно, когда алгебраические вычисления становятся слишком громоздкими,
§ если функция не имеет элементарной первообразной (например, exp(x?)), её интеграл может быть вычислен приближённо с помощью численного интегрирования.
II. Практическая часть
1). а)
б)
в)
г)
2).
- уравнение касательной
3).
x
0 1
4).
x
2
- точка перегиба (функция вогнутая)
Ответ:
5). a)
б)
в)
