Линейная регрессионная модель

Контрольная работа 1

Вариант 10

Часть 1.

Задание:

1. Какую линейную регрессионную модель называют адекватной? Сформулируйте правило проверки адекватности модели

Ответ:

При большом числе факторов иногда структуру линейной регрессионной модели выбирают исходя из сущности изучаемого явления. Однако часто модель не удаётся построить исходя из сущности явления, в этом случае используют полином, степень которого определяется в ходе проверки: хорошо ли предсказанные моделью значения отклика совпадают с результатами наблюдений за моделируемым объектом. Проверка выполнения этого условия называется проверкой адекватности модели. А линейная регрессионная модель, прошедшая такую проверку называется адекватной.

Для проверки адекватности модели часто используют критерий, который называется F-критерием Фишера и определяется следующей формулой:

,

где - остаточная дисперсия, - независимая оценка, которую можно получить следующим образом: в факторном пространстве выбрать одну точку и провести в ней несколько независимых опытов, результаты которых не использовать при оценивании регрессионных коэффициентов, а применять только при вычислении .

Удобство использования критерия Фишера состоит в том, что проверку гипотезы можно свести к сравнению с табличным значением. Если рассчитанное значение F-критерия не превышает табличного, то, с соответствующей доверительной вероятностью, модель можно считать адекватной. При превышении табличного значения эту приятную гипотезу приходится отвергать.

Задание:

2. Проведены равноточные измерения некоторой величины У через равные интервалы аргумента Х. Считая, что зависимость между Х и У имеет вид , выполните следующее: Проверьте значимость коэффициентов ?1 ?2 на уровне значимости ?=0,01

Решение:

Для начала найдём коэффициенты регрессионной модели. Для этого сформируем матрицу регрессоров F и столбец откликов

, .

Найдем информационную матрицу G по формуле: . Для этого определим матрицу :

.

Теперь найдём матрицу G:

.

Определим матрицу Z, вычисляемую по формуле:

.

.

Матрица С, равная: . Это матрица обратная матрице G, найдем C:

.

Определим МНК оценки коэффициентов регрессионной модели по следующей формуле: .

.

Таким образом, имеем регрессионную модель вида:

.

Теперь вычисляем оценку дисперсии случайной ошибки по формуле:

.

Количество степеней свободы .

Проверим гипотезу о значимости коэффициента , для этого определим величину t по следующей формуле:

.

Теперь сравниваем с табличным значением при уровне значимости , и количестве степеней свободы :

, .

Коэффициент значим.

Проверим гипотезу о значимости коэффициента , для этого определим величину t по следующей формуле:

.

Теперь сравниваем с табличным значением при уровне значимости , и количестве степеней свободы :

, .

Коэффициент незначим.

Ответ:

Коэффициент значим, коэффициент незначим.

Задание:

1. Какими свойствами обладает множественный коэффициент корреляции?

Ответ:

Множественный коэффициент корреляции - это мера линейной зависимости между одной случайной величиной и некоторой совокупностью случайных величин.

1) Множественный коэффициент корреляции определяется по формуле

,

где - определитель корреляционной матрицы; - алгебраическое дополнение ii-го элемента.

2) Он изменяется в пределах от 0 до 1: .

3) Если - корреляция отсутствует (данные факторы между собой нейтральны);

4) Если - между случайными величинами наблюдается функциональная зависимость.

Задание:

2. По результатам десяти наблюдений, заданным таблицей найдите:

Значения оценки коэффициента детерминации.

Решение:

Коэффициент детерминации определяется по формуле:

.

Для начала определим математический ожидания и дисперсии для случайных величин

;

;

;

;

;

.

Теперь найдём ковариации случайных величин

,

,

.

По полученным характеристикам случайных величин определим коэффициенты корреляции

;

;

Ответ:

Коэффициент детерминации .

Задание:

В табл. представлены результаты наблюдений над откликом X на пяти уровнях фактора А и трех уровнях фактора В. На уровне значимости ? = 0,05 проверьте гипотезу: -- фактор А не оказывает влияния на отклик.

Решение:

Сформулируем гипотезы для фактора A:

: фактор A не оказывает влияния на отклик;

: фактор A оказывает влияние на отклик.

Сделаем предварительные расчёты сумм по факторам и общей суммы.

Посчитаем - вариативность признака, обусловленную действием фактора A по формуле

,

где Ti - сумма индивидуальных значений по каждому уровню фактора A; - квадрат общей суммы индивидуальных значений.

Аналогично посчитаем вариативность признака, обусловленную действием фактора B

регрессионный корреляция детерминация

.

Подсчитаем - общую вариативность признака по формуле:

.

Подсчитаем случайную (остаточную) величину , обусловленную неучтенными факторами по формуле:

.

Число степеней свободы равно:

.

«Средний квадрат» или математическое ожидание суммы квадратов, усредненная величина суммы квадратов фактора A равна:

Значение статистики критерия F_эмп рассчитаем по формуле:

.

Определим F_крит по статистическим таблицам для k_A=4 и k_сл =8 и = 0,05 F_крит=3,84.

F_эмп < F_крит (1,11<3,84), следовательно принимается нулевая гипотеза .

Ответ:

Гипотеза верна.